Pola dan Barisan Bilangan

Transkripsi

1 Pola dan Barisan Bilangan Pola dan barisan bilangan meliputi pola bilangan dan barisan bilangan Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu Misalnya pada kalender terdapat susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring) Pola Bilangan 1 Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang Dalam pola persegi panjang biasanya terdiri dari kumpulan noktah berjumlah 2, 6, 12, dst Untuk menentukan pola-pola bilangan tersebut kita dapat menggunakan rumus Un = n (n+1) dimana n adalah bilangan bulat bukan negatif 2 Pola Persegi Pola ini memiliki bentuk kumpulan noktah menyerupai persegi dengan sisi-sisi yang sama besar Perhatikan polanya Kemudian kita dapat memperoleh pola-pola bilangannya yaitu : 1, 4, 9 dst di lihat dari jumlah noktah dalam susunan pola Andaikan kita ingin mengetahui pola-pola bilangan persegi dapat kita lakukan dengan menggunakan rumus U n = n 2 dengan n adalah bilangan bulat positif 3 Pola Segi tiga (segitiga sama sisi) Dalam membentuk pola ini dibutuhkan kumpulan noktah yang berbentuk segitiga sama sisi Terdapat dua cara dalam menentukan pola segitiga, yaitu: Cara 1: dengan cara mengikuti pola berikut ini Kita mulai dengan angka 1 yang kemudian ditambahkan angka setelah angka satu yaitu 2 yang menghasilkan 3 dan 3 ditambahkan dengan 3 dimana tiga adalah bilangan setelah dua yang kemudian hansil jumlahnya 6, 6 dijumlahkan dengan bilangan berikutnya dari 3 dan menghasilkan 10, 10 dijumlahkan lagi denagn bilangan setelah empat yaitu lima akan menghsilkan 15 dan begitu seterusnya

2 Cara 2: pola bilangan segitiga anara lain1, 3, 6,10 dst Bilangan tersebut dapat diperolah dengan cara ke-2 yaitu menentuak pola segitiga dengan menggunakan rumus Un = n/2 (n+1) Sehingga dihasilkan bentuk seperti dibawah ini dengan urutan-urutan bilangannya 4 Pola Kubus Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n 3 5 Pola bilangan ganjil dan genap Pada pola ini bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua a Pola bilangan ganjil Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua b Pola bilangan genap Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua 6 Pola Bilangan Segitiga Pascal Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1

3 7 Pola Bilangan Fibonaci Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan tertentu Yang biasanya dilambangkan Un Barisan bilangan biasanya ditulis : U 1, U 2,`U 3,, U n Dengan Un adalah suku ke n dan n = 1,2,3, Perhatikan bentuk penulisan barisan bilangan dimana U1 adalah suku pertama, U2 adalah suku ke-2, dan seterusnya hingga Un yang disebut suku ke-n Contoh : Barisan 0,2,4 berarti: U1 = 0, U2 = 2, U3 = 4 (menambahkan 2 pada suku sebelumnya) 1 Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, Barisan 2, 5, 8, 11, U1 = 2 U2 = 5 = U3 = 8 = 5 +3 U4 = 11 = 8 +3 Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8,11, 14, 17, 20, n +3) 2 Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan U n = f (n) Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b) U1, U2, U3, U4,, Un Maka diperoleh: U n = bn + (U 1 - b) Contoh :

4 Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7,, Un Maka, b = 2 ; U1 = 1 U n = bn + (U 1 - b) = 2n+(1-2) = 2n -1 Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap U1, U2, U3, U4,, Un Maka diperoleh: U n = r n x U 1 /r Contoh : Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, U n ) Maka, r = 10 ; U1 = 1 U n = r n x U 1 /r = 10 n x 1/10 = 10 n -1 Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut: U n = b/2 n (n-1) + c Dengan: c = Suku ke-n barisan bilangan pola b = Selisih tetap Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu Barisan: c = 2n + (U 1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1 Jadi, suku ke-n adalah: U n = ½ n(n-1) +c U n = ½ n(n-1) + 2n + 1 U n = ½ n 2 ½ n + 2n +1 U n = ½ n 2 3/2 n +1

5 Barisan Arimatika dan Barisan Geometri Barisan Arimatika atau Barisan Hitung Barisan Aretmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap Perhatikan baarisan U 1, U 2, U 3,,U n-1, U n Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut : U 1 = a U 2 = U 1 + b = a + b U 3 = U 2 + b = a + b + b = a + 2b U 4 = U 3 + b = a + 2b + b = a + 3b U n = U n-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b U n = a + (n 1 )b Dengan n = 1, 2, 3, Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut : U 2 = U 1 + b => b = U 2 - U 1 U 3 = U 2 + b => b = U 3 - U 2 U 4 = U 3 + b => b = U 4 - U 3 U n = U n-1 + b => b = U n - U n-1 Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun Bila b 0 maka barisan aritmetika itu naik Bila b 0 maka barisan aritmetika itu turun Tentukan suku ke sepuluh ( U 10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut a 1, 3, 5, 7, b 4, 2, 0, -2, Jawab : Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U 10 ) dari masing-masing barisan aritmetika a Barisan 1, 3, 5, 7 berdasarkan rumus U n = U 1 + (n 1) b diperoleh U 1 = 1 U 2 = 3 U 3 = 5

6 b = U 2 - U 1 = 2 b = U 3 - U 2 = 2 b = U 4 - U 3 = 2 karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik U 10 = U 1 (10-1) b U 10 = = 19 b Barisan 4, 2, 0, -2, U 1 = 4 ; U 2 = 2 ; U 3 = 0 ; U 4 = -2 b = U 2 - U 1 = - 2 ; b = U 3 - U 2 = -2 ; b = U 4 - U 3 = - 2 karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus U n = U 1 (n - 1) b U 10 = 4 + (9 (- 2) ) = - 14 Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14 Barisan Geometri atau Barisan Ukur Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap Misalkan, barisannya U 1, U 2, U 3,,U n-1, U n, maka : U 1 = a U 2 = U 1 r = ar U 3 = U 2 r = ar 2 U 4 = U 3 r = ar 3 U n = U n-1 r = ar n-1 1 U n = r U n-1 atau 2 U n = a r n-1 Dengan: r = rasio atau pembanding n = bilangan asli a = suku pertama Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun Bila r > 1 maka barisan geometri naik Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun Contoh : a Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :

7 b Tulliskan rumus suku ke n dari barisan geometri : a b Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729 Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah Deret Aritmetika dan Deret Geometri Deret Aritmetika atau Deret Hitung Deret bilangan adalah jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan Bentuk umum: Menyatakan deret ke-n 1 Deret dari barisan 3, 5, 7,, (2n+1) adalah Maka, 2 Deret dari barisan 1, 2, 4,, adalah Maka, Deret aritmetika adalah jumlah suku yang ditunjukkan oleh barisan aritmetika Deret aritmetika: Dengan dan

8 Rumus n suku pertama deret aritmetika: [ ] Dengan: suku ke-n n = bilangan asli b = beda 1 Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret [ ] 2 Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20 maka: Deret Geometri atau Deret Ukur Deret geometri adalah jumlah suku-suku yang ditunjuk oleh barisan geometri Deret geometri: dengan dan Rumus n suku pertama deret geometri: 1 Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret

9 2 Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, dan Bila tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu Karena suku-suku positif maka maka: Sifat-sifat Deret Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut

10 Dalam deret aritmatika ditemukan, hitunglah : a b c Beda Jawab : a b c Sifat Dasar Deret Aritmetika 1 Bila merupakan deret aritmatika, maka : 2 Bila merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka: Tentukan nilai dari agar barisan merupakan suku-suku dari deret aritmatika Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu 2(3x - 5) = x x 10= x + 5 6x x= x = 15 x = 3 Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :

11 Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya Memo 7 = = = = Secara umum dapat dituliskan: Bila dan dari deret aritmatika, tentukanlah : a b b a b atau Sifat Dasar Deret Geometri 1 Bila merupakan deret geometri, maka : 2 Bila merupakan suku-suku pada deret geometri, maka: Tentukan nilai agar barisan merupakan barisan geometri

12 Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu, diperoleh: Memo atau Jadi, nilai adalah atau Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri Perhatikan U n = ar n-1 Dengan formula itu didapat: U 10 = ar 9 U 10 = (ar 2 ) r 7 = U 3 r 7 U 10 = (ar 4 ) r 7 = U 5 r 5 Secara umum di tuliskan: Memo Lihat Indeks 10 = = = Diketahui deret geometri dengan U 3 = 24 dan U 6 = 192 Tentukanlah : a r b U 2 Jawab : a b

13 Daftra Pustaka Wilson Simangunsong Matematika untuk SMP Kelas IX Erlangga