Kajian Himpunan Dominasi pada Graf Khusus dan Operasinya

Transkripsi

1 Kajian Himunan Dominasi ada Graf Khusus dan Oerasinya Miftahur Roifah 2, Dafik 1,3 1 CGANT-University of Jember 2 Deartment of Mathematics FMIPA University of Jember miftahurroifah@gmail.com 3 Deartment of Mathematics Education FKIP University of Jember, d.dafik@unej.ac.id Abstract Himunan dominasi (Dominating Set) adalah suatu himunan bagian V dari himunan titik V (G) dimana titik-titik yang tidak berada ada V terhubung langsung dengan minimal satu titik V. Ukuran dari himunan dominasi terkecil disebut bilangan dominasi. Bilangan dominasi ada graf G dinotasikan dengan γ(g). Oerasi graf adalah graf yang meruakan hasil oerasi dua buah atau lebih graf sehingga menghasilkan graf baru G dengan himunan titik V (G ) dan himunan sisi E(G ). Makalah ini akan membahas kajian himunan dominasi dan bilangan dominasinya untuk graf khusus dan oerasinya. Adaun graf khusus yang akan dioerasikan adalah graf lengka K m, graf siklus C n, dan graf Path P m. Key Words : Himunan dominasi, bilangan dominasi, oerasi graf khusus. Pendahuluan Konse himunan dominasi ada graf memiliki akar sejarah sejak tahun 1850an ketika enggemar catur Eroa memelajari masalah dominasi ratu, seerti yang telah dijelaskan ada [5]. Penggemar ini bekerja untuk menentukan jumlah minimum ratu yang dierlukan sehingga setia ersegi ada aan catur standar 8 8 daat diduduki oleh sebuah ratu atau daat langsung diserang oleh ratu, dengan kata lain kotak tersebut didominasi oleh sebuah ratu. Situasi tersebut daat dimodelkan dengan teori graf. Pada aan catur, kotak adalah titik (V ) dan dua titik terhubung di G jika setia kotak daat dicaai oleh ratu ada kotak lain dengan satu langkah. Jumlah minimum ratu yang memungkinkan untuk tidak bertabrakan dengan ratu lainnya dengan satu langkah adalah bilangan dominasi dari sebuah himunan dominasi di G. Lebih detail lihat [6]. Selanjutnya studi matematika himunan dominasi dimulai ada tahun 1960an, dan sejak saat itu, himunan dominasi digunakan untuk banyak alikasi yang berbeda, diantaranya untuk memodelkan keterkaitan ada jaringan komunikasi komuter, teori jejaring sosial, dan masalah serua lainnya. Penelitian terkait himunan dominasi berkembang cuku esat. Lebih detail lihat [7], [8]. Penentuan bilangan dominasi ada graf dan enentuan himunan dominasi minimum terbukti sangat berguna. Pada artikel ini akan dielajari tentang

2 Miftahur R, et.al: Kajian Himunan Dominasi ada Graf Khusus bilangan dominasi ada beberaa graf khusus dan oerasinya, diantaranya graf joint roduct K 3 +C n dan K 3 +P m, graf Cartesian roduct C n P m, graf Crown roduct C n K m, dan graf Shackel (K m,n). Joint roduct dari graf G 1 dan G 2, dinotasikan dengan G = G 1 +G 2 adalah graf G dimana V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan E(G) = E(G 1 ) E(G 2 ) {uv u V (G 1 ),v V (G 2 )}. Cartesian roduct dari graf G 1 dan G 2, dinotasikan dengan G = G 1 G 2 yang didefinisikan sebagai V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan (x 1,x 2 )(y 1,y 2 ) E(G) x 1 = y 1 dan x 2 y 2 E(G 2 ) atau x 2 = y 2 dan y 1,y 2 E(G 1 ). Crown roduct dari graf G 1 dan G 2 didefinisikan sebagai graf yang dieroleh dengan mengambil sebuah dulikat dari graf G dan V (G) dulikat H 1,H 2,...,H V (G) dari H, kemudian menghubungkan titik ke-i dari G ke setia titik di H i,i = 1,2,3,..., V (G). Graf Shackel dinotasikan dengan Shack(G 1,G 2,...,G k ) yang didefinisikan sebagai sebuah graf yang dibentuk dari k graf terhubung tak trivial G 1,G 2,...,G k sehingga untuk setia s,t [1,k] dengan s t 2 berlaku G s dan G t tidak memunyai titik yang sama, dan untuk setia i [1,k 1], G i dan G i+1 memunyai teat satu titik yang sama, disebut titik enghubung, dan k 1 titik enghubung itu semua berbeda. Teorema yang Digunakan Theorem 1 [5] Untuk sebarang graf G, γ(g) (G) 1 + (G) Proof. Misalkan S adalah sebuah γ - set dari G. Pertama, kita andaikan batas bawah. Setia titik daat sebagai dominating set dan γ(g) ke titik yang lain. Berakibat, γ(g) 1+ (G). Untuk batas atasnya, misalkan v adalah titik dengan degree maksimum (G). Maka v sebagai dominating set N[v] dan titik di V N[v] meruakan dominating set mereka sendiri. Berakibat, V N[v] meruakan dominating set dengan kardinalitas n (G), sehingga γ(g) n (G). Theorem 2 [2] Jika sebuah graf sederhana G=(V, E) dengan n titik memunyai sebuah titik dengan derajat n 1, maka bilangan dominasi γ(g) adalah satu. Proof. Diberikan graf sederhana G=(V, E) dengan n titik. Misalkan v adalah titik dalam G dengan derajat n 1, maka setia titik lain adjacent dengan v sehingga v adalah himunan dominasi dari graf G, dengan bilangan dominasi γ(g) = 1.

3 Miftahur R, et.al: Kajian Himunan Dominasi ada Graf Khusus Hasil Penelitian Hasil dari enelitian ini didaatkan beberaa teorema terkait bilangan dominasi untuk beberaa graf khusus dan oerasinya, seerti graf joint roduct K 3 + C n dan K 3 + P m, graf Cartesian roduct C n P m, graf Crown roduct C n K m, dan graf Shackel (K m,n). Akibat 1 Untuk n 3, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf joint roduct K 3 + C n adalah γ(k 3 + C n ) = 1 Bukti. Graf joint roduct K 3 +C n adalah graf yang memiliki V (K 3 +C n ) = {x i,y i ;1 i n}, E(K 3 +C n ) = {x 1 y i ;1 i n} {x 2 y i ;1 i n} {x 3 y i ;1 i n} {x 1 x 2,x 2 x 3,x 1 x 3 } {y i y i+1 ;1 i n 1} {y 1 y n }, = V =n + 3 dan q = E =4n + 3. Berdasarkan Teorema 2 dinyatakan bahwa γ(k 3 + C n ) = 1. Akibat 2 Untuk n 3, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf joint roduct K 3 + P m adalah γ(k 3 + P m ) = 1 Bukti. Graf joint roduct K 3 +P m adalah graf yang memiliki V (K 3 +P m ) = {x i,y i ;1 i n}, E(K 3 +P m ) = {x 1 y i ;1 i m} {x 2 y i ;1 i m} {x 3 y i ;1 i m} {x 1 x 2,x 2 x 3,x 1 x 3 } {y i y i+1 ;1 i n 1}, = V =n + 3 dan q = E =4n+2. Berdasarkan Teorema 2 dinyatakan bahwa γ(k 3 +C n ) = 1. Teorema 1 Untuk n 3 dan m 2, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf cartesian roduct C n P m adalah γ(c n P m ) = nm 4 Bukti.Graf cartesian roduct C n P m adalah graf yang memiliki V (C n P m ) ={x j,i ;1 i n;1 j m}, E(C n P m )={x j,i x j,i+1 ;1 i n 1;1 j m} {x j,i x j+1,i ;1 i n;1 j m 1} {x j,n x j,1 ;1 j m}, = V =nm, q = E =2mn n, dan (C n P m ) = 3. Pilih titik yang menjadi himunan dominasi D = {x 2l 1,4k 3 ; 1 l m; 1 k n} {x 2l,4k 1 ; 1 l m; 1 k n} {x j,3k 2 ; j ganjil; 1 k n; n ganjil} {x j,3k ; j gena; 1 k n; n ganjil} sehingga dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D. Kardinalitas D = nm 4 sehingga γ(c n P m ) = nm 4. Berdasarkan Teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ (C γ(c n P m) n P m ) (C n P m ), untuk nilai dan (C n P m ) dieroleh batas atas dan batas bawah bilangan dominasi yaitu nm 4 γ(c n P m ) nm 3. Maka γ(c n P m ) berada dalam

4 Miftahur R, et.al: Kajian Himunan Dominasi ada Graf Khusus interval batas bilangan dominasi yaitu nm 4 γ(c n P m ) nm 3 dan mencaai batas bawah. Teorema 2 Untuk n 3 dan m 3, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf C n K m adalah γ(c n K m ) = n. Bukti. Graf C n K m adalah graf yang memiliki V (C n K m ) = {x i ;1 i n} {x i,j ;1 i n,1 j m} dan E(C n K m ) = {x 1 x n,x i x i+1 ;1 i n 1} {x i x i,j ;1 i n,1 j m} {x i,j x i,j+k ;1 i n,1 j m k,1 k m 2} {x i,1 x i,n ;1 i n} serta = V = mn+n, q = E = n(m2 +m+2) 2, dan (C n K m ) = m. Pilih titik yang menjadi dominating set D = {x i ;1 i n} sehingga dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D. Kardinalitas D = n sehingga γ(c n K m ) = n. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ (C γ (C n K m) n K m ), untuk nilai dan (C n K m ) dieroleh batas atas dan batas bawah bilangan dominasi yaitu n γ(c n K m ) mn + n m. Maka γ(c n K m ) berada dalam interval batas bilangan dominasi yaitu n γ(c n K m ) mn + n m dan mencaai batas bawah. Teorema 3 Untuk n 2 dan m 3, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf Shackel (K m,n) adalah γ(shack(k m,n)) = n 2. Bukti. Graf Shackel (K m,n) adalah graf yang memiliki V (Shack(K m,n)) = {x i ;1 i n 1} {y i,j ;1 i n,1 j m 2} {z 1, z 2 } dan E(Shack(K m,n)) = {x 1 z 1, x n z 2 } {x i x i+1 ;1 i n 2} {x i y i,j, x i y i+1,j ;1 i n 1;1 i m 2} {y i,j y i,j+k ;1 i n;1 j m k 2;1 k m 4} {z 1 y 1,j, z 2 y n,j ;1 i m 2} serta = V = mn n + 1, q = E = m2 n m 2, dan (Shack(K m,n)) = 2m 2. Pilih titik yang menjadi himunan dominasi D = {x i ;1 i n;nganjil} sehingga dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D. Kardinalitas D = n 2 sehingga γ(shack(k m,n)) = n 2. Berdasarkan Teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ (Shack(K γ(shack(k m,n)) m,n)) (Shack(K m,n)), untuk nilai dan (Shack(K m,n)) dieroleh batas atas dan batas bawah bilangan dominasi yaitu mn n+1 2m 1 γ(shack(k m,n)) mn 2m n+3. γ(shack(k m,n)) = n 2 sedangkan batas atas dan batas bawah mn n+1 2m 1 γ(shack(k m,n)) mn 2m n+3 sehingga γ(shack(k m,n)) berada ada interval, tetai tidak mencaai batas bawah. Karena kita mencari nilai terkecil, selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk m = 3 maka 2n+1 5 n 2. 2n+1 5 = 2n = n n 2, maka terbukti bahwa 2n+1 5 n 2. Jika dilihat dari bentuk dasar, graf Shackel

5 Miftahur R, et.al: Kajian Himunan Dominasi ada Graf Khusus (K m,n) adalah graf Ladder L n dimana γ(l n ) = n 2. Jadi terbukti bahwa γ(shack(k m,n)) = n 2. Kesimulan Pada bagian ini akan diriview kembali bilangan dominasi γ(g) ada beberaa graf khusus dan oerasinya. Berdasarkan hasil enelitian diatas, maka kita daat menyimulkan bahwa: Untuk n 3, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf joint roduct K 3 + C n adalah γ(k 3 + C n ) = 1 dan γ(k 3 + P m ) = 1 Untuk n 3 dan m 2, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf cartesian roduct G = C n P m adalah γ(g) = nm 4 Untuk n 3 dan m 3, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf C n K m adalah γ(c n K m ) = n Untuk n 2 dan m 3, bilangan dominasi berjarak satu untuk graf G = Shackel(K m,n) adalah γ(shack(k m,n)) = n 2 References [1] Alvaro, J., Domination in Grahs, Final Project in Grah Teory, Willamette University, [2] Santoso, B., Djuwandi dan Soelistyo U., R. Heri, Bilangan Dominasi dan Bilangan Kebebasan Graf Biartit Kubik, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP, Semarang (2012). [3] Dafik, Miller, M., Ryan, J. and Bača, M., Antimagic Total Labeling of Disjoint Union of Comlete s-partite Grahs, J. Combin. Math. Combin. Comut., 65 (2008), [4] Dafik, Structural Proerties and Labeling of Grahs, University of Ballarat, [5] Haynes, Teresa W., Hedetniemi, Stehen T. and Slater, Peter J., Fundamentals of domination in grahs, Monograhs and Textbooks in Pure and Alied Mathematics, Vol. 208, Marcel Dekker Inc., New York (1998).

6 Miftahur R, et.al: Kajian Himunan Dominasi ada Graf Khusus [6] Jaenisch, C.F., Alications de l Analyse Mathematique an Jeu des Echecs, Petrograd (1862). [7] Karbasi, Amir H. and Atani, Reza E., Alication of Dominating Sets in Wireless Sensor Networks, International Journal of Secutiry and Its Alications, Vol. 7, Guilan University, Iran (2013). [8] Kies, A., Maaza, Zoulikha M. and Belbachir, R., A Connected Dominating Set Based on Connectivity and Energy in Mobile Ad Hoc Networks, Acta Polytechnica Hungaria, Vol. 9, University of Sciences and the Technology of Oran, Algeria (2012). [9] Murugesen, N. and Nair, Deea S., The Domination and Indeendence of Some Cubic Biartite Grahs, Int. J. Contem. Math. Sciences, Vol. 6, Government Arts College, India (2011). [10] Snyder, K., c-dominating Sets for Families Grahs, University of Mary Washington, Washington (2011).