JEMBATAN KÖNIGSBERG. Puji Nugraheni. Abstrak

Transkripsi

1 JEMTN KÖNIGSERG Puji Nugraheni Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo bstrak erbagai ermasalahan dalam kehiduan sehari-hari daat dimodelkan dengan menggunakan diagram titik dan garis atau dalam matematika lebih dikenal dengan sebutan graf. Titik dalam graf dinamakan simul dan garisnya dinamakan sisi. Penggunaan graf ertama kali adalah ada ermasalahan Jembatan Königsberg ada tahun Permasalahan Jembatan Königsberg adalah aakah mungkin melewati ketujuh jembatan sebanyak satu kali untuk kembali ke temat semula. Permasalahan ini telah diecahkan oleh ahli matematika dari Swiss bernama L. Euler ada tahun alam enemuannya Euler mengemukakan bahwa untuk daat melewati semua jembatan sebanyak satu kali dan kembali ke temat semula, maka grafnya harus meruakan graf Euler yaitu graf yang memuat sirkuit Euler. Sedangkan syarat keberadaan sirkuit Euler menurut Euler adalah derajat setia simulnya harus gena. Graf yang mereresentasikan ermasalahan Jembatan Königsberg memunyai simul yang semuanya berderajat ganjil, sehingga tidak mungkin melewati semua jembatan sebanyak satu kali untuk kembali ke temat semula Kata Kunci: jembatan Königsberg, graf Euler Pendahuluan alam suatu model matematika, berbagai masalah dalam kehiduan sehari-hari biasanya diidentifikasi kemudian dinyatakan dalam suatu sistem yang bersifat matematis. Salah satu bentuk model matematika yang daat diergunakan untuk mereresentasikan berbagai masalah dalam kehiduan sehari-hari adalah diagram titik dan garis. Pada dasarnya banyak sekali masalah nyata yang daat diwakili dengan diagram titik dan garis, diantaranya enyamaian suatu berita atau gosi agar tersebar luas, engantaran surat, enyusunan trayek edagang keliling, eran-cangan jaringan kereta ai, telekomunikasi, Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg 21

2 komuter, enyaluran bahan bakar, erancangan arena ameran atau temat rekreasi agar engunjung daat melihat semua stan atau atraksi hi-buran tana melewati ulang jalur yang sama dan masih banyak lagi ermasalahan yang lainnya. Pada contoh diatas ibu rumah tangga, rumah, kota, stasiun, sentral tele-on, usat informasi, komuter, POM bensin dan stand daat digambarkan sebagai titik dan hubungan keakraban, jalan, rasa-rana hubungan, jalur komunikasi, kabel daat diwakili oleh garis. iagram titik dan garis seerti di atas dalam model matematika dike-nal sebagai graf. Menurut catatan sejarah, ermasalahan ertama yang menggunakan graf adalah ermasalahan Jembatan Königsberg ada tahun Jembatan Königsberg meruakan jembatan yang terletak di Kota Königsberg sekarang bernama Kota Kaliningrat (sebelah timur Prussia, Jerman sekarang), di kota tersebut terdaat Sungai Pregal yang mengalir mengitari Pulau Kneihof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai. da tujuh buah jembatan yang menghu-bungkan daratan yang dibelah oleh sungai tersebut seerti terlihat dalam gambar berikut: Masalah Jembatan Königsberg adalah aakah mungkin mela-lui ketujuh buah jembatan itu ma-singmasing teat satu kali dan kembali lagi ke temat semula. Sebagian enduduk kota seakat bahwa memang tidak mungkin melalui setia jembatan itu hanya sekali dan kembali ke temat semu-la, tetai mereka tidak daat menje-laskan mengaa demikian jawaban-nya kecuali dengan cara coba-coba. Tahun 1736, seorang Matematikawan Swiss, L. Euler adalah orang ertama yang berhasil mene- 22 Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg

3 mukan jawaban masalah Jembatan Königsberg ini dengan menggu-nakan embuktian yang sederhana. Ia memodelkan masalah ini ke da-lam graf. aratan yang dihubung-kan oleh jembatan dinyatakan seba-gai titik dan jembatan disimbolkan sebagai garis. Reresentasi graf untuk Jembatan Königsberg adalah seba-gai berikut : Jawaban yang dikemukakan oleh Euler adalah orang tidak mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing satu kali dan kembali ke temat semula jika derajat setia titik tidak seluruhnya gena. Yang dimaksud derajat adalah banyaknya garis yang ber-sisian dengan titik. Penemuan Euler tentang emecahan ermasalahan Jembatan Königsberg akan memun-culkan teori tentang graf Euler yang akan dibahas lebih lanjut dalam tulisan ini. Terminologi Graf Graf didefinisikan sebagai asangan himunan (V,E) dengan V adalah himunan berhingga dan tidak kosong dari simul-simul (vertex) dan E adalah himunan sisi (edges) yang menghubungkan sea-sang simul (Rinaldi Munir,2001). Secara geometri graf digambarkan sebagai kumulan noktah (simul) di dalam bidang yang dihubungkan dengan sekumulan garis (sisi). ua buah simul dikatakan adjacent bila keduanya terhubung langsung dan sebuah sisi dikatakan berincident dengan kedua simul yang dihubungkannya. Jika v adjacent dengan v maka sisi yang incident dengan kedua simul tersebut daat ditulis ( v, v ). Pada suatu graf juga dikenal derajat (degree) suatu simul yaitu banyaknya sisi yang berincident dengan simul tersebut. Sisi ada graf daat memunyai orientasi arah. erdasarkan orientasi arah ada sisi, Rinaldi Munir (2001) membedakan graf atas dua jenis, yaitu: Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg 23

4 1. Graf Tak erarah (Undirected Grah) Suatu graf dikatakan tak bera-rah jika sisinya tidak memu-nyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan asangan simul yang dihubungkan oleh sisi tidak dierhatikan atau ( v, v ) = ( v, v ). 2. Graf erarah (irected Grah atau igrah) Graf yang setia sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Pada graf berarah urutan asangan sim-ul yang dihubungkan oleh sisi dierhatikan atau ( v, v ) ( v, v ). erikut meruakan contoh graf tak berarah dan graf berarah: Gambar 2 (a) Graf tak berarah Gambar 2 (b) Graf berarah Pada suatu graf G juga dikenal adanya lintasan dari simul ke v,v v i1,v i2 v yaitu rangkaian simul,...,v im, v sehingga (,v ), ( v v ),...,v (, v ) i1 i1 i2 v adalah sisi ada graf G. ontoh: iketahui graf G im ada gambar 3 Lintasan ada graf G diatas adalah lintasan,,,. Pada lintasan ini simul dinamakan simul awal (initial vertex) dan dinamakan simul akhir (terminal vertex). Suatu lintasan dikatakan lintasan sederhana (simle ath) ji-ka 24 Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg

5 tidak melalui sisi yang sama sebanyak dua kali dan suatu lin-tasan dikatakan lintasan elementer (elementary ath) jika tidak melalui simul yang sama sebanyak dua kali. Lintasan dengan simul awal sama dengan simul akhir disebut sirkuit. erdasarkan lintasannya, maka sirkuit dibedakan menjadi dua yaitu sirkuit sederhana (simle sircuit) jika sirkuitnya tidak melalui sisi yang sama sebanyak dua kali dan sirkuit elementer (elementary circuit) jika sirkuitnya tidak mela-lui simul yang sama sebanyak dua kali. ontoh : Pada gambar 3,,,, adalah sirkuit sederhana dan juga sirkuit elementer, sedangkan,,,,, bukan sirkuit sederhana dan juga bukan sirkuit elementer. ua simul v dan simul v himunan V terdaat lintasan dari ke v v. Jika tidak demikian, maka G disebut graf tak terhubung (disconnected grah). Sedangkan untuk graf berarah dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung. ontoh : Gambar 4 (a) Graf tak berarah terhubung Gambar 4 (b). Graf tak berarah H tidak terhubung E F G disebut terhubung jika terdaat lintasan dari v ke v.graf tak berarah G disebut graf terhubung (connected grah) jika untuk setia asang simul v dan v dalam Gambar 5 (a)graf berarah terhubung Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg 25

6 Gambar 5 (b)graf berarah tidak terhubung nak graf (subgrah) dari graf G = (V,E) adalah graf G 1 = (V 1,E 1 ) dengan V 1 V dan E 1 E. ontoh : Gambar 6 (a) Graf G E E F dimulai dengan masalah Jem-batan Königsberg. Perjalanan mele-wati setia Jembatan Königsberg sebanyak sekali dan kembali ke temat keberangkatan membentuk sirkuit yang diberi nama sirkuit Euler. Jika erjalanan melewati ketujuh jembatan itu titik harus kembali ke temat keberangkatan maka akan membentuk lintasan Euler. Sehingga lintasan Euler ada-lah lintasan yang melalui masing-masing sisi dalam graf teat satu kali. Sedangkan sirkuit Euler ada-lah sirkuit yang melewati masing-masing sisi teat satu kali. Graf yang memunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian grah) dan graf yang memunyai lintasan Euler dinamakan graf semi-euler (semi-eulerian grah). ontoh: E Gambar 6 (b) Graf G 1 (anak graf dari G) Graf Semi Euler dan Graf Euler Pada awal tulisan ini sudah diaarkan tentang sejarah graf yang Gambar 7 (a) Graf semi-euler tak berarah 26 Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg

7 E F G Gambar 7 (b) Graf Euler tak berarah Lintasan Euler ada graf Gambar 7 (a) :,,,,,. Sirkuit Euler ada graf Gambar 7 (b) :,,,, G,, E, G, F, E,, F,. Syarat erlu dan cuku mengenai keberadaan lintasan Euler mauun sirkuit Euler di dalam sua-tu graf ternyata sangat sederhana. Euler menemukan syarat tersebut ketika memecahkan masalah Jemba-tan Königsberg. Hasil enemuan Euler ten-tang keberadaan lintasan Euler diaarkan kembali oleh Liu, L (1985) sebagai berikut: Suatu graf tak berarah memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika ia terhubung (connected) dan memiliki nol atau dua simul berderajat ganjil. Pembuktian enyataan tersebut adalah: Pembuktian untuk syarat erlu. Misalkan G memiliki lin-tasan Euler, G jelas terhubung. Jika lintasan Euler dilalui, maka ada setia simul terdaat dua sisi yang ber-incident, kecuali ada simul awal dan simul akhir. Jadi setia simul selain simul awal dan simul akhir harus berderajat gena. Jika simul awal dan simul akhir sama maka terbentuk sirkuit Euler. Pembuktian untuk syarat cuku. Misal dibuat lintasan Euler mulai dari salah satu dari dua simul yang berderajat ganjil dan akan melewati semua sisi ada graf itu sehingga tidak ada sisi yang dilewati lebih dari sekali. Untuk simul yang berderajat gena, bila lintasan itu masuk ke simul me-lewati sebuah sisi, maka ia selalu bisa meninggalkan simul itu melewati sisi yang lain.sehingga ketika embuatan lintasan berakhir, asti telah samai ada simul yang berderajat ganjil lainnya. Jika semua Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg 27

8 sisi didalam graf itu dilewati dengan cara ini maka jelas akan dieroleh lintasan Euler. Jika tidak semua sisi di dalam graf itu terl-ewati, sisi-sisi yang tidak terlewati itu diangga sebagai anak graf, sehingga semua simul yang terda-at dalam anak graf ini berderajat gena. engan diawali dari salah satu simul ada anak graf tersebut, sekali lagi dibuat lintasan yang melalui semua sisi-sisi ada anak graf. Karena semua simul berde-rajat gena, maka asti lintasan ada anak graf itu akan kembali ke simul awal. ari enggabungan lintasan yang ertama dan kedua akan dieroleh lintasan yang bera-wal dan berakhir ada simul yang berderajat ganjil. Jika dierlukan, cara ini daat diulang samai dieroleh lintasan yang melalui semua sisi ada graf tersebut. erdasarkan hasil teori tentang keberadaan lintasan Euler di atas, akan dieroleh akibat bahwa graf tak berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setia simulnya berderajat gena. Sehingga jelaslah masalah Jembatan Königsberg bahwa tidak mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing teat satu kali dan kembali lagi ke temat semula karena jika Jem-batan Königsberg direresentasikan dalam sebuah graf, graf tersebut tidak memiliki sirkuit Euler dise-babkan semua simulnya berderajat ganjil. Lintasan dan sirkuit Euler juga terdaat ada graf berarah. erikut emaaran Rinaldi Munir (2001) tentang keberadaan lintasan dan sirkuit Euler ada graf berarah: Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setia simul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setia simul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simul, yang ertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar. 28 Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg

9 ontoh : Gambar 8 (a) Graf semi- Euler yang berarah F G E Gambar 8 (b) Graf Euler yang berarah ameran dan ermasalahan tukang os. 1. Jalur engunjung ameran ontoh sederhana dari masalah ini adalah misalkan ada suatu gedung terdaat enam stan yang akan diguna-kan untuk ameran. Masing-masing stan dihubungkan oleh beberaa intu dengan stan yang lain, lebih jelasnya denah gedung seerti gambar berikut: Lintasan Euler ada graf Gambar 8 (a) :,,,,,. Sirkuit Euler ada graf Gambar 8 (b) :, G,,, G, E,, F,. Peneraan Graf Semi-Euler dan Graf-Euler Selain digunakan dalam ermasalahan jembatan Königs-berg, graf Euler juga daat digu-nakan untuk menyelesaikan erma-salahan yang lain diantaranya yang akan dibahas adalah jalur engun-jung Gambar 9 Permasalahannya ada-lah aakah mungkin setia engunjung ameran daat melihat semua stan tana harus melewati jalan yang sama dan jika mungkin bagaimana jalur tersebut. Permasalahan ini da-at diselesaikan dengan menggunakan graf, masing-masing Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg 29

10 stan diwakili oleh simul dan intu yang menghubungkan antara dua stan diwakili oleh sisi. Sehingga ermasalahan ini adalah aakah di dalam graf tersebut terdaat lintasan Euler, jika terdaat bagaimana contoh lintasan Eulernya. Reresentasi graf Gambar 9: Gambar10 G E F ari reresentasi graf yang dieroleh, terdaat dua simul berderajat ganjil yaitu simul G dan F, sedangkan simul yang lainnya berderajat gena. Sesuai dengan syarat keberadaan lintasan Euler ada enjelasan sebelumnya, maka asti terdaat lintasan Euler ada graf tersebut atau setia engunjung ameran daat melihat semua stan tana melewati jalan yang sama un-tuk denah temat ameran seerti ada gambar 9. Salah satu jalur yang daat dilewati oleh engunjung adalah masuk ke stan, stan, stan E, stan, stan, stan F, kemudian keluar. 2. Permasalahan tukang os Permasalahan ini ertama kali dikemukakan oleh Mei Gan (dari ina) ada tahun Ia mengemukakan er-masalahan yaitu seorang tu-kang os akan mengantar surat ke alamat-alamat seanjang jalan di suatu daerah. agai-mana ia merencanakan rute erjalanannya suaya ia mele-wati setia jalan teat satu kali dan kembali lagi ke temat awal keberangkatan. Permasalahan ini tidak lain adalah menentukan sirkuit Euler di dalam graf yang mereresentasikan eta jalan temat tukang os mengantar surat. Jika grafnya meruakan graf Euler maka, maka sirkuit Eulernya mudah ditentukan. Tetai jika 30 Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg

11 grafnya bukan graf Euler maka yang daat diten-tukan adalah lintasan Eulernya saja. E F G Gambar 11. Graf untuk ermasalahan tukang os ina Graf ada gambar 11 meruakan graf Euler karena derajat setia simul ada graf tersebut adalah gena, sehingga daat ditentukan sirkuit Eulernya. Salah satu alternatif rute yang daat ditemuh oleh tukang os ina suaya ia melewati setia jalan teat satu kali dan kembali lagi ke temat awal keberang- katan adalah,,,, E, F,, E,, F,. Penutu Permasalahan Jembatan Königsberg yaitu aakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai Pregal di Kota Königsberg sekarang bernama Kota Kaliningrat (sebelah timur Prussia, Jerman sekarang) masing-masing teat satu kali dan kembali lagi ke temat semula adalah tidak mungkin. Permasalahan ini telah da-at diecahkan oleh seorang matematikawan Swiss, L. Euler ada tahun Euler mere resentasikan Jembatan Königsberg da-lam suatu graf. Masing-masing jembatan diwakili oleh sisi dan daratan yang dihubungkan oleh jembatan diwakili oleh simul. Sehingga ermasalahan Jembatan Königsberg adalah aakah ada graf tersebut daat dibuat sirkuit Euler. Menurut Euler syarat keberadaan sirkuit Euler adalah grafnya harus meruakan graf terhubung dan derajat setia simulnya gena. Ternyata ada graf tersebut derajat setia simulnya ganjil sehingga tidak daat dibuat sirkuit Euler atau orang tidak mungkin daat mele-wati jembatan itu masing-masing sekali untuk kembali ke temat semula. Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg 31

12 aftar Pustaka ondy, J. & Murty, U.S.R Grah Theory with lications. London : The Macmilan Press Liu,.L Element of iscrete Mathematics. McGraw-Hill Rinaldi Munir Matematika iskrit. andung: Informa-tika 32 Puji Nugraheni: Jembatan Konigsberg