BILANGAN DOMINASI DARI GRAF-GRAF KHUSUS

Transkripsi

1 BILANGAN DOMINASI DARI GRAF-GRAF KHUSUS Dwi Agustin Retno Wardani 1,2, Ika Hesti Agustin 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember 3 Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Kamus Tegal Boto 2i.agustin@gmail.com Abstract Dominating number γ(g) adalah kardinalitas terkecil dari sebuah dominating set. Nilai dari dominating number selalu γ(g) V (G). Dominating set meruakan suatu konse enentuan suatu titik ada graf dengan ketentuan titik sebagai dominating set mengcover titik yang ada disekitarnya dan seminimal mungkin dengan ketentuan graf sederhana yang tidak memiliki loo dan sisi ganda. Diberikan graf G dengan V titik dan E sisi, misalkan D meruakan subset dari V. Jika setia titik dari V D saling adjacent sedikitnya dengan satu titik dari D, maka D dikatakan dominating set dalam graf G. Artikel ini akan membahas dominating set ada beberaa graf khusus diantaranya adalah Graf Bunga (Fl n ), Graf Gunung Berai (ϑ n ), Graf Firecracker (F n,k ), Graf Pohon Pisang (B n,m ) dan Graf tunas kelaa (CR n,m ). Key Words : dominating set, dominating number. Pendahuluan Teori graf meruakan cabang ilmu matematika diskrit yang banyak eneraannya dalam berbagai bidang ilmu seerti engineering, fisika, biologi, kimia, arsitektur, transortasi, teknologi komuter, ekonomi, sosial dan bidang lainnya. Teori graf juga daat dialikasikan untuk menyelesaikan ersoalan - ersoalan, seerti Travelling Saleserson Problem, Chinese Postman Problem, Shortest Path, Electrical Network Problems, Grah Coloring, dan lain-lain [9]. Dominating number dinotasikan γ(g) adalah kardinalitas minimum dari sebuah dominating set yang meruakan engembangan dari enelitian-enelitian sebelumnya. Nilai dari dominating number selalu γ(g) V (G). Mengenai batas atas dari dominating number adalah banyaknya titik ada graf. Ketika aling sedikit satu titik yang dibutuhkan untuk himunan dominasi di graf, maka 1 γ(g) n untuk setia graf yang berordo n. Diketahui graf G = (V,E). Misalkan D meruakan subset dari V. Jika setia titik dari V D saling adjacent sedikitnya dengan satu titik dari D, maka D dikatakan himunan dominasi dalam graf G [6]. Himunan dominasi minimal adalah himunan dominasi yang tidak ada titik yang daat dihilangkan tana mengubah dominasinya. Himunan kebebasan indeendent set dari graf G adalah suatu himunan titik - titik dengan

2 Dwi Agustin R., et.al: Bilangan Dominasi Dari Graf-Graf Khusus 79 tidak ada dua titik dalam himunan yang saling berdekatan (adjacent). Bilangan kebebasan indeendent number meruakan kardinalitas terbesar dari himunan kebebasan dan dinotasikan dengan β(g). Himunan kebebasan maksimal adalah himunan kebebasan yang tidak ada titik lainnya daat ditambahkan kedalamnya tana mengubah kebebasannya [4]. Penelitian terkait dominating set berkembang cuku esat [7] [8][1][10]. Dalam enelitian ini mengembangkan dominating set ada beberaa graf khusus diantaranya adalah Graf Bunga (Fl n ), Graf Gunung Berai (ϑ n ), Graf Firecracker (F n,k ), Graf Pohon Pisang (B n,m ) dan Graf tunas kelaa (CR n,m ). Teorema yang Digunakan Teorema mengenai batas atas dan batas bawah dari dominating set yang akan digunakan dalam enelitian ini sebagai berikut: Theorem 1 [5] Untuk sebarang graf G, Keterangan: = Banyaknya titik (G)= Derajat Terbesar γ(g) = Dominating N umber γ(g) (G) Bukti: Misalkan S adalah sebuah γ set dari G. Pertama, kita andaikan batas bawah. Setia titik daat sebagai dominating set dan (G) ke titik yang lain. Berakibat, γ(g). Untuk batas atasnya, misalkan v adalah titik dengan derajat maksimum (G). Maka v sebagai dominating set N[v] dan titik di V N[v] meruakan dominating set mereka sendiri. Berakibat, V N[v] meruakan dominating set dengan kardinalitas n (G), sehingga γ(g) n (G). Hasil Penelitian Di bagian ini akan di bahas mengenai engembangan dominating number ada graf khusus meliuti Graf Bunga (Fl n ), Graf Gunung Berai (ϑ n ), Graf Firecracker (F n,k ), Graf Pohon Pisang (B n,m ) dan Graf tunas kelaa (CR n,m ). Se-

3 Dwi Agustin R., et.al: Bilangan Dominasi Dari Graf-Graf Khusus 80 belum mencari dominating setnya akan dicaei terlebih dahulu definisi himunan titik dan sisinya [2][3]. Teorema 1 Misal G = Fl n untuk n 2 maka dominating number dari graf bunga γ(fl n ) = 1 Bukti: Graf bunga (Fl n ) memiliki V (Fl n ) = {A,x i,y i ;1 i n} dan E(Fl n ) = {Ax i ;1 i n} {Ay i ;1 i n} {x i x i+1 ;1 i n} {x n x 1,1 i n} {x i y i ;1 i n} serta = V = 2n + 1, q = E = 4n dan Fl n = 2n. Berdasarkan Teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ Fl n γ(fl n ) Fl n. Disubstitusikan nilai dan Fl n sehingga dieroleh 1 γ(fl n ) 1. Pilih dominating set D = {A}. Sehingga D = 1. Terbukti bahwa γ(fl n ) = 1 Teorema 2 Misal G = ϑ n,m untuk n 3 dan m 1 maka γ(ϑ n,m ) = n 3 Bukti: Graf gunung berai ϑ n,m memiliki V = {x i,y j ;1 i n,1 j m} dan E = {x i x i+1 ;1 i n 1} {x n x 1 } {x 1 y j ;1 j n} serta = V = n+m, q = E = n+m 1 dan ϑ n,m = m+2. Berdasarkan Teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ ϑ n,m γ(ϑ n,m ) ϑ n,m. Disubstitusikan nilai dan ϑ n,m sehingga dieroleh 1 γ(ϑ n,m ) 1. Pilih dominating set D = {x 1,x 3i 2 ;dimana1 i n 3 } sehingga D = n 3. Terbukti bahwa γ(ϑ n,m) = n 3. Untuk total dominating set, ilih D = {x 1,x n,x 3i 1,x 3i 2 ;1 i n 3 } sehingga D = 2 n Terbukti bahwa γ t(ϑ n,m ) = 2 n Teorema 3 Misal G = F n,k untuk n 1 maka dominating number dari graf firecracker γ(f n,k ) = n Bukti: Graf firecracker (F n,m ) memiliki V (F n,k ) = {x i,j ;1 i n,1 j m} dan E(F n,m ) = {x i x i,j ;1 i n,1 j m} {x i,1 x i+1,1 ;1 i n 1} serta = V = nm+n, q = E = nm+n 1 dan F n,m = n. Berdasarkan Teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ F n,m γ(f n,m ) F n,m. Disubstitusikan nilai dan F n,m sehingga dieroleh n γ(f n,m ) nm. Pilih dominating set D = {x i ;1 i n} sehingga D = n. Terbukti bahwa γ(f n,m ) = n. Teorema 4 Misal G = B nm untuk n 2 dan m 3 maka dominating number dari graf ohon isang γ(b nm ) = n + 1

4 Dwi Agustin R., et.al: Bilangan Dominasi Dari Graf-Graf Khusus 81 Bukti: Graf ohon isang (B nm ) memiliki V (B nm ) = {,x i,j ;1 i n;0 j m} dan E(B nm ) = {x i,j 1 ;1 i n;0 j m} {x i x i,j ;1 i n;1 j m} serta = V = n(m + 1) + 1, q = E = n + nm dan B nm = m. Berdasarkan Teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ B nm γ(b nm ) B nm. Disubtitusikan nilai dan B nm sehingga dieroleh n + 1 γ(b nm ) n(m + 1) + 1 m. Pilih dominating set D = {P,x i ; dimana 1 i m} sehingga D = n + 1. Terbukti bahwa γ(b nm ) = n + 1. Teorema 5 Misal G = CR n,m untuk n 3 maka dominating number dari graf tunas kelaa γ(cr n,m ) = n 3 Bukti: Graf tunas kelaa CR n,m memiliki V (CR n,m ) = {x i ;1 i n,y i ;1 i m,z} dan E(CR n,m ) = {x i x i+1 ;1 i n} {y i y i+1 ;1 i m} {x n x 1 } {x n x Z } {x n y 1 } {x n y i+1 ;1 i m} {x n y m } serta = V = m + n + 1, q = E = n + 2m dan CR n,m = m + 3. Berdasarkan Teorema 1 dinyatakan 1+ CR n,m γ(cr n,m ) CR n,m. Disubstitusikan nilai dan CR n,m sehingga dieroleh n 3 γ(cr n,m) n 2. Pilih dominating set D = {x 1,x 3i 2 ;dimana1 i n 3 } sehingga D = n 3. Terbukti bahwa γ(cr n,m ) = n 3. Kesimulan Di bagian ini dominating set yang menjadi fokus enelitian adalah dominating set berjarak satu γ(g) ada sebarang graf khusus dengan batas bawah dan atas yang signifikan γ(g) (G). Sehingga daat disimulkan hasil enelitian diatas mengenai enegembangan teori dominating set ada sebarang graf khusus. a. Graf bunga (Fl n ) γ(fl n ) = 1 b. Graf Gunung Berai (ϑ n ) γ(ϑ n ) = n 3 c. Graf Firecracker (F n,k ) γ(f n,k ) = n

5 Dwi Agustin R., et.al: Bilangan Dominasi Dari Graf-Graf Khusus 82 d. Graf Pohon Pisang (B n,m ) γ(b nm ) = n + 1 e. Graf tunas kelaa (CR n,m ) γ(cr n,m ) = n 3 References [1] A. D. Jumani, L. Chand, Dominating Number of Prism over Cycle C n, Sindh University Research Journal (Science Series), Sindh Univ. Res. Jour. (Sci. ser) Vol.44 (2) (2012). [2] Dafik, M. Miller, J. Ryan and M. Bača, Antimagic total labeling of disjoint union of comlete s-artite grahs, J. Combin. Math. Combin. Comut., 65 (2008), [3] Dafik, Structural Proerties and Labeling of Grahs, University of Ballarat, [4] Goddard, W and Henning, M.A. Indeendent Domination in Grahs: A Survey and Recent Results. South African National Research Foundation and The University Of Johannesburg, [5] Haynes, T.W, Fundamental of Domination in Grahs, New York: Marcel Dekker, INC., [6] Haynes, T.W and Henning, M.A, Total Domination Good Vertices in Grahs. Australasian Journal of Combinatorics, 26 (2002), [7] Hesti, I. A, Dafik. On the Domination Number of Some Families of Secial Grah [8] Liedloff, Dominating Set on Biartite Grahs, Université Paul Verlaine- Metz, [9] Rosen. K. H Discrete Mathematics and Its Alication (5 ed).new York: McGraw-Hill. [10] Y. B. Maralabhavi, Anuama S. B., Domination Number of Jum Grah, International Mathematical Forum, Vol. 8, 2013, no. 16,