PEMBUKTIAN PERNYATAAN LOGIKA PROPOSISI DENGAN MENGGUNAKAN RULES OF INFERENCE

Transkripsi

1 Jurnal Comutech & Bisnis, Vol. 3, No. 2, Desember 2009, ISSN Pembuktian Pernyataan Logika Proosisi...(Dadi Rosadi, Praswidhianingsih) PEMBUKTIAN PERNYATAAN LOGIKA PROPOSISI DENGAN MENGGUNAKAN RULES OF INFERENCE Dadi Rosadi, Praswidhianingsih STMIK Mardira Indonesia, Bandung Abstract One of the most imortant subjects studied in logical mathematics course is roving the truth of logical statement according given statements. There are several methods which is used to rove the logical statement, such as rules of inference. Proving with this method can be alied in both roositional and redicate logic. In this aer, roving the roositional logic statement by Rules of Inference method is discussed. In general, this roving can be erformed manually. To automate the roving rocess and to suort the teaching-learning rocess of logical mathematics course in the university, this roving can be done with the aid of a comuter software which is built to erform roving logical statements using Rules of Inference in the ste-by-ste manner. Given seventeen variations of roving roblems, this software can rove roblems successfully with the 100 % accuracy. The result of roving is then saved into a file. It enables users to analyze the roof generated. Keywords: Proosition Logic Statement, Rules of Inference Abstrak Salah satu elajaran yang aling enting dielajari dalam memelajari logika matematika dalam membuktikan kebenaran ernyataan logis menurut laoran yang diberikan. Ada beberaa metode yang digunakan untuk membuktikan ernyataan logis, seerti aturan inferensi. Membuktikan dengan metode ini daat diterakan di kedua logika roosisional dan redikat. Dalam tulisan ini, membuktikan roosisi logika ernyataan Aturan metode Inferensi yang dibahas. Secara umum, embuktian ini daat dilakukan secara manual. Untuk mengotomatisasi roses embuktian dan untuk mendukung roses belajar-mengajar tentu saja matematika logis ada erguruan tinggi daat dilakukan dengan bantuan erangkat lunak komuter yang dibangun dalam melakukan embuktian ernyataan logis dengan menggunakan Aturan Inferensi dengan cara bertaha. Berdasarkan tujuh belas variasi masalah engujian, software ini daat membuktikan masalah berhasil dengan akurasi 100 %. Hasil embuktian kemudian disiman ke dalam sebuah file. Hal ini memungkinkan engguna untuk menganalisis bukti yang dihasilkan. Kata Kunci: Pernyataan Logika Proosisi, Rules of Inference 100

2 Rosadi, Pembuktian Pernyataan Logika Proosisi 101 Pembuktian Pernyataan Logika Proosisi...(Dadi Rosadi, Praswidhianingsih) 1. Pendahuluan Salah satu hal enting yang dielajari ada mata kuliah logika matematika adalah embuktian ernyataan logika berdasarkan beberaa ernyataan yang telah diketahui. menganalisis ernyataan-ernyataan yang ada, seseorang daat membuktikan kebenaran sebuah kesimulan. Ada beberaa metode untuk melakukan embuktian ernyataan logika, diantaranya adalah embuktian dengan Rules of Inference. Pembuktian dengan metode tersebut daat dilakukan ada ernyataan logika roosisi mauun logika redikat. Makalah ini membahas mengenai embuktian ernyataan logika roosisi dengan Rules of Inference. Pembuktian tersebut ada umumnya dilakukan secara manual. Untuk menunjang roses embelajaran, embuktian tersebut daat dilakukan dengan bantuan iranti lunak. Melalui iranti lunak yang telah dikembangkan dengan bahasa emrograman C++, embuktian ernyataan logika roosisi telah dilakukan secara rekursif berdasarkan aturan-aturan yang ada. Hasil embuktian tersebut selanjutnya daat disiman ada file aabila akan dilakukan analisis lanjutan.. 2. Landasan Teori Teori endukung akan diberikan secara singkat ada makalah ini, yang meliuti : Logika roosisi, embuktian dengan Rules of Inference, tambahan rinsi dasar roving, dan embuktian dengan kontradiksi Logika Proosisi Logika roosisi adalah logika yang didasarkan ada roosisi. Sebuah roosisi adalah sebuah ernyataan yang memiliki nilai kebenaran True atau False, tai tidak keduanya [4]. demikian daat dikatakan bahwa nilai kebenaran (truth value) dari suatu roosisi adalah True (T) atau False (F). Dalam logika roosisi, roosisiroosisi daat membentuk comound roosition dengan adanya oerator logika. Oerator logika dibagi menjadi 2 jenis oerator, yaitu unary dan binary. Negasi termasuk unary oerator, sedangkan konjungsi, disjungsi, imlikasi, dan ekuivalensi termasuk binary oerator [5] Rules Of Inference Rules of Inference digunakan sebagai ertimbangan langkah-langkah yang digunakan untuk menunjukkan bahwa sebuah kesimulan terbukti dengan mengikuti aturan-aturan secara logika dari sebuah kumulan hiotesis [4]. Aturan-aturan ini digunakan dalam embuktian sebuah ernyataan matematika logika. Salah satu aturan enting disebut dengan Modus Ponens atau Law of Detachment. Aturan ini didasarkan ada Tautologi : ( ( q)) yang daat juga ditulis dalam bentuk seerti di bawah ini: q Pada notasi di atas, hiotesis dan kesimulan diisahkan dengan tanda garis. Symbol menyatakan maka. Modus Ponens menyatakan bahwa aabila imlikasi dan hiotesis diketahui bernilai True, maka kesimulan akan bernilai True. Aturan-aturan lain yang terdaat dalam Rules of Inference daat dilihat ada tabel 1 [4]. Tabel 1. Rules of Inference Rules of Inference q q q Tautologi ( ) Nama Addition ( ) Simlification (() (q)) ( ) Conjunction

3 102 Jurnal Comutech & Bisnis, Vol. 3, No. 2, Desember 2009, Pembuktian Pernyataan Logika Proosisi...(Dadi Rosadi, Praswidhianingsih) q q q r _ r q q [ ( )] [ q ( )] [( ) (q r)] ( r) [( ) ] Modus Ponens Modus Tollens Hyothetical Syllogism Disjunctive Syllogism 2.3. Tambahan Prinsi Dasar Proving Dalam Rules of Inference terdaat kasuskasus untuk ernyataan tidak langsung berbentuk konjungsi, disjungsi, imlikasi, dan ekuivalensi. Untuk itu terdaat beberaa ketentuan yang berkaitan dengan bentuk-bentuk tersebut : 1) Untuk membuktikan A B, maka harus dibuktikan A dan kemudian dibuktikan B. 2) Untuk membuktikan A B, maka daat diasumsikan A dan harus dibuktikan B (atau diasumsikan B dan harus dibuktikan A). 3) Aabila diketahui asumsi A B dan C hendak dibuktikan, maka daat diasumsikan A dan harus dibuktikan C, kemudian diasumsikan B dan harus dibuktikan C. 4) Untuk membuktikan A B, maka daat diasumsikan A dan harus dibuktikan B. 5) Untuk membuktikan A B, maka daat diasumsikan A dan harus dibuktikan B, kemudian diasumsikan B dan harus dibuktikan A. 6) Aabila terdaat asumsi A benar dan B benar, maka daat diasumsikan bahwa A B benar Pembuktian meruakan kebalikan dari Tautologi. meruakan roosisi yang selalu logically equivalent dengan False. Misalkan sebuah kontradiksi q daat dibuktikan sehingga bernilai True, maka harus bernilai False. demikian harus bernilai True. Aabila bernilai True, maka ernyataan terbukti benar. Cara ini daat digunakan ketika sebuah kontradiksi, seerti r r, daat digunakan untuk membuktikan sebuah imlikasi (r r). Argumen seerti ini disebut dengan embuktian dengan kontradiksi [4]. 3. Imlementasi Dan Pengujian Dalam alikasi ini engguna memberikan masukan berua sebuah ernyataan logika roosisi. Pengguna bisa memberikan roosisi saja atau memberikan langsung asumsi-asumsi dan kesimulan yang hendak dibuktikan. Aabila engguna memberikan roosisi saja, asumsi-asumsi dan kesimulan akhir yang hendak dibuktikan ada roosisi tersebut akan dianalisis terlebih dahulu sebelum analisis embuktian dilakukan. Aabila engguna langsung memberikan asumsi-asumsi dan kesimulan akhir, maka analisis embuktian akan langsung dilakukan. membaca masukan dari engguna berua hiotesis-hiotesis dan kesimulan akhir yang hendak dibuktikan, komuter diharakan daat mengambil kesimulan dari setia asumsi yang diberikan hingga dieroleh kesimulan akhir yang ingin dibuktikan. Piranti lunak ini dibuat menggunakan fungsi-fungsi dan data yang telah didefinisikan. Jika diberikan sebuah soal roosisi, iranti lunak akan menyiman asumsi-asumsi ke dalam data. Analisis dilakukan dengan memanggil sebuah fungsi utama yang menganalisis semua asumsi-asumsi awal dan memanggil fungsi-fungsi untuk menangani setia logika oerator. Sebuah fungsi logika oerator akan menganalisis asumsiasumsi dan mencari roosisi kesimulan baru dari asumsi-asumsi tersebut

4 Rosadi, Pembuktian Pernyataan Logika Proosisi 103 Pembuktian Pernyataan Logika Proosisi...(Dadi Rosadi, Praswidhianingsih) berdasarkan aturan Rules of Inference. Proosisi kesimulan baru yang didaat selama analisis dilakukan dimasukkan ke dalam data. Aabila dalam data terdaat asumsi atau roosisi yang cocok dengan kesimulan akhir yang hendak dibuktikan, maka rogram akan menghasilkan keluaran bahwa soal telah terbukti. Jika tidak ada asumsi atau roosisi yang cocok, maka rogram akan menghasilkan keluaran bahwa soal tidak terbukti. Pengujian rogram yang telah dilakukan terdiri dari 17 kali engujian, yang masing-masing terdiri dari 7 kali engujian untuk embuktian secara langsung, 5 kali engujian untuk embuktian secara tidak langsung dan 5 kali engujian untuk embuktian dengan kontradiksi. Hasil embuktian rogram daat ditunjukkan ada tabel berikut ini : ( a b) (b ( (a b))) (( q) ( ( ))) ( ) Dari keseluruhan embuktian yang telah dilakukan tersebut, ada makalah ini akan dierlihatkan hasil dari 3 kali engujian rogram, yang masing-masing terdiri dari 1 kali engujian rogram untuk embuktian secara langsung, embuktian secara tidak langsung dan embuktian dengan kontradiksi. Berikut adalah contoh enyelesaian soal embuktian ernyataan logika roosisi tersebut : 1. Diberikan asumsi-asumsi,, (q r), buktikan bahwa r benar. Tabel 2. Hasil Pengujian Jenis Pembuktian Pernyataan Logika Ket. Langsung,, (q r) -r Langsung ~c, i c, a i - a Langsung, r - q r Langsung ( ) r, s t - q s Langsung, (q r) - r Langsung ( q) r, r, - q Langsung (q r),, r - q (( ) r) Langsung ( (q r)) (( ) ( r) Langsung (r s)) ( q s) (q r) Langsung (( q ) ( r)) (q r) Langsung (( ) ( r)) (a b) c Langsung (a c) (b c) ((a c) (b c)) ((a b) c) (( ) ( r) (r s)) ( q s) ((r ) ( r ( )) (r )) ( ) Gambar 1. Hasil Analisis Soal Pernyataan Logika Proosisi Langsung 2. Formula: (( ) r) ( (q r)) Gambar 2. Hasil Analisis Soal Pernyataan Logika Proosisi Langsung 3. Kalimat logika : ((a c) (b c)) ((a b) c)

5 104 Jurnal Comutech & Bisnis, Vol. 3, No. 2, Desember 2009, Pembuktian Pernyataan Logika Proosisi...(Dadi Rosadi, Praswidhianingsih) Gambar 3. Hasil Analisis Soal dengan Pembuktian Leary, C., A Friendly Introduction to Mathematical Logic, Prentice Hall, Rosen, K. H., Discrete Mathematics and Its Alications, Fourth Edition, McGraw-Hill International Edition, T. Kustendi, Modul Aljabar Boolean, STMIK mardira Indonesia, Berdasarkan hasil engujian rogram yang telah dilakukan ada embuktian secara langsung, tidak langsung, mauun embuktian dengan kontradiksi, terlihat bahwa embuktian berhasil dilakukan dengan disertai tahaan-tahaan embuktian dan aturan-aturan inferensi yang digunakan dengan tingkat keberhasilan 100%. 4. Kesimulan Dan Saran Setelah dilakukan analisis, erancangan, imlementasi dan engujian iranti lunak, maka daat disimulkan bahwa iranti lunak yang telah dibuat daat melakukan embuktian ernyataan logika roosisi berdasarkan Rules of Inference dengan tingkat keberhasilan 100% (tabel 2). Hasil analisis daat disiman dalam bentuk file. Pada engembangan selanjutnya, daat dibuat iranti lunak untuk melakukan embuktian ernyataan logika roosisi dengan metode lain, misalnya resolusi atau aljabar Boolean. Daftar Pustaka Aribowo, A.; Transformation of Proositional Logic Formula Into Conjunctive Normal Form With Prolog, Jurnal Ilmiah Fakultas Ilmu Komuter, Vol 3. No.3, Universitas Pelita Haraan, Indonesia, Church, A., Introduction to Mathematical Logic, Princeton University Press, 1996.