PENERAPAN METODE CARATHÉODORY UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERIODIK PERSAMAAN DIFERENSIAL TAKOTONOM ORDE DUA ROSITA DWI NUGRAHASTI

Transkripsi

1 PENERAPAN MEODE CARAHÉODORY UNUK MENENUKAN SOLUSI PERIODIK PERSAMAAN DIFERENSIAL AKOONOM ORDE DUA ROSIA DWI NUGRAHASI DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 8

2 ABSRAK ROSIA DWI NUGRAHASI. Peerapa Metode Carathéodor utuk Meetuka Solusi Periodik Persamaa Diferesial akotoom Orde Dua. Dibimbig oleh ENDAR H. NUGRAHANI da ALI KUSNANO. Persamaa diferesial takotoom merupaka persamaa diferesial ag secara eksplisit memuat variabel bebas. Persamaa diferesial ii jika diberika kodisi batas periodik aka meghasilka suatu solusi periodik. Pada kara ilmiah ii aka dipelajari pegguaa metode Carathéodor utuk mecari solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom orde dua ag memiliki sarat batas periodik. Berdasarka pegguaa metode Carathéodor didapatka hasil bahwa solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua adalah solusi dari miimizer persamaa variasioal. Utuk meggambarka solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom orde dua diguaka batua software Mathematica 6.

3 ABSRAC ROSIA DWI NUGRAHASI. Applicatio of the Carathéodor Method to Determie the Periodic Solutios of Secod Order Noautoomous Differetial Equatios. Supervised b ENDAR H. NUGRAHANI ad ALI KUSNANO. Noautoomous differetial equatios cotai eplicitl idepedet variables. hose equatios which have periodic boudar values also have periodic solutios. his paper was to stud the applicatio of Carathéodor method to fid the periodic solutio of secod order oautoomous differetial equatio. he Carathéodor method showed that the periodic solutio is equivalet to the solutio obtaied via the method of miimizer variatioal equatio. Graphical aalsis of the periodic solutio obtaied for the secod order oautoomous differetial equatio were visualised usig a computer software Mathematica 6.

4 PENERAPAN MEODE CARAHÉODORY UNUK MENENUKAN SOLUSI PERIODIK PERSAMAAN DIFERENSIAL AKOONOM ORDE DUA Skripsi sebagai salah satu sarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh : ROSIA DWI NUGRAHASI G54449 DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 8

5 Judul : Peerapa Metode Carathéodor utuk Meetuka Solusi Periodik Persamaa Diferesial akotoom Orde Dua Nama : Rosita Dwi Nugrahasti NRP : G54449 Meetujui: Pembimbig I, Pembimbig II, Dr. Ir. Edar H. Nugrahai, MS. NIP Drs. Ali Kusato, M.Si. NIP. 9 5 Megetahui: Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr. drh. Hasim, DEA NIP aggal Lulus:

6 PRAKAA Puji da sukur peulis pajatka kehadirat Allah SW atas segala karuia-na sehigga peulis mampu meelesaika kara ilmiah ii. Shalawat serta salam tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW ag telah memberika suri taulada tak heti-hetia kepada umata higga akhir jama. Kara ilmiah ii berjudul Peerapa Metode Carathéodor Utuk Meetuka Solusi Periodik Persamaa Diferesial akotoom Orde Dua. Kara ilmiah ii merupaka sarat utuk meelesaika studi pada Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Istitut Pertaia Bogor. erima kasih peulis ucapka kepada :. Ibu Edar H. Nugrahai selaku Pembimbig I da Bapak Ali Kusato selaku Pembimbig II ag telah meluagka waktu, teaga da pikiraa utuk membimbig, memberika doroga da pegaraha kepada peulis higga peulisa kara ilmiah ii selesai, Bapak Paia Siaturi selaku dose peguji atas sara da masuka ag telah Bapak berika.. Bapak da Ibu tercita, atas segala doa, dukuga, restu da segala kasih saag ag telah diberika higga sekarag; kakak-kakakku mba Ia, mas Hari da calo kepoakaku, atas semagat da doaa.. Dose-dose di Departeme Matematika, terima kasih atas ilmu ag telah Bapak da Ibu berika, serta staf Departeme Matematika, terima kasih atas batua selama di Departeme Matematika. 4. Dia, Ndhiet, Rite ag selalu ada selama kurag lebih 4 tahu, makasih atas semuaa. 5. ema-tema sebagsa, setaah air da seperjuaga, Matematika 4 : Abak, Uwie, Deedee, Ami, Au, Lia, Ai, Echi, Momo, Neg, Roma, Eie, ities, Fitri, Liam, Mas Eli, Fred, Kokom, Jali, Mamah, Great, Aji, Nee, Mukti, Jaah, Iak, Eeph, Roro, Eo, Sifa, Kurez, Ria, Darwisah, Nidia, Ika, Maram, Mahar, ia, Dika, Cumi, Udi, Ibo, Mazid, Chubb, Racil, De, Idris, Yaa, riadi, Mimi, Ami, Yos, Yei, Hedri. Makasih atas kekeluargaaa selama 4 tahu di Departeme Matematika, I will miss ou, gus. 6. Ria Fisika 4 (makasih pijama bukua), K Arie 9 (makasih batua Mathematicaa), Mate 4, Mate Warga Potail : Potail s agels (Mb Mitoel, Mb Rata, Mb Umi), Mb Empit, Mb Niit, Dia, Nira, Mb Nei, Ratih, Mb Dia, Mb Uli, Maa, Mb Susi, Mb Naa, Ike. 8. Semua pihak ag ikut membatu da peulis tidak dapat meebutka satu persatu. Peulisa kara ilmiah ii tidak mugki luput dari kekuraga, oleh karea itu kritik da sara dari semua pihak aka sagat membatu demi kesempuraa peulisa ii. Semoga peulisa kara ilmiah ii aka memberika mafaat bagi para pembaca. Bogor, Mei 8 Rosita Dwi Nugrahasti

7 RIWAYA HIDUP Peulis dilahirka di Semarag pada taggal Juli 986 dari pasaga Agus Suoo da Sukari jiptaigsih. Peulis merupaka aak kedua dari dua bersaudara. Peulis meelesaika pedidika di SMU Negeri 5 Yogakarta da lulus pada tahu 4. Pada tahu ag sama, peulis diterima di Istitut Pertaia Bogor (IPB) melalui jalur Ujia Seleksi Masuk Istitut Pertaia Bogor (USMI) di Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam IPB. Selama megikuti perkuliaha, peulis aktif di berbagai kegiata kemahasiswaa, aitu Gugus Mahasiswa Matematika (GUMAIKA) periode 5-6 sebagai staf divisi Sosial Iformasi da Komuikasi (SOSINKOM). Selama masa kepegurusa di himpua profesi GUMAIKA, peulis serig megikuti kepaitiaa berbagai kegiata seperti Matematika Ria 5, 6, 7, r Out SPMB Nasioal IKAHIMAIKA 7.

8 DAFAR ISI Halama DAFAR GAMBAR... i DAFAR LAMPIRAN... i PENDAHULUAN... Latar Belakag... ujua... LANDASAN EORI... PEMBAHASAN... 5 Perumusa Masalah... 5 Metode Carathéodor... 5 Cotoh Kasus... 8 KESIMPULAN... DAFAR PUSAKA...

9 4 DAFAR GAMBAR Halama. Peimpaga vertikal kurva ().... Skema peelesaia solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua dega metode Carathéodor Grafik solusi ( si cos = + )... DAFAR LAMPIRAN Halama. Bukti lema da teorema.... Mecari solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi () Mecari solusi persamaa diferesial orde pertama Perhituga solusi persamaa (7) Program utuk meujukka grafik solusi ( si cos = + )...

10 5 I. PENDAHULUAN. Latar Belakag Persamaa diferesial adalah suatu persamaa ag megadug sebuah fugsi ag tak diketahui dega satu atau lebih turuaa [Stewart, ]. Persamaa diferesial dapat dibedaka meurut ordea, salah satua persamaa diferesial orde dua. Selai itu, berdasarka keeksplisita variabel bebas dalam persamaaa, persamaa diferesial dapat dibagi mejadi dua aitu persamaa diferesial otoom da takotoom. Persamaa diferesial otoom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedagka persamaa diferesial takotoom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupaka variabel ag tidak bergatug pada variabel lai. Persamaa diferesial takotoom orde dua dapat diaplikasika ke dalam beberapa bidag, salah satua bidag fisika. Cotoh aplikasi dalam bidag fisika adalah persamaa diferesial utuk memodelka gerak sistem mekaik ag medapat gaa eksteral ag terjadi secara periodik. Dalam kara ilmiah ii aka dibahas persamaa diferesial takotoom orde dua ag memiliki kodisi batas periodik aka meghasilka suatu solusi periodik. Metode Carathéodor diguaka utuk mecari solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua tersebut. Utuk meggambarka solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom orde dua diguaka batua software Mathematica 6.. ujua ujua dari kara ilmiah ii adalah mempelajari pegguaa metode Carathéodor utuk mecari solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom orde dua. II. LANDASAN EORI Defiisi. (Persamaa Diferesial Orde Dua) Persamaa diferesial orde dua adalah persamaa diferesial ag memiliki betuk umum F(,, ) = dimaa dituruka terhadap, d =. d =, [Farlow, 994] Defiisi. (Persamaa Diferesial akotoom), = disebut persamaa diferesial takotoom V :, kotiu da Persamaa orde dua V ( ) dimaa [ ] periodik di dega periode da fugsia dapat dituruka da turuaa kotiu di, V V V V (, ) =,,..., [Ji & Shi,6] Defiisi. (Solusi Periodik) Aggap bahwa =Φ () t adalah solusi periodik utuk persamaa & = f ( ); D da terdapat bilaga positif, sedemikia sehigga Φ + = Φ utuk t maka ( t ) ( t) Φ ( t) disebut solusi periodik dari =Φ ( t) dega periode. Jika Φ ( t) memiliki periode, maka Φ ( t) juga memiliki periode,,... Jika adalah periode terkecil maka disebut periodik-. [Verhulst, 99]

11 6 Defiisi 4. (Nilai Batas) Jika kodisi tambaha utuk persamaa diferesial ag diberika meghubugka dua atau lebih ilai, kodisia disebut kodisi batas atau ilai batas. [Rice & Strage, 994] Defiisi 5. (Kalkulus Variasi) Kalkulus variasi adalah salah satu teori matematika ag berhubuga dega masalah optimisasi ag meliputi memaksimumka atau memiimumka ilai sebuah itegral. Betuk itegral ag dipakai dalam kalkulus variasi adalah b (,, ) I = L a d dega = da ( ) C [ a, b]. Fugsi L diasumsika mempuai turua parsial pertama ag kotiu terhadap semua argumea. Utuk pembahasa selajuta ditetapka a =, b =. Sehigga betuk itegral di atas dapat diubah mejadi (,, ) I = L dega ( ) C [, ]. Masalah selajuta adalah memilih fugsi ( ) dalam C [, ] dega sarat da kedua titik ujug peubah ( ) ditetapka aitu = da =, agar I ( ) optimum (maksimum atau miimum) [Wa, 995] Defiisi 6. (Fugsi Lagragia) Betuk itegral ag dipakai dalam kalkulus variasi adalah (,, ) I = L dega d = da ( ) C [, ]. Betuk (, ( ), ( ) ) L disebut fugsi Lagragia. [Wa, 995] Defiisi 7. (Pajag atau Norm Vektor) Pajag atau orm dari suatu vektor =,,..., di dalam didefiisika sebagai = Rumus diatas diamaka orm Euclidea. [Mathews, 99] Defiisi 8. (Hasil kali dalam) Misalka da merupaka vektor berukura m, hasil kali dalam dari vektor da adalah, = , m = i i i = Suatu vektor juga merupaka suatu matriks ag haa memiliki satu kolom. Oleh karea itu, persamaa diatas dapat ditulis mejadi = m m [Beezer, 6] Defiisi 9. (Himpua koveks da Fugsi Koveks) Misalka C adalah himpua vektor. Maka C disebut sebagai himpua koveks jika utuk semua, ' C terdapat λ [,] maka λ + λ C. Misalka f merupaka fugsi dega peubah ag terdefiisi pada himpua koveks C. Maka f disebut sebagai fugsi koveks jika f memeuhi persamaa (( λ) λ ) ( λ) λ ( ) f + f + f. Jika f memiliki turua kedua, maka f disebut sebagai fugsi koveks jika da haa jika, f C m m

12 7 da merupaka strictl cove jika f >, C. [Haum, 6] Defiisi. (Persamaa Euler-Lagrage) Persamaa f d f = disebut persamaa Euler-Lagrage dega fugsi Lagragia f (,, ). [Simmos, 99] Defiisi. (Persamaa Euler-Lagrage Pada Kalkulus Variasi) Pejelasa tetag persamaa ii dirigkaska dari buku Differetial Equatios with Applicatios ad Historical Notes Secod Editio [Simmos, 99]. Diasumsika fugsi ( ) memiimumka itegral ag (,, ) I = f () Aka dihasilka persamaa diferesial utuk dega membadigka ilai I ag sesuai utuk pedekata fugsi ( ). Ide utamaa aitu ( ) memberika ilai miimum utuk I, I aka bertambah jika ( ) diubah-ubah. Perubaha ii disusu sebagai berikut. η adalah sembarag fugsi Misalka ( ) dega diketahui η ( ) fugsi kotiu da η ( ) η( ) = = () Jika α adalah parameter, kemudia αη = + () meggambarka kelompok satu parameter dari fugsi ( ). Peimpaga vertikal dari kurva pada kelompok satu parameter berasal dari kurva ( ) ag memiimumka I aitu αη ( ), ditujukka pada gambar berikut. (, ) ( ) = ( ) +αη ( ) αη ( ) (, ) η( ) Gambar Peimpaga vertikal kurva () Maksud dari persamaa () bahwa utuk setiap kelompok pada tipe ii, aitu utuk masig-masig ilai pada fugsi η ( ), fugsi ( ) ag memiimumka I termasuk kelompok satu parameter da sesuai dega ilai parameter α =.

13 8 Dega η ( ) tetap, = + αη da = + αη disubstitusika ke itegral (), da diperoleh fugsi dari α ( α ) (,, ) I = f [, αη, αη ] = f + + (4) Saat α =, persamaa () meghasilka ( ) ( ) =, da karea ( ) memiimumka itegral, diketahui bahwa I ( α ) harus miimum saat α =. Dega kalkulus dasar, kodisi petig utuk memiimumka adalah mejadi olka turua I ( α ) saat α = aitu I =. urua I ( α ) dapat dihitug dega meuruka persamaa (4) I ( α ) = f (,, ). (5) α Dega ragkaia cara utuk meuruka fugsi dari beberapa variabel diperoleh f f f f (,, ) = + + α α α α f f = η + ( ) η ( ) Jadi persamaa (5) dapat ditulis f f ( α) η( ) η I = +. (6) I =, jadi letakka α = pada persamaa (6) meghasilka f + η f η =. (7) Pada persamaa ii turua η ( ) mucul bersama dega fugsi η ( ). η ( ) dapat dielimiasi dega megitegralka bagia kedua,. f f d f η = η η = η ( ) d f karea persamaa (). Persamaa (7) dapat ditulis dalam betuk f d f ( ) η =. (8) Pearika kesimpula pada masalah ii berdasarka pada ilai tetap fugsi η ( ). Meskipu demikia karea itegral pada persamaa (8) harus mejadi ol utuk setiap fugsi, disimpulka bahwa perataa dalam tada kurug juga harus sama dega ol. Sehigga dihasilka f d f = (9) ag disebut sebagai persamaa Euler- Lagrage. Defiisi. (Fugsi Hamiltoia) Persamaa H(,, s) = s, F(,, ) disebut sebagai fugsi Hamiltoia dega F,, adalah fugsi Lagragia da (,, ) s = F. [Wa, 995] Defiisi. (Persamaa Hamiltoia- Jacobi) Utuk fugsi Hamiltoia H(,, s ), persamaa diferesial H,, ϕ + ϕ = disebut persamaa Hamiltoia-Jacobi dega ϕ, adalah fugsi ϕ :. [Wa, 995]

14 9 Lema 4 Misal :[, ] S adalah fugsi ag dapat dituruka da turuaa kotiu da memeuhi = S, S,,,,, ( ) = ( ) sehigga sarat berikut dipeuhi,,,, () Utuk setiap [ ] L % (,, ) () Utuk setiap (, ) [, ] persamaaa %,, L,, q = mempuai solusi q = q(, ) memeuhi q, = q,. Misal q = q(, ) solusi dari L % (,, q ) = q, = q,. Jika ag memeuhi *: [, ] solusi = (, ), [, ] q () = () kemudia *( ) miimizer dari persamaa maka *( ) adalah solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom. [bukti lihat Lampira ] eorema 5 Asumsika bahwa :[, ] S solusi dari persamaa Hamiltoia-Jacobi S (, ) + H (,, S (, ) ) = da :[, ] L ( q( ) ) S( ) q memeuhi,,,, = q Jika *:[, ] solusi = (, ), [, ] q () = () kemudia *( ) miimizer dari persamaa ( ) mi I, Ω ( ) I = L,,, maka *( ) solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom. [bukti lihat Lampira ] ( ) mi I, Ω ( ) I = L,,, III. PEMBAHASAN. Perumusa Masalah Didefiisika persamaa diferesial takotoom V, = (4) dimaa :, [ ] V kotiu da periodik di dega periode da dapat dituruka da turuaa kotiu di V V V V (, ) =,,..., Aka dicari solusi periodik utuk persamaa diferesial takotoom (4). Persamaa. diferesial takotoom (4) memiliki ilai batas periodik ( ) =, (. Metode Carathéodor = ). (5) Pada teori kalkulus variasi [Simmos, 99], dijelaska bahwa diasumsika ada fugsi ( ) ag memiimumka itegral I = L,,. (6)

15 Aka dihasilka persamaa diferesial utuk ( ) ag berbetuk L d L = ) (7) ag disebut sebagai persamaa Euler- Lagrage. Fugsi L (,, pada itegral (6) disebut sebagai fugsi Lagragia. Didefiisika fugsi Lagragia L (,, ) = + V (, ),,,, (8) [ ] dimaa. melambagka orm Euclidea. Diasumsika (,, ) koveks utuk setiap (, ) [, ] q(, ) adalah miimizer (,, ) = q(, ). L adalah fugsi da L dimaa Itegral (6) dapat diubah mejadi persamaa variasioal I : Ω ( ) mi I, Ω dega = ( L ) I,,. (9) { C( [ ] ) } Ω= :,, =, =. Nilai batas periodik (5) merupaka sarat perlu persamaa variasioal karea Ω ag diasumsika ada fugsi memiimumka I ( ). Utuk mecari miimizer dari persamaa variasioal (9) dapat diguaka fugsi Hamiltoia da persamaa Hamiltoia- Jacobi. Didefiisika fugsi Hamiltoia H ( s,, ) = sq, L ( q,, ) () dimaa L (, q, ) adalah fugsi Lagragia, da persamaa Hamiltoia-Jacobi ( S (, ) + H,, S (, ) ) = () dimaa :[, ] H adalah fugsi Hamiltoia da S adalah solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi, utuk setiap fugsi S :, [ ] ag dapat dituruka da turuaa kotiu ag memeuhi = S, S,,,,, ( ) = ( ). () Fugsi Hamiltoia dapat disubstitusi ke persamaa Hamiltoia-Jacobi sehigga diperoleh solusi persamaa Hamiltoia- Jacobi. ( ) S (, ) + H,, S (, ) = (,, (, )) (, ) H S = S q q (, ), L (,, ) (, ) = S q q (, ) L (,, ) (, ) = (, ) L (,, ) S q = q (, ) (, q) S = L, () diperoleh q S, q q V = +, (, ) q q V = + = q. (4) Jadi turua pertama solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi terhadap merupaka miimizer dari persamaa variasioal (9). Didefiisika fugsi Lagragia baru %L(,, ) = L(,, ) (, ) S(, ), da =,, % I % L dimaa S(, ) =,,...,, = (,,..., ).

16 Utuk setiap Ω, I( ) I% z ( ) =, ( ), L ( ) L % (,, ) S = (, ( )) S (, ( )), + ( ) d = S (, ( )) (, ) = S (, ), = S S = Sehigga persamaa variasioal (9) sama dega persamaa variasioal ekuivale berikut mi I%, I % =,, L %. (5) Ω Diasumsika % (,, ) setiap (, ) [, ] da q(, ) adalah miimizer % (,, ) L fugsi koveks utuk L dimaa = q,. Karea persamaa variasioal ekuivale (5) sama dega persamaa variasioal (9) maka turua pertama solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi terhadap juga merupaka miimizer dari persamaa variasioal ekuivale (5). Pada metode Carathéodor, dicari fugsi S ag memeuhi sarat berikut,,,, () Utuk setiap ( ) [ ] L %,,. (6) () Utuk setiap (, ) [, ], L % q,, = (7) ag mempuai solusi q q(, ) memeuhi = ag q, = q,. (8) urua pertama solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi terhadap merupaka miimizer persamaa variasioal. Dari teorema diperoleh bahwa solusi miimizer merupaka solusi periodik persamaa diferesial takotoom. Gambar berikut adalah skema peelesaia solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua dega metode Carathéodor.

17 Persamaa diferesial takotoom Fugsi Fugsi Persamaa Lagragia Hamiltoia Hamiltoia-Jacobi Kalkulus variasi Persamaa variasioal miimizer solusi turua pertama solusi miimizer = turua pertama solusi solusi miimizer = solusi periodik persamaa diferesial takotoom Gambar Skema peelesaia solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua dega metode Carathéodor. Cotoh Kasus Aka dicari solusi periodik persamaa diferesial takotoom berikut ( F( ) f ( ) ) F( ) '' + + =, 5 [, ] (9), =, () = dimaa >, f : ag memeuhi f + = f f ( ),, F = f s ds Jawab. fugsi kotiu Defiisi persamaa diferesial takotoom V, =. Dari persamaa diferesial takotoom (9) dapat diambil F( ) F f V (, ) = sehigga (, ) V 5 F( ) F f = Dega demikia fugsi Lagragia L (,, ) = + V (, )

18 f ( ) F( ) F = Fugsi Hamiltoia (,, ) =, L (,, ) H s sq q = sq q + V (, ) 4 f ( ) F. F = sq q f( ) F. () F ql( q,, ) = q q = q. q q = sutuk fugsi Hamiltoia (), berarti q = s. Dari persamaa (), L (,, ) Elimiasi q dega s, maka fugsi Hamiltoia () mejadi 4 F Hs (,, ) = s s+ + + f ( ) F F = s + + f ( ) F Persamaa Hamiltoia-Jacobi ( ) S (, ) + H,, S (, ) = mejadi 4. 4 () F F f = 4 () dimaa s = S( ),. Diasumsika solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi memiliki betuk ( ) h4 S(, ) = h( ) + h( ) + h( ) +, (4) dimaa hi ( ) dapat dituruka da turuaa kotiu da memeuhi hi( + ) = hi( ), i =,,, 4. Dega mesubstitusi persamaa (4) ke persamaa () diperoleh F S(, ) = + C adalah solusi persamaa Hamiltoia-Jacobi (). Perhituga legkapa dapat dilihat di Lampira. Dari persamaa (4) (, ) = S(, ) q Diperoleh F( ) = +. F ( ) = +, [, ] (5) =. (6) Dega memperoleh solusi persamaa (5) maka aka diperoleh solusi periodik persamaa diferesial takotoom (9). Diperoleh solusi persamaa (5) ( ) ep ( ( + ) ) ep ep ep( ). ep ep = s F s ds+ s F s ds Perhituga legkapa dapat dilihat di Lampira. Jika 4 π, = f ( ) = cos, F ( ) = si maka persamaa (9) da () mejadi

19 4 (si cos ) (si ) ( ), = [ π ], 4, (7) () = (4 π ), '() = '(4 π ). (8) Dari hasil pada cotoh kasus maka dapat diperoleh ( ) ( π) ( π + ) ( π) ep ep 4π = ep s sisds + ep s s sds ep ep ( ) = si + cos i (9) adalah solusi persamaa diferesial takotoom (7). Perhituga legkapa dapat dilihat di Lampira 4. Gambar berikut adalah grafik ag memperlihatka solusi (9) periodik Gambar Grafik solusi ( si cos = + ) IV. KESIMPULAN Dega megguaka metode Carathéodor didapatka hasil bahwa solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua sama dega solusi dari miimizer persamaa variasioal ag termasuk dalam lagkah-lagkah metode tersebut. Jadi dapat disimpulka bahwa metode Carathéodor dapat diguaka utuk mecari solusi periodik persamaa diferesial takotoom orde dua. Pada cotoh kasus telah ditujukka bahwa metode Carathéodor diguaka utuk persamaa diferesial tak liear.

20 5 DAFAR PUSAKA Beezer, R. A. 6. A First Course i Liear Algebra. Departmet of Mathematics ad Computer Sciece: Uiversit of Puget Soud. Boas, M. L. 98. Mathematical Methods i he Phsical Scieces d Editio. Sigapore: Joh Wille & Sos Ic. Carathéodor, C Calculus of Variatios ad Partial Differetial of First Order rd Editio. USA: AMS Chelsea Publishig. Farlow, S. J A Itroductio o Differetial Equatios ad heir Applicatios. Sigapore: McGraw-Hill Book Co. Haum, F. 6. Pegoptimuma (Pemrograma ak Liear). Bogor: Departeme Matematika FMIPA IPB. Ji, S. G. & Shi, S. Y. 6. Periodic Solutios for a Class of Secod-Order Ordiar Differetial Equatios. Joural of Optimizatio heor ad Applicatios. : 5-7. Mathews, J. H. 99. Numerical Methods for Mathematics, Sciece, ad Egieerig d Editio. Califoria: Pretice-Hall Iteratioal, Ic. Purcell, E. J Calculus with Aaltic Geometr 5 th Editio. New Jerse: Pretice-Hall, Ic. Rice, B. J. & Strage. J. D Ordiar Differetial Equatio with Applicatios rd Editio. Belmot, Califoria: Wadsworth, Ic. Simmos, G. F. 99. Differetial Equatios with Applicatios ad Historical Notes Secod Editio. Sigapore: McGraw-Hill Ic. Stewart, J.. Kalkulus, edisi ke-4 jilid. Guawa H. & Susila I. N., alih bahasa; Mahaai N. & Safitri A., editor. Jakarta: Erlagga. erjemaha dari: Calculus, Fourth Editio. u, P. N. V. 99. Itroductor Optimizatio Damics: Optimal Cotrol with Ecoomics ad Maagemet Applicatios, Secod Revised ad Elarged Editio. Berli: Spriger-Verlag. Verhulst, F. 99. No Liier Differetial Equatio ad Damical Sstems. Hiedelberg, Germa: Spriger-Verlag. Wa, Y. M Itroductio to he Calculus of Variatios ad Its Applicatio. USA: Chapma & Hall.

21 LAMPIRAN

22 4 Lampira. Bukti Lema da eorema Lema 4. Misal :, [ ] S adalah fugsi ag terturuka da turuaa kotiu da memeuhi = S, S,,,,, ( ) = ( ) sehigga sarat berikut dipeuhi,,,, () Utuk setiap ( ) [ ] L %,,, () Utuk setiap (, ) [, ], persamaaa % memeuhi q(, ) = q(, ). Misal q = q(, ) solusi dari % ( q,, ) = *:, solusi dari [ ] = (, ), [, ] q L,, q = mempuai solusi L ag memeuhi ( q = q(, ) q, = q, ). Jika () = () kemudia *( ) miimizer dari persamaa variasioal mi I, Ω I( ) =, ( ), L ( ), maka *( ) adalah solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom. Bukti Lema 4. Misalka *:[, ] solusi persamaa () dapat dilihat * ( ) = q(, * ( ) ), * * = q(, * ) * ( ) = * * = q(, * ( )) = q(, * ) = * sehigga dihasilka * ( ) * (, ( ), ( ) ), * ( ), q(, * ( ) ) =, ag berarti * Ω. Dega sarat () da (), maka L % L % = Utuk setiap Ω, ( ) L ( ) I( ) I( * ) =, ( ), ( ), *, * L = (,, ( ) ) (, ) S(, ), L % + + ( )

23 5 (, * ( ), * ( ) ) (, *( ) ) S(, *( ) ), * L % + + ( ) (,, ), *, * = L % L % S + (, ( )) S (, ( )), + ( ) S (, *( )) + S (, *( )), * ( ) ( ) (,, ), *,, * = q L % L % S + (, ( )) S (, ( )), + ( ) S (, *( )) + S (, *( )), q (, *( )) ( ) (,, ), *,, * = q L % L % d d + S(, ( ) ) S(, ( ) ) * ( ) (,, ), *,, * = q L % L % (, ), * + S S ( ) (,, ), *,, * = q L % L % ( ) ( ) ( ) + S, S, S, * S, * ( ) (,, ) L, *,, * = q L % % jadi I( ) I( *, ) Ω Nilai batas periodik adalah sarat perlu dari persamaa variasioal mi I, Ω I =,, L. Oleh karea itu, jika persamaa variasioal dipeuhi aitu meemuka miimizera *( ) maka ilai batas periodik () dipeuhi. *( ) adalah solusi dari persamaa () dega ilai batas periodik () maka *( ) adalah solusi periodik. Lema 4 terbukti.

24 6 eorema 5 Asumsika bahwa :, [ ] S solusi dari persamaa Hamiltoia-Jacobi ( ) S (, ) + H,, S (, ) = da q:, [ ] memeuhi ql ( q( ) ) S( ) Jika *:[, ] solusi =,, [, ] q =,,,, = kemudia *( ) miimizer dari persamaa variasioal ( ) mi I, Ω ( ) I = L,,, maka *( ) solusi periodik dari persamaa diferesial takotoom. Bukti teorema 5 Dega asumsi pada S da q, sarat () da () dipeuhi. Dega Lema 4, teorema siap dibuktika. *:, solusi Misalka [ ] ( ) = q(, ( ) ), [, ] () = () dapat dilihat * ( ) = q(, * ( ) ), * * = q(, * ) * ( ) = * * = q(, * ( )) = q(, * ) = * sehigga dihasilka * ( ) * (, ( ), ( ) ), * ( ), q(, * ( ) ) =, ag berarti * Ω. Da juga, dega () da () maka L % L % = Utuk setiap Ω, diperoleh ( ) ( ) I( ) I( * ) =, ( ), ( ), *, * L L = (,, ( ) ) (, ) S(, ), L % + + ( ) (, * ( ), * ( ) ) (, *( ) ) S(, *( ) ), * L % + + ( )

25 7 (,, ), *, * = L % L % S + (, ( )) S (, ( )), + ( ) S (, *( )) + S (, *( )), * ( ) ( ) (,, ), *,, * = q L % L % S + (, ( )) S (, ( )), + ( ) S (, *( )) + S (, *( )), q (, *( )) ( ) (,, ), *,, * = q L % L % d d + S(, ( ) ) S(, ( ) ) * ( ) (,, ), *,, * = q L % L % (, ), * + S S ( ) (,, ), *,, * = q L % L % ( ) ( ) ( ) + S, S, S, * S, * ( ) (,, ) L, *,, * = q L % % jadi I( ) I( *, ) Ω. Nilai batas periodik adalah sarat perlu dari persamaa variasioal ( ) mi I, Ω ( ) I = L,,. Oleh karea itu, jika persamaa variasioal dipeuhi aitu meemuka miimizera *( ) maka ilai batas periodik () dipeuhi. *( ) adalah solusi dari persamaa () dega ilai batas periodik () maka *( ) adalah solusi periodik. eorema 5 terbukti.

26 8 Lampira Mecari Solusi Persamaa Hamiltoia-Jacobi () Aka dicari solusi dari persamaa Hamiltoia-Jacobi berikut ( ) F f F Diasumsika bahwa solusi memiliki betuk (, ) S h h h dimaa ( ) 4 = + + +, h =. () h dapat dituruka da turuaa kotiu da memeuhi h ( + ) = h ( ), i i =,,, 4. Dari persamaa (4) S h = 4 h ( ) + h ( ) ( ) i h ( ) h ( ) 4h h h = 4h ( ) + 4h ( ) h ( ) + h ( ) ( ) h 4 = h ( ) + h ( ) + h ( ) + disubstitusika ke persamaa () ( ) F f F = h 4 h ( ) + h ( ) + h ( ) + kemudia ( ) 4 h h h h h 4 4 = h ( ) h ( ) h ( ) + + h ( ) = h ( ) + ( ) h F f F h ( ) + h ( ) =, (4) h = h h h + h h =, (4) h = h i (4)

27 9 h ( ) + h ( ) =, (4) h = h h + F f 4 4 h h h = F f, (4) 4 4 h ( ) h ( ) =, (44) 4 ( ) h F 4 + = 4 4 ( h ( ) ) ( F( ) ). 4 Dari (4)-(45), diperoleh = (45) h ( ) = h ( ) = h ( ) = C h ( ) = F( ),,, 4, dimaa C melambagka kostata sembarag. Sehigga diperoleh solusi (, ) ( ) F = +. S C

28 Lampira Mecari Solusi Persamaa Diferesial Orde Pertama F ( ) = + [ ] = +,,, (5) = (6) F misal u = du = d = + F du = d du u F = + du u F = + du u F = ( )( u u) = F( ) ( ) ep ep d ( ep( ) u) ep( ) = F ep u = ep F + C = u ( + C) u = ep ep F ( ( )) ep ep F + C = ( ( )) ep ep F + C = = ep( ) ep( ) + s F s ds C

29 utuk = ep( ) = s F s ds + C = utuk C = = ep( ) ep( ) + s F s ds C ilai batas periodik = ( C) ep( ) ep( s) F( s) ds C = + C = ep( ) ep( s) F( s) ds + C C = ep ep s F s ds + ep C = ep ep s F s ds + ep C ep C = ep ep s F s C ep = ep ep s F C = Jadi ( ) ( ( s) F( s) ep ep ( ) ep ds C ds ) s ds C ep( ) ep( ) s F s ds ( ) = ep( ) ep( s) F( s) ds + ep( ) ( ( + ) ) ( ) ep = ep( ) ep( s) F( s) ds + ep( s) F( s) ds ep

30 ( ) ( ) ep ep + ep + = ep( s) F( s) ds + ep( s) F( s) ds ep ep ( ) ( ( + ) ) ( ( + ) ) ( ( + ) ) ep( ) ep( ) ep( ) ep ep ep ep = ep s F s ds + ep s F s ds + ep( s) F( s) ds ( ( + )) ep ep = ep( s) F( s) ds + ep( s) F( s) ds ep ep ( ( + )) ep ep = ep( s) F( s) ds + ep( s) F( s) ds ep ep ( ( + )) ep ep ep( ) ep( s) F( s) ds ep ep = s F s ds + ( ( + )) ep ep = ep s F s ds + ep s F s ds ep ep.

31 Lampira 4 Perhituga Solusi Persamaa (7) ( ) ( π) ( π + ) ( π) ep ep 4π = ep s sisds + ep s s sds ep ep ( ) ( π) i ( π + ) ( π) ep ep = ( ep( )( cos + si ) ) + ep + ep cos + si ep ep ( ( π ) ) = ( ) ( + ) ( ) + ( π )( + ) ( π ) ep cos si ep ep cos si ep ep ( cos si ) = + ep ( si cos ). = + ( π ) ( π )

32 4 Lampira 5 Program Utuk Meujukka Grafik Solusi ( si cos = + ) fgs[_]:=if[-((/) ( Si[]+Cos[]))<, / -Abs[-((/) ( Si[]+Cos[]))], / Evaluate[-((/) ( Si[]+Cos[]))] ] Plot[fgs[],{,,4π},PlotRage Full, icks {able[i,{i,,4 π,π/}]},aeslabel {""},PlotLabel ""]