PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA KASUS: INITIAL VALUE PROBLEM (IVP)

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA KASUS: INITIAL VALUE PROBLEM (IVP Mater Kulah: Pengantar; Metde Euler; Perbakan Metde Euler; Metde Runge-Kutta; Penyelesaan Sstem Persamaan Dferensal Basa secara Smultan PENGANTAR Persamaan dferensal: Persamaan yang melbatkan turunan atau dervatf fungs-fungs Persamaan dferensal berrde n: Persamaan dferensal yang memuat turunan fungs tertngg berrde n Persamaan dferensal berrde satu (frst rder: Persamaan dferensal yang turunan fungs tertnggnya berrde Cnth: = + 5 dca k C = A + k CA y ' = 0 y e Persamaan dferensal berrde dua (secnd rder: Persamaan dferensal yang turunan fungs tertnggnya berrde d y Cnth: 6 y = e Beberapa pengglngan persamaan dferensal:. Berdasarkan banyaknya perubah bebas: a. Persamaan dferensal basa (PDB atau rdnary dfferental equatn (ODE Yakn persamaan dferensal dengan perubah bebas tunggal. dc Msal: A = k C A b. Persamaan dferensal parsal (PDP atau partal dfferental equatn (PDE Yakn persamaan dferensal dengan jumlah perubah bebas lebh dar satu. T T Msal: ρ Cp = k t z. Berdasarkan persalan syarat atau nlanya: a. Persamaan dferensal dengan persalan syarat/nla awal (ntal value prblem, IVP. Yakn jka semua syarat dberkan pada satu nla perubah bebas (yakn pada nl atau 0 d y Msal: = y dengan: y(0 = dan y (0 = - b. Persamaan dferensal dengan persalan syarat/nla batas (bundary value prblem, BVP. Yakn jka syarat-syarat dberkan pada lebh dar satu nla perubah bebas. d y Msal: = y dengan: y(0 = dan y (3π/ = Yang akan dpelajar dalam mater kulah n: Penyelesaan atau ntegras numerk persamaan dferensal basa (berrde satu dengan persalan nla awal /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman dar

2 =... ( Menyelesakan atau mengntegras persamaan dferensal: f (,y dengan syarat awal: y( 0 = y 0 secara numerk berart: menentukan atau menghtung nla-nla pendekatan y, y, y 3, dst. dar penyelesaan eksak y #, y #, y 3 #, dst. pada =, =, = 3, dst. (y #, y #, y 3 #, dst. sendr basanya justru tdak dketahu nlanya Ttk ( 0, y 0 dgunakan sebaga ttk tlak pengntegrasan Sebuah PDB dsebut stabl, jka dalam arah ntegras, penyelesaannya bersfat knvergen. Dan sebalknya, PDB dsebut tdak stabl, jka dalam arah ntegras, penyelesaannya bersfat dvergen. Dua jens metde penyelesaan numerk persamaan dferensal n:. Metde satu langkah (ne-step methds yang akan dpelajar dalam mater kulah n. Metde banyak langkah (mult-steps methds One-step methd yang akan dpelajar d sn:. Metde Euler (eksplst. Penyempurnaan atau perbakan metde Euler (Metde Heun, Metde Ttk Tengah 3. Metde Runge-Kutta METODE EULER Merupakan metde yang palng sederhana untuk mengntegraskan PDB rde satu secara numerk. Knds atau syarat atau nla awal ( 0, y 0 dgunakan untuk menghtung besarnya slpe (atau tangen arah y( pada = 0 : = = 0 f ( 0, y0... ( Dengan menganggap bahwa slpe (/ pada nterval Δ bernla tetap, maka nla y( 0 +Δ dapat dperkrakan sebesar: y( 0 + Δ = y( 0 + Δ f ( 0,y0 Selanjutnya, nla-nla dan y n (yakn = 0 +Δ dan y = y( 0 +Δ dgunakan untuk memperkrakan besarnya slpe pada ttk yang baru. Atau, nla y( 0 +Δ dapat dhtung sbb: y( 0 + Δ = y( 0 + Δ + Δ f ( 0 + Δ, y( 0 + Δ Demkan seterusnya. Pla perhtungan yang beruntun n dgambarkan sebaga metde Euler: y( + Δ = y( + Δ. f (, y( atau: y = y + Δ. f (,y... (3 atau: y + = y + h. f (, y... (3 dengan: Δ = h menyatakan lebar langkah (step sze f (,y merupakan bentuk persamaan dferensal sepert pada persamaan (, sehngga: y = y +, + Δ atau: y Persamaan (3 merupakan frmula metde Euler. y = y + h, +... (3 Perhatkan bahwa frmula metde Euler n juga dapat djabarkan dar ekspans deret Taylr untuk y d sektar y : y /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman dar

3 d y d y y = y + Δ + Δ + Δ 6 3 dabakan dengan mengabakan suku-suku berrde Δ (=h dan yang lebh tngg. Dengan kata lan, metde Euler n mempunya tngkat keteltan yang dnyatakan dengan lcal truncatn errr sebesar: e = Ο(Δ atau: e = Ο(h Metde n mempunya glbal truncatn errr sebesar: E = nla eksak y nla pendekatan numerk y CONTOH SOAL #: Gunakan metde Euler untuk menghtung nla y pada = jka: dengan nla awal: y = pada = 0 Penyelesaan: Frmula metde Euler untuk kasus n dapat ulskan sebaga: y = y + Δ ( y Jka dambl step sze Δ = 0,, maka: pada 0 = 0 dan y 0 = dapat dhtung: y = + (0, (0 ( = = y Selanjutnya, pada = 0 + Δ = 0 + 0, = 0, dan y = dapat dhtung: y = + (0, (0, ( =,00 Selanjutnya, pada = + Δ = 0, + 0, = 0, dan y =,00 dapat dhtung: y 3 =,00 + (0, (0, (,00 =,005 Demkan seterusnya, hngga dperleh y pada =. Sebaga perbandngan, dapat dambl nla step sze yang lan, msalnya: Δ = 0,05, Δ = 0,0, dan Δ = 0,. Dengan cara yang sama, maka dapat dperleh hasl-hasl perhtungan sbb.: Nla y Δ Analtk 0, 0,05 0,0 0, 0,0000,0000,0000,0000,0000 0,,0000,000,000,0003 0,,000,008,003,0000,007 0,3,0050,0069,008,0090 0,4,040,076,099,0080,06 0,5,0303,036,0400,045 0,6,0560,0650,0707,0403,0747 0,7,0940,070,54, 0,8,476,66,78,5,86 0,9,,468,635,75,300,3559,379,579,3956 y Δ = 0,05 Δ = 0,0 Δ = 0, Analtk Δ = 0, (Bandngkan nla y pada = yang dperleh melalu perhtungan secara numerk dengan nla Δ yang berbeda-beda. Bandngkan juga dengan nla y eksak (secara analtk. Kesmpulannya:...? /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman 3 dar

4 PERBAIKAN METODE EULER Sumber mendasar (pkk terjadnya penympangan yang relatf besar pada penerapan metde Euler adalah karena: turunan fungs pada awal nterval yang dasumskan tetap d sepanjang nterval Δ. Untuk tu, dlakukan mdfkas terhadap metde Euler, antara lan: ( Metde Heun, dan ( Metde Ttk Tengah (mdpnt methd. Metde Heun Metde n menyempurnakan metde Euler melalu penentuan dua nla turunan fungs sepanjang nterval Δ, yakn: (a d awal nterval Δ, dan (b d akhr nterval Δ. Kedua nla turunan n selanjutnya drata-ratakan untuk menghaslkan perkraan nla slpe pada keseluruhan nterval Δ. Tnjau kembal metde Euler d atas; nla slpe pada awal nterval Δ: ' = y = f (, y... (4,y dgunakan untuk mengekstraplas lner nla y : y + = y + Δ. f (, y... (5 atau: y + = y + h. f (, y... (5 Berbeda dengan metde Euler yang menjadkan bentuk pada persamaan (3 atau (5 sebaga jawaban akhr, metde Heun menjadkannya sebaga predks antara (ntermedate predctn. (Dalam hal n, superscrpt dgunakan untuk membedakannya. Persamaan (5 basa dsebut sebaga persamaan predks (predctr equatn. Persamaan n selanjutnya dgunakan untuk memperkrakan besarnya slpe pada akhr nterval Δ yang njau, yakn: y f (, y = ' = + +,y Slpe rata-rata yang dhtung berdasarkan persamaan (4 dan (6 adalah:... (6 f (,y f (,y y' + = =... (7 Slpe rata-rata pada persamaan (7 n selanjutnya dgunakan untuk mengekstraplas lner dar y ke y menggunakan metde Euler: f (,y f (,y y y = + h... (8 f (, y f (, y atau: y y = + Δ... (8 Persamaan (8 basa dsebut sebaga persamaan kreks (crrectr equatn. Metde Heun menggunakan pendekatan predctr-crrectr, yang secara teratf dapat dnyatakan sebaga berkut: m Predctr : y + = y + Δ. f (, y... (9 Crrectr : m atau: y + = y + h. f (, y... (9 y j m m f (, y + f (, y = y + h... (0 m /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman 4 dar j j j m f (, y + f (, y atau: y y = + Δ... (0 (untuk j =,,..., m (j menyatakan nmr langkah teras

5 (Perhatkanlah bahwa pada persamaan (0, y ada pada kedua ruas persamaan, sehngga perhtungan y dapat dlakukan secara berulang (atau teratf agar dperleh hasl perkraan y yang lebh bak. Metde Ttk Tengah (Mdpnt Metde n menggunakan metde Euler untuk memperkrakan sebuah nla y pada ttk tengah nterval Δ yang njau, yakn sebesar: h y = y + f (, y atau: Δ y = y + f (, y... ( Persamaan ( selanjutnya dgunakan untuk memperkrakan nla slpe pada ttk tengah nterval:,y = y' = f (, y... ( yang danggap dapat mewakl slpe rata-rata pada keseluruhan nterval Δ. Nla slpe pada persamaan ( n selanjutnya dgunakan untuk mengekstraplas lner dar y ke y : atau: y = y f (, y. h... (3 + + y = y + f (, y. Δ... (3 METODE RUNGE-KUTTA Merupakan metde yang palng banyak erapkan untuk ntegras numerk persamaan dferensal basa dengan ntal value prblem, karena menghaslkan pendekatan yang cukup bak. Metde n menggunakan pendekatan deret Taylr yang cukup akurat, tanpa membutuhkan perhtungan turunan yang lebh tngg. Bentuk umum metde-metde Runge Kutta: y = y + φ h... (4 φ basa dsebut sebaga fungs nkremen, yang dapat danggap sebaga nla slpe pada keseluruhan nterval h atau Δ yang njau. Fungs nkremen (φ mempunya bentuk umum: φ = a +... (5 k + a k +... an kn a merupakan knstanta, dan k dapat dnyatakan sebaga: k = f (, y k = f ( + p h, y + q k h k3 = f ( + p h, y + q k h + q k h kn n n, n, + n,n n = f ( + p h, y + q k h + q k h +... q k h... (6 p dan q merupakan knstanta. Parameter-parameter a, p, dan q dplh sedemkan sehngga perumusannya sesua dengan ekspans deret Taylr sampa dengan suku yang melbatkan faktr h (atau (Δ. Perhatkan bahwa: Metde Euler merupakan salah satu jens metde Runge-Kutta yang berrde satu (atau n =. /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman 5 dar

6 Metde Runge-Kutta Orde 4 Klask Metde Runge-Kutta yang palng umum dgunakan adalah metde Runge-Kutta berrde 4. Bentuk umumnya: y + = y + ( k + k + k3 + k4 h 6... (7 dengan: k = f (, y... (8 k = f ( + h, y + k h... (9 k3 = f ( + h, y + k h... (0 = f ( + h, y k h... ( k4 + 3 Perhatkan bahwa: Jka / atau f hanya merupakan fungs saja, maka metde Runge-Kutta rde 4 n sama dengan ntegras numerk dengan metde Smpsn /3. CONTOH SOAL #: Lhat kembal cnth sal sebelumnya (pada Metde Euler. Gunakan metde Runge-Kutta rde 4 untuk menghtung nla y pada = jka: = y dengan nla awal: y = pada = 0. Bandngkan haslnya dengan perhtungan menggunakan metde Euler. Penyelesaan: Frmula metde Runge-Kutta untuk kasus n: Δ y = y + k + k + k3 + k4 6 dengan: k = (, y Δ Δ k, = + y + k, Δ Δ k3, = + y + k, ( + Δ ( y + Δ k4, = k3, Jka dambl step sze Δ = 0,, maka pada 0 = 0 dan y 0 = dapat dhtung: k,0 = 0 y0 = 0 = 0 0, 0, k,0 = 0 + y0 + k,0 = 0,05 = 0,005 0, 0, k3,0 = 0 + y0 + k,0 = 0,05,0005 = 0,005 k4,0 = ( 0 + 0, ( y0 + 0, k3,0 = 0,,00050 = 0, , 6 y = y(0, =, Demkan seterusnya, hngga dperleh y pada =. sehngga: y = y(0, = + ( 0 +.0, , ,0 Sebaga perbandngan, dapat dambl nla step sze yang lan, msalnya: Δ = 0, dan Δ = 0,05. Dengan cara yang sama, maka dapat dperleh hasl-hasl perhtungan sbb.: /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman 6 dar

7 Nla y Δ = 0, Δ = 0, Δ = 0,05 Euler RK-4 Euler RK-4 Euler RK-4 Analtk 0,0000,000000,0000,000000,0000,000000, ,,0000,000333,000,000333, ,,0000,00670,000,00670,008,00670, ,3,0050,00904,0069,00904, ,4,0080,056,040,0563,076,0563,0563 0,5,0303,04547,036,04547, ,6,0403,074655,0560,074655,0650,074655, ,7,0940,6,070,6,6 0,8,5,86094,476,86095,66,86095, ,9,,75069,468,75069,75069,579,395608,300,39563,3559,3956,3956 Kesmpulannya:...? PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN SECARA SIMULTAN Dalam prakteknya, persalan-persalan sans dan rekayasa (engneerng serngkal melbatkan penyelesaan sstem (atau sekumpulan persamaan dferensal basa secara smultan. Bentuk umum sstem persamaan sejumlah n dapat dnyatakan sebaga: = f (, y, y,..., yn = f (, y, y,..., yn n fn (, y, y,..., yn =... ( dengan sejumlah n nla awal: = 0 ; y ( 0 = y 0 ; y ( 0 = y 0 ;..., y n ( 0 = y n0 Persamaan ( dapat dselesakan dengan metde-metde yang sudah dpelajar sebelumnya (msal: metde Euler dan metde Runge-Kutta (RK rde 4 melalu langkah perhtungan yang sangat dentk dengan perhtungan untuk kasus persamaan dferensal tunggal. Cnth Ilustratf: Penyelesaan sstem buah persamaan dferensal basa rde satu secara smultan dengan metde Runge-Kutta rde 4 Bentuk persamaan dferensal: dz = f (, y,z dan = f (, y,z dengan nla awal: = 0 ; y = y 0 ; z = z 0 Frmula Runge-Kutta Orde 4 untuk menentukan, y, dan z berdasarkan, y, dan z : = + Δ Δ 6 ( k +.k +.k k y = y + + Δ 6 3 ( l +.l +.l l z = z + + dengan: k f (, y,z = l = f ( 3,y 4,z 4 /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman 7 dar

8 Δ k l = f +, y + Δ, z + Δ k l = f +, y + Δ, z + k Δ l Δ Δ k l = f +, y + Δ, z + Δ k l = f +, y + Δ, z + k 3 Δ l 3 Δ ( + Δ, y + k3 Δ, z + l ( + Δ, y + k Δ, z + l k = f 3 = f 4 Δ l4 3 3 Δ Penyelesaan Persamaan Dferensal Basa Berrde Tngg (n Sebaga cnth lustratf, tnjaulah sebuah persamaan dferensal basa berrde : d y + A( + B( y + C( = 0... (3 dz dengan nla awal: y( 0 = a dan = b 0 Ambl pemsalan: z =... (4 sehngga: dz d d y = =... (5 Substtuskan (4 dan (5 ke persamaan (3: dz + A( z + B( y + C( = 0 atau: dz = A( z B( y C(... (6 Persamaan (4 dapat ulskan sebaga: z... (7 Berdasarkan persamaan terakhr (yakn (6 dan (7, terlhat bahwa persamaan dferensal basa berrde pada persamaan (3 dapat dubah menjad buah persamaan dferensal basa berrde yang dapat dselesakan secara smultan. Dua nla awal sstem PD n sekarang berubah menjad: y( 0 = a dan z( 0 = b Hal yang sama/dentk dapat erapkan untuk menyelesakan persamaan dferensal basa berrde lebh tngg. Secara umum: PDB berrde n dapat dubah menjad n buah PDB berrde, yang selanjutnya dapat dselesakan secara smultan. Atau: n n n d y d y d y Untuk sebuah PDB berrde n: F,,,...,, y, = 0 n n n n d y dengan n buah nla awal: = a n n n d y = a n n = a y = a 0 Pada = 0 /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman 8 dar

9 Lakukan beberapa substtus berkut: z = dz d y z = = n dzn d y z n = = n Dan setelah dlakukan prses substtus ke dalam persamaan dferensal, maka akan dperleh: dzn = G ( zn,zn,...,z, y, dzn = zn Merupakan n buah PDB dz rde smultan = z = z dengan n buah nla awal: zn = an zn = an Pada = 0 z = a y = a 0 CONTOH APLIKASI PROFIL KONSENTRASI DAN SUHU SEPANJANG WAKTU PADA SISTEM REAKTOR BATCH NON-ISOTERMAL (ADIABATIK Sebuah reaktr sstem batch nn-stermal berperas secara adabatk. D dalam reaktr berlangsung reaks hmgen fase car: A P E dengan kecepatan reaks sebesar: r = k C A dan: k = k0 ep R T C A knsentras A; E energ aktvas reaks; R knstanta gas; dan T suhu mutlak. nsulatn Karena sstem reaks danggap teraduk sempurna, maka neraca ml A pada unstea state dapat ulskan sebaga: dna E = VR ( r = VR k0 ep CA RT n Karena vlume reaktr, V R, knstan, dan: C A A =, VR dc maka: A E = k0 CA ep RT... (* Neraca panas pada unstea state dapat ulskan sebaga: dt ρ VR C p = ΔH R r VR ρ denstas campuran reaks; C p kapastas panas campuran reaks rata-rata; dan ΔH R panas reaks. Maka: /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman 9 dar

10 dt ΔH k C = R 0 ρ V C R p A V R ep E RT... (** Jka ρ, Cp, dan ΔH R danggap tdak terlalu dpengaruh leh suhu, maka persamaan (* dan (** dapat uls secara rngkas sbb.: dca E = k CA ep RT dt E = k CA ep RT dengan nla awal: T = T 0 dan C A = C A0 pada t = 0. Sstem buah persamaan dferensal basa berrde bernla awal, smultan SOAL-SOAL LATIHAN. Tnjaulah persamaan dferensal: dengan: y (0 =,0 = 3 y e Dengan menggunakan step sze h = 0,, tentukan nla y (0,3 menggunakan: a. Metde Euler b. Metde Runge-Kutta rde 4 Tunjukkan semua langkah perhtungan yang Anda lakukan. Bandngkan haslnya dengan hasl perhtungan secara analtk.. Reaks fase gas hmgen: A P berlangsung dalam sebuah reaktr batch stermal pada tekanan tetap, dengan: r = 0, C A [=] gml/lter.detk. Mula-mula reaktr bers 0,0 gml A dan 0,0 gml gas nert dengan vlume 0,5 lter. Tentukan vlume reaktr setelah reaks berlangsung 5 detk. Neraca ml A pada unstea state dnyatakan dn 0, n sebaga: A = V ( r = A V Gas danggap sebaga gas deal, sehngga: nt 0,0 + na + (0,0 na V = V0 = 0,5 = 0, 75 5 na n [=] lter t0 0,0 dn Dengan demkan: A 0, n = A... (* 0, 75 5 na dengan syarat awal: n A = 0,0 pada t = 0 Petunjuk: Integraskan persamaan (* secara numerk untuk menentukan n A pada t = 5 detk. Selanjutnya gunakan hasl yang dperleh untuk menghtung vlume reaktr. 3. Dketahu sstem persamaan dferensal: y y 0 y y ep y y ep 00 = dan 00 = + + dengan: y = y =,0 pada = 0 Tentukan y dan y pada =,0 menggunakan metde Runge-Kutta rde 4. Plhlah step sze yang berbeda. Bandngkan hasl yang dperleh. 4. Selesakan PD berkut dar t = 0 hngga t =, dengan: y (0 = : = 3 y t,5y a. Secara analtk b. Menggunakan metde Euler, dengan h = 0,5 dan 0,5 /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman 0 dar

11 c. Menggunakan metde ttk tengah, dengan h = 0,5 d. Menggunakan metde Runge-Kutta rde 4, dengan h = 0,5 Tunjukkan semua langkah perhtungan yang Anda lakukan. 5. Selesakan sstem PD smultan berkut: t = y + 5 z e dan dz y z = dengan nla awal: y(0 = dan z(0 = 4 Lakukan perhtungan dar t = 0 hngga t = 0,4, dengan step sze h = 0,, menggunakan: a. metde Euler b. metde Runge-Kutta rde 4 Pltkan hasl perhtungan Anda dalam bentuk grafk. 6. Persamaan van der Pl yang merupakan salah satu mdel rangkaan lstrk vacuum tubes d y dnyatakan sebaga: ( y + y = 0 Dengan knds awal: y(0 = y (0 =, selesakan persamaan n dar = 0 hngga = 0 menggunakan metde Euler, dengan step sze sebesar: (a 0,, dan (b 0,. Pltkan hasl perhtungan yang Anda perleh dalam sebuah grafk. d y 7. Selesakan persamaan dferensal: + 9 y = 0 dengan step sze sebesar 0,, dar = 0 hngga = 4, menggunakan: a. Metde Euler b. Metde Runge-Kutta rde 4 Pltkan hasl perhtungan yang Anda perleh dalam sebuah grafk. Bandngkan juga dengan penyelesaan eksak PD n. 8. Reaktr Sem-Batch Tnjaulah sebuah reaktr sem batch berkut n: Q 0, C A0 Reaks fase car yang terjad adalah: A P dengan: r = k C A Mula-mula reaktr ds dengan caran nert dengan vlume V 0. Pada t = 0, caran yang mengandung A dengan knsentras C A0 dumpankan ke dalam reaktr dengan laju alr vlumetrk Q 0. V R (t Neraca ml A pada unstea state: dn Q C k C V A 0 A0 A R = n Karena: C A dn A =, maka: A k n = Q A 0 CA0 VR VR... (* Caran ambahkan ke dalam reaktr, sehngga vlume reaktr (V R akan bertambah sepanjang waktu. Neraca massa keseluruhan d dalam reaktr: d ( ρ V R = Q0 ρ Jka ρ danggap tetap, maka: dv R = Q0 dan dntegralkan menjad: V R = Q0 t + V0... (** Substtuskan (** ke (*, sehngga dperleh: dna k n = Q A 0 CA0 Q0 t + V0 dengan: n A = 0 pada t = 0. /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman dar

12 Pertanyaan: Gunakan ntegras numerk untuk mengetahu perlaku reaktr n hngga t = 00 detk. Dketahu: C A0 =,0 gml/lter; k = 0, lter/gml.detk; Q 0 = 0 lter/detk; dan V 0 = 50 lter 9. Alran Caran Antara Dua Tangk: Dua tangk slnder tegak terbuka A dan B yang masngmasng berdameter D dan tngg H, dletakkan sama tngg. Bagan dasar kedua tangk dhubungkan dengan ppa hrzntal berdameter Dp yang dlengkap dengan kran. Vlume ppa dapat dabakan terhadap vlume tangk. Kran mula-mula utup, tangk A bers penuh caran, sedangkan tangk B ksng. Mula suatu saat kran dbuka, sehngga caran mengalr dar tangk A ke B. Kecepatan alran caran (υ, m/s tergantung beda tekanan pada ujung-ujung ppa (ΔP, sesua persamaan: υ = k ΔP dengan: k tetapan. Bagamanakah prfl tngg permukaan caran pada tangk A ( dan pada tangk B (y pada berbaga waktu (t...? Penggambaran prses: Tangk A h M Q N y Tangk B Beda tekanan pada ujung-ujung ppa: Δ P = PM PN = ( Pud + ρ g ( Pud + ρ g y = ρ g ( y Kecepatan alran caran: υ = k ΔP = k ρ g ( y π π k D p Debt alran: Q = D p υ = ρ g ( y 4 4 Neraca massa caran d tangk A: Rate f Rate f = Rate f Input Output Accumulatn π k D p π 0 ρ g ( y. ρ = D ρ 4 4 k D p = ρ g ( y. (* D π π π Neraca massa caran ttal: D h ρ = D ρ + D Tngg permukaan caran pada tangk B: y = h Dengan demkan, persamaan (* dapat dubah menjad: y ρ ( h k D p = ρ g D Keadaan batas: t = 0; = h (Besarnya h dapat Anda smulas sendr...! Msal, dambl: D = m; Dp = 0,0 m; ρ = 000 kg/m 3 ; g = 0 m/s ; k = 0,4 --- Selamat Belajar dan Berlath Mengerjakan Sal...!!! --- m 3 kg /analss_numerk/penyelesaan_pdb_kasus_vp/semester pendek_0607/july007/halaman dar