Metoda Langkah Demi Langkah Untuk Solusi Transien Rangkaian Listrik

Transkripsi

1 JETr, Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN 4-37 Metoda angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk Maula Sukmawdjaja Dosen Jurusan Teknk Elektro-FTI, Unerstas Trsakt Abstract Many complex physcal systems are descrbed by dfferental equatons for whch a soluton cannot be determned n analytcal form Howeer, technques are aalable to obtan approxmate solutons of such dfferental equatons, or sets of equatons, by numercal methods Thus the soluton of dfferental equatons s another mportant phase n numercal analyss In general, methods of numercal ntegraton employ a step-by-step process to determne a seres of alues for each dependent arable correspondng to a selected set of alues of the ndependent arable The usual procedure s to select alues of the ndependent arable at fxed nteral The accuracy of a soluton by numercal ntegraton depends both on the method chosen and the sze of nteral Keyword: step-by-step, dfferental equatons, numercal methods Pendahuluan Hukum-hukum dasar fska, mekanka, rangkaan lstrk, termodnamka maupun keteknkan, basanya ddasarkan pada pengamatanpengamatan emprs yang menjelaskan perubahan-perubahan sfat fss dan keadaan sstem Hukum-hukum tersebut basanya dnyatakan dalam perubahan-perubahan ruang maupun waktu Beberapa bentuk dberkan pada Tabel pada halaman berkut Hukum-hukum n mendefnskan mekansme perubahan, yang jka dgabungkan dengan hukum kekekalan energ, massa, atau momentum akan dhaslkan persamaan dferensal Integras selanjutnya dar persamaan-persamaan dferensal n menghaslkan fungs-fungs matematka yang menjelaskan keadaan ruang dan waktu sebuah sstem, yang dnyatakan dalam energ, massa atau aras kecepatan dan lan-lan Sayangnya tdak semua persamaan dferensal dalam sstem fss dapat dselesakan secara analts sepert datas, dan basanya dalam persolan teknk untuk mendapatkan solus n dgunakan metoda Numerk Stagg and El-Abad, 98: 343

2 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN 4-37 Tabel Hukum-hukum dasar yang dtuls atau dnyatakan dalam laju perubahan arable t = waktu & x = poss Steen C Chapra, 988: 58 Hukum Hukum gerak Newton kedua Hukum panas Fourer Hukum dfus Fck Hukum Faraday menjelaskan perbedaan tegangan pada suatu nduktans Kekalan massa Ekspres Matematk Varabel dan Parameter d F Kecepatan, gaya dt m F dan massa m T Kondukttas Fluk panas k panas k, dan suhu x T C Fluksmassa D Koefsen dfus D x dan konsentras C BedaTegangan dc Akumulas V dt d dt Induktans dan arus Volume V dan konsentras c Dalam makalah n dbatas pada persamaan-persamaan dferensal yang berkatan dengan rangkaan lstrk, dan solus untuk persamaan dferensal n menggunakan metoda Numerk, dalam hal n dgunakan metoda Euler dengan bantuan software Mathcad Sebenarnya Ada banyak metoda numerk yang dapat dgunakan, antara lan metoda Modfed-Euler, unge-kuta K, Heun, K-Fehlberg, dan lan-lan Yang palng mudah adalah metoda Euler, namun dengan ncrement yang lebh kecl ternyata metoda n keteltannya tdak kalah dengan metoda yang dsebutkan tad Untuk melhat keteltan hasl perhtungan pada transen rangkaan lstrk, dbandngkan pula hasl solus numerk n dengan hasl dar software smulas rangkaan lstrk Pspce Konds-konds awal basanya mempunya nterpretas yang sangat jelas untuk persamaan dferensal yang dturunkan dar penempatan masalah fss Msalnya, pada masalah arus yang mengalr dalam nduktor pada persamaan beda tegangan dalam tabel datas

3 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk Integras untuk mendapatkan arus yang mengalr dalam nduktor memerlukan nformas konds awal untuk arus dalam nduktor pada t= Konds awal tu adalah akbat dar kenyataan fss Hukum nduks Faraday dan Hukum enz bahwa pada waktu no Gaya gerak lstrk ggl lawan pada nduktor akan maksmum jka arus mulanya nol Jka pada t= arus nduktor tdak nol, maka solusnya juga akan berbeda, dan Gaya gerak lstrk lawan tdak pada konds maksmum Dalam menangan persamaan dferensal orde ke-n, maka ada n konds awal yang dbutuhkan guna memperoleh suatu solus yang unk Jka semua konds dspesfkaskan pada harga yang sama dar arabel ndependen msalnya pada x atau t =, maka masalah tu dnamakan masalah harga awal Kebanyakan masalah prakts dalam bdang sans dan teknk memerlukan solus sebuah sstem persamaan dferensal smultan, ketmbang satu persamaan dferensal tunggal Secara umum, sstem demkan dapat dtunjukkan oleh persamaan berkut, dy = f x, y, y, y n dx dy = f x, y, y, y n dx dy n = f n x, y, y, y n dx Solus dar suatu sstem yang demkan memerlukan n buah konds awal untuk dketahu pada saat harga x permulaan yang kemudan dpaka untuk mencar solus pada x berkutnya pada solus langkah dem langkah, dan akan dbcarakan berkut n Solus angkah Dem angkah Untuk mencar solus persamaan dferensal secara numerk, yang palng mudah adalah menggunakan metoda Euler Jka dberkan persamaan dferensal yang mempunya bentuk: 3

4 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN 4-37 dy f x, y dx Maka solus pada langkah ke n+ dperoleh dar harga perolehan langkah sebelumnya ke n, sesua hubungan: Atau: Solus langkah ke n+ = solus langkah ke n + fx,y dkal ukuran langkah 3 y n+ = y n + fx n, y n x 4 Perhatkan pada persamaan datas, fx n,y n adalah turunan atau slope yx pada ttk x n yx adalah solus persamaan dferensal yang hendak dcar Keteltan hasl perhtungan metoda euler n tergantung dar ncrement x Sudah barang tentu jka x dperkecl, hasl perhtungan yang dperoleh akan lebh telt, tetap jumlah perhtungan y n untuk suatu nteral tertentu, akan lebh banyak Namun demkan dengan makn menngkatnya kecepatan kemampuan htung dar personal komputer sekarang n, ternyata perhtungan/ solus numerk persamaan dferensal datas dapat dselesakan dengan waktu yang relatf cepat dan solus yang telt akan dperoleh menggunakan metoda n 3 Software Mathcad Secara sngkat dapat djelaskan bahwa Mathcad adalah sebuah software yang menggabungkan kemampuan menghtung perhtungan matematk, mengetk smbol-smbol matematk dan kemampuan untuk dprogram yang programnya juga menggunakan smbol-smbol matematk Bahasa program Mathcad Dsampng tu Mathcad dapat dgunakan pula sebaga pengolah kata word processor sepert halnya MS-Word dalam mcrosoft offce Jad dengan menggunakan Mathcad berart dapat langsung untuk mengolah kata word-processor, membuat program, menghtung / mengeksekus program,dan melhat langsung haslnya bak dalam bentuk numerk maupun grafk Kesemuanya tu dsmpan dalam satu fle worksheet Mathcad 4

5 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk Berkut adalah beberapa hal sngkat tentang kemampuan Mathcad Mengetk smbol matematk: 5 5 Mendefnskan fungs matematk, msalnya: f x e x sn x 34 Melukskan fungs tersebut, f x 4 x 5 Gambar : Penggambaran fungs oleh Mathcad Menghtung ntegral fungs datas, msalnya dar x = s/d x = π dlakukan sebaga berkut: e x snx 34 dx 4 Perhatkan bahwa ntegral dtuls dalam Mathcad menggunakan smbol ntegral, demkan pula dengan batas ntegrasnya Dsampng tu Mathcad memlk kemampuan perhtungan smbolk, msalnya menghtung ners matrk sebaga berkut: a c b d ad bc d c b a 5

6 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN 4-37 Tanda panah dapat dartkan hasl perhtungan adalah sebaga berkut Perhatkan pula bahwa smbol untuk mencar matrx ners dalam Mathcad juga dtuls dengan pangkat -, sepert notas yang ada dalam buku-buku matematk Kalau akan mengkwadratkan matrx secara smbolk maka dapat tuls dengan notas pangkat atau langsung mengalkannya sepert pada bagan berkut: a c a c b d b d a c b d a ca bc dc ab a ca bd bc d bc dc ab bd bc d Sepert dsebutkan datas, Mathcad juga memlk kemampuan untuk dprogram sesua tugas yang dberkan, msalnya program sederhana yang d-ngnkan atau ngn dbuat adalah sebaga berkut Jka dperntahkan pada Mathcad untuk menghtung jumlah5, maka Mathcad harus menghtung Jka dperntah ke Mathcad jumlahn, maka akan dhtung oleh Mathcad n, dengan n adalah blangan bulat sembarang Bentuk program dalam Mathcad dan cara eksekus programnya adalah sebaga berkut: jumlah n sum for n sum sum return sum jumlah 5 5 jumlah 5 35 jumlah

7 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk Sudah barang tentu mash banyak kemampuan yang ada dalam Mathcad, yang tdak dtulskan dsn Namun dapat dsmpulkan bahwa Mathcad adalah suatu software yang amat menark untuk dpelajar, mudah daplkaskan / dprogram, karena smbol-smbol yang dgunakan sama sepert matematka yang umum, dan andal dgunakan dalam perhtungan matematk Gambar Tamplan Software Mathcad 4 Solus Persamaan Dferensal Metoda Numerk Tnjau suatu rangkaan - ser sepert dlukskan dalam gambar 3 sepert pada halaman berkut 7

8 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN 4-37 s et + t= t - Gambar 3: angkaan - ser Msalkan pada t=, swtch s dtutup Konds mula untuk arus = Persamaan dferensal untuk rangkaan datas dperoleh dar persamaan tegangan loop, yatu: d e t 5 dt Slope arus tan α pada gambar 4, dar persamaan datas adalah, atau d e t dt e t t, 6 Solus langkah dem langkah metoda euler adalah sesua persamaan 4: n n n t 7 = t = + tg t a Gambar 4: Dasar perhtungan langkah dem langkah b 8

9 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk Dengan menggunakan Mathcad, program untuk mencar arus adalah: nk soluspd a b t b a t a t for n nk t a nt n n t n t return 8 Pada program datas, soluspd adalah nama fungs yang dberkan,, a, b, t, adalah argumen fungs, dan adalah nla return hasl perhtungan fungs Dalam badan fungsnya sendr arabel nk adalah jumlah ttk solus numerk yang dhtung, a dan b adalah ttk awal dan akhr selang/ nteral untuk solus yang damat Msalkan dambl data-data rangkaan adalah: et = 5 sn t = = a = b = 6 t =, = : harga mula arus Solus numerk menggunakan Mathcad adalah sebaga berkut, t, e t = solus PD, a, b, t, b a n =, t 9

10 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN 4-37 t n = a + n t 9 Jka dgambarkan bentuk arus hasl perhtungan datas, serta gambar tegangan yang dpasang pada rangkaan, haslnya adalah lhat gambar 5: 5 etn n tn Gambar 5: Bentuk arus solus numerk serta tegangan sumber Pada bagan berkut dperlhatkan rangkaan ser --C sepert terluks dalam gambar 6: s et + - t= t C 3 Gambar 6: angkaan ser --C Pada rangkaan datas ada konds mula yang dperlukan yatu untuk nduktor dan untuk kapastor Msalkan konds mula arus nduktor = Demkan pula tegangan awal kapastor dambl =, = Persamaan dferensal yang akan dbentuk dperoleh dar persaman tegangan dan arus dar rangkaan datas, yatu: 3

11 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk et = V + V + V C d = I + + Vc dt dq = dt = C dv c dt Slope arus dan tegangan yang dperlukan untuk solus numerk, dan bentuk solusnya adalah, Sebut, d = dt dv c = C dt e t V n+ = n + n t c V C n = V C n + V C n t t, V c, I = e t Vc o = t, V c, I = C y o = 3

12 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN 4-37 nk soluspd a b t b a t a t a t for n nk t a nt t n n n n t t n n n n t return 3 Argumen fungs yang dbuat datas ada 7 buah, terdr dar buah persamaan dferensal orde, yatu dan, selang yang damat [a,b], ncrement t, serta konds mula arus o dan tegangan mula o Nama fungs yang dberkan adalah soluspd dan nla return fungs datas adalah solus dan Ambl data-data rangkaan adalah sebaga berkut: =, =, C =, a =, b = 6, t =, et = 5snt c c = solus PD,, a, b, t, I o, o n =, b a t t n = a + n t 5 3

13 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk Bentuk keluaran yang dperoleh: 5 etn cn cn tn 5 Gambar 7 Bentuk keluaran solus numerk untuk arus dan tegangan kapastor Hasl pada gambar 8 pada halaman berkut adalah hasl solus numerk menggunakan Mathcad Untuk membandngkan keteltan hasl perhtungan menggunakan program Mathcad yang telah dbuat datas, telah dcoba pula dsmulaskan dengan program smulas Pspce Program smulas Pspce untuk rangkaan --C datas, dengan konstanta rangkaan yang sama adalah sebaga berkut: angkaan C, masng-masng satuan, no smpul sama sepert dalam gambar 6 Vs sn ;w=, f =/*p = 595 IC= ; = henry, ntal condton = 3 C 3 IC= ; C = Farad, ntal condton c= tran 6 probe end 33

14 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN 4-37 Gambar 8: Tamplan keluaran dlhat dalam Mathcad Jka program datas d run menggunakan Pspce, bentuk keluaran yang dhaslkan adalah sebagamana yang dlukskan dalam gambar 9 Terlhat bahwa hasl smulas Pspce perss sama dengan hasl perhtungan yang dlakukan secara numerk menggunakan metoda euler Catat bahwa adalah tegangan smpul, yatu tegangan sumber 3 adalah tegangan 34

15 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk pada smpul 3, yatu tegangan pada kapastor, sedangkan I adalah arus dalam resstor, juga merupakan arus dalam kapastor rangkaan ser Nomor smpul sesua nomor yang dberkan pada gambar 6 Tamplan program smulas menggunakan Pspce dan Hasl smulasnya dgambarkan pada gambar 3 dan 4, dakhr sub bagan 5 5 et I c t c t -5 s s s 3s 4s 5s 6s V V3 I Tme Gambar 9: Smulas rangkaan --C menggunakan Pspce 5 Menulskan Persamaan Dferensal Untuk Solus Numerk Untuk dapat membuat program solus numerk, pada sub bab 4 datas perlu dtulskan persamaan dferensal dar sstemnya, lhat persamaan Sebaga mana halnya untuk rangkaan - ser, telah dtuls sebuah persamaan dferensal, persamaan 6, yang kemudan dgunakan untuk menulskan program numerknya persamaan 8 untuk mendapatkan solusnya Demkan pula untuk rangkaan --C ser, juga telah dtulskan persamaan, yang juga serng dsebut sebaga persamaan keadaan Persamaan keadaan adalah persamaan yang mengurakan dnamka dar sstem tersebut Dar persamaan dferensal tersebut, baru dapat dcar solus numerknya Dalam rangkaan --C, dsn ada persamaan dferensal, jad ada syarat batas yang dperlukan untuk mengurakan dnamka sstem, yatu berupa solus dar persamaan dferensal Program solus numerknya telah dbuatkan pula, yatu persamaan 3, yang menghaslkan buah solus yatu untuk arus dan tegangan kapastor Untuk rangkaan 35

16 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN lstrk yang agak rumt dperlukan cara-cara sstemats untuk mendapatkan sstem persamaan dferensal n Setelah persamaan n dperoleh, baru dapat dtulskan program solus numerknya Berkut dberkan beberapa rangkaan lstrk dan cara mendapatkan sstem persamaan dferensalnya Tnjau rangkaan lstrk sepert dtunjukan dalam gambar berkut + - t t s t= et Gambar : angkaan dengan loop Persamaan tegangan loop untuk rangkaan datas yang kemudan datur agar persamaan dferensalnya terletak pada matrx kolom sebelah kanan, adalah: t e 6 Dengan menggunakan perhtungan smbolk yang dsedakan Mathcad, maka dperoleh persamaan dferensal sepert dalam persamaan, sebaga berkut: t e t e 7 Dar persaaman datas serta syarat batas yang dperlukan dapat dbuatkan solus numerknya sepert durakan dalam sub bagan 4 datas

17 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk 37 Perhatkan bahwa pada rangkaan gambar ada buah nduktor, jad ada syarat batas yang dperlukan yatu dan, untuk mendapatkan solus numerk persamaan 7 Tnjau rangkaan pada gambar berkut: + - t t s t= et C Gambar angkaan dengan dan C Pada rangkaan datas ada nduktor dan satu kapastor Jad ada 3 syarat batas yang dperlukan buah untuk nduktor dan satu buah untuk kapastor Persamaan tegangan loop untuk rangkaan datas setelah datur, dalam bentuk matrx adalah: C t e c c 8 Pada persamaan datas datur agar persamaan dferensalnya muncul pada matrx kolom ss palng kanan Kemudan dengan mengambl ners matrx untuk matrx koefsennya ukuran 3x3 dan kembal menggunakan fasltas smbolk Mathcad, ddapatkan persamaan dferensalnya adalah: c = C C C C C t e c 9

18 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN Atau setelah dlakukan perkalan matrx pada 9 menghaslkan c = t e t e C c c Dengan menggunakan konds mula c dan, akan dapat dbuat solus numerknya sepert dalam persamaan 3 sub bab 4 datas Terakhr tnjau rangkaan lstrk dalam gambar berkut: + - t t s t= et C Gambar : angkaan --C pada kedua loop Dar persamaan tegangan loop, setelah mengatur persamaan dferensal pada ss palng kanan matrx, dperoleh: C t e c c c Dar persamaan datas dperoleh persamaan dferensalnya adalah: c = t e C c c

19 Maula Sukmawdjaja, Metode angkah Dem angkah Untuk Solus Transen angkaan strk Gambar 3: Tamplan Program Smulas Dengan Pspce Gambar 4: Tamplan Hasl Smulas Menggunakan Pspce 39

20 JETr, Tahun Volume 5, Nomor, Februar 6, Halaman -4, ISSN Kesmpulan Kebanyakan masalah prakts dalam bdang sans dan teknk memerlukan solus sebuah sstem persamaan dferensal smultan Secara umum, sstem demkan dapat dtunjukkan oleh persamaan berkut: dy dx dy dx dyn dx f x, y, y, f n x, y, y f x, y, y,,,,, y n y y n n Solus dar suatu sstem yang demkan memerlukan n buah konds awal untuk dketahu pada saat harga x permulaan yang kemudan dpaka untuk mencar solus pada x berkutnya Beberapa bentuk rangkaan lstrk telah dberkan untuk membentuk persamaan dferensal sepert persamaan datas Dengan memanfaatkan fasltas perhtungan Smbolk Mathcad, sstem persamaan dferensalnya akan mudah dperoleh Setelah tu barulah dbuatkan program solus numerknya Untuk melhat keteltan perhtungan Solus numerk yang dbuat, haslnya juga dbandngkan dengan program smulas Pspce, yang ternyata keteltannya cukup memuaskan Daftar Pustaka Stagg and El-Abad, 98, Computer Methods n Power System Analyss Tokyo: McGraw-Hll Kogakusha, td Steen C Chapra, PhD, 988, Numercal Methods For Engneers, nd Edton New York: McGraw-Hll, Inc 4