4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

Transkripsi

1 4. TURUNAN

2 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan m c c c c P c -c

3 b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = t. Pada saat t = c benda berada di c dan saat t = c + h benda berada di c+h. Perubahan waktu c c+h c Perubahan posisi c+h s Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah v ratarata c h h c

4 Jika h, diperoleh kecepatan sesaat di = c : c h c v vratarata h h h Misal = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk v c c c Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Deinisi 4. : Turunan pertama ungsi di titik = c, notasi sebagai berikut: bila it diatas ada c c c dideinisikan c c 4

5 Notasi lain : Contoh : Diketahui d c, y c d tentukan 9 5

6 4.. Turunan Sepihak Turunan kiri dari ungsi di titik c, dideinisikan sebagai : c c Turunan kanan dari ungsi di titik c, dideinisikan sebagai : c c bila it ini ada. Fungsi dikatakan mempunyai turunandierensiabel di c atau ada, jika c c dan c _ c c sebaliknya dikatakan tidak mempunyai turunan di c. c c c c c 6

7 7 Contoh : Diketahui,, Selidiki apakah dierensiabel di = Jika ya, tentukan Jawab : a. b. Jadi, dierensiabel di =.. dan

8 Teorema 4. Jika dierensiabel di c kontinu di c. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah c c Siat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika kontinu di c, maka belum tentu dierensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut. 8

9 Contoh Tunjukkan bahwa = kontinu di = tetapi tidak dierensiabel di = Jawab Akan ditunjukkan bahwa = kontinu di =,, = kontinu di = 9

10 . Selidiki apakah terdierensialkan di = Karena maka tidak dierensiabel di.

11 ,, a b. a b a b a b Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar ungsi berikut dierensiabel di = ; Jawab : Agar terdierensialkan di =, haruslah a. kontinu di = b. Turunan kiri = turunan kanan di = kontinu di = jika kontinu kiri dan kontinu kanan di = atau

12 a Maka diperoleh : a = dan b =. a b a a a a a a

13 Soal Latihan Tentukan nilai a dan b agar ungsi berikut dierensiabel di titik yang diberikan.. a b ; ;, =. ; a b ;, =. a ; b ;, =

14 aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :. Jika =k, maka dengan g. 4 R r r d d r r ; g d g d g g d g d g g g d d g 4. Aturan Pencarian Turunan

15 Tentukan turunan pertama dari Contoh. Tentukan turunan pertama dari 4 Jawab :. 6. Tentukan turunan pertama dari Jawab : Jawab :

16 Soal Latihan Tentukan ungsi turunan pertama dari. /

17 4. Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus a. sin cos b. cos sin 7

18 Untuk turunan ungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v sin tan d cos d c. d d cos cot d sin d d. d d sec d cos d e. d d csc d sin d. d d cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sec csc tan sec csc cot 8

19 4.4 Aturan Rantai Andaikan y = u dan u = g. Jika dy dan du ada, maka du d Contoh : Tentukan Jawab : Misal u Karena maka dy d dy du dy d dy du du d cosu dy d dari sehingga bentuk diatas menjadi dan cos du d y sin cos y sin u 9

20 Jika y = u, u = gv, v = h, dan dy d Contoh : Tentukan Jawab : Misal v dy du dv du dv d dy d dari 5 y Sin dy du 4 du dv, dv d, Ada, maka dv d 5 u = Sin v du cos v cos 5 dv 4 u dy 4u 4Sin 5 sehingga du y dy d dy du dv.. du dv d Sin 5 Cos 5

21 4.5 Turunan Tingkat Tinggi Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-n-. n d Turunan pertama d Turunan kedua d " d Turunan ketiga d " d n Turunan ke-n n d n d Contoh : Tentukan dari Jawab : y d d n y y 4 sin cos maka y 4 sin

22 Soal Latihan Tentukan ungsi turunan pertama menggunakan aturan rantai dari. y cos 4 4. y y y sin y = sin tan [ + ]

23 Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari. y sin.. y y 4 g a B. Tentukan nilai a, b dan c dari b c bila g = 5, g dan g 4