Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Transkripsi

1 Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

2 Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal sehingga faktor latihan sangat penting untuk memperoleh hasil yang memuaskan. Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda akan sukses.

3 Fungsi Pangkat: Eskponensial: k du = ku + C e u du u = e+ C r u du r+ 1 u + = r + 1 ln u + C C a a a u du = + C, ln a 1, a> 0 u

4 Misal g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan F adalah suatu fungsi antiturunan dari f. Maka jika u = g(), f ( g ( )) g' ( d ) = f( u) du = F( u) + C = F( g( ) ) + C Ubah integran menjadi bentuk yang lebih mudah untuk disubstitusikan atau diintegrasikan langsung.

5 Tentukan cos d Substitusi u = dengan yang termuat dalam integran, maka: cos d = cos d du = 1 d = cosudu = sin u + c = sin + c Ingat : variabel awal harus habis (tidak ada lagi)

6 Tentukan + d + 1 Ubah penyebut menjadi fungsi rasional sejati: + ( + 1) ( + 1) 1 = = ( + 1) Jadi: 1 + d = ( + 1) d = + ln( + 1) + c

7 Fungsi Rasional: pembagian dua polinomial Fungsi Rasional Sejati: derajat/pangkat polinom pembilang lebih rendah daripada derajat polinom penyebut. Akan ditunjukkan proses dekomposisi fungsi rasional menjadi rasional sejati yang merupakan bentuk-bentuk yang mudah untuk diintegrasikan. (Metode pecahan parsial) 1 Contoh: d =??

8 Langkah-langkah: Faktorisasi penyebut menjadi bentuk linier dan kuadrat yang tidak dapat diuraikan lagi. Contoh: = ( 4) 3 Apabila pada penyebut ada faktor yang berlainan, misal (-a)(-b) didekomposisi menjadi: Koefisien diperoleh dari penyamaan penyebut. Prosesnya nanti akan diterangkan dengan contoh. 1 A1 A = + ( a)( b) ( a) ( b)

9 Beberapa cara dekomposisi: Untuk tiap faktor yang berbentuk dekomposisi menjadi bentuk B B Untuk tiap faktor yang berbentuk dekomposisi menjadi bentuk ( a + b) k 1 k ( a + b) ( a + b) k ( a + b) B ( ) m a + b + c D 1 + E1 D+ E D m + Em ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) m

10 Tentukan d 3 + Faktorisasi penyebut: = ( 8+ 16) = ( 4) 1 A1 A A3 = + + ( 4) ( 4) ( 4) A1, A, A diperoleh dari proses penyamaan penyebut 3 Lakukan dekomposisi berikut: 3 1 A1( 4) + A ( 4) + A 3 = ( 4) ( 4) 1 = A( 4) + A( 4) + A= ( A+ A) + ( 8A 4 A + A) + 16A maka A = A = A 3 =

11 Integran menjadi: d = d d + d ( 4) 4( 4) Gunakan substitusi u = 4 untuk integral terakhir jadi d = du = + c = + c ( 4) u u 4 Jadi hasil integralnya adalah d = ln ln 4 + c ( 4) 3

12 Fungsi Trogonometri: 1. sin u du = cosu + C. cosu du = sin u + C 3. sec u du = tan u + C 5. secu tan u du = secu + C 6. cscucot u du = cscu+ C 7. tan u du = ln cs o u + C 4. csc du u = cot u + C 8. cot u du = ln sin u + C

13 Fungsi Aljabar: 1 u = a du sin C. a a u 1 1 u du tan + u a = 1 a u 1 a 3. = sec + = cs u u a a a a u + C 1 o 1 du C C

14 Fungsi Hiperbolik: sinh u du = cosh u + C cosh u du = sinh u + C

15 sin Phytagoras: + cos = 1 1+ tan = sc e 1+ cot = cc s Setengah sudut: 1 sin = (1 cs o ) 1 cos = (1 + c o s )

16 Hasil Kali Sudut 1 sin mcos n= ( sin( m+ n) + sin( m n) ) 1 sin msin n= cos( m+ n) cos( m n) 1 cos mcos n= ( cos( m+ n) + cos( m n) ) ( )

17 Tentukan d Ubah penyebut menjadi bentuk kuadrat sempurna = = 6+ 5 ( 3) + 16 ( 3) + 4 Bentuk terakhir merupakan turunan dari 1 u tan a ( 3) d = d = tan + c

18 Ada jenis radikal yang biasa muncul: 1. Integran yang memuat n a + b. Integran yang memuat a, a +, a

19 Tentukan + 3 d Gunakan substitusi u 3 # u jadi = + 3 u du = + sehingga = d # # + 3 d = ( u 3) u du 3 ( 3 ) = u u du = u = u u + c = ( + 3) ( + 3) + c 4 3

20 Untuk jenis yang kedua dapat dilihat bahwa perubahan bentuk integran akan mengarah pada penggunaan kesamaan phytagoras. a kesamaan yang digunakan a a sin t = a cos t. Gunakan substitusi = asin t dengan pembatasan π t π sehingga diperoleh a = a a sin t = a cos t = acost

21 a + kesamaan yang dipakai a + a tan t = a sec t Gunakan = atan t sehingga diperoleh dengan pembatasan π < t < π. a + = a + a tan t = a sec t = asect

22 a Gunakan Kesamaan yang dipakai = asect sehingga diperoleh a sec t a = a tan t a = a sec t a = a tan t = atan t dengan 0 t π, t π /

23 Tentukan 9 d Gunakan substitusi = 3sin t sehingga diperoleh penyebutnya menjadi jadi 9 d = 3cos t sedangkan = 9sin t 9sin t 3cost ( 3cos t dt) 9 = 9sin t dt = ( 1 cos t ) dt 9 1 = t sin t + c 9 1 sin sin sin = + c

24 Gunakan substitusi sin t = sin tcost dan untuk membalikan proses substitusi dari t ke, diperlukan sin t t sin sin = = = = 3 1 cos cos sin?

25 Gunakan segitiga berikut ini: Didapat a cost 1 9 = cos sin = 3 3 t Jadi a d = sin c 9 sin = + c

26 Jika metode substitusi gagal, maka digunakan metode substitusi ganda. Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan dari hasilkali dua fungsi. Andaikan u = u() dan v = v() maka D ( u( ). v ( )) = u ( ). v '( ) + u'( ). v ( ) dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh u ( ). v ( ) = u ( ). v'( ) d + u'( ) v( ) d

27 Atau u( ). v'( ) d = u ( ). v( ) u'( ) v( ) d Karena dv = v () dan du = u () maka Atau b a u. dv = u. v v. du Untuk menyelesaikan proses dapat dilakukan teknik ini berulang. sin [ u v] d Contoh: Tentukan,, u. dv =. v. du b a e cos d b a cos d

28 Rumus reduksi : n k f ( ) g( ) d = h( ) + f ( ) d, k < n (Pangkat dari f berkurang) Sangat bermanfaat untuk pengintegralan fungsi trigonometri berpangkat tinggi. Contoh: Turunkan suatu rumus reduksi untuk sin n d α e β d

29 Ada 5 jenis yang sering muncul: 1.. sin n d cos n d sin m n cos d 3. sin m cos n d, sin msin n d, cos m cos n d

30 4. n tan n d, cot d 5. m n m n tan sec d, cot csc d

31 Tipe 1 dan : bila pangkat dari fungsi cos atau sin adalah ganjil, maka faktorkan jadi fungsi berpangkat genap dan fungsi berpangkat satu. Lalu gunakan identitas Contoh: 5 sin d =? sin + cos = 1

32 Bila fungsi berpangkat genap diubah menggunakan rumus setengah sudut: 1 sin (1 cs ) 1 = o cos = (1 + c o s ) Contoh: c 4 os d =?

33 Tentukan sin 3 cos 4 d Faktorkan fungsi sin berpangkat menjadi sin dan sin dimana (-sin d) menjadi g (), lalu ubah sin = 1 cos

34 Tentukan 4 sin cos d 4 1 cos 1+ cos sin cos d = d =...

35 Tipe 3: memerlukan kesamaan hasilkali antara fungsi sinus dan cosinus: 1 sin mcos n= ( sin( m+ n) + sin( m n) ) 1 sin msin n= cos( m+ n) cos( m n) 1 cos mcos n= ( cos( m+ n) + cos( m n) ) ( )

36 Tentukan cos y cos 4y dy

37

38 Tipe 4: Dalam kasus tangen, faktorkan : Sedangkan untuk kasus cotangen, faktorkan : c 3 ot d =? tan = sec 1. cot = csc 1.

39 Tipe 5a: Jika n genap (n adalah pangkat dari sec atau csc ), maka faktorkan seperti tipe 4. tn a 3 / 4 se c d =?

40 Tipe 5b: Jika m ganjil (m adalah pangkat dari tan atau cot ), maka masing-masing faktorkan menjadi pangkat satu dan sisanya. 3 1/ tan s ec d =?

41 1. Carilah substitusi yang membuat integral berbentuk seperti aturan integral yang baku. Contoh: sin,, 1 d e d d. Kenali situasi perkalian dua fungsi: turunan dari fungsi pertama dan antiturunan dari suatu fungsi kedua berbentuk integral baku, hal ini merupakan proses integral parsial. e d, sinh d

42 3. Substitusi trigonometri. Jika integran mengandung = a sin t. Jika integran mengandung = a tan t. Jika integran mengandung = a sec t. a + a a, gunakan substitusi, gunakan substitusi, gunakan substitusi 4. Jika integran adalah fungsi rasional sejati, dekomposisi integran tersebut dengan menggunakan metode pecahan parsial. Jika integran bukan fungsi rasional sejati, dekomposisi menjadi suatu polinom dan suatu fungsi rasional sejati.