AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

Transkripsi

1 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/ UTS Pendek 008/ UTS 007/ UTS 006/ UTS 005/ UTS 00/ UTS 00/00... UTS 00/00... UTS 00/00... UTS 000/ UTS 999/ PEMBAHASAN... 9 UTS Genap 009/ UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/ UTS Pendek 008/ UTS 007/ UTS 006/ UTS 005/ UTS 00/ UTS 00/ UTS 00/ UTS 00/ UTS 000/ UTS 999/ iii

2 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SOAL - SOAL

3 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP Mata Kuliah : Kalkulus MA Jum at, 9 April 00 UTS Genap 009/00. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. b. 5. Diketahui f ( ) sin dan g ( ) a. Tentukan Df, Rf, Dg, dan Rg b. Periksa apakah g o f dan c. Bila ya, tentukan Dg o f dan. Diketahui f ( ) a b, > f o g terdefinisi? D f o g,0 < Tentukan konstanta a dan b, agar ( ) 5. Diketahui f ( ) 5 f terdiferensialkan di. a. Tentukan selang kemonotonan b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada) c. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya d. Gambarkan grafiknya No Jumlah Nilai Maks

4 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL Mata Kuliah : Kalkulus MA Close Book dan tanpa kalkulator UTS Ganjil 009/00. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan <. Tentukan nilai a agar fungsi f ( ) ( a) sin, < 0, 0 mempunyai it di 0. Periksa apakah fungsi f ( ), <, kontinu di. Diketahui kurva y y a. Tentukan rumus y ' b. Tentukan persamaan garis singgung di titik (,) 5. Diketahui f ( ), f '( ), g( ), g' ( ), h( ) f ( g( ) ),hitungh '( ) 6. Diketahui f ( ) a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Sketsa grafik f ( )

5 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP Mata Kuliah : Kalkulus, MA Tanggal : Jum at, 7 April 009 UTS Genap 008/009. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan. Tentukan persamaan garis singgung dari y yang tegak lurus dengan y 0 f. Tentukan : a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada) b. Selang kecekungan dan titik belok ( bila ada ) c. Asymtot d. Grafik fungsi. Diberikan fungsi ( ). Sebuah segiempat alasnya berimpit pada salah satu sisi sebuah segitiga siku-siku dengan alas 5 cm dan tinggi 6 cm, seperti terlihat pada gambar di bawah. Berapa luas maksimal dari segiempat tersebut.? 6 cm 5 cm 5

6 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK Mata Kuliah : Kalkulus, MA Tanggal : Senin 7 Juli 009 UTS Pendek 008/009. Cari himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut a. b.. Diketahui fungsi f ( ) dan g( ) a. Cari D f, R f, D g, R g b. Periksa apakah gof terdefinisi c. Bila ya, cari D gof 5. a. Hitung bila ada 6 8 b. Tentukan nilai k supaya kontinu di 0 f ( ) tan k k,, < 0 0. Diketahui f ( ), 6 7, > Periksa apakah f ( ) punya turunan di 5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi sin y cos a. Cari nilai y ' 6

7 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Cari persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik π π, 5 6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f ( ) 5 a. Cari selang kemonotonan dan nilai ekstrik b. Cari selang kecekungan dan titik belok bila ada c. Gambar grafik f ( ) 7

8 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL Mata Kuliah : Kalkulus / MA 9 Oktober 007 UTS 007/008. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan : a. b. >. Diketahui f ( ), g ( ) a. Tentukan,,, b. Periksa apakah gof terdefinisi, jika ya tentukan ( gof )() c. Tentukan D gof. Periksa apakah fungsi berikut kontinu di f ( ) ; ( ) sin ; 6 9. Diketahui f ( ) a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (jika ada) c. Tentukan semua asimtotnya dan titik potong terhadap sumbu & y (bila ada) d. Gambarkan grafik f() Soal Nilai

9 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 006/007 Mata Kuliah : Kalkulus /MA Senin November 006 UTS 006/007. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ; a. < < 5 b.. Diketahui f ( ) dan g( ) a. Periksa apakah fog ada? b. Jika fog ada, tentukan fog dan D fog!. Tentukan nilai a agar 9 a 7. Diketahui f ( ), tentukan : a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada ) b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada ) c. Asimtot ( jika ada ) d. Sketsa grafiknya 5. Sebuah persegi panjang dibuat dalam lingkaran dengan jari-jari dengan keempat titik sudutnya terleta pada lingkaran. a. Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi suatu peubah! b. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum! -o0o- Selamat mengerjakan -o0o- 9

10 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 005/006 Mata Kuliah : Kalkulus /MA Senin 7 Oktober 005 UTS 005/006. Tentukan persamaan garis singgung di dua titik potong kurva y y 6 dengan sumbu.. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan ( ). a. Tentukan a agar 9 a a cos( b) b. Tentukan a dan b sehingga 0. Diketahui f ( ) Tentukan : a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada) b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada ) c. Asimtot ( jika ada ) d. Sketsakan grafiknya 5. Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat berukuran 5 meter kali 8 meter. Ini dilakukan dengan memotong daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat pada garis titik-titik. berapakah ukuran, y, dan z yang memaksimumkan volume kotak tertutup tersebut. y z 0

11 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 00/005 Mata Kuliah : Kalkulus / MA- Tanggal : Senin 5 November 00 UTS 00/005. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan <. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y Cos( y ) di titik potong kurva dengan sumbu.. Hitung. Diketahui f ( ) tentukan semua nilai ekstrim fungsi beserta jenisnya pada selang [-½,] 5. Tentukan luas maksimum dari segitiga yang terletak di dalam parabola seperti gambar berikut ini

12 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 00/00 Mata Kuliah : Kalkulus / MA- Tanggal : Senin 6 Oktober 00 UTS 00/00. Tentukan daerah asal dari fungsi a. f ( ) 5 6 b. f ( ). Hitung cos a. π sin b. tentukan a agar a 5,. Periksa apakah fungsi f ( ), < terdiferensialkan di, jika ya tentukan f (). Diketahui f ( ) a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi beserta jenisnya b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik fungsi f() 5. Diketahui daerah D di kwadran pertama yang dibatasi oleh y, y, dan sumbu y. a. Hitung luas D b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap y -

13 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 00/00 Mata kuliah : Kalkulus / MA- Tanggal : Senin/ April 00 UTS 00/00 Kerjakan dengan singkat dan jelas! Jangan lupa berdoa, sebelum mengerjakan!. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: a. < b. 5 <. Diketahui fungsi f ( ), tentukan : 9 a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim b. Selang kecekungan dan titik belok c. Asimtot d. Sketsa grafik f() 5. Diketahui fungsi implisit y y 6 a. Tentukan y b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di.. Diketahui daerah D dibatasi oleh y,, y 0. tentukan : a. Luas daerah D b. Volume benda putar jika D diputae terhadap - -o0o-o0o-

14 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 00/00 Mata Kuliah : Kalkulus /MA- Waktu :0 Menit UTS 00/00 Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan. Kemudian kerjakan dengan da tepat!.. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut 7 a. < b. < <. Diketahui 7 jika b f ( ) jika > b a. Tentukan b agar f() kontinu! b. Periksa apakah f differensiabel (punya turunan ) pada b yang diproleh di atas!. Tentukan persamaan garis singgung grafik f ( ) yang sejajar dengan garis y.. Diketahui suatu daerah D dibatasi oleh y, y, dan sumbu y. Hitung : a. luas D b. volume benda putar jika D diputar terhadap y -

15 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 000/00 Mata Kuliah : Kalkulus (DA-) Senin Oktober 000 UTS 000/00. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a. 5 b. <, <. Diberikan fungsi f ( ) p q, a. Tentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di f ' ada! b. Tentukan nilai p dan q agar ( ). Diberikan persamaan kurva y dy a. Tentukan di titik (,-) d b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva tersebut yang melalui titik (,-).. Hitunglah tdt a. 0 sin b. d 5

16 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I KERJAKANLAH SOAL NO 5 ATAU 6 (salah satu saja ) 5. Diberikan fungsi f ( ) ( ) a. Tetukan selang kemonotonan dan titik ekstrimnya (jika ada) b. Tentukan selang kecekungan dan titik beloknya c. Carilah semua asimtotnya d. Sketsalah grafiknya 6. Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y, sumbu dan sumbu y. y ( ), garis a. Gambarkan (arsir) daerah R dan hitunglah luasnya b. Hitunglah volume bennda putar bila R diputar mengelilingi sumbu. Selamat Mengerjakan Teriring do a Kami Untuk Keberhasilan Anda 6

17 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 999/000 Mata Kuliah : Kalkulus /DA- Tanggal : Senin November 999 UTS 999/000. Tentukan himpunan jawab :. a. Hitung 5 5 b. Diketahui g ( ) 0 5, tentukan g( ) 5. Diketahui f ( ) dan g ( ) a. Buktikan gof terdefinisi! b. Tentukan persamaan dan asal daerah fungsi gof! p 5 >. Diketahui f ( ) q 7 tentukan konstanta p dan q supaya f() kontinu di 5. Diketahui kurva ( ) y a. Tentukan y b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis singgung tersebut tegak lurus pada garis y 6. f() adalah fungsi kontinu, dan f(0) f() 0. Jika grafik y f ' seperti gambar di bawah ini ( ) 7

18 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I a. Tentukan selang kemonotonan f() b. Tentukan selang kecekungan f() c. Buat sketsa grafik f() Selamat Bekerja Ebs-tza-jdn-mhd-rmi-wdt 8

19 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN 9

20 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP Mata Kuliah : Kalkulus MA Jum at, 9 April 00 UTS Genap 009/00. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 0 ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 Karena definit positif, maka jelas bahwa pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika > 0 yaitu >. Jadi himpunan penyelesaian yang >. dimaksud adalah { } b ( i) Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk 5, kita peroleh untuk 5 pertaksamaan (i) secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut 5 ( ) ( ) ( ) ( 5 ) 5 5 atau 5 0

21 5 5 yang memberikan penyelesaian 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5 { ( ) 5} { 5 5 }. Hp Sedangkan untuk < 5, pertaksamaan (i) secara berturut turut menjadi 5 ( ) ( 5 ) ( ) 5 7 ( ) yang memberikan penyelesaian 5 { 7 5} { 7 7} 5 < 5 5 Hp 7 Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (i) secara keseluruhan adalah Hp { } Hp Hp ( ). Diberikan f ( ) sin dan g ( ) a. Menentukan Df, Rf, Dg, dan Rg D f f g g R, R [,], D [, ), dan R [0, ) b. Memeriksa apakah g o f dan f o g terdefinisi Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah D R D. R { } dan { } f g g f Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh R D yang menunjukkan bahwa g o f tidak terdefinisi, f g { } sedangkan [0, ) { } R yang menandakan bahwa g D f f o g terdefinisi.

22 c. Menetukan Dg o f dan Karena 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I D f o g g o f tidak terdefinisi, maka ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh D f o g { D g g( ) D f } { [, ) R} { 0} { }. Diberikan f ( ) D o tidak dapat a,0 < b, > Syarat perlu agar f terdiferensialkan di adalah f harus kontinu di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil f ( ) f ( ) f ( ), yaitu a b atau b a ( *) Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f terdiferensialkan di dan dengan menggunakan (*), secara berturut turut kita peroleh ' ' ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f a a b a ( ) ( ) ( a ) a a ( a ) a a (( a ) a) a a a a ( )( ) Dengan demikian b Jadi agar f terdiferensialkan di maka haruslah a dan b g f

23 5. Diberikan f ( ) 5 a. Menentukan selang kemonotonan f ' ( ) ( )( ) 0 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f monoton naik jika f '( ) > 0 yaitu pada selang (,0 ) ( 0,) - f monoton turun jika f '( ) < 0 yaitu pada (, ) (, ) b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok f " ( ) ( ) ( )( ) - f cekung ke atas jika "( ) > 0 - f cekung ke bawah jika ( ) 0 f yaitu pada (, ) ( 0, ) f " < yaitu pada (,0) (,0),, dan, f,dan f - karena pada pada 0 terjadi perubahan kecekungan serta ( ) ( ) ( 0) masing ada, maka ketiga titik ( 7 7, ), (, ) (0,0) adalah titik belok. c. Menentukan nilai ekstrim dan jenisnya Titik (-,-) merupakan titik minimum lokal karena f '( ) 0 dan f "( ) > 0, sedangkan titik (,) merupakan titik maksimum lokal karena f '( ) 0 f "( ) < 0 dan 5 d. Grafik f ( ) 5 ditunjukkan pada gambar di samping f masing, dan

24 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL Mata Kuliah : Kalkulus MA UTS Ganjil 009/00. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan <. Pertaksamaan tersebut setara dengan < <. Kasus > disederhanakan menjadi > yang akan selalu terpenuhi untuk setiap R. Sedangkan kasus < secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut < < < < < Jadi himpunan penyelesaian bagi pertaksamaan di atas adalah R < < < < { } { }. Diberikan f ( ) ( a) sin, < 0, 0 Agar f memiliki it di 0 maka haruslah f ( ) f ( )* Ekspresi pada ruas kiri (*) memberikan 0 f ( ) sin 0 ( a) sin a 0 a sedangkan dari ruas kanan (*) diperoleh 0 f ( ) ( ) 0. 0 ( a) sin( a) a a 0 a 0 a Kesimpulannya a harus bernilai agar f memiliki it di 0.. Memeriksa apakah fungsi di bawah berikut kontinu di., < f ( ), ; a 0,

25 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f. Perhatikan bahwa untuk < berlaku ( )( ) ( pencoretan pada langkah di atas adalah benar karena ). Dengan demikian sebenarnya kita telah menunjukkan bahwa f ( ) untuk setiap, dan telah kita ketahui bersama bahwa fungsi ini kontinu pada R, khususnya pada.. Diketahui kurva y y a. Menentukan rumus y ' Dengan menurunkan kedua ruas persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap, kemudian menyelesaikannya untuk y ', maka secara berturut turut diperoleh hasil berikut y yy' yy' 0 yy' yy' y ( y y) y' y y y' y y b. Menentukan persamaan garis singgung di titik (,) Dengan melakukan subtitusi pada hasil dari bagian sebelumnya diperoleh kemiringan garis singgung di titik (,) yaitu. y Sehingga persamaan garis singgungnya adalah ( ) 7 atau y 5. Mengevaluasi h '( ) jika diketahui f ( ), f '( ), g( ), g '( ), dan h ( ) f ( g( ) ) Penerapan aturan rantai pada h( ) menghasilkan h '( ) f '( g( ) ) g' ( ). Dengan demikian h '( ) f '( g( ) ). g' ( ) f '( ). g' ( ) f ( ) ( ) ; a. Menentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi 5

26 f '( ) ( ) Karena '( ) < 0 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I f untuk setiap, maka f selalu turun pada (-, )/{}. Ini juga menegaskan bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok f "( ) ( ) f cekung ke atas jika f "( ) > 0 yaitu untuk >, dan cekung ke bawah jika f "( ) < 0 yaitu untuk <.f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y a b) f ( ) a 0 b f ( ) a jadi f memiliki asimtot datar yaitu y - Asimtot tegak (berbentuk c) Karena f ( ) maka merupakan asimtot tegak. d. Sketsa grafik f ( ) 6

27 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP Mata Kuliah : Kalkulus, MA Jum at, 7 April 009 UTS Genap 008/009. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan... Menurut definisinya ( i) ; ( ) ; < ; ( ) ; < Sehingga : - untuk < (i) menjadi ( ) ( ) 0 0 Jadi untuk < pertidaksamaan (i) memiliki himpunan penyelesaian Hp {( 0) ( < ) } { 0 } - untuk < ( ) ( ) < (i) menjadi Hp < {( ) ( )} { } < - untuk (i) menjadi ( ) ( ) Hp {( ) ( )} { } Dengan demikian himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah Hp Hp Hp Hp 0 (ans) { } 7

28 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I. Menentukan persamaan garis singgung dari y yang tegak lurus dengan garis y 0. Kita tahu bahwa y merupakan gradient dari garis yang menyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak lurus dengan garis y 0 yang memiliki kemiringan, maka gradient garis singgung yang kita cari haruslah y -/ -. Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap dan menyelesaikannya untuk y diperoleh secara berturut turut hasil berikut ( y ) D ( ) D y y' 0 y ' y y y' Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -, maka kita memperoleh y y y 5 Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan (5 ) ± untuk diperoleh y dan untuk diperoleh y 8. Jadi kita memiliki buah titik singgung yakni (,) dan (-,-8). - Di titik (,) persamaan garis singgungnya adalah y ( ) atau y (ans) - Di titik (-,-8) persamaan garis singgungnya adalah y 8 atau y 9 (ans) ( ) 8

29 . Diberikan fungsi ( ) o 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I f. a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada) f ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) - f() monoton naik jika '( ) > 0 f "( ) o o o f '( ) f yaitu pada (-,-) dan (, ) - f() monoton turun jika '( ) < 0 f yaitu pada (-,) dan (,) - Karena terjadi perubahan kemonotonan di - ( -) dan f(-) ada maka titik (-,f(-)) ( -,-) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada (- ) dan f() ada sehingga (,f()) (,6) merupakan titik minimum lokal. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok ( bila ada ) f " ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - f() cekung ke atas jika "( ) > 0 - f() cekung ke bawah jika "( ) < 0 8 f yaitu pada selang (, ) f yaitu pada selang (-,) - f tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan kecekungan di titik, tetapi f() tidak ada, sehingga bukanlah titik belok.. 9

30 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y a b) a f ( ) ( ) ( ) b f ( ) a a 0 yaitu y (ans) jadi f memiliki asimtot miring ( ) - Asimtot tegak (berbentuk c) Karena f ( ) asimtot tegak. (ans) d. Grafik fungsi maka merupakan 0

31 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di samping. y perhatikan gambar di samping! Titik P dapat bergerak sepanjang garis l. 6 persamaan garis l adalah l y y P y Luas segi empat yang diarsir adalah 5 L alas. L ( ) tinggi terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik ( ). y 6 6 ;0 5 Nilai maksimum L( ) stasioner atau pada ujung interval domain L ( ). Titik stasioner terjadi ketika '( ) L yakni 5 5 Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu yang berasal dari titik stasioner dan 0, 5 yang berasal dari ujung interval domain L(). untuk mengetahui nilai maksimum dari L(), kita evaluasi nilai L() pada titik - titik kritis tersebut, yakni ( 5 5 ) L, L ( 0 ) 0, ( 5 ) 0 L. 5 jadi L() mencapai nilai maksimum pada dengan luas 5.

32 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK Mata Kuliah : Kalkulus, MA Tanggal : Senin 7 Juli 009 UTS Pendek 008/009. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 0 0 ) )( ( ) ( 0 ) )( ( 5 ( ) ans 5 < < Hp b. ( ) i... Alternatif - (Menggunakan definisi ) Menurut definisinya < 0 ; 0 ; atau > < < ; ; o o 5 o

33 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - Untuk < pertidaksamaan (i) di atas menjadi 0 ( ) o 6 pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika < 6, sehingga untuk < himpunan penyelesaian (i) adalah Hp { }. { ( < ) ( < )} 6 - Untuk < > pertidaksamaan (i) menjadi 0 ( ) o 7 pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika 7 > sehingga 7 { ( > ) ( < > )} 7 { > } Hp Jadi himpunan penyelesaian dari (i) yang dimaksud adalah Hp { 7 }( ans) Hp Hp 6 6 6

34 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Aternatif - (Menggunakan sifat) ) ( ) ( 0 ) ( 7) )( 6 ( Jadi himpunan penyelesaian bagi (i) adalah { }( ) ans 6 7 Hp Alternative - (menggunakan sifat lain) pertaksamaan ini setara dengan dan...(iii) pertaksamaan sebelah kiri (iii) menjadi 0 0 ) ( o 7 6

35 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 7 0 Hp o 7 7 { > } Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan (iii) menjadi 0 ( ) o Hp { < } 6 6 Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah Hp Hp Hp 7 ans { }( ). Diberikan fungsi f ( ) dan g( ) a. Menentukan D f, R f, D g, R g D [, ), R [ 0, ) f D (,], R [ 0, ) g b. Memeriksa apakah gof terdefinisi f g 6 Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah D { } R. Berdasarkan hasil pada poin sebelumnya kita memiliki R [0, ) (,] [0,] yang menunjukkan f D g 7 6 { } bahwa gof terdefinisi. (ans) 5 f g

36 c. Menentukan D gof Menurut definisinya D gof 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I { R f f ( ) Dg } { [ 0, ) (,] } { 0 } { 0 9} { 0 }. a. Menghitung { 0 } ( ans) b. Menentukan k agar ( ) 5 ( ) 8 ( 6 ) 5 ( ) 8 ( 6 ) (ans) tank ; < 0 f kontinu di 0 k ; 0 Agar f kontinu di 0 maka harus berlaku 0 f ( ) f ( ) f ( 0) 0 Kekontinuan kiri f di 0 dijabarkan sebagai berikut f ( ) f ( 0) 0 tan k k 0 k k k k 0 k k ( ) 0 k 0 atau k Jadi agar f kontinu di 0 maka haruslah { 0, } k (ans). Memeriksa apakah fungsi berikut memiliki turunan di f ( ), 6 7, > 6

37 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I ' ' Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah ( ) ( ) f f Sekarang ' f ( ) ( ) f ( ) f 8 ( ) Sedangkan ' f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ' ' Karena ( ) ( ) f f maka f tidak tidak memiliki turunan di 5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi sin y cos a. Menentukan nilai y ' ( sin y cos ) D ( ) D y ' cos y sin 0 y' cos y sin sin y ' cos y ( ans) b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik ( π ), π Di titik ( ) π, π y ' Sehingga persamaan garis singgung di titik ( π, π ) π y ( ) atau y ( )π. (ans) π. adalah 7

38 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sedangkan persamaan garis normal di titik ( π ) ( ) y atau π π ( ) y π.(ans) 5 6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f ( ) 5 a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim f ' ( ) ( ) - f() monoton naik jika '( ) > 0 dan (0, ) - f() monoton turun jika '( ) < 0, π adalah f yaitu pada selang (-,-) f yaitu pada selang (-,0) - karena terjadi perubahan kemonotonan di - ( -) dan f(-) ada maka titik (-,f(-)) ( -,56) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada 0 (- ) dan f(0) ada sehingga (0,f(0)) (0,0) merupakan titik minimum lokal. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok bila ada f " o 0 ( ) ( ) - f() cekung ke atas jika f "( ) > 0 yaitu pada selang (-,0) dan (0, ) - f() cekung ke bawah jika f " < yaitu pada selang (-,) ( ) 0 o o o 0 f '( ) f "( ) - Karena terjadi perubahan kecekungan pada - dan f(-) ada maka titik (-,f(-))(-,6) merupakan titik belok. c. Grafik f ( ) diperagakan di samping 8

39 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 9 PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL Mata Kuliah : Kalkulus / MA Tanggal : 9 Oktober 007 UTS 007/008. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan : a. 0 0 ) )( ( ) ( ) )( ( 0 ) )( ( 6 0 ) )( ( 6 { } > < Hp b. > > 0 > 0 > 0 > 0 ) )( ( > { } ) (0 0) ( > < < < Hp /

40 . Diketahui f ( ), g ( ) a. Menentukan,,, - D f R(ans) - Untuk setiap R berlaku 0 f ( ) R Sehingga [, ) (ans) - D g R(ans) - R { }(ans ) g f 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika terdefinisi. R D. Dari Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah { } hasil pada poin sebelumnya kita memiliki R f Dg [, ) R [, ) { } yang menunjukkan bahwa gof terdefinisi (ans). Selanjutnya go f ( ) g( f ( )) g ( ),(ans) c. Menentukan D gof Menurut definisinya, D gof { D f, f ( Dg } { R, R} ) { R, R} { R }(ans ) sin ; ; kontinu di. Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah f ( ) f (). Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai kecuali berlaku. Memeriksa apakah ( ) f ( ) f g 0

41 sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) f ( ) ( ) 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 6 9. Diketahui f ( ) a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim ( 6) ( 6 9) 6 6 9) f '( ) 9 ( )( ) Selanjutnya ( ) 0 menurut teorema apit f ( ) 0 0 maka f tidak kontinu di. - f monoton naik jika ( ) (, ) (, ) - f monoton turun jika ( ) (,0) ( 0,) dan ( ) 0, sehingga. Jadi karena f ( ) 0 f ( ), f ' > 0, yaitu pada selang f ' < 0, yaitu pada selang - Karena terjadi perubahan kemonotonan di -( -) dan f(-) ada, maka titik (-,f(-)) (-,-) merupakan titik maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di ( -), maka titik (,f()) (,0) merupakan titik minimum lokal. b. Menentukan selang kecekungan 9 9 f '( ) 8 f ''( )

42 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f cekung ke atas jika f "( ) > 0, yaitu untuk > 0 - f cekung ke bawah jika f "( ) < 0, yaitu pada selang (,0) - f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar / miring (berbentuk y a b) f ( ) a 6 9 b f ( ) a Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y 6 - Asimtot tegak ( berbentuk c) 6 9 Karena f ( ) 0 0 merupakan asimtot tegak dari f. d. Grafik f() 6 9, maka 0

43 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 006/007 Mata Kuliah : Kalkulus /MA Senin November 006 UTS 006/007. Menentukan himpunan penyelesaian dari : a. < < 5 Pertaksamaan ini setara dengan > dan < 5...(i) pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi ( ) > 0 > Hp / > { < 0 / } pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi 5( ) < < o Hp o 0 o / /5 > { < / / 5} Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah Hp Hp Hp { < 0 > / 5} (ans) b...(ii) Menurut definisinya o ; 0 ; < 0

44 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I sehingga : - untuk 0 (ii) menjadi ( ) 0 ( ) 0 ( )( ) 0 0 Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk 0 <, sehingga himpunan penyelesaian bagi (ii) untuk 0 adalah Hp 0 < 0 0 < { ( ) } ( ) { } - untuk < 0 (ii) menjadi ( ) 0 ( ) 0 Karena definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika < 0. Sehingga himpunan penyelesaian untuk (ii) adalah Hp < 0 < 0 0 { } { } < Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir untuk (ii) adalah Hp Hp Hp ; 0 (ans) { }. Diberikan f ( ) dan g( ) a. Memeriksa apakah fog terdefinisi Untuk memeriksanya kita selidiki apakah R g D { }. f

45 [, ), R [ 0 ) D,, D g R f 0 f 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap 0 0 g( ), Dengan demikian g (,] R (, ] [ 0, ) [, ] { } g D f b. Menentukan fog dan D fog fo g( ) f ( g( )) f ( ) Menurut definisinya D R D, g( ) D fog { g f } { R R, [ 0 ) } { R 0} { R } { R }, { R } R berlaku R. Kemudian karena 0, maka fog terdefinisi/ada.. Menentukan a agar 9 a 7 9 a 7 9 a a a 7 a 7 a 7 9 a 7 a 7 5

46 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I a a a a 9 a 6 a. Diberikan ) ( f a. Menentukan selang kemonotonan ) ( ) ( ) ( ) ( ' f ) ( 8 ) ( 8 ) ( ' f selalu bernilai positif untuk setiap nilai, ( ± ). Ini berarti f() selalu naik pada interval (-, )/{±}. Fakta ini juga menunjukkan bahwa f() tidak memiliki nilai ekstrim. b. Menentukan selang kecekungan ) ( 8) )( )( ( ) ( ) ''( f ) ( 8) ( ) ( ) ( 8 6 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( - f() cekung ke atas jika 0 ) ( ' ' > f, yaitu pada interval < dan 0 < < f ()

47 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f() cekung ke bawah jika f ' ' ( ) < 0, yaitu pada interval < < 0 dan > - Karena terjadi perubahan kecekungan pada 0 dan f(0) ada, maka titik (0,f(0)) (0,0) adalah titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y a b) f ( ) a 0 ( ) ( ) ( ) 0 b f ( ) a 0 ( ) Dengan demikian f() memiliki asimtot datar yaitu berupa garis y 0. - Asimtot tegak ( berbentuk c ) Karena, dan maka f() memiliki dua asimtot tegak yaitu dan - d. Grafik f() R O P Q (,y) P grafik f ( ) Gambar 5 7

48 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5. Perhatikan gambar 5 di atas! a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah. Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan y 6 y 6 Sehingga luas persegi panjang L() luas persegi panjang OPQR. L ( ) OP PQ 6 0 b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum. Nilai maksimum L() terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi ketika L () 0 yakni ± 8 ( ) Karena 0 maka yang mememuhi adalah 8. Sehingga sekarang kita memiliki buah titik kritis yaitu 8 yang berasal dari titik stasioner dan 0, yang berasal dari ujung interval domain L(). Untuk mengetahui dimana L() mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L() pada titik-titik kritis tersebut yaitu L ( 8), L ( 0) 0, L ( ) 0. Karena L ( 8) merupakan luas maksimum, maka ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum adalah.. PQ 8 8 ans. OP ( ) 8

49 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 005/006 Mata Kuliah Kalkulus I (MA ) Senin 7 Oktober 005 UTS 005/006. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva y y 6... i dengan sumbu. ( ) Titik potong kurva dengan sumbu berada pada y 0. Sehingga dari (i) diperoleh 6 atau ± Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu (,0), dan (-,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut. D D ( y y ) (6) ( y y' ) yy' 0 y y' yy' 0 ( y) ( y) y' 0 ( y) ( y) y' y y' y Di titik (,0), y ' Di titik (-,0), y ' Jadi persamaan garis singgung di titik(,0) adalah y 0 ( ) atau y 8 ( ans), sedangkan Di titik (-,0) persamaan garis singgungnya adalah y 0 ( ( ) ) atau y 8 ( ans).. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan ( )... ( iii)... Menurut definisinya, ( ), < 9

50 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sehingga - untuk - (iii) menjadi ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) [ Hp, ) [ 7, 7 ] [, 7 ] - sedangkan untuk < - (iii) menjadi ( ) ( ) ( ) 6 0 ( )( ) 0 (!) periksa Hp (, ] [,] [, ] Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah Hp Hp Hp [, ] 7 [, ] [, 7 ](ans). a. Menentukan a agar 9 a a 9 9 a a a a 50

51 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5 9 a a 9 a a 9 a a 9 a a 9 a a 9 a (ans) 6 a a b. Menentukan nilai a dan b jika ) cos( 0 b a ) cos( 0 b a haruslah bernilai 0. Sebab jika hal ini tidak terjadi (katakanlah 0 ) cos( 0 c b a ) akan berakibat 0 0 ) cos( c b a

52 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I a cos( b) yang bertentangan dengan pernyataan 0 Tulis a cos( b) 0 0 a cos 0 0 a 0, a ( ans) a cos( b) 0 Kemudian karena sekarang berbentuk maka 0 0 kita dapat menerapkan dalil L Hospital a cos( b) 0 b sin( b) 0 b cos( b) 0 b b b ±( ans). Diberikan f ( ) a. Menentukan selang kemonotonan ( ) ( ) ( ) f '. ( ) ( ) ( ) f () - - f() monoton naik jika f '( ) > 0, yaitu pada selang (-,). - f() monoton tutun jika ( ) f ' < 0, yaitu pada selang (-,-) dan (, ). - Karena terjadi perubahan kemonotonan (- ) dititik - dan f(-) ada, maka (-,- ½) merupakan titik minimum lokal. Selain itu pada terjadi perubahan kemonotonan ( -) dan f(), maka titik (,½ ) merupakan titik maksimum local. 5

53 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Menentukan selang kecekungan ( ) ( )( )( ) f ''( ) ( ) ( ( ) ()( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) 6 ( ) )( ) - f cekung ke atas jika f ''( ) >0, yaitu pada selang (,0) dan (, ) - f cekung ke bawah jika f ''( ) <0, yaitu pada selang (, ) dan ( 0, ) - Karena terjadi perubahan kecekungan di, 0 dan serta f ( ), f (0), f ( ) masing masing ada, maka (, f ( )), ( 0 f (0)), dan (, f ( )) merupakan titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y a b) f ( ) a ( 0 ) ( ) b f ( ) a 0 ( ) jadi f memiliki asimtot datar yaitu y 0. ) f () 0 - f tidak memiliki asimtot tegak 5

54 d. Sketsa grafik f() 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I y, 0. -,-/ 0,0,/,0. grafik f ( ) 5. Menentukan ukuran,y,z agar volume kotak pada gambar di bawah ini maksimum. Terlebih dahulu kita tentukan fungí dari volume benda sebagai suatu peubah.. y 8m z 5m y 8, y z 5, z 5 Volume V y z V ( ) ( )(5 ) (0 8 5 ) (0 ) 0 ;0 5 5

55 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Titik maksimum V () terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval dari domain V (). Titik stasioner terjadi ketika V () 0 yakni ( 0)( ) Kita tolak Karena tidak berada pada interval 0. Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu yang 5 berasal dari titik stasioner dan 0, yang berasal dari ujung interval domain V (). Untuk mengetahui dimana V () mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai V () pada titiktitik kritis tersebut, yaitu V ( ) 9m, V ( 0) 0 m dan 5 V ( ) 0 m. V ( ) 9m merupakan volume maksimum, sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah, y, z. (ans) 55

56 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 00/005 Mata Kuliah : Kalkulus / MA- Senin 5 November 00 UTS 00/005 <... i. Menetukan himpunan penyelesaian pertaksamaan ( ) Menurut definisinya, ( ), < Sehingga : - Untuk (i) menjadi < < 0 ( ) < 0 < 0 ( )( ) < 0 < 0 < < Hp { ( < 0 < < ) { < } - Sedangkan untuk < (i) menjadi ( ) < < ( ) - 0 < 0 > 0 56

57 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Karena definit positif, maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika > 0, sehingga Hp { > 0 } { 0 < < } < Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah Hp Hp Hp { 0 < < } (ans). Menentukan persamaan garis singgung pada kurva y Cos( y )... ii di titik potong kurva dengan sumbu. ( ) Letak titik potong kurva dengan sumbu adalah y 0, sehingga dari (ii) diperoleh Cos 0 ± Dengan demikian kita memiliki titik singgung yang akan kita cari persamaan garis singgungnya yaitu (,0), dan (-,0). Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung pada kedua titik tersebut. D ( y cos( y ) ) D y ' sin( y y ' y sin( y ).( y yy' ) 6 0 ) yy'sin( y ) 6 0 y' yy'sin( y ) y sin( y ) 6 ( ysin( y ) y' y sin( y ) 6 y sin( y ) 6 y' y sin( y ) Di titik (,0) y -6 dan di titik (-,0) y 6. Jadi persamaan garis singgung di titik (,0) adalah y 0 6( ) ( ans) y 6 6 sedangkan di titik (-,0) persamaan garis singgungnya adalah y 0 6( ( )) y 6 6 ( ans) 57

58 . Menghitung 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I ( )( ) ( )( ) ( )( ( )( ) ( ) )( ) 6. Menentukan nilai ekstrim dari f ( ) pada selang [- ½,]. ( ) () ( )( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) f () - -½ Pada selang [- ½,] terdapat tiga buah titik kritis yaitu titik ujung dan serta titik stasioner. Untuk < <, '( ) > 0 jadi ( ) f sedangkan untuk < <, f '( ) <0. f merupakan nilai maksimum f pada selang [-½,]. Jika f memiliki nilai minimum, harus terjadi pada titik kritis yang lainnya yaitu pada atau. Sekarang ( ) f dan 5 f ' > untuk < < 0. Kemudian ( 0 ) 0 f > 0 > ( ) 0 untuk 0 pada [- ½,]. <, sehingga ( ) 5 f dan ( ) 5 f adalah nilai minimum f 58

59 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5. Menentukan luas maksimum dari segitiga di bawah. Titik p dapat bergerak sepanjang kurva Luas pqr L ().Luas prs ps. rs L ( ). ps. rs ps. p' p ( )( ) 8 6 y ( periksa!) 8 ; Untuk menentukan nilai maksimum L(), terlebih dahulu harus ditentukan titik kritisnya. Titik stasioner diperoleh dengan menyelesaikan L '( ) ( ) ( ) ± 0 Kita tolak karena tidak berada dalam selang. Jadi pada titik stasioner kita telah memiliki sebuah titik kritis, sedangkan dari ujung interval kita memiliki dua buah titik kritis yaitu dan. Untuk mengetahui yang mana yang merupakan titik maksimum, kita evaluasi L() pada titik kritis yang 6 kita miliki, yakni f ), f ( ) 0, f ( ) 0. Jadi ( 6 Luas segitiga maksimum adalah.(ans) 59

60 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 00/00 Mata Kuliah : Kalkulus / MA- Senin 6 Oktober 00 UTS 00/00. Menetukan daerah asal suatu fungsi: a. f ( ) 5 D f { f ( R} ) { R} 5 { 5 0} Kita selesaikan pertidaksamaan ( i) Menurut definisinya ; ( ) ; < ; 0 ; < 0 Sehingga : - untuk 0 (i) menjadi ( ( )) ( ) Hp { } { } - kemudian untuk 0 < < (i) menjadi ( ( )) { < < } { } 0 Hp 60

61 b. 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - sedangkan untuk (i) menjadi ( ) Hp 9 9 { } { } Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah Hp Hp Hp Hp 9 yang sekaligus { } menjadi daerah asal f yaitu { 9} 6 f ( ) Menurut definisinya f ( ) R D f { } 6 { 0 ; } D f (ans) 6 Kita selesaikan pertidaksamaan 0... ( ii) ( 6) 0 ( )( ) Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (ii) adalah { < 0 } yang sekaligus menjadi daerah asal f. (ans) cos. a. Menghitung π sin Karena it berbentuk 00, maka kita dapat menerapkan dalil L Hopital. cos sin 0 0 ( ans) π sin π sin cos 0 π 6

62 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Menentukan a agar a 5 a 5 a a 5 a a 5 a a 5 a a 5 a a 5 a a 5 a 0 ans ( ). Memeriksa apakah, f ( ), < diferensiabel di. a 5 a Jika kita perhatikan dengan baik, terlihat bahwa f tidak kontinu di karena f ( ) f ( ) sedangkan f ( ). Ini mengakibatkan f tidak diferensiabel di. (ans) 6

63 . f ( ) a. Menentukan selang kemotonan ( )( ) ( 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I f '( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) f() naik jika f () > 0, yaitu pada selang (-,0) dan (, ). - f() turun jika f () < 0, yaitu pada selang (0,) dan (,). - Terjadi perubahan kemonotonan di 0 ( -), maka (0,f(0)) (0,0) adalah titik maksimum local. Terjadi perubahan kemonotonan di (- ), maka (,f()) (,5) merupakan titik minimum local. b. Menentukan selang kecekungan ( )( ) ( )( f "( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ) ( ) - f() cekung ke atas jika f "( ) > 0, yaitu pada selang > - f() cekung ke bawah jika f "( ) < 0, yaitu pada selang < - f tidak memiliki titik belok, walaupun terjadi perubahan kecekungan di tetapi f() tidak ada. c. Menentukan asimtot Asimtot miring/ datar (berbentuk y a b) 6

64 00 Soal & Pembahasan U f a ) ( ) ( a f b ) ( ) ( ) ( ) ( Jadi f memiliki asimtot miring y Asimtot tegak ( berbentuk c ) Karena, ) ( maka merup tegak dari f. d. Grafik f() 5. Materi UAS UTS Kalkulus I 6 pakan asimtot

65 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 65 PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 00/00 Mata Kuliah : Kalkulus / MA- Senin April 00 UTS 00/00. Menetukan himpunan penyelesaian dari a. < 0 < 0 ) ( < 0 < 0 < 0 > Karena definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir terpenuhi jika dan hanya jika >. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }( ) ans > b. 5 < 5 < 5 < 0 5 < <

66 7 < 0 7 < 0 ( )(7 ) < /7 / { < < }( ans) Hp 7. Diketahui f ( ) 9 a. Menentukan selang kemonotonan.( 9) (). 9 f '( ) 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I ( 9) ( 9) ( 9) ( 9) Karena untuk setiap ± ; f '( ) < 0 maka f tidak selalu turun pada (-, )/{±}. Hal ini juga menunjukan bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim. (ans) b. Menentukan selang kecekungan Selang kecekungan dapat ditentukan dari f "( ) ()( f "( ) ()( ( 9) ( ( ( 9) 9) 9) ()( ( 8 9) 6 9)()( ( 9)) ( 5 9) 9)) ( 7) ( ) ( ) - f() cekung ke atas jika f "( ) > 0, yaitu pada selang (-,0) dan (, ) f ()

67 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f() cekung ke bawah jika f "( ) < 0, yaitu pada selang (-,-) dan (0,) - Karena terjadi perubahan kecekungan di 0 dan f(0) ada, maka titik (0,f(0)) (0,0) merupakan titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring ( berbentuk y a b ) f ( ) a 0 ( 9) ( 9) ( ) 0 b f ( ) a 0 0 ( 9) 9 Jadi memiliki asimtot datar yaitu y 0 - Asimtot tegak ( berbentuk c ) Karena, ( dan 9) ( 9 merupakan asimtot tegak dari f. d. Grafik f() ) maka ± f ( ) 9 67

68 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5 i. Diketahui y y 6...( ) a. Menentukan y D ( y D ( y (. y y 5 ) D (5 y) D ( 6) y) D ( 6) yy'. ) (0. y y'.5 yy'. 0. y y'.5 yy'. y'.5 0y y ( y 5 ) y' 0y y 0y y y' y 5 0 ) 0...( ii) b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal di. Ketika, maka persamaan (i) memberikan y 5y 6 y 5y 6 0 ( y )( y ) 0 y, atau y Dengan demikian kita memiliki dua titik singgung yaitu (,) dan (,). Kemudian dengan menyulihkan kedua titik tersebut pada (ii), maka diperoleh kemiringan garis singgung pada masing masing titik secara beruturut-turut yaitu y ' dan y ' 6. Jadi : - Persamaan garis singgung di titik (,) adalah y ( ) atau y 8( ans) - Persamaan garis singgung di titik (,) adalah y 6( ) atau y 6 8( ans) - Persamaan garis normal di titik (,) adalah y ( ) atau y 6 0( ans) - Persamaan garis normal di titik (,) adalah y ( ) atau 6y 0( ans). Materi UAS 6 68

69 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 00/00 Mata Kuliah : Kalkulus / MA- UTS 00/00. Menetukan himpunan penyelesaian dari : 7 a. < 7 < 0 7 () < < /6 { < 0 > } Hp b. < <... ( i) 6 7 Pertaksamaan ini setara dengan dengan > dan <. - > adalah suatu pernyataan yang benar untuk sembarang nilai, jadi pertaksamaan ini dipenuhi oleh R. - < < < < < 7 Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (i) adalah R < < 7 < < 7 { } { } ( 7) ; b. Diberikan f ( ) ; > b a. Menentukan nilai b agar f kontinu Agar f kontinu dimana mana maka f harus kontinu di b, yaitu harus dipenuhinya syarat f ( ) f ( ) f ( b) b b 69

70 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I f ( ) f ( ) b b ( 7) b b ( b 7) b b 7 6b b b. Memeriksa apakah f diferensiabel di b ' ' Untuk mengetahui harus diselidiki apakah f () f (). Tetapi karena ' f ( ) f () ( 7) ( ) f() sedangkan ' f ( ) f () ( ) ( ) f (), maka jelas kesimpulannya bahwa f tidak diferensiabel di.. Menentukan persamaan garis singgung kurva f ( ) yang sejajar dengan y '( ) ( ) f ( ) Karena garis singgung sejajar dengan garis y yang memiliki gradien -/, maka haruslah 9 Subtitusi ke fungsi awal untuk mendapatkan y f ( ). Materi UAS 70. Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah y ( ( )) atau y.

71 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 000/00 Mata Kuliah : Kalkulus I (DA ) Senin Oktober 000 UTS 000/00. Menetukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 5 5 ( ) ( 5) ( ) ( 5) 0 (( ) ( 5) )(( ) ( 5) ) 0 6( 6 ) Hp { } b. <...( i) Dengan menggunakan definisi nilai mutlak untuk, maka Untuk 0, (i) menjadi < < 0 ( ) < 0 < 0 ( )( ) < 0-0 < 0 < < ( 0) ( < 0 < ) 0 < < Hp { } { } < 7

72 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sedangkan untuk < 0 (i) menjadi < < 0 ( ) < 0 < 0 Karena definit positif, maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika < 0, sehingga < 0 0 < 0 Hp { } { } < Jadi himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah Hp Hp Hp { 0 < < < 0} { < ; 0}, <. Diketahui f ( ) p q, a. Menentukan hubungan antara p dan q agar f kontinu di. Menurut hipotesisnya, kekontinuan kiri f pada akan menghasilkan f ( ) f ( ) p q p q Sedangkan kekontinuan kanan f di menghasilkan hubungan trivial ( p q p q ). Jadi hubungan antara p dan q agar f kontinu di adalah p q b. Menentukan nilai p dan q agar f '( ) ada agar f '( ) ada maka f () f () yaitu f ( ) f () f ( ) f () ' ' 7

73 ( p q) p q ( p q) p p ( )( ) p( ) p p ( ans) Dengan demikian kita peroleh q ( ans). Diketahui kurva y a. Menentukan y ' di (,-) D ( y ) D y. y' 0 y ' y y () 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Di titik (,-) y' ( ans) b. Persamaan garis singgung dititik (,-) adalah y ( ) ( ) atau y ( ans). Sedangkan persamaan garis normalnya adalah y ( ) ( ) atau y ( ans).. Menghitung : a. tdt 0 sin Karena it berbentuk 0/0 maka berlaku dalil L Hopital. Kemudian gunakan TDK II untuk mendapatkan hasil berikut tdt 0 sin D tdt 0 D ( sin ) 0. cos 0 cos 0 7

74 b. 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Alternative lain adalah dengan mengerjakan bagian yang mengandung integral terlebih dahulu sebagai berikut tdt t 0 sin 0 sin 0 sin Selanjutnya karena it terakhir berbentuk 0/0 maka berlaku dalil L Hopital yang memberikan hasil berikut 0 d Misalkan sin 0 cos 0 ( ans) f ( ). Fakta bahwa f ( ) f ( ) menunjukkan bahwa f fungsi ganjil yang berakibat d 0 5. Diberikan f ( )( ) ( ) ( ) ; ( ) a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim f '( ) ( ) f selalu naik pada (-, )/{-} karena untuk setiap nilai kecuali -, f '( ) > 0. Kenyataan ini juga menunjukkan bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok f "( ) ( ) - f() cekung ke atas jika f "( ) > 0, yaitu pada selang (-,-) - f() cekung ke bawah jika f "( ) < 0, yaitu pada selang (-, ) - f() tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan kecekungan di -, tetapi f(-) tidak ada. 7

75 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar / miring (berbentuk y a b) f ( ) a 0 ( ) b f ( ) a Jadi f memiliki asimtot datar yaitu y - Asimtot tegak (berbentuk c) karena f ( ) maka - asimtot tegak dari f. d. Sketsa Grafik f() Grafik f ( ) ( ) 75

76 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 999/000 Mata Kuliah Kalkulus I (DA ) Senin November 999 UTS 999/000.. a ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) { } ( ans) Hp

77 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5 5 ans 5 5 ( ) b. Menentukan g( ) jika diketahui g ( ) g ( ) ( 0 5, 0 5) g( ) 0 g( ) Karena 0 dan 5 5 menurut teorema apit g( ) ( ans) 5. Diberikan f ( ) dan g ( ) a. Membuktikan bahwa gof terdefinisi R D Akan ditunjukkan bahwa { } D f R, Untuk setiap 0 f ( ) dengan demikian D g [ ), R, berlaku R f [, ), Kemudian [, ) { } f D g f g ( ) 0 8, maka R, persis seperti yang ingin ditunjukkan dan membuktikan bahwa gof terdefinisi b. Menentukan gof dan daerah asalnya go f ( ) g( f ( )) g ( ) ( ) Menurut definisinya D gof { D f f D g } { R } 0 ) ( R [, ) { R} ( ans).( ans) { } { R } 77

78 . f ( ) q p 5, 7, 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I > Agar f kontinu di, maka haruslah f ( ) f () f ( ). Kekontinuan kiri f pada menghasilkan hubungan trivial ( 9q 0 9q 0). Sedangkan kekontinuan kanan f pada dijabarkan sebagai berikut f ( ) f () p 5 9q 0... ( i) p 5 haruslah bernilai 0, sebab jika tidak (katakanlah p 5 c 0 ) akan berakibat p 5 yang menyebabkan f gagal kontinu di. Tulis p 5 0 c ( ) 8 p 5 0 p Dengan menyulihkan hasil ini pada (i) akan memberikan 5 9q 0 ( 5)( ) 9q 0 ( 5) 9q 0 9q 0 q Jadi Agar f kontinu di maka haruslah p - dan q (ans). 78

79 5. Diberikan ( ) y a. Menentukan y ( ) y ) () 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I D D ( ) yy' 0 yy ' ( ) ( ) y' y b. Menentukan garis singgung yang tegak lurus garis y. Karena tegak lurus dengan garis y yang memiliki gradien, maka gradient garis singgung yang dimaksud haruslah memiliki gradient -/ -. Sehingga dengan melihat hasil pada poin sebelumnya diperoleh ( ) y y Subtitusi ke persamaan awal memberikan y y atau y ±. - untuk y menghasilkan, sehingga persamaan garis y atau y 5 singgungnya adalah ( ) - untuk y - menghasilkan, sehingga persamaan garis y atau y singgungnya adalah ( ) ( ) 6. Diketahui f() adalah fungsi kontinu dan f(0) f() 0, serta grafik f ' sbb. ( ) 79

80 00 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I a. Menentukan selang kemonotonan f '! Perhatikan grafik ( ) - f() monoton naik jika ( ) - f() monoton turun jika ( ) (-,0), (,), dan (,) b. Menentukan selang kecekungan f " f ' > 0, yaitu pada ( 0,) dan (, ) f ' < 0, yaitu pada selang (-,-), - f() cekung keatas jika ( ) jika f '( ) naik, yaitu pada selang (-,-), dan (, ) > 0, atau dengan kata lain - f() cekung ke bawah jika f "( ) < 0, atau dengan kata lain jika f '( ) turun, yaitu pada selang (-,0), dan (0,) c. Sketsa f() 80