Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Transkripsi

1 NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien m 0 f '( a) 0. Titik ( a, b ) disebut titik ekstrim, nilai a disebut nilai stasioner, sedangkan nilai y b disebut nilai ekstrim. Definisi : Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f() untuk setiap I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) < f() untuk setiap I. Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f() dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '( )dan f "( ). Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f '( ) 0 ), misalkan nilai stasioner adalah a. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "( a) < 0, sedangkan nilai f (a) merupakan nilai minimum bila f "( a) > 0. Contoh : Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f ( ) Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah -, - ½ dan 0. Turunan kedua, f "( ) + +. Untuk -, f "( ) dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( - ) -5. Untuk - ½, f "( ) dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum f ( ) 5 6 Untuk 0, f "(0) dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) -5

2 Definisi : Titik Belok Misal f() kontinu di b. Maka ( b, f(b) ) disebut titik belok dari kurva f() bila terjadi perubahan kecekungan di b, yaitu di satu sisi dari b cekung ke atas dan disisi lain cekung ke bawah atau sebaliknya. Syarat perlu b merupakan absis dari titik belok bila berlaku f "( b) 0 atau f() tidak diferensiabel dua kali di b. Kata syarat perlu mirip artinya dengan kata calon, maksudnya bahwa untuk nilai b yang dipenuhi oleh salah satu dari kedua syarat itu memungkinkan untuk menjadi absis titik belok bergantung apakah dipenuhi syarat seperti halnya yang tertulis pada definisi. Contoh Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut : a. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) + a. Dari f ( ) Bila f maka f "( ). "( ) 0 maka 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk menguji apakah 0 merupakan titik belok dilakukan berikut. Untuk < 0 maka f "( ) < 0, sedangkan untuk > 0 maka f "( ) > 0. Oleh karena itu, di 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,- ) merupakan titik belok. b. Dari f ( ) maka f "( ). Bila f "( ) 0 maka 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk menguji apakah 0 merupakan titik belok dilakukan berikut. Untuk < 0 dan > 0 maka f kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok. c. Dari f ( ) + maka f "( ) kali di 0. Untuk < 0 maka f "( ) > 0. Oleh karena itu, di 0 tidak terjadi perubahan 9 5. Terlihat bahwa f() tidak dapat diturunkan dua "( ) > 0, sedangkan untuk > 0 maka f "( ) < 0. Oleh karena itu, di 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0, ) merupakan titik belok

3 Asymtot Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu kurva. Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu :. Asymtot mendatar. Asymtot tegak. Asymtot miring Misal diberikan kurva y f ( ). Maka garis y b disebut asymtot mendatar dari y f ( ) bila : f ( ) b atau f ( ) b. Sedangkan garis a disebut asymtot tegak bila berlaku salah satu dari :. f ( ) a. f ( ) a. f ( ) a. f ( ) a Contoh : Carilah asymtot datar dan asymtot tegak dari fungsi f ( ) Asymtot datar, y - sebab f ( ) atau f ( ) Asymtot tegak, - dan sebab f ( ) + + dan f ( ) + + Garis y a + b dikatakan sebagai asymtot miring dari y f ( ) bila berlaku [ f ( ) ( a + b) ] 0 atau [ f ( ) ( a + b) ] 0. Untuk mendapatkan asymtot

4 P( ) miring dari fungsi rasional f ( ) [ pangkat P() + pangkat Q() ] dilakukan Q( ) dengan cara membagi P() dengan Q() sehingga hasilbagi yang didapatkan merupakan asymtot miring dari f(). Contoh : Carilah asymtot dari fungsi f ( ) Asymtot datar tidak ada sebab f ( ) atau f ( ). Asymtot tegak, sebab f ( ). Asymtot miring, y sebab ( ) 0 Grafik Fungsi Dalam mengambarkan grafik suatu kurva dapat dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu : selang kemonotongan, selang kecekungan, titik ekstrim dan jenisnya, titik potong terhadap salib sumbu ( sumbu X dan sumbu Y ), titik belok ( bila ada ), semua asymtot ( bila ada ) dan titik lain ( sembarang ) yang dapat membantu memudahkan menggambarkan grafik. Soal latihan ( Nomor sd 6 ) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari kurva dengan persamaan berikut :. f ( ) +. f ( ) +. f ( ) sin, ( 0 < < π ). f ( ) cos π, < < π

5 5. f ( ) + 6. f ( ) ( Nomor 7 sd 0 ) Tentukan titik belok dari kurva berikut ( bila ada ) 7. f ( ) 6 8. f ( ) + 9. f ( ) + 0. f ( ) ( Nomor sd ) Cari semua asymtot dari fungsi berikut :. f ( ). f ( ). f ( ). f ( ) ( ) 5. f ( ) 6. f ( ) 7. f ( ) + 8. f ( ) 9. f ( ) + ( ) 0. f ( )

6 . f ( ) ( Nomor sd 8 ) Gambarkan grafik kurva berikut :. f ( ). f ( ) + +. f ( ) + 5. f ( ) 6 6. f ( ) f ( ) + 8. f ( ) ( + 8)

7