Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Transkripsi

1 Bab 8 Sumber: Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah; merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh. Pembahasan it fungsi yang telah Anda pelajari di Bab 7 dapat dikembangkan pada pem bahasan turunan fungsi karena dengan mengetahui turunan fungsi, Anda dapat mempelajari sifat-sifat fungsi. Sifat-sifat fungsi tersebut misalnya, kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecukupan fungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapat mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat serta dapat menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasi permasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut. Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam 1 memenuhi per sama an Qv ()= + 0 liter. Dengan 45 me mahami konsep turun an, Anda dapat menentukan jumlah maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun. A. Konsep Turunan B. Menentukan Turunan Fungsi C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun E. Maksimum dan Minimum Fungsi F. Turunan Kedua G. Nilai Stasioner H. Menggambar Grafik Fungsi Aljabar 19

2 Diagram Alur Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut. Limit menghasilkan teori Turunan menyelesaikan masalah f ( ) = 0 a g ( ) 0 menentukan Aplikasi menentukan menentukan menentukan rumus f( ) f ' a g ( ) = ( ) a g' ( ) f ' ( ) f '' a g' ( ) = ( ) a g'' ( ) Laju Perubahan Fungsi Gradien Interval Fungsi Naik/ Turun Titik Balik Maks./Min. dan Titik Belok Tes Kompetensi Awal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, ). Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan pula cara mencarinya.. sin (α ± β) =.... cos (α + β) = tan (α + β) = cos α = f() = +, tentukan f( + 1) dan f (a + b). 7. = Tentukan gradien garis singgung kurva di titik 194 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

3 A. Konsep Turunan Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. 1. Garis Singgung Amati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetap pada grafik y = f() dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(). Misalkan, titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat (a + Δ, f(a + Δ)). Garis yang melalui A dan B mempunyai gradien (ke miringan) f ( a + ) f ( a ). Garis ini memotong grafik di dua titik A dan B yang berbeda. Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f() mendekati titik A maka nilai Δ semakin kecil. Jika nilai Δ mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-) adalah garis yang melalui A(a, f(a)) dengan gradien y f(a) O Gambar 8.1 y f(a + ) y = f() B(a +, f(a + )) A(a, f(a)) a a + m AB f( a+ ) f( a)...(1) Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-? Contoh 8.1 Tentukan gradien garis singgung pada kurva a. f() = di titik dengan absis b. f() = di titik dengan absis f( + ) f ( ) ( + ) a. m = 4 0 Jadi, gradien garis singgung kurva f() = di titik dengan absis = adalah m = 4. f (a + ) f(a) A(a, f(a)) O a a + Gambar 8. y = f() B(a +, f(a + )) Turunan Fungsi dan Aplikasinya 195

4 f( + ) f ( ) ( + ) b. m ( ) + ( ) ( ( ) ) = 7 0 Jadi, gradien garis singgung kurva f() = di titik dengan absis = adalah m = 7. Tabel 8.1 Selang Waktu 0 1 0,8 1 0,9 1 0,99 1 0, , , , ,01 1 1,5 1 f 5, , , , , , , , , , ,0000. Kecepatan Sesaat Misalkan, fungsi f() = menyatakan jarak (dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah jam perjalanan selama selang waktu 0. Kecepatan ratarata mobil itu selama perjalanannya adalah = ( ) ( ) ( )+ f f f = ( ) = 50 km/jam Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam selang c d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1. Amati tabel tersebut. Nilai f mendekat ke bilangan 50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil (Δ mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan (sesaat) pada = 1. Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh melalui proses it terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai mendekat ke-1 atau Δ dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada = 1 ditulis f = f( 1+ ) f () ( 1 + ) + 0( 1+ ) ( ) = 50 + = 50 Jadi, kecepatan mobil pada saat = 1 adalah 50 km/jam. 196 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

5 Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan kecepatan sesaat v di = a? Cobalah nyatakan dengan katakata Anda sendiri. Uraian tersebut menggambarkan definisi kecepatan sesaat v di = a, yaitu f( a+ ) f( a) v v 0 rata-rata...() Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda menyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatan sesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus tersebut, yaitu rumus (1) dan (). Kedua rumus tersebut meng gunakan nama berlainan untuk konsep yang sama, tetapi dalam situasi yang berlainan. Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 8. Jarak yang ditempuh mobil ini mengikuti fungsi f() = Berapakah kecepatan rata-ratanya? Contoh 8. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah detik memenuhi persamaan f () = 6 +, dengan f() dinyatakan dalam meter. a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu. b. Berapa kecepatan sesaat benda pada = detik? f( + ) f( ) a. ( 6 = + ) 6 + ( ) Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s. = 119 f( + ) f ( ) b. ( 6 ( + ) + ( + )) ( 6 + ) 0 68 ( ) + ( ) = 76 0 Jadi, kecepatan pada saat = atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 197

6 . Turunan Fungsi di = a Jika fungsi y = f() terdefinisi di sekitar = a maka y = f( a+ ) f( a). 0 y Jika ada maka nilai nya disebut turunan fungsi f() di = a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi turunan yang dilambang kan dengan f (). Untuk menyatakan turunan di = a dinyatakan dengan f (a). Jadi, f( a+ ) f( a) f( ) f( a) f' ( a)= atau f' ( a)= 0 a Contoh 8. Tantangan untuk Anda Coba Anda tunjukkan cos 1 = 0. Gunakan konsep it untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika f () =, tentukan f'(5). f( a+ ) f( a) f '( a)= f ( 5 + ) f( 5) f '( 5)= (( 5+ ) ( 5 ) ) ( 5 5) = 9 0 Contoh 8.4 Tentukanlah f () fungsi-fungsi berikut ini. a. f() = + b. f() = cos a. f( )= + (( + ) + ( + ) ) + f '( )= = +1 0 ( ) 198 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

7 b. f( )= cos cos( + ) cos f '( )= ( coscos sinsin ) cos 0 cos ( cos 1) sin sin = cos cos 1 sin sin 0 = cos 0 sin 1= sin Tokoh Matematika Contoh 8.5 Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm. Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = l = l dan luas = L = p l = l.l = l. Jadi, L = f (l) = l. Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L (5). L( 5+ h) L( 5) 5 ( + h), 5 L '( 5)= 0 h 0 h 5 ( + 10h+ h ) 75 0h+ h 0 h 0 h ( 0 + h)= Mengenal Notasi Leibnitz Anda telah mempelajari bahwa turunan fungsi f() dinotasikan dengan f '(). Nilai Δ menyatakan perubahan nilai, yaitu Δ = 1. Adapun perubahan f( + Δ) f() menyatakan perubahan nilai fungsi f() dinotasikan dengan Δf. Selanjutnya, bentuk it tersebut dapat dituliskan f menjadi. Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan fungsi, yaitu df. Diketahui fungsi d y = f()...(1) Gottfried Wilhelm Leibnitz ( ) Gottfried Wilhelm Leibnitz adalah orang jenius. Ia ahli dalam bidang hukum, agama, politik, sejarah, filsafat, dan matematika. Bersama Newton merumuskan pengertian dasar tentang kalkulus diferensial. Leibnitz pun dikenal karena menemukan suatu jenis mesin hitung. Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1, 1990 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 199

8 sehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi dy d = y ' = f '() Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz ( ) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya notasi Double d Leibnitz. Misalkan f() =, tentukanlah df a. d b. nilai sehingga df d = 1 a. b. df d Contoh 8.6 f( + ) f( ) ( + ) = 0 df d = maka = 1 = ±. Jadi, nilai yang memenuhi df d = 1 adalah = ±. Contoh 8.7 Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan s = f(t) = t t. Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15. Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah ds df f( t+ t) f() 1 = dt dt t 0 t ( t+ t) ( + ) ( t t t t ) t 0 t + t t + t t t t + t t 0 t t+ t+ t t t+ t = t t 0 t t 0 00 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

9 Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16, diperoleh df d = t 15 = t t = 18 t = 9 Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon. Tes Kompetensi Subbab A Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1. Gunakan konsep it untuk menyelesaikan soal-soal berikut. a. Jika f() = +, tentukan f '(). b. Jika f() = + 6, tentukan f '(). c. Jika f() =, tentukan f '(). d. 1 Jika f() = 1+, tentukan f '().. Gunakan konsep it untuk menyelesaikan soal-soal berikut. a. Jika f() = 4, tentukan f '( ). b. Jika f() = 6, tentukan f '(). c. Jika f() =, tentukan f '(5). 1 d. Jika f() = + + 1, tentukan f '(1).. Dengan menggunakan konsep it, tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut ini. a. f() = 5 di titik dengan absis = b. f() = + 5 di titik dengan absis = 1 c. f() = di titik dengan absis = d. f( )= + di titik dengan absis = 4 4. Dengan menggunakan konsep it, hitung nilai df dari fungsi berikut untuk yang d diberikan. a. f() = di = 1 b. f() = 5 di = 4 c. f() = + 1 di d. f() = cos di = π Gunakan konsep it untuk soal-soal berikut. 5. Sebuah benda bergerak, kedudukannya setelah t sekon memenuhi persamaan S (t) = t + 4t. a. Berapa kecepatan rata-rata pada selang waktu t = sekon dan t = 5 sekon? b. Berapa kecepatan sesaat pada waktu t = sekon? 6. Sebuah perusahaan mendapatkan keuntungan setelah t tahun sebesar t 5.000t. a. Berapa besar keuntungan antara t = tahun dan t = 4 tahun? b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t = tahun? 7. Gunakan rumus turunan untuk mencari turunan fungsi-fungsi berikut. a. f() = d. f() = sin b. f() = a + b e. f() = cos c. f() = + f. f() = tan Turunan Fungsi dan Aplikasinya 01

10 B. Menentukan Turunan Fungsi Proses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsung yang meng gunakan definisi turunan, yaitu dengan menyusun hasil bagi selisih f ( + ) f ( ) dan menghitung itnya, memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlu mengem bang kan cara atau proses yang akan memungkinkan Anda untuk memperpendek proses yang berkepan jangan itu. Untuk itu, pelajari uraian berikut ini. 1. Menentukan Turunan Fungsi f() = a n Misalkan, fungsi f() = a n dengan n = 1,, dan. Untuk n = 1, diperoleh f() = a dan turunan fungsi tersebut adalah f( + ) f( ) f '( )= a( + ) a a + a a a = a...(1) Untuk n =, diperoleh f () = a dan turunan fungsi tersebut adalah f( + ) f( ) f ' () a ( + ) a a + a + a a 0 a + a 0 = a Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsi f() = a, f() = a 4 dan f() = a 5. Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsi berikut. f() = a 6, f () = 6a 5 f() = a 15, f () = 15a 14 f() = a n, f () = na n 1 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

11 Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, f() = a n, dengan n bilangan asli maka f '() = na n 1. Untuk n = 0, f() = a n menjadi f() = a 0 = a. Fungsi f() = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsi konstan adalah f( + ) f f '( )= a a = = sehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai berikut. Misalkan, f() = a n dengan n bilangan bulat maka f '() = an n 1 untuk f() = a, f '() = 0 dengan a sebarang bilangan real. Contoh 8.8 Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini. a. f() = 4 b. f() = 8 a. f() = 4 maka f '() = = 4 b. f() = 8 maka f ' () = 8() 1 = 4 Tantangan untuk Anda Rumus ini juga berlaku untuk n = 1 a f( )= a f '( )= Tunjukkanlah dengan cara it. Tentukan df untuk fungsi-fungsi berikut. d 1 a. f( )= 4 b. g( )= 1 Contoh df a. = f '( )= ( 4) = d 1 1 dg 1 b. g( )= = maka = g' ( )= ( 8) 8 d = Turunan Fungsi dan Aplikasinya 0

12 Contoh 8.10 Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia 11 tahun sampai 1 tahun adalah tetap, yaitu T(t) = 10 cm. Tentukanlah laju pertumbuhan (laju pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut. Jelaskan. Tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 1 tahun tetap. Oleh karena itu, T(t) = 10 adalah fungsi konstan sehingga T (t) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anak tersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 1 tahun tidak mengalami perubahan.. Menentukan Turunan Fungsi f() = a n dengan n Bilangan Rasional 1 Misalkan, f() =, turunan fungsi f() adalah f( + ) f( ) f '( )= f '( )= + + ( + ) 0 ( + + ) = ( ) = = = Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cari turunan fungsi f() = 1/ dan f() = /5. Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi f() = a n? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan fungsi f() = a n yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, f() = a n, dengan n bilangan rasional maka turunannya adalah f '() = na n 1. Contoh 8.11 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 4 a. f( )= b. f( )= 1 c. f( )= 1 04 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

13 4 4 a. f( )= f ( )= maka ' = = = b. f( )= = maka f( )= 1 1 f '( )= = = 1 = = 5 5 c. f( )= = f ( )= maka ' = = 5. Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v Diketahui, fungsi y = f() dengan f() = u() + v(), dalam hal ini u() dan v() fungsi yang dapat diturunkan di = a untuk a bilangan real. Dengan demikian, f( a+ ) f( a) f '( a)= f '( a)= u( a+ )+ v( a+ ) u a va f '( a)= ( )+ ( ) 0 u( a+ ) u( a)+ v( a+ ) va ( ) 0 u( a+ ) u( a) va ( + ) v( a) + = u' ( a)+ v '( a) Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan fungsi y = u ± v yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku y ' = f '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y' = u' + v' Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan bahwa untuk y = u v maka y' = u' v'. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 05

14 Contoh 8.1 Tentukan turunan fungsi berikut. a. f () = c. f() = sin + cos Pembahasan Soal Diketahui f() = 5 + g() = + Jika h() = f() g() maka h () adalah... h() = f() g() = 5 + ( + ) = h () = 11 Soal UMPTN 1997 b. f() = + 1 a. f() = maka f '() = 6 b. f() = + 1 = + 1 maka f '() = = c. f '() = cos sin 4. Turunan Fungsi y = c. u Diketahui, fungsi y = f() dengan f() = c. u(), dalam hal ini c konstanta dan u() fungsi yang dapat diturunkan di = a untuk a bilangan real sehingga f( a+ ) f( a) f '( a)= c u( a+ ) c u( a) u( a+ ) u( a) = c = cu '( a) Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = f(a) = c. u(a) berlaku f '(a) = c. u'(a). Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c. u'. Contoh 8.1 Tentukan turunan fungsi berikut. a. f() = b. f() = 8 c. f() = cos d. f() = 5 a. f() = maka f '() = 6 b. f() = 8 = 8 1 maka f '() = 8 = 8 c. f() = cos maka f () = sin 06 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam