Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran."

Sudomo Kartawijaya
7 tahun lalu
Tontonan:

1 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan integran. d Jadi d Contoh f ) ( d f (). sin, sin 5, sin 7 adalah fungsi-fungsi integral tak tentu dari cos pada seluruh garis real, sebab derivatif mereka sama dengan cos untuk semua. Sifat: Misalkan f dan g mempunyai anti turunan dan k suatu konstanta, maka. kf ( ) d k f ( ) d. [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d Teorema Jika F dan G keduanya integral tak tentu dari f pada interval I, maka F() dan G() berselisih suatu konstanta pada I Jadi F() G() C dengan C sembarang konstanta. Akibat Jika F suatu fungsi integral tak tentu dari f, maka dengan C konstanta sembarang. f ( ) d F() C. Integral 49

2 4. Rumus Dasar. d. d n n C, n. d arc tan C ln C, 0 arc cot C. e d e C. 4. a d a ln a d arc sin C C, a arc cos C a > 0 5. sin d cos C. d arc sec C 6. cos d sin C arc csc C 7. sec d tan C 4. sinh d cosh C 8. csc d cot C 5. cosh d sinh C 9. sec tan d sec C 0. csc cot d csc C SOAL Tentukan:. ( ) d. d. d 4. (sin ) d 5. d Integral 50

3 4. Integral dengan Substitusi 006 Masalah: Tentukan ( 5) d Untuk menyelesaikan permasalahan seperti ini dapat digunakan aturan seperti pada teorema berikut. Teorema Jika u g() yang didefinisikan pada interval I mempunyai invers g (u) dan fungsi-fungsi g dan g keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g didefinisikan, maka Contoh 006 Tentukan ( 5) d f { g( )} g '( ) d f ( u) du Penyelesaian: Substitusikan u 5 du d du d maka ( 5) d ( 5) d Contoh Tentukan 006 ( 5) d u 006 du ( 007 u C 007 5) C Penyelesaian: Substitusikan u 5 du d 6 du 6 d Integral 5

4 maka ( 5) d ( 5) 6 d 6 6 u du 007 u C ( 007 5) C Contoh 4 Tentukan cos d Penyelesaian: Substitusikan u du d du d maka cos d cosu du sin u C sin C SOAL Tentukan:. ( ) 9 d 6. d 4 9 d. ( 5 ) d 7. 4 ( ) 8. d 8. 4 ( ) d sin 4. d 9. ln e cos d sin(ln ) 5. d 0. e 4 d Integral 5

5 4. Integral Parsial Masalah: Tentukan e d Jika u f() dan v g() maka (uv) u v u v (f() g()) f () g() f() g () Apabila kedua ruas diintegralkan maka diperoleh: f() g() Jadi uv f '( ) g( ) d f ( ) g '( ) d g ( ) df ( ) f ( ) dg( ) v du u dv u dv uv v du Contoh 5 Tentukan:. e d 4. e cos d. e d 5. ln d. cos d SOAL Tentukan:. sin d 6. e sin d. sin d 7. arcsin d. cos d 4. e d e d 8. arctan d ln d ln ln 0. d 4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma Ingat: d arc tan C Integral 5

6 Berdasarkan humus di atas dapat dibuktikan bahwa untuk konstanta a 0, maka berlaku: a d arc tan C (4.4.) a a Perhatikan penyebut dalam integran. Selanjutnya akan dicari b c d Jika f() b c dengan D 4b 4c < 0, maka f() definit positif dan selalu dapat dibawa ke bentuk f() ( b) p dengan p c b > 0 sehingga d d b c dan dengan menggunakan (4.4.) ( b) p dapat diperoleh b d arctan C (4.4.) b c p p dengan p c b Selanjutnya ingat: d ln C Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa g '( ) d g( ) ln g () C (4.4.) Contoh 6. d arc tan C 4. d 4. 9 d 5 arc tan C 5. d 6. d 4 Integral 54

7 SOAL Tentukan: 5. d 5. 0 d d d 6 sin 4. tan d d 7. d cos d d Integral Fungsi Pecah Rasional P n () a o a a a... a n n dengan a n 0 dinamakan polinomial (fungsí suku banyak) berderajat n. Fungsi konstan P o () a o dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol. N( ) F ungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk dengan N() dan ) polinomial- ) polinomial Untuk keadaan N() D () Jika N() D () maka berdasarkan rumus (4.4.) diperoleh: N ( ) d ln ) C ) dan ini sudah dibahas pada bagian Untuk keadaan Derajat N() Derajat ) Lakukan pembagian N() oleh ) sehingga diperoleh N( ) R( ) Q( ) dengan derajat R() < derajat ) ) ) Contoh 7. d ( ) d. 4 d 6 Integral 55

8 Yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana derajat N() < derajat ) dan N() D () 4.5. Untuk keadaan Derajat N() < Derajat ) Pada pemba hasan ini N() D (). Tanpa mengurangi umumnya pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari dalam ) adalah satu. Untuk N ( ) menghitung d, terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahan- ) pecahan parsialnya. Contoh Jadi 6 6 d 4 6 d 0 5 d d... Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan N( ) ) cara memisah menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari N() ) menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut. Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: ) derajat N() < derajat ) ) koefisien suku pangkat tertinggi dari dalam ) adalah satu ) N() dan ) tidak lagi mempunyai factor persekutuan N() Menurut keadaan akar-akar persamaan ) 0 dalam memisahkan ) menjadi pecahan-pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, yaitu: a. Semua akar persamaan ) 0 real dan berlainan b. Semua akar persamaan ) 0 real tetapi ada yang sama Integral 56

9 c. Persamaan ) 0 mempunyai akar tidak real yang berlainan d. Persamaan ) 0 mempunyai akar tidak real yang sama. a. Semua akar persamaan ) 0 real dan berlainan Misalkan ) 0 mempunyai akar a, b, c, dan d semuanya real dan berlainan, maka ) ( a ) ( b) ( c) ( d). N( ) A B C D Dibentuk () ) a b c d sebagai suatu identitas dalam, sehingga untuk setiap nilai yang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam () sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta yang masih akan dicari nilainya. Contoh 9 Pisahkan Penyelesaian: atas pecahan-pecahan parsialnya. 6 0 ( ) ( ) ( ) 0 Dibentuk A B C () A( )( ) B( )( ) C( )( ) 6 ( )( )( ) 6 6 A( )( ) B( )( ) C( )( ) untuk A()(4) A untuk 0 B( )() B 0 untuk 60 C( 4)( ) C 5 Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam () maka diperoleh sehingga d 4 6 d d d... Integral 57

10 Pada bagian ini dijumpai bentuk a d b. Semua akar persamaan ) 0 real tetapi ada yang sama Misalkan ) 0 mempunyai akar a, b, akar kembar 4 c, dan tiga akar sama d, maka ) ( a) ( b) ( c) ( d). Selanjutnya dibentuk N( ) ) A B C D E F G () a b c ( c) d ( d) ( d) Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama yang sesuai dengan akar sama c dan d. Contoh 0 Pisahka n atas pecahan-pecahan parsialnya. ( )( ) Penyelesaian: Dibentuk A B ( )( ) ( ) ( C D ) (4) A( ) B ( )( ) C( )( ) ) untuk D untuk 7A untuk 0 untuk 0 A B C D 8A 4B C D Dari keempat persam aan tersebut diperoleh: 6 A, B, C, D Jadi ( )( ) ( ) ( ) Selanjutnya dapat dicari integral ( )( ) d Integral 58

11 ( )( ) d d d 7 7 ) d d ( ) ( Pada bagian ini dijumpai bentuk d a dan d n,,... n ( a) c. ) 0 mempunyai akar tidak real yang berlainan Ingat teore ma dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a bi suatu akar maka a bi juga akar persamaan itu Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a bi akar persamaan ) 0 maka demikian juga a bi, sehingga salah satu faktor ) adalah { (a bi)}{ (a bi)} ( a) b yang definit positif. Bersambung... Integral 59

dokumen-dokumen yang mirip

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan