Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Transkripsi

1 Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang

2 Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan Soal SIMAK UI 0 Matematika IPA Kode Soal 5 By Pak Anang ( PETUNJUK A: Untuk soal nomor - pilihlah satu jawaban yang paling tepat.. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut: { x xy + 3y + x 5y 4 = 0 x + y = 4 maka x y =... A. 6 B. 3 C. 0 D. 3 E. 6 Perhatikan bentuk sistem persamaan berikut: x xy + 3y + x 5y 4 = 0...() x + y = 4...() Persamaan () akan menjadi persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan x atau y dari persamaan (). x + y = 4 x = 4 y atau y = x Dengan mudah dilihat bahwa substitusi x ke persamaan () lebih mudah daripada substitusi y, karena tidak mengandung unsur pecahan. Substitusi x = 4 y ke persamaan () akan diperoleh: x xy + 3y + x 5y 4 = 0 (4 y) (4 y)y + 3y + (4 y) 5y 4 = 0 6 6y + 4y 4y + y + 3y + 8 4y 5y 4 = 0 4y + y + 3y 6y 4y 4y 5y = 0 9y 9y + 0 = 0 Pembuat nol (9y 0)(y ) = 0 9y 0 = 0 atau y = 0 y = 0 9 atau y = TM Karena x dan y adalah bilangan bulat, maka y = 0 tidak memenuhi (TM). Sehingga, nilai y yang memenuhi adalah y =, sehingga x = 4 y x = 4 () = 4 = Jadi, nilai x y = () () = 4 = 3 9 LOGIKA PRAKTIS: Apabila x dan y adalah bilangan bulat, maka kemungkinan nilai x y adalah bilangan nol, atau bilangan bulat ganjil. Jadi jelas jawaban A dan E bukan jawaban yang benar. Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman

3 . Misalkan f(x) = (x 3) 3 + (x ) + (x ). Maka sisa dari pembagian f(x + ) oleh x adalah... A. + 5x B x C. 5 x D. 4 9x E. + 9x Fungsi f(x + ) dapat diperoleh dengan mensubstitusikan x dengan x +, sehingga: f(x) = (x 3) 3 + (x ) + (x ) f(x + ) = ((x + ) 3) 3 + ((x + ) ) + ((x + ) ) f(x + ) = (x ) 3 + x + (x + ) Misal sisa pembagian dari f(x + ) oleh x adalah px + q, maka menurut teorema pembagian suku banyak bisa dirumuskan sebagai berikut: f(x + ) = p(x) h(x) + s(x) f(x + ) = (x )h(x) + (px + q) f(x + ) = (x + )(x ) h(x) + (px + q) Substitusikan pembuat nol dari pembagi yaitu x= dan x= Dengan mensubstitusikan pembuat nol dari fungsi pembagi, maka akan diperoleh persamaan: x = f() = p + q... () x = f(3) = p + q... () Padahal f(x + ) = (x ) 3 + x + (x + ), sehingga: f() = f( + ) = (( ) ) 3 + ( ) + (( ) + ) = ( ) = 8 + = 7 f(3) = f( + ) = ( ) 3 + () + ( + ) = = 3 Dengan mensubstitusi f() = 7 dan f(3) = 3 serta mengeliminasi q pada persamaan () dan () akan diperoleh: p + q = 7 p + q = 3 p = 0 p = 0 p = 5 Substitusi p = 5 ke persamaan p + q = 3 menghasilkan: p + q = q = 3 q = 3 5 q = Jadi, sisa pembagian dari f(x + ) oleh x adalah 5x. TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ada di halaman berikutnya! Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman

4 TRIK SUPERKILAT: f(x) = (x 3) 3 + (x ) + (x ) f(x + ) = (x ) 3 + x + (x + ) f(x + ) = x 3 x + 4x f(x + ) = x 3 x + x x + + 4x x(x ) Jadi, sisa pembagian dari f(x + ) oleh x adalah 5x. (x ) f(x + ) = x(x ) + x (x ) + 4x f(x + ) = (x )(x ) + 5x LOGIKA PRAKTIS Soal tersebut bisa dikerjakan menggunakan pembagian porogapit. f(x) = (x 3) 3 + (x ) + (x ) f(x + ) = (x ) 3 + x + (x + ) f(x + ) = x 3 x + 4x x x x 3 x + 4x x 3 x x + 5x x + 5x Jadi, sisa pembagian dari f(x + ) oleh x adalah 5x. Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 3

5 3. Nilai-nilai x yang memenuhi x x adalah... A. Semua bilangan riil B. x atau x C. x D. x atau x E. x atau x Perhatikan pertidaksamaan pada soal melibatkan harga mutlak, ingat lagi definisi nilai mutlak: x = { x, untuk x ( x), untuk x > Jadi, kita harus memisah pertidaksamaan tersebut menjadi dua bentuk, yaitu: Bentuk pertama, Untuk x, maka: x x x + x + 3x 3 Bentuk kedua, Untuk x >, maka: x 3 3 x x ( x) x + x x x + x x x Jadi, karena penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah x atau x, maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah x = semua bilangan riil. Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 4

6 4. Misalkan x dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat x (k k )x + (3k + 4) = 0 dan kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika x, k, x merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah... A. ( )n + B. ( )n C. ( )n + D. ( ) n E. ( )n Akar-akar persamaan kuadrat x (k k )x + (3k + 4) = 0 adalah x dan x dimana x, x adalah bilangan bulat serta k konstan. a =, b = (k k ), c = (3k + 4) Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar diperoleh: x x = c a x (3k + 4) x = x x = (3k + 4). () Dengan memandang bahwa x, k, x adalah 3 suku pertama barisan geometri, maka kuadrat suku tengah adalah perkalian dari suku pertama dan suku terakhir, sehingga diperoleh: k = x x. () Dengan mensubstitusi persamaan () dan () diperoleh: k = 3k + 4 k 3k 4 = 0 (k + )(k 4) = 0 Pembuat nol k 4 = 0 atau k + = 0 k = 4 atau k = Kasus pertama, Jika k = 4, maka: x ((4) (4) )x + (3(4) + 4) = 0 x 7x + 6 = 0 Kok sepertinya tidak bisa difaktorkan ya? Mari kita periksa diskriminannya! D = b 4ac = (7) 4()(6) = 665 D > 0 dan D bukan bilangan kuadrat Sehingga akar-akarnya bukan bil. bulat Berarti untuk kasus pertama ini tidak memenuhi syarat x, x adalah bilangan bulat. Kasus kedua, Jika k =, maka: x (( ) ( ) )x + (3( ) + 4) = 0 x x + = 0 (x ) = 0 x = x = Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 5

7 Sehingga, substitusi x, x pada persamaan () akan menghasilkan: k = x x k = ()() k = k = 0 (k + )(k ) = 0 k = atau k = Dengan mudah kita memilih k = sebagai pilihan yang tepat, mengingat di semua opsi jawaban mengandung unsur ( ) n Jadi barisan geometri yang dimaksud adalah,,,, Hal ini berarti bahwa suku pertama a = dan rasio barisan r =. Jadi, jumlah n suku pertama barisan geometri tersebut adalah: S n = a(rn ) r = (( )n ) ( ) = (( )n ) = ( )n + Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 6

8 5. Dalam segitiga ABC, AB = a, AC = b. Jika titik G adalah titik berat segitiga ABC maka AG =... A. (a + b ) 6 B. 4 (a + b ) C. 3 (a + b ) D. 3 (a + b ) E. 3 4 (a + b ) Misalkan titik D adalah titik tengah garis AB, sehingga AD adalah salah satu garis berat segitiga. Dan titik G adalah titik berat segitiga, yaitu titik perpotongan semua garis berat segitiga. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut: A A G G B D C B D C Jika AB = a dan AC = b, maka: BC = BA + AC = a + b Sehingga, AD = AB + BD AD = AB + BC = a + ( a + b ) = a a + b = a + b = (a + b ) Perhatikan bahwa titik G membagi AD sehingga AG GD =, sehingga: AG = 3 AD = 3 ( (a + b )) = 3 (a + b ) Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 7

9 6. Dalam segitiga ABC, diketahui sudut α, β, γ berhadapan dengan sisi a, b, c. Jika b > c maka b c b+c =... A. sin (β γ) cos (α) B. cos (β γ) sin (α) C. tan (β γ) sin (α) D. tan (β γ) tan (α) E. tan (β γ) cot (α) Perhatikan gambar di samping! Pada ABC, berlaku aturan sinus yang nilai perbandingannya merupakan dua kali panjang jari-jari lingkaran luar segitiga, yaitu: a sin α = b sin β = c sin γ = R Dari aturan sinus bisa diperoleh kesamaan berikut: b sin β = R b = R sin β dan c = R c = R sin γ sin γ A b α C γ c a β B Sehingga, substitusikan b = R sin β dan c = R sin γ ke persamaan pada soal, b c R sin β R sin γ = b + c R sin β + R sin γ R(sin β sin γ) = R(sin β + sin γ) sin β sin γ = sin β + sin γ = cos (β + γ) sin (β γ) sin (β + γ) cos (β γ) = cos (β + γ) sin (β sin γ) (β + γ) cos (β γ) = cot (β + γ) tan (β γ) = cot (80 α) tan (β γ) = cot (90 (α)) tan (β γ) = tan (α) tan (β γ) = tan (β γ) cot (α) Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 8

10 7. Jika sin t (csc t )( sin t + sin t sin 3 t + ) = x, dengan π < t π, maka nilai dari cos t adalah... A. (x ) B. (x ) C. + (x ) D. E. (x ) +(x ) Perhatikan! sin t (csc t ) Identitas trigonometri csc t =cot t ( sin t + sin t sin 3 t + ) Barisan geometri tak hingga dengan a= dan r= sin t S = a r = x sin t cot t ( + sin t ) = x sin t cos t sin t ( + sin t ) = x cos t ( + sin t ) = x ( sin t) ( + sin t ) = x ( sin t)( + sin t) ( + sin t ) = x ( sin t) = x x = sin t Karena π < t π berarti t berada di kuadran II, artinya nilai cos t negatif. Sehingga, bentuk cos t dapat diperoleh dari sin t dengan menggunakan identitas trigonometri: cos t + sin t = cos t = sin t cos t = sin t (ingat t di kuadran II maka cos t bernilai negatif) = ( x) (ingat ( x) = (x ) ) = (x ) Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 9

11 8. lim x x 4x + 7 =... A. B. C. 0 D. 4 E. Ingat bentuk limit tak hingga bentuk adalah salah satu limit bentuk tak tentu. Sekarang periksa nilai limit berikut dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi limit terlebih dahulu, apakah menghasilkan sebuah limit bentuk tak tentu? lim x 4x + 7 = ( ) 4( ) + 7 x = = = Karena nilai limit tidak menyebabkan limit menjadi limit bentuk tak tentu, maka nilai limit tersebut adalah. Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 0

12 9. Diberikan f(x) = sin x. Jika f (x) menyatakan turunan pertama dari f(x), maka lim h h {f (x + ) h f (x)} =... A. sin x B. cos x C. cos x D. sin x E. cos x Perhatikan bentuk limit pada soal! lim h h {f (x + h ) f (x)} (ingat h h = dan h = ) h lim {f h (x + h ) f (x)} (ingat = 0) h {f (x + lim h 0 f (x) h ) f (x)} h {f(x + h) f(x)} (Bukankah ini identik dengan lim = f (x)) h 0 h Sehingga penyelesaian limit tersebut adalah turunan kedua dari fungsi f(x). Jadi, f(x) = sin x lim h h {f (x + h ) f (x)} = f (x) = d dx (sin x) = d ( sin x cos x) dx = d (sin x cos x) dx = (cos x cos x + sin x ( sin x)) = (cos x sin x) = cos x TRIK SUPERKILAT: f(x) = sin x f(x) = cos x f (x) = sin x f (x) = cos x Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman

13 0. Jika diketahui garis singgung parabola y = 3x + ax +, pada titik x = membentuk sudut terhadap sumbu x sebesar arctan(6). Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y = 9x 59 dan parabola tersebut adalah... A. 0 B. C. D. 3 E. Gradien garis singgung parabola y = 3x + ax + pada titik x = bisa diperoleh dari nilai turunan pertama dari kurva pada titik tersebut, sehingga: f(x) = 3x + ax + f (x) = 6x + a m = f ( ) m = 6( ) + a m = + a... () Garis singgung tersebut membentuk sudut terhadap sumbu x sebesar arctan(6), sehingga: θ = arctan(6) tan θ = 6 Padahal gradien garis singgung dari sebuah kurva juga merupakan nilai dari tan θ, dimana θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu x, sehingga diperoleh: m = tan θ m = 6... () Dengan mensubstitusi persamaan () ke persamaan () akan diperoleh: + a = 6 a = 6 + a = 8 Jadi, dengan mensubstitusi nilai a = 8, maka persamaan parabola tersebut adalah: y = 3x + 8x + Sehingga, untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh y = 3x + 8x + dan sebuah garis lurus, y = 9x 59 maka gunakan rumus cepat TRIK SUPERKILAT berikut: Luas daerah yang hanya dibatasi kurva dan garis lurus adalah: dimana, L = D D 6a D = b 4ac. D adalah nilai diskriminan dari persamaan kuadrat ax + bx + c yang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan garis ke persamaan kurva. Jadi, substitusi y = 9x 59 pada kurva, akan diperoleh: 9x 59 = 3x + 8x + 0 = 3x + 8x + ( 9x 59) 0 = 3x + 8x + + 9x = 3 x + 7 x + 60 Sehingga, nilai D adalah: a D = b 4ac D = (7) 4(3)(60) = = 9 Jadi, luas daerah tersebut adalah: L = D D 6a = 9 9 6(3) = = 3 6 = b c Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman

14 . Diberikan bidang empat A. BCD dengan BC tegaklurus BD dan AB tegaklurus bidang BCD. Jika BC = BD = a cm, dan AB = a cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan... A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. 3π 4 E. π Jadi, D E α α = (bidang ACD, bidang BCD) = (AE, EB) C A B Perhatikan bidang segiempat A. BCD di samping! BC BD, AB bidang BCD BC = BD = a cm AB = a cm Maka besar sudut antara bidang ACD dan BCD dapat ditentukan dengan membuat menentukan titik potong kedua bidang terlebih dulu. Ternyata garis potong kedua bidang tersebut adalah terletak pada ruas garis DC. Sudut antara bidang bidang ACD dan BCD adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis pada masingmasing bidang yang tegak lurus dengan garis potong, Misal E adalah titik tengah DC, maka sudut antara bidang bidang ACD dan BCD adalah sudut yang dibentuk oleh ruas garis AE dengan ruas garis EB. Perhatikan bidang alas BCD yang merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Apabila bidang alas kita perluas sehingga menjadi sebuah persegi BCDF, sehingga DC adalah salah satu diagonal persegi. DC = BC + BD = (a ) + (a ) = a + a = 4a = a Dan dengan mudah kita mengetahui bahwa: DE = EC = BE = DC DE = EC = BE = (a) DE = EC = BE = a Jadi, besar sudut α dengan mudah ditentukan dari nilai tangen sudut α, dimana nilai tangen sudut α adalah perbandingan antara ruas garis AB dengan ruas garis BE: tan α = AB BE tan α = a a tan α = α = arctan() α = 45 α = π 4 Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 3

15 PETUNJUK C: Untuk soal nomor. Persamaan kuadrat x pqx + p + q = 0 akar-akarnya x dan x dengan x x = 5(x + x ). Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara p dan q adalah... () p = q () p = q (3) p = q + (4) p = q Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat maka dari persamaan kuadrat x pqx + p + q = 0 akan diperoleh: x + x = b a x + x = ( pq) x + x = pq x x = c a x x = (p + q ) x + x = p + q Sehingga x x = 5(x + x ) bisa dinyatakan menjadi: x x = 5(x + x ) (p + q ) = 5(pq) p + q 5pq = 0 p 5pq + q = 0 (p q)(p q) = 0 Pembuat nol p q = 0 atau p q = 0 p = q atau p = q Sehingga diperoleh hubungan antara p dan q, yaitu p = q atau q = p Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SIMAK-UI, UM STIS, SBMPTN, SNMPTN, OSN serta kumpulan pembahasan soal SIMAK-UI, SNMPTN, UM STIS, UMB PTN, OSN ataupun yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi Terimakasih, Pak Anang. Bimbel SIMAK UI 03 Matematika IPA by Pak Anang ( Halaman 4