5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

Transkripsi

1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I

2 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan Fungsi F. Titik Belok MA4 KALKULUS I

3 A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi Definisi 5.: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni (i) Asimtot Tegak Garis c disebut asimtot tegak dari y f() jika (ii) Asimtot Datar Garis y b disebut asimtot datar dari y f() jika (iii) Asimtot Miring Garis y a b disebut asimtot miring jika ± f ( ) a dan ± f ( ) a b c ± f ( ) ± f ( ) b MA4 KALKULUS I 3

4 Asimtot tegak a a a asimtot tegak Dalam kasus f ( ) f ( ) a dan a a asimtot tegak Dalam kasus dan a a f ( ) f ( ) MA4 KALKULUS I 4

5 y b Garis y b asimtot datar karena f ( ) Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk hingga Tapi, jika untuk menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh grafik fungsi(tidak dipotong lagi) b MA4 KALKULUS I 5

6 yf() y a b Garis y a b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai hingga. Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring MA4 KALKULUS I 6

7 Contoh Tentukan semua asimtot dari Jawab : (i) Asimtot tegak :, karena 4 (ii) Asimtot datar : f ( ) dan 4 Maka asimtot datar tidak ada 4 ( ) ( ) f ( ) 4 ( ( 4 ) ) 4 MA4 KALKULUS I 7

8 MA4 KALKULUS I 8 f a. 4 ) ( ± ± 4 ± ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 ± ± (iii) Asimtot miring 0 4 ± ) ( 4 ± ± 4 a f b ± ) ( Asimtot miring y 4 ±

9 Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :. f ( ). f ( ) 3 3. f ( ) 4. f ( ) 3 5. f ) ( MA4 KALKULUS I 9

10 C. Kemonotonan Fungsi Definisi 5. Fungsi f() dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk ( ) < f ( ) I < f,, f( ) f( ) I Fungsi f() monoton naik pada selang I MA4 KALKULUS I 0

11 monoton turun pada interval I jika untuk ( ) > f ( ), I < f, f( ) f( ) I Fungsi f monoton turun pada selang I MA4 KALKULUS I

12 Teorema 5. : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka Fungsi f() monoton naik pada I jika Fungsi f() monoton turun pada I jika f '( )> 0 I f '( )< 0 I Contoh Tentukan selang kemonotonan dari 4 f ( ) Jawab : ( )( ) ( 4) f '( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( 4) ( ) f() monoton naik pada (,0) dan (4, ) f() monoton turun pada (0,) dan (,4). MA4 KALKULUS I

13 n D. Ekstrim Fungsi Definisi 5.3 Misalkan f() kontinu pada selang I yang memuat c, maksimum f(c) disebut nilai global dari f pada I jika minimum f ( c) f ( c) f ( ) f ( ) I f(c) disebut nilai maksimum minimum buka yang memuat c sehingga lokal dari f pada I jika terdapat selang f ( c) f ( c) f ( ) f ( ) untuk setiap pada selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis. MA4 KALKULUS I 3

14 Ma lokal Min lokal Ma global Min global Ma lokal Min lokal a b c d e f Nilai ekstrim fungsi pada selang I[a,f] MA4 KALKULUS I 4

15 n Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I Titik stasioner ( yaitu c dimana f '( c) 0 ), secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c)) Titik singulir ( c dimana f '( c) tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c)) MA4 KALKULUS I 5

16 Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal Jika f '( ) > f '( ) < ( c, c δ ) f(c) 0 0 ( c δ, c) f '( ) < 0 f '( ) > 0 maksimum lokal minimum pada dan pada Maka f(c) merupakan nilai c f(c) c f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f >0) dan disebelah kanan c monoton turun (f <0) f(c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun (f <0) dan disebelah kanan c monoton naik (f >0) MA4 KALKULUS I 6

17 Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal f ''( c) < 0 Misalkan f '( c) 0. Jika,maka f(c) merupakan maksimum f ''( c) > 0 nilai lokal f Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari f ( ) Jawab: f minimum ( 4) '( ) ( ) Dengan menggunakan uji turunan pertama : 4 di 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di 4 tercapai minimum lokal dengan nilai f ( 0) f ( 4) 6 MA4 KALKULUS I 7

18 MA4 KALKULUS I 8 Soal Latihan ) ( f 3 3 ) ( f ) ( f f ) ( ) ( Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :

19 E. Kecekungan Fungsi y y Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah Fungsi f() dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '( ) naik pada interval I, dan f() dikatakan cekung kebawah pada interval I bila f '( ) pada interval I. turun Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan. Jika f "( ) > 0, I, maka f cekung ke atas pada I.. Jika, maka f cekung ke bawah pada I. f "( ) < 0, I MA4 KALKULUS I 9

20 contoh Tentukan selang kecekungan dari Jawab : f '( ) 4 ( f ''( ) ( ( ) 4)( ) )(( 8 ( 8 ( ( ) 4 4)( ) ( 3 )( ) ) 4 8 4) ( f ( ) 4)) 8 3 ( ) 4 Grafik f cekung keatas pada (, ) dan cekung kebawah pada selang (,) MA4 KALKULUS I 0

21 n F. Titik belok n Definisi 5.4 Misal f() kontinu di b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f() jika : terjadi perubahan kecekungan di b, yaitu di sebelah kiri b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya b adalah absis titik belok, jika f "( b) 0 atau f "( b) tidak ada. MA4 KALKULUS I

22 f(c) f(c) c c (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas MA4 KALKULUS I

23 f(c) c c (c,f(c)) bukan titik belok karena disekitar c tidak terjadi perubahan kecekungan Walaupun di sekitar c terjadi perubahan kecekungan tapi tidak ada titik belok karena f tidak terdefinisi di c MA4 KALKULUS I 3

24 Tentukan titik belok (jika ada) dari. f ( ) 3 f '( ) 6, f ''( ) Di 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0) - maka (0,-) merupakan titik belok 4. f ( ) f ''( ) 0 0 Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan MA4 KALKULUS I 4

25 3. f ( ) f ''( ) ( ) Walaupun di, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f() tidak terdefinisi di MA4 KALKULUS I 5

26 Soal Latihan Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3 3 ( ) f ( ) / 3 MA4 KALKULUS I 6

27 Contoh: Diketahui f ( ) 4 a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f() a. Fungsi f() monoton naik pada selang (,0), (4, ) monoton turun pada selang (0,) dan (,4). di 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai f ( 0) di 4 tercapai minimum lokal dengan nilai b. Grafik f cekung keatas pada, ) selang (,), tidak ada titik belok f ( 4) ( dan cekung kebawah pada c. Asimtot tegak, asimtot miring y, tidak ada asimtot datar 6 MA4 KALKULUS I 7

28 d. Grafik f() f ' f ' ' 6 y - 4 MA4 KALKULUS I 8

29 Soal Latihan A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot f ( ) f ( ) 4 3 f ( ) 4 3 f ( ) 5. f ) 4 ( MA4 KALKULUS I 9

30 B. Misalkan f suatu fungsi kontinu dan f(-3)f(0). Jika grafik y f '( ) seperti gambar berikut : a. Tentukan selang kemonotonan fungsi f b. Tentukan selang kecekungan fungsi f c. Sketsa grafik fungsi f(). MA4 KALKULUS I 30

31 5. Menghitung it fungsi dengan Aturan L Hôpital Bentuk tak tentu dalam it :. Aturan L Hôpital untuk bentuk 0, 0 0 Andaikan f() g() 0. Jika 0, 0., f '( ) g'( ) L,, atau Maka f ( ) g( ) f '( ) g '( ) MA4 KALKULUS I 3

32 Contoh Hitung Jawab cos 0 bentuk (0/0) cos sin 4 cos Ctt : aturan L hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi. Aturan L Hôpital untuk bentuk f '( ) Andaikan f() g(). Jika g'( ) maka f ( ) g( ) f ' ( ) g' ( ) L,, atau MA4 KALKULUS I 3

33 Contoh Hitung 3 5 Jawab (bentuk ) Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu it dapat dihitung dengan menggunakan dalil L Hopital Contoh Hitung Jawab 3 ( 3) ( ( ) ( 3) ( ) 3 3 MA4 KALKULUS I 33 )

34 MA4 KALKULUS I 34 Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L Hopital, karena setelah dilakukan aturan L Hopital muncul lagi bentuk semula Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 3 3 ) ( ) ( 3

35 3. Bentuk 0. Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk 0 atau 0 Contoh : Hitung 0 csc Jawab : 0 csc 0sin 0cos 0 MA4 KALKULUS I 35

36 n 4. Bentuk - Misalkan f() g(). Untuk menghitung [ f() - g() ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f()- g() ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya Contoh : Hitung csc 0 ( cot ) Jawab : cos cos ( csc cot ) sin sin 0 0 sin 0 sin 0 cos 0 MA4 KALKULUS I 36

37 Soal Latihan Hitung it berikut ( bila ada ). sin 0 cos csc 0 5 ( cos ) cot 0 MA4 KALKULUS I 37

38 5.3 Masalah maksimum minimum lainnya Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/ meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah. Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum MA4 KALKULUS I 38

39 Contoh:. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 00 cm agar luasnya maksimum jawab Misal panjang y, lebar y Luas L y, karena y 00 à y 50 - Sehingga Luas L() (50-) 50, 0 50 L' ( ) 50 à 5 Karena maka di 5 terjadi maks lokal. L' '(5) < 0 Karena L(0) 0, L(5) 65, L(50) 0 à agar luas maks haruslah 5 dan y 5 MA4 KALKULUS I 39

40 . Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 4 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang, sehingga V() (45-) (4-) 3 V ( ) , 0 V '( ) ( 3 90) ( 8)( 5) Sehingga diperoleh titik stasioner 8 dan MA4 KALKULUS I 40

41 V ''( ) Sehingga 4 76 V ''(8) 56 > 0 di 8 terjadi min lokal V ''(5) 56 < 0 di 5 terjadi maks lokal Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai Volume jika 5 dan 0, (batas Df) V(0) 0 V() 0 V(5) 450 Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 4 cm tinggi 5 cm MA4 KALKULUS I 4

42 Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan kedalam bentuk fungsi implisit, seperti contoh berikut Contoh Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dari menara kontrol 5 km dan dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z Menara kontrol z 3 km y Diketahui dz dt 5000 Saat z 5 MA4 KALKULUS I 4

43 Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh y 9 z Pada saat z 5 à y 4 Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan dy y z dt dz dt Jika data y 4, z 5, dan dz 5000 dt Kecepatan vertikal roket dy dt disubstitusikan diperoleh 650 km/jam MA4 KALKULUS I 43

44 Soal Latihan. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 00 dan hasil kalinya minimum cm. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 000 dan kelilingnya minimum 3. Tentukan titik pada garis 6 y 9 yang terdekat ke titik (-3,) 4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu serta dua titik sudutnya di atas sumbu serta terletak pada parabola y 8 5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar sehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r MA4 KALKULUS I 44

45 6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kota A ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dari A ke B untuk setiap kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin. MA4 KALKULUS I 45