Model Optimisasi Robust

Transkripsi

1 Model Optimisasi Robust untu Masalah Pengendalian Persediaan Ban (Studi Kasus untu Data Permintaan Ban E/M R-25 di PT Chitra Paratama) Robust Optimization Model for Tire inventory Control Problem Epsilon Analisa Abar, Dr. Diah Chaerani, M.Si., Dr. Lienda Noviyanti, M.Si. Jurusan Statistia, Universitas Padadaran, Bandung ABSTRAK Metode optimisasi robust merupaan metode yang digunaan untu menangani masalah-masalah yang beraitan dengan etidapastian. Model ini membahas masalah pengendalian persediaan dengan asumsi data permintaan yang tatentu. Model robust memberian hasil yang berbeda dengan model Economic Order Quantity arena model robust ini menghasilan estimasi biaya penyimpanan dan eurangan pada setiap periode. Dari hasil perhitungan optimisasi robust uga menghasilan total biaya yang lebih rendah dibanding model EOQ. ABSTRACT Robust Optimization is the method used for handling matters relating to the uncertainty. This model discuss with the assumption of inventory control in data uncertainty demand. Give a robust model different uantity with a model economic order because it gives a model of robust estimates the cost of storage and a shortage at any period. From the calculation of robust optimization also gives much lower than the total cost EOQ model. PENDAHULUAN Ban merupaan salah satu omponen utama yang penting dari endaraan. Jenis dari ban sangat bermacam-macam sesuai enis endaraannya.merancang pengendalian persediaan yang efisien adalah salah satu isu terpenting untu memperbaii sistem persediaan yang ada. Menurut P. Siagian (2006), yang dimasud barang persediaan adalah seumlah material yang disimpan dan dirawat menurut aturan tertentu dalam tempat persediaan agar selalu dalam eadaan siap paai dan ditatausahaan dalam bentu buu perusahaan. Untu menduung elancaran pemenuhan eutuhan pelanggan, maa manaemen harus selalu berusaha menamin etersediaan barang yang diinginan oleh pelanggan. Dalam egiatan normal Model EOQ memilii asumsi dimana umlah ualitas barang yang dapat diperoleh dengan biaya yang minimal atau sering diataan sebagai umlah pembelian yang optimal. Tiga parameter utama dalam EOQ adalah permintaan dalam satu urun watu (d), biaya pemesanan (K), dan biaya penyimpanan (h). Pada enyataannya, nilai untu masing-masing parameter sulit untu dietahui dan berubah-ubah arena fator yang ta terduga. Ketidatentuan pada data dapat disebaban oleh esalahan penguuran, esalahan pemodelan, atau tida tersedianya informasi yang diperluan etia eputusan harus diambil (Chaerani d, 2009). Oleh sebab itu, model EOQ buan merupaan solusi yang optimal untu menyelesaian masalah persediaan (Kweon et all, 2014)]. Robust Optimization adalah suatu cara yang diterima untu menangani etidatentuan permintaan. Hal ini menyiapi etidatentuan parameter dalam masalah-masalah optimasi deterministi. Tida seperti pemrograman stoasti, robust optimization tida menganggap bahwa etidatentuan parameter adalah variabel aca dengan distribusi yang dietahui, ini mewaili etidatentuan dalam parameter (Bertsimas, 2006).

2 Pada permasalahan pengendalian persediaan terdapat variabel aca dalam rumusan tingat permintaan yang dimana permintaannya berubah-ubah setiap periode watu. Sudah banya penelitian yang dilauan untu menyelesaian permasalahan persediaan dengan data permintaan tida tentu. Salah satunya adalah memodelan permasalahan menggunaan pemrograman stoasti dengan batasan peluang. Aan tetapi cara tersebut sulit untu dicari awabannya arena setiap emunginan output dari variabel aca harus diiutan dalam perhitungan. Hal ini mengaibatan apabila emunginan output dari variabel aca sangat besar, maa perhitungan menadi sulit dilauan. Oleh arena itu diauan sebuah model untu melauan pendeatan dalam menyelesaian permasalahan menggunaan optimisasi robust. Greenberg (2006) menulis bahwa optimasi robust sama dengan pemrograman stoasti dalam hal terdapat variabel aca modelnya, tetapi elayaan teradinya semua emunginan output digantingan dengan fungsi endala. Urgensi dan eutamaan penelitian ini terleta pada metode optimasi robust itu sendiri. Satu rencana disebut tangguh (robust) apabila mampu menghadapi etidapastian, yaitu tetap berperformansi stabil mesipun beberapa parameter perencanaan berubah-ubah. Metode optimasi robust yang diauan oleh Bertsimas dan Thiele adalah metode yang digunaan untu menangani masalah-masalah yang beraitan dengan etidapastian. Dalam mengembangan metode robust ini, peneliti menggunaannya untu mengevaluasi performansi metode yang sudah diterapan dalam perusahaan, yaitu metode EOQ dan Persediaan Stoasti. Dengan demiian, performansi metode baru yang diembangan dapat dibandingan dengan performansi metode yang sudah diterapan sebelumnya. Dalam penelitian ini, dibahas model optimisasi robust untu masalah pengendalian persediaan dengan asumsi data permintaan yang tatentu. Studi asus ini dilauan untu data penualan Ban Earthmover R-25 di Chitra. Hal ini diharapan dapat menghasilan solusi yang bisa menawab permasalahan tersebut. METODOLOGI PENELITIAN Model Economic Order Quantity Sebagaimana telah dibahas pada Bab 2, bahwa model EOQ Deterministi dibagi menadi tiga, maa beriut ini dibahas langah-langah mencari besarnya pemesanan optimum dan uga berapa rata-rata biaya yang dilauan terhadap persediaan barang untu masing-masing model EOQ yang sudah dielasan. Economic Order Quantity (EOQ) tanpa Stoc out Penelitian ini menggunaan model EOQ dengan ebutuhan deterministi. Model EOQ dengan ebutuhan deterministi ini sendiri memilii beberapa model salah satunya adalah model persediaan tanpa stoc out yang aan diadian alat dalam melauan analisisnya. Jumlah seluruh biaya rata-rata (c()) selama urun watu t adalah penumlahan rata-rata biaya penyimpanan dan rata-rata biaya pengadaan barang. Untu mencari besar persediaan optimum ( opt ) adalah dengan menurunan fungsi biaya terhadap sehingga di peroleh rumusan opt, sebagai beriut : c d K h c d (3.1) 2

3 opt 2 d K (3.2) h Model EOQ dengan Stoc Out Biaya-biaya yang terlibat adalah biaya pemesanan,biaya penyimpanan dan biaya eurangan. Dari etiga biaya tersebut, maa umlah biaya rata-rata c() selama periode tadalah : 2 2 d h s p( s) c ( d c) ( ) (3.3) 2 2 opt 2d h p (3.4) h p Ui Hipotesis Penentuan Distribusi Peluang Untu memperuat periraan tersebut dilauan ui ecocoan distribusi peluang dengan menggunaan Ui Kolmogorov-Smirnov. Distribusi Peluang Tingat Permintaan Ada beberapa enis distribusi peluang yang menggambaran tingat permintaan, yaitu : 1. Distribusi Normal Salah satu distribusi ontinu yang umum digunaan adalah distribusi normal. Distribusi normal memilii fungsi densitas sebagai beriut : d f ( d ) exp 2 2 dengan 0, 0, dan d 2. Distribusi Gamma Distribusi Gamma memilii fungsi densitas sebagai beriut : d 1 d 0 1 f ( d ) d e dengan, 0 ( ) 0; lainnya 3. Distribusi Uniform Distribusi peluang yang menggambaran tingat permintaan selama lead time diasumsian berdistribusi seragam (uniform)dengan fungsi distribusi peluang 1 f ( l) b a 0 dengan a l b dan l lainnya. Model Persediaan Permintaan Tida Tetap Pada pratenya, model persediaan didasaran pada umlah permintaan yang tida tetap dan dan tida dietahui sebelumnya. Hal ini mengaibatan adanya perbedaan antara

4 model persediaan dengan permintaan tetap dengan model permintaan dengan ebutuhan tida tetap pada omposisi biaya. tingat persediaan yang optimum opt untu model ini adalah : Tingat persediaan aan optimum ia : p f ( d ) dd (3.5) h p 1. Fungsi obetif tingat persediaan optimum sebagai beriut : 0 ~ c( ) h d f ( d ) dd p d f ( d ) dd 0 2. Mempunyai fungsi endala sebagai beriut : Jumlah elebihan persediaan per silus { d d 0 d 0 d Jumlah eurangan persediaan per silus { d d Biaya penyimpanan bersifat positif, h 0. Biaya eurangan bersifat positif, p 0. Biaya aibat eurangan lebih besar dari biaya penyimpanan, p h. Jia biaya penyimpanan dan biaya eurangan dalam bentu persentase, maa p h 1. Model Persediaan Permintaan Tida Tetap Selama Tenggang Watu Dengan adanya permintaan yang bersifat tida tentu selama Lead Time dapat beraibat teradi stoc-out. Untu mengantisipasi hal tersebut diambil suatu ebiaan yaitu menyiapan cadangan penyangga atau disebut uga buffer stoc. Tingat persediaan optimum dan Fungsi total biaya persediaan untu model permintaan tida tetap dengan masa tenggang adalah : 2 d pd ( l r) f ( l) dl R h Kd pd c( ) dc h r E( l) ( l r) f ( l) dl 2 (3.6) r Pendeatan Optimisasi Robust Optimisasi Robust merupaan suatu metode yang diembangan oleh Bertsimas dan Sim untu permasalahan linier programming. Permasalahan dari data yang tatentu dapat diformulasian pada fungsi obetif persamaan (3.7) dan fungsi endala (3.8). min c T x (3.7)

5 dengan endala : Ax b l x u x Z, i 1,, i (3.8) Model data yang tida pasti U ada 2, yaitu: a. Tida pasti (uncertain) untu Matris A : Jia N ={1,2,,n} maa tiap a i, N adalah model independen, simetris dan dibatasi oleh variabel aca (tetapi dengan distribusi yang tida dietahui) ai, N yang diambil dalam nilai [ a ˆ, ˆ i ai ai ai ]. b. Tida pasti (untu cost vetor c). Tiap c, N nilai diambil dari nilai [ ci, c d ], dimana d mewaili deviasi dari nominal cost oefisien c. The Single Station Case Capacitated Model Dengan menggunaan persamaan linier dari fungsi biaya, maa permasalahaan persediaan menurut Bertsimas and Thiele (2006) dapat ditulisan dalam integer programming seperti persamaan (3.9). dengan endala : t1 min cu Kv y (3.9) 0 0,, t 1 y h( u d ) 0 i i i0 0 y p( u d ) (3.10) i i 0,, t 1 (3.11) i0 0 u Mv v 0,1 0,, t 1 (3.12) dimana d ˆ i di di zi. Mengingat bahwa yang aan dihadapi adalah suatu asus terburu pada biaya etidatentuaan, maa harus memasimuman simpangan bau beberapa endala dari setiap biaya penyimpanan atau biaya eurangan, dinyataan dalam fungsi obetif persamaan sebagai beriut : sehingga z P z 1, 0, i i z 0 i 0 i max ˆ dizi (3.13) i0 dengan endala zi, i0 0 zi 1 (3.14) Persamaan (3.13) sudah laya dan dibatasi oleh biaya optimal yang uat sehingga persamaan (3.10) dan (3.11) dapat digabungan dan menadi persamaan robust untu permasalahan persediaan single station yang ditulisan dalam fungsi obetif (3.9) dan fungsi endala sebagai beriut :

6 y h( u d r ) 0 i i i i0 i0 y p( u d r ) 0 i i i i0 i0 r dˆ i i 0, r 0 i 0 u Mv, v {0,1} 0,, t 1 (3.15) Dimana nilai M merupaan bilangan besar ߁. positif merupaan biaya dari etidatentuan permintaan, yang dinyataan sebagai nilai masimum suatu parameter yang mungin teradi dalam asus terburu. Variabel dan r i menguur sensitifitas biaya untu perubahan sangat ecil pada parameter dalam pendeatan robust, hususnya tingat onservatif dan batas-batas yang tida pasti dari variabel. r i i0 mewaili tambahan persediaan yang ingin diperhitungan dalam mengendalian sistem dari perspetif terburu. Permasalahan robust adalah program linier ia tida ada biaya tetap (K=0) dan mixed integer program ia biaya tetap ada (K>0). Di edua asus, model robust dapat dipecahan melalui alat optimisasi standar yang telah disaian. Definisi 3.1 Kebiaan persediaan (S,S) dan (s,s). Kebiaan optimsl dari permasalahan inventori didefinisian sebagai bentu (s,s) dimana etia persediaan telah mencapai S, maa diharusan memesan sebesar s atau sto dasar. Jia ada sebuah batasan dalam bentu (s,s ) pada setiap periode, maa optimal untu mememesan sebesar S x ia x < s dan 0 lainnya dengan s S. Jia tida ada biaya pemesanan (K=0) maa s = S Lemma 3.1. Optimal Nominal dan Kebiaan Stoasti 1. Kebiaan optimal dalam asus stoasti dimana biaya minimum adalah nilai espetasi dari fungsi biaya selama variabel aca sebesar d. Oleh sebab itu, ebiaan optimal untu permasalahan nominal adalah (s,s). 2. Untu permasalahan nominal tanpa biaya tetap, ebiaan nominalnya adalah (S,S) sepanang watu sehingga menadi S d. 3. Untu permasalahan nominal dengan biaya tetap, ia dinotasian sebagai t (=1,J) watu dimana persediaan dipesan (sesuai persamaan (3.14) sampai dengan (3.15)), s, dan S didefinisian sebagai beriut : dan S 1 0 I dt 1 i0 t i 1 1, s x d i0 i L 1 t 1 i ii 1 1 (3.16) s d, 2 (3.17) dengan L t 1 t dan I pl c h p 1 ( J )

7 3.3.1 Model dengan Pembatasan Pembelian Perluasan dari model robust untu pembatasan pembelian dari uuran masimal d adalah mungin dengan menambahan batasan : u d, (3.18) Model dengan Pembatasan Persediaan Perluasan dari model ini diasumsian bahwa sto disimpan sampai dengan seumlah. Penambahan ini mengiuti batasan : dengan d d dˆ z i i i i 0 ( ui di ) (3.19) i0 sehingg z z 1, i i z i 0 i. Kendala ini bergantung pada etidatentuan parameter d i. Meruu pada pengembangan persamaan (3.19), maa batasan untu robust-nya adalah : HASIL DAN PEMBAHASAN r C, (3.20) 1 i i0 4.1 Pendahuluan Dalam bab ini disaian hasil analisis dalam penentuan besar persediaan ban optimum dengan menggunaan metode yang telah diuraian pada bab sebelumnya dan biaya-biaya persediaan yang diperluan. Model yang sesuai dalam penelitian ini adalah model The Single Station Case Capacitated. Model ini sesuai dengan asus pada PT Chitra arena umlah barang yang dipesan dan tingat persediaan dibatasi oleh suatu nilai tertentu. 4.2 Data dan Biaya Data yang diperluan dalam penelitian ini adalah sebagai beriut : 1. Data permintaan ban Earthmover uuran R-25 Tahun 2013 : Tabel 4.1 Data Permintaan Ban Bulan Jumlah Permintaan 2013 (unit) Januari 43 Februari 103 Maret 51 April 43 Mei 420 Juni 153 Juli 108 Agustus 130 September 295 Otober 163 November 119 Desember 26

8 2. Biaya-biaya persediaan meliputi : Biaya pengadaan ban(k), yaitu Rp / tahun Biaya penyimpanan ban(h), yaitu Rp ,04 /unit/tahun Biaya eurangan ban(p), yaitu Rp ,66 /unit /tahun Harga pembelian ban(c) per unit Rp Model Robust The Single Station Case Capacitated Meruu pada Bertsimas (2006), asumsi untu data permintaan ban bersifat tida tentu sehingga mempunyai nilai variabel aca d ˆ, ˆ d d d d dimana nilai dimana d d z nilai z, 1,1. dˆ Hasil perhitungan data permintaan ban diperoleh d 137, ˆ z d 115, dan nilai untu masing-masing dapat dilihat pada Tabel 4.2. Nilai z pada Tabel 4.2 belum memberian nilai yang sepenuhnya optimal, sehingga harus dilauan optimisasi seperti pada persamaan (3.11) dan (3.12) dan diperoleh nilai optimal z pada Tabel 4.3. Tabel 4.2 Hasil Perhitungan nilai z Bulan d Januari ,82 Februari ,30 Maret ,75 April ,82 Mei ,45 Juni ,13 Juli ,25 Agustus ,06 September ,36 Otober ,21 November ,16 Desember ,97 Hasil optimisasi persamaan (3.11) dan (3.12) yaitu : max( dˆ z dˆ z dˆ z dˆ z dˆ z ) dengan fungsi endala : z z z z 1, z z z z z 1 11 z

9 Tabel 4.3 Hasil Perhitungan Optimisasi Nilai z Bulan Januari 0-0,78 54 Februari 1-0, Maret 2-0,67 54 April 3-0,48 35 Mei 4 2,76 57 Juni 5 0, Juli 6-0, Agustus 7-0, September 8 1, Otober 9 0, November 10-0, Desember 11-0,56 34 Setelah nilai z i diperoleh maa batasan untu minimum biaya penyimpanan dan eurangan adalah : y h( u d r ) y h( u d u d r r ) y h( u d u d u d r r r ) y h( u) d u d u d u d r r r r y11 h( 0 u0 d 0 u1 d1 u2 d 2 u3 d 3... u11 d r0 r1 r2 r3 r1 1) y p( u d 01 r ) y p( u d u d r r ) y p( u d u d u d r r r ) y p( u) d u d u d u d r r r r y11 p( 0 u0 d 0 u1 d1 u2 d 2 u3 d 3 u11 d r0 r1 r2 r3 r1 1) 0 r ˆ 0 d0 r dˆ r dˆ , r , r , r u Mv, v {0,1} u Mv, v {0,1} u Mv, v {0,1} Tabel 4.4 Hasil Perhitungan Robust Optimisasi Persediaan zi 3 di u y Januari Rp Februari Rp Maret Rp April Rp Mei Rp

10 Juni Rp Juli Rp Agustus Rp September Rp Otober Rp November Rp Desember Rp Dari hasil perhitungan dengan software MATLAB (Lampiran 6) diperoleh Total Biaya Persediaan selama 1 tahun sebesar Rp ,00 dengan endala masing-masing untu setiap periodenya disaian pada Tabel 4.4. Sebagai contoh, banyanya persediaan optimum pada bulan Januari sebesar 200 unit dan tida teradi pembeliaan pada sehingga besarnya biaya penyimpanan dan eurangan barang sebesar Rp Untu bulan Februari uga tida ada pembeliaan, namun permintaan tetap ada sehingga posisi sto bernilai 157 unit dan biayanya sebesar Rp Hal yang sama uga berlau untu setiap bulan sampai bulan Desember. Hasil perhitungan robust memberian nilai yang lebih rendah dibandingan hasil optimisasi biasa. 4.4 Perbandingan Model Robust Optimization, EOQ Deterministi, dan EOQ Probabilisti Adapun perbedaan etiga model tersebut disaian dalam Tabel 4.5 Model EOQ Tanpa Stoc out menghasilan biaya yang paling minimum diantara model lainnya diarenaan pada model ini tida memperhitungan biaya eurangan dan diasumsian pelanggan pasti terpenuhi. Model EOQ Dengan Stoc out merupaan perbaian dari metode EOQ Tanpa Stoc out, tetapi memilii elemahan tida melihat adanya etidatentuan permintaan setiap periodenya. Bentu perbaian dari model EOQ dengan Stoc out adalah model Persediaan dengan memperhitungan probabilitas dari permintaan yang berubah-ubah, yaitu menghasilan umlah persedian optimum yang lebih rendah dari model EOQ Deterministi. Tabel 4.5 Perbandingan Model Robust Optimization, EOQ Deterministi, dan EOQ Probabilisti- Model opt c() EOQ Tanpa Stoc out 1235 Rp EOQ Dengan Stoc out 1287 Rp Persediaan dengan Permintaan Tida Tentu 804 Rp Persediaan dengan Permintaan Tida Tentu Selama Tenggang Watu 1293 Rp opt Januari 200 Rp optfebruari 157 Rp opt Maret 54 Rp optapril 253 Rp opt Mei 210 Rp Robust Optimization optjuni 190 Rp opt Juli 37 Rp optagustus 329 Rp opt September 199 Rp optotober 304 Rp opt November 141 Rp optdesember 422 Rp Model Persediaan dengan Permintaan Tida Tentu Selama Tenggang Watu merupaan metode yang sudah diimplementasian oleh perusahaan dengan mengasumsian

11 permintaan tida tentu selama masa tenggang. Namun pada model ini, menghasilan umlah persediaan optimum dan total biaya persediaan yang lebih tinggi dibanding model lainnya. Model robust memberian hasil yang berbeda dengan model Economic Order Quantity arena model robust ini menghasilan estimasi biaya penyimpanan dan eurangan pada setiap periode. Dari hasil perhitungan robust optimization uga menghasilan total biaya yang lebih rendah yaitu sebesar Rp dibanding model EOQ. UCAPAN TERIMAKASIH Terimaasih epada Mama, Papa, Suami, Kaa-aa atas doa dan motivasinya. Kedua pembimbing Ibu Dr. Diah Chaerani, M.Si., dan Ibu Dr. Lienda Noviyanti, M.Si yang telah membantu memberian ilmu, motivasi, dan doa selama menyelesaian sripsi ini dari awal hingga ahir. Dan terimaasih pula epada semua piha yang tida dapat penulis sebutan satu persatu. DAFTAR PUSTAKA A.Taha, H Operation Research An Introduction. USA: Prentice-Hall International, Inc. Ben-Tal, N Robust Solutions of Linier Programming Problems Contaminated with Uncertain Data. Math. Programm Ser. A, Bertseas, D. J Neuro-Dynamic Programming. Athena Scientific: Belmont, MA. Bertsimas D., I. P Robust Discrete Optimization and Networ Flows. Math. Programming Ser. B, Bertsimas, D., & Thiele, A A Robust Optimization Approach to Inventory Level. Operations Research, Ceraudo, A A Comparison Between Two Robust Inventory. Simposio Brasileiro de Peruisa Operacional, Chaerani, D. D Karaterisasi Metode Numeri Baru Untu Menyelesaian Masalah Optimasisasi Ta Tentu yang Melibatan Variabel Biner. Bandung: Departemen Pendidian Nasional Universitas Padaaran Faultas MIPA. P.Siagian Penelitian Operasional: Teori dan Prate. Jaarta: Universitas Indonesia Press. Pardede, P. M Manaemen Produsi dan Operasi. Yogyaarta: ANDI. Rao, S Optimization Theory and Applications. New Yor: John Wiley and Sons, Inc. Sang Jin Kweon, S. W Robust Analysis of THE Basic Economic Order Quantity Model. Industrial and System Engineering Research Conference. Pennsylvania: Y. Guan and H.Liao, eds. Sidney, S Statisti Nonparametri untu Ilmu-ilmu Sosial. Jaarta: Gramedia Pustaa. Sumayang, L Dasar -Dasar Manaemen Produsi dan Operasi (Edisi Pertama ed.). Jaarta: PT.Salemba Empat Patria. Tersine, R. J Principles of Inventory and Materials Management. Fourth Edition. Prentice Hall, Inc. New Jersey. Vinsensia, D Studi Tentang Goal Programming dengan Pendeatan Optimisasi Robust. Medan: Departemen Matematia Faultas MIPA. Yamit, Z Manaemen Persediaan. Yogyaarta: Eonosia FE-UII. Yu, G Robust Economic Order Quantity Models. European Journal of Operational Research 100(3), Zipin, P Foundation of Inventory Management. Boston: McGraw-Hill Higher Education.