Forum Statistika dan Komputasi, April 2005, p: ISSN : Vol. 10 No. 1

Transkripsi

1 Forum Statistia dan Komputasi, April 005, p: 3-37 PERBANDINGAN BEBERAPA METODE OPTIMASI DUAL RESPONSE SURFACE UNTUK MENGHASILKAN PRODUK YANG ROBUST SERTA PENGEMBANGANNYA UNTUK MENANGANI KASUS OPTIMASI MULTIPLE RESPONSE SURFACES Sony Sunaryo Jurusan Statistia, FMIPA ITS Abstra Produ yang robust (ooh) menurut filosofi Taguchi adalah produ yang nilai rata-rata arateristinya pada target yang diinginan dengan variasi ecil. Taguchi memperenalan suatu uuran yang disebut Signal-to-noise ratio yang mencerminan uuran perbandingan antara besar signal (yang dapat diteliti atau dapat didetesi) dengan besar noise (yang biasanya tida terdetesi atau dapat didetesi dengan biaya yang mahal) yang mempengaruhi hasil nilai respon (yang dalam hal ini adalah nilai arateristi ualitas yang diteliti). Maalah ini aan menunuan beberapa metode yang menggabungan filosofi Taguchi dengan metode respons surface tanpa melalui analisis terhadap Signal-to-noise ratio tetapi lewat optimasi Dual Response Surface, serta melihat perbandingannya antar metode dan pengembangannya edalam asus optimasi multiple response surfaces. Kata unci : Produ Robust, Dual Response Surface, multiple response surfaces PENDAHULUAN Produ yang robust (ooh) menurut filosofi Taguchi adalah produ yang nilai ratarata arateristinya pada target yang diinginan dengan variasi ecil. Kepuasan pelanggan yang optimum aan diperoleh dengan pembuatan produ yang nilai-nilai arateristinya onsisten dalam nilai target. Oleh arena itu menurut filosofi Taguchi dalam reayasa ualitas perlu dicari desain dan analisis yang meminimuman variasi diseitar nilai target, yang berarti produ tersebut robust. Untu memperoleh produ yang robust dalam menganalisa data, Taguchi memperenalan suatu uuran yang disebut Signal-to-noise ratio yang mencerminan uuran perbandingan antara besar signal (yang dapat diteliti atau dapat didetesi) dengan besar noise (yang biasanya tida terdetesi atau dapat didetesi dengan biaya yang mahal) yang mempengaruhi hasil nilai respon (yang dalam hal ini adalah nilai arateristi ualitas yang diteliti). Signal-to-noise ratio yang besar diharapan mencerminan pengaruh fator noise yang ecil sehingga nilai respon adalah robust terhadap fator-fator yang tida dapat diontrol. Sehingga harus dicari setting fator fator yang dapat diontrol dalam percobaan atau proses produsi yang memasimuman Signal-to-noise ratio ini. Sampai saat ini banya para statistiawan yang ternyata urang setuu dengan ebenaran analisis terhadap Signal-to-noise ratio ini, yaitu ternyata uuran Signal-to-noise ratio ini tida dapat bebas dari rata-rata respon, seperti yang diharapan oleh Taguchi. Sehingga diembangan penggunaan metode response surface untu optimasi yang dapat mencaup filosofi Taguchi untu menghasilan produ yang robust. Dalam paper ini aan ditunuan beberapa metode yang menggabungan filosofi Taguchi dengan metode respons surface tanpa melalui analisis terhadap Signal-to-noise ratio tetapi lewat optimasi Dual Response Surface, serta melihat perbandingannya antar metode dan pengembangannya edalam asus optimasi multiple response surface. Signal-to-noise ratio dari Taguchi Untu memperoleh produ yang variabilitasnya ecil, esperimen perlu dilauan pengulangan sediitnya dua ali, dengan tuuan agar eragamannya dapat dihitung. Taguchi mereomendasian uuran Signal-to-noise ratio yang tergantung pada permasalahannya (respon yang diinginan), yaitu : 1) Main ecil main bai (Smaller-thebetter). Pada situasi ini respon idealnya adalah nol, besarnya Signal-to-noise ratio adalah : = -10 Log 10 [ Mean of Sum of Squares of measured data] 1 n = -10 Log 10 [ ], n y i dimana n adalah umlah ulangan pada tiap tiap runs percobaan. Contoh : percobaan dengan respon adalah umlah cacat, eausan dan lain-lain. 3

2 Forum Statistia dan Komputasi, April 005, p: 3-37 ) Main besarl main bai (larger-thebetter). Pada situasi ini respon idealnya adalah ta terhingga, besarnya Signal-to-noise ratio adalah : = -10 Log 10 [ Mean of Sum of Squares of reciprocal measured data] 1 n = -10 Log 10 [ 1 / ] n dimana n adalah umlah ulangan pada tiap tiap runs percobaan. Kasus ini dapat dipandang sebagai asus husus dari situasi smaller-the-better yaitu responnya dibuat sebagai ebaliannya sehingga respon idealnya menadi nol. Contoh : percobaan dengan respon daya tahan hidup sebuah lampu. 3) Terbai pada nilai nominal (Nominal is the best) Pada situasi ini respon idealnya adalah nilai target tertentu, besarnya Signal-tonoise ratio adalah : Square of mean = 10 Log 10 [ ] Variance = 10 Log 10 y s dimana n adalah umlah ulangan pada tiap tiap runs percobaan. Contoh : Pada percobaan menentuan voltase batera,5 V. Optimasi dengan Dual Response Surface (DRS) Prosedur optimasi dual response surface dienalan oleh Myers & Carter (1973) yang emudian diperbaii oleh Vining & Myers (1990). Pada prosedur ini melauan optimasi terhadap respon primer dengan endala pendeatan respon sunder, dengan menggunaan metode pengali Lagrange untu menyelesaiannya. Hal ini dapat ditulisan modelnya sebagai beriut : Min (Max) Y primer X Kendala : Y sunder = Dimana adalah nilai spesifi. Penggabungan filosofi Taguchi dengan metode dual response surface ini dienalan oleh Vining & Myers (1990), yang pertama tama dibuat model empiri lewat response surface metodologi untu mean dan simpangan bau, emudian dari modelmodel response surface yang diperoleh dilauan optimasi secara simultan pada daerah tertentu dari x yang interest (X ). Model order untu mean dan simpangan bau adalah : y i ŷ = a 0 + i ŷ = b 0 + i a i ai b i bi x i + x i x x i + x i x a ii b ii x i + x i + Del Castillo & Montgomery (1993) menggunaan algoritma Generalized Reduced Gradient (GRG) untu mencari solusi dari dual response surface, yang tersedia pada beberapa paet software seperti Solver Microsoft Excel. Menurut Lin dan Tiu (1995) optimasi berdasaran penggunaan pengali lagrange mungin tida realisti, sehingga merea menyaranan untu meminimuman Mean Square Error, yaitu dalam bentu : Min MSE = ( ŷ - T ) + ŷ X Dimana T adalah nilai target respon yang diinginan. Copeland & Nelson (1996) mengriti bahwa metode dari Lin & Tiu tersebut tida memberi batasan sampai seauh mana nilai ŷ berbeda dari nilai target T. Sehingga merea menyaranan husus untu situasi nominal-thebest disaranan untu meminimuman ŷ +, dimana : = ( ŷ - T ) ia ( ŷ - T ) > = 0 ia ( ŷ - T ) < dimana adalah anga spesifi tertentu yang diinginan. Ames et al. (1997) menggunaan model Quality Loss Functions (QLP) untu optimasi multiple response surfaces secara simultan, yang dapat uga diterapan dalam dual response surface, modelnya adalah : Min QLP = m { i ( ŷ i - T i ) } Dimana ŷ I dan T i adalah dugaan respons dan nilai target untu riteria arateristi ualitas e-i. Ide terbaru dari Tang & Xu (00) dari Universitas Nasional Singapura membuat suatu prosedur atau sema optimasi yang dapat mencaup optimasi-optimasi metode sebelumnya dalam dual response surface, dan menggunaan Goal Programing untu merumusan dan meyelesaiannya. Bentu modelnya adalah : Minimuman : + Kendala : ŷ (x) - = T * ŷ (x) - = T * 33

3 Forum Statistia dan Komputasi, April 005, p: 3-37 dan masing-masing x x r atau x l x x u dan adalah variabel-variabel deviance yang berupa salar yang dapat bernilai + atau -, yang masing-masing menyataan simpangan dari ŷ dan ŷ,sedangan dan ( 0) adalah pembobot yang dapat didefinisian oleh peneliti. T * = { T *, T * ) adalah nilai ideal mean respon dan simpangan bau respon yang berhubungan dengan ŷ (x) = { ŷ (x), ŷ (x) } yang biasanya bentunya uadrati. Variabel x =[x 1,, x a ] adalah umpulan dari fator-fator ontrol yaitu fator-fator yang diteliti dan dapat diontrol dalam enyataannya. Bentu ruang solusi (solution space) dari fator-fator yang dapat diontrol tersebut dapat dibuat interest pada daerah bola (spherical) dengan ari-ari r atau dalam ruang rectanguler. Dalam tulisannya Tang & Xu (00) telah menunuan secara matematis bahwa beberapa metode dual response surface sebelumnya tercaup dalam model yang merea gunaan, sebagai misal : Formula dari Lin & Tiu (1995) adalah asus untu = = 1 dan T * =0. Formula Vining & Myers (1990) serta De Castillo & Montgomery (1993) adalah asus untu =0, = 1 dan T * =0 (Untu situasi respon Nominal-the-best), untu situasi Larger-the-better maa identi dengan =1, = 0 dan T * =T max. Sedangan untu situasi Smaller-the-better identi dengan asus =1, = 0 dan T * =T min. Formula Min QLP dari Ames et al (1997). Konstrain ditulis sebagai beriut = {( ŷ - T * ) / } dan = {( ŷ - T * ) / }, dimana nilai, 0 Untu menghitung dan menilai efe dari bobotbobot dan pada solusi ahir, maa digunaan analisis sensitivitas dengan mengambil ombinasi onves + =1 ( >0 dan >0). Sedangan untu mencari optimasinya merea menghitung untu ombinasi (, ) =(1/ T *, 1/ T * ); (1,1) dan (T *,T * ). CONTOH ANALISIS Data yang dianalisis dalam contoh ini adalah data dari buunya Box & Draper (1987).Tuuan esperimen adalah menganalisis efe dari peubah speed, pressure dan distance pada respon yang berupa perlauan mesin printer berwarna dengan tinta mere tertentu. Esperimen menggunaan desain 3 3 dengan ulangan 3 ali, sehingga total ada 81 runs percobaan. Berdasaran analisis dari Vining & Myers (1990) diperoleh persamaan response untu mean dan simpangan bau adalah : ŷ = 37, x ,4 x + 131,5 x x 1,4 x 9,1 x x 1 x + 75,5 x 1 x ,6 x x 3 ŷ = 34,9 + 11,5 x1 + 15,3 x + 9, x3 + 4, x1-1,3 x + 16,8 x3 + 7,7 x1 x + 5,1 x1 x3 + 14,1 x x3 Dengan nilai target mean dan simpangan bau adalah 500 dan 40 (berarti asus nominal-thebest). Metode analisis yang dibandingan dalam maalah ini adalah metode dari Vining & Myers (VM), metode dari Lin & Tiu (LT) dan metode dari Tang & Xu. Analisis Dual respons surface dengan metode dari Vining & Myers, model : Min ŷ Kendala : ŷ = T * Aan menadi : Min : 34,9 + 11,5 x ,3 x + 9, x 3 + 4, x 1 1,3 x + 16,8 x 3 + 7,7 x 1 x + 5,1 x 1 x ,1 x x 3 Kendala : 37, x ,4 x + 131,5 x x 1,4 x 9,1 x x 1 x + 75,5 x 1 x ,6 x x 3 = 500 Dengan menambah endala x x 3 dan menyelesaiannya dengan metode pengali lagrange diperoleh solusi optimum adalah : { ŷ (x), ŷ (x) } = (500; 40,65) untu x =(1,5719; -0,7; -0,0874) dan MSE=1634,68. Hasil ini ternyata sama dengan hasil penyelesaian dengan metode Tang & Xu (00) dengan mengambil =0,49 dan = 1 Penyelesain dengan metode Lin & Tiu (1995) model yang diminimuman adalah : Min MSE = ( ŷ - T ) + ŷ X Menadi Min MSE = (37, x ,4 x + 131,5 x x 1,4 x 9,1 x x 1 x + 75,5 x 1 x ,6 x x 3-500) + (34,9 + 11,5 x ,3 x + 9, x 3 + 4, x 1 1,3 x + 16,8 x 3 + 7,7 x 1 x + 5,1 x 1 x ,1 x x 3 ) Dengan endala: x x 3 Solusinya adalah : { ŷ (x), ŷ (x) } = (495,68; 40,0) untu x =(1,5651; -0,7373; -0,0883) dan MSE=1634,57. Hasil ini ternyata sama dengan hasil penyelesaian dengan metode Tang & Xu (00) dengan mengambil =0,5 dan = 0,5 34

4 Forum Statistia dan Komputasi, April 005, p: 3-37 Solusi dengan Tang & Xu (00) diperoleh model : Minimuman : + Kendala : ŷ (x) - = T * ŷ (x) - = T * untu x x 3 menadi : Minimuman : + Kendala : 37, x ,4 x + 131,5 x x 1,4 x 9,1 x x 1 x + 75,5 x 1 x ,6 x x 3 = ,9 + 11,5 x ,3 x + 9, x 3 + 4, x 1 1,3 x + 16,8 x 3 + 7,7 x 1 x + 5,1 x 1 x ,1 x x 3 - = 0 untu x x 3 Hasil analisis dengan metode Tang & Xu (00) untu target T * =(500;40), x x 3 untu beberapa efe dari ombinasi dan disaian pada Tabel 1. Sedangan ranguman hasil untu metode lainnya untu target T * =(500;40), x x 3 duan pada Tabel. Adapun solusi untu daerah -1 x 1 dengan penetapan T * =(500; 44,7) dengan metode Tang & Xu (00) dengan cara yang sama diperoleh hasil pada Tabel 3 dan solusi untu -1 x 1 dengan penetapan T * =(500; 44,7) dengan metode lain lihat Tabel 4. Tabel 1. Hasil analisis dengan metode Tang & Xu Y(x) x MSE Delta T * (, ) ( ŷ, ŷ ) (x 1, x, x 3) (, ) (500; 40) (1/500, 1/40) (499,9996; 40,6575) (1,5718;-0,74,-0,0867) 1653,03 (-0,39;6,987) (500; 40) (1, 1) (499,9308; 40,650) (1,5717;-0,76,-0,0868) 165,44 (-0,069;0,6501) (500; 40) (500, 40) (496,057, 40,379) (1,5664;-0,734,-0,0863) 1634,67 (-0,0079;0,0059) Tabel. Ranguman hasil untu metode selain VM&DM, LT Y(x) x MSE Metode ( ŷ, ŷ ) (x 1, x, x 3) (, ) ( Metode Tang&Xu) VM & DM (500;40,65) (1,5719;-0,70;-0,0874) 165,46 (0;1 ) LT (495,68; 40,0) (1,5651;-0,7373,-0,0883) 1634,57 (0,50;0,50) Tabel 3. Solusi untu daerah -1 x 1 dengan T * =(500; 44,7) Dengan metode Tang & Xu Y(x) x MSE Delta T * (, ) ( ŷ, ŷ ) (x 1, x, x 3) (, ) (500;44,7) (1/500;1/44,7) (499,9667;45,0937) (1;0,1183,-0,598) 033,44 (-16,65;16,7119) (500;44,7) (1; 1) (499,6639; 45,0574) (1;0,1157,-0,593) 030,9 (-0,3361;0,3374) (500;44,7) (500;44,7) (498,014;44,88) (1;0,1040;-0,575) 017,65 (-0,0036;0,0036) Tabel 4. Solusi untu daerah -1 x 1 dengan T * =(500; 44,7) Dengan metode VM&DM, LT Y(x) x MSE Metode ( ŷ, ŷ ) (x 1, x, x 3) (, ) ( Metode Tang&Xu) 35

5 Forum Statistia dan Komputasi, April 005, p: 3-37 VM & DM (500;45,097) (1;0,1184,-0,59) 033,74 (0;1 ) LT (494,44; 44,43) (1;0,07,-0,5) 005,14 (0,50;0,50) Perbandingan : Pendeatan dengan metode Lin & Tiu (LT) menghasilan MSE terecil bai dalam daerah x x 3 maupun dalam daerah -1 x 1, hal ini ternyata sama dengan hasil pada metode Tang & Xu (00) dengan mengambil bobot, dan sebesar 0,5 dengan T = 0. Metode pendeatan Vining & Myers (VM) serta Del Castillo & Montgomery (DM) memberian varian minimum, dan nilai target tercapai (yaitu 500), dan hasil ini sama dengan metode pendeatan dari Tang & Xu (00) dengan bobot, dan sebesar 0 dan 1 dengan T = 0. Berarti metode pendeatan dari Tang & Xu (00) lebih berlau umum arena mampu meneliti beberapa emunginan, dan. Tang & Xu (00) dalam papernya uga memberian contoh lain untu eadian respon main besar main bai dan main ecil main bai untu data yang sama seperti pada contoh diatas, dimana pada asus respon main besar main bai nilai target untu mean dibuat pada nilai masimum yang diinginan dan pada asus respon main ecil main bai nilai target mean dibuat minimum (nilai-nilai ini biasanya diberian sebelum esperimen dilauan sebagai informasi awal). Hasil analisis perbandingan terhadap metode metode lain ternyata metode Tang & Xu (00) tetap dapat mencaup solusi dari metode yang lain dengan memberi bobot bobot tertentu pada, dan. Serta dimunginan hasilnya lebih bai arena metode Tang & Xu (00) menilai untu, dan yang lain yang tida diteliti dalam metode yang lainnya. Metode Tang & Xu (00) uga tetap dapat dipaai walaupun model response surface diperoleh model yang sesuai tida dalam bentu orde bahan orde 1. Jadi dapat disimpulan metode yang diusulan oleh Tang & Xu (00) berlau lebih umum, dan dimunginan memberian hasil yang lebih bai dalam arti nilai target mean respon masih tercapai sedangan eragamannya minimum. tertentu tida hanya diinginan diameternya memenuhi standar (misal sebagai respon 1), tetapi respon-respon lain uga harus memenuhi standar yang diinginan. Berarti permasalahnnya bagaimana mencari setting fator-fator yang dapat diontrol (variabelvariabel x 1,, x n ) agar semua riteria respon dapat dipenuhi. Pada permasalahan optimasi multiple respon ini antara optimasi satu respon dengan respon yang lain mungin teradi ontradisi, dalam arti satu respon harus masimum tetapi yang lain harus minimum atau sebalinya. Dengan telah mempelaari metode Tang & Xu (00) diatas tida menadi masalah ia umlah respon yang dioptimuman lebih dari satu. Sebagai misal ia umlah respon yang dioptimuman ada 3, maa langah-langah yang perlu diambil adalah sebagai beriut : 1. Buat model pendeatan response surface pada masing-masing respon.. Buat model goal programming sebagai beriut : Minimuman : y1 + y + y3 Kendala : ŷ y1 (x) - y1 y1 = T y1 * ŷ y (x) - y * y = T y ŷ y3 (x) - y3 * y3 = T y3 Untu x x r atau x l x x u Dengan menghitung beberapa emunginan y1, y, dan y3 aan diperoleh solusi optimum bersama-samanya. Beberapa metode lain untu menyelesaian asus multiple response surface, yang tida dibahas dalam maalah ini adalah : 1. Opimasi multiple responses dengan pendeatan fungsi desirability yang dienalan oleh Derringer & Suich (1980).. Metode pendeatan Bayes untu optimasi multiple response surfaces oleh Quesada, et al. (004) IDE PENGEMBANGAN KE KASUS OPTIMASI MULTIPLE RESPONSE SURFACES Metode dual response surface yang dibahas diatas sebenarnya hanya dituuan untu mencari optimasi single responce surface, hanya diharapan ragam respon tersebut minimum. Pada asus-asus riil sering diumpai permasalahan mengoptimasian respon-respon yang banya secara simultan. Sebagai contoh pada asus pembuatan produ KESIMPULAN Metode dual response surface yang dienalan oleh Tang & Xu (00) ternyata prosedurnya dapat mencaup metode dual respon surface yang lain seperti oleh Vining & Myers (1990), Lin & Tiu (1995) serta yang lainnya. Metode dari Tang & Xu ini ternyata berpotensi untu dapat diembangan penggunaannya e asus optimasi multiple 36

6 Forum Statistia dan Komputasi, April 005, p: 3-37 respons surfaces. Apalagi dilihat dari segi emudahan dan pengertiannya metode ini merupaan metode yang menanian untu dienalan pada para pratisi dalam reayasa ualitas. DAFTAR PUSTAKA Ames AE, Mattucci N, Macdonald S, Szonyi G; and Hawins DM. (1997). Quality Loss Functions for Optimization Across Multiple Response Surfaces. Journal of Quality Technology 9, pp Box GEP and Draper NR. (1987). Empirical Model Building and Response Surface. Joh Wiley & Sons, New Yor, NY. Copeland KAF and Nelson PR. (1996). Dual Response Optimization via Direct Function Minimization. Journal of Quality Technology 8, pp Del Castillo E. and Montgomery DC. (1993). A Non Linear Programming Solution to the Dual Response Problem. Journal of Quality Technology 9, pp Derringer D and Suich R. (1980). Simultaneous of Several Response Variables. Journal of Quality Technology 1(4), pp Jayan PG. (000). Design of Experiments Using Taguchi Method, [thesis], Master of Technology Department of Aerospace Engineering, Indian Institute of Technology, Bombay. Lin DKJ and Tu W. (1995). Dual Response Surface Optimization. Journal of Quality Technology 7, pp Myers RH and Carter WH. (1973). Response Surface Techniques for Dual Response Systems. Technometrics 15, pp Quesada GM, Del Castillo E And Peterson JJ. (004). A Bayesian Approach for Multiple Response Surfaces Optimization in the Presence of Variables. Journal of Applied Statistics 31, pp Tang LC & Xu K (00). A Unified Approarch for Dual Response Surface Optimization., Journal of Quality Technology 34, pp: Vining GG and Myers RH. (1990). Combining Taguchi anf Response Surface Philisophies : A Dual Response Approach. Journal of Quality Technology, pp