DIKTAT BAHAN KULIAH MATEMATIKA LANJUT
|
|
- Indra Kusnadi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 DIKTAT BAHAN KULIAH MATEMATIKA LANJUT IP 66 BOBOT (-) EMETER II OLEH OHANNE NIP JURUAN TEKNIK IPIL FAKULTA TEKNIK UNIVERITA LAMPUNG AGUTU
2 KATA PENGANTAR Mtemtik Lnjt lh lnjtn ri mt klih Mtemtik. Mt klih Ini jg msih merpkn ilm sr lm ing keteknik-sipiln. Bnyk permslhn teknik sipil yng leih rmit pt itsi engn penektn mtemtik lnjt ini. Oleh kren it pengsn ing ilm ini jg sngt penting gi mhsisw teknik sipil. Diktt ini issn sesi engn kriklm gi mhsisw Teknik ipil Fklts Teknik Universits Lmpng ntk memhkn pemhmn lm perklihn, wlpn tik mentp kemngkinn ipergnkn jg oleh pr lmni t teknisi yng erkepentingn engn mslh mtemtik. Diktt ini erisi penjelsn singkt mengeni konsep mtemtik lnjt iserti tntnn prktis lm ontoh-ontoh perhitngn. Rmsrms yng itmpilkn tik irikn penjrnny ser rini nmn hny ihs penggnnny sj. Oleh kren it, jik ingin mempeljri Mtemtik Lnjt leih menlm, injrkn mempeljri k teks linny. Terim ksih penlis smpikn kep pr rekn osen n mhsisw yng memeri srn n kritik emi penyemprnn k ini. emog iktt ini ermnft. Bnrlmpng, 6 eptemer Penlis, ohnnes i
3 JUDUL DAFTAR II Hlmn Kt Pengntr i B I Integrl Tk Tent.. Pengertin Integrl.. Integrl Prsil.. Integrl Fngsi Rsionl.. Integrl Fngsi Trigonometri 6.. Integrl engn stitsi Trigonometri 7.6. Integrl engn stitsi Khss 9 Tgs Mniri B I BAB II Integrl Tertent. Pengertin Integrl Tertent. Perhitngn Ls. Volme Ben Ptr 6. Metoe Ckrm 6. Metoe Klit 8. Pnjng Bsr Krv Dtr 9. Ls Permkn Ben Ptr Tgs Mniri B II BAB III Integrl Lipt. Integrl Lipt D. Ls Derh Terttp 6. Integrl Lipt D Dlm Koorint Kt 7. Integrl Lipt D P Rng D 8. Integrl Lipt Tig 9 Tgs Mniri B III mer Pstk ii
4 BAB I INTEGRAL TAK TENTU. Pengertin Integrl Anti-erivtif Jik F() lh fngsi engn trnnny F () f() p intervl tertent ri sm, mk ntierivtif t iset segi integrl tk tent ri f() ierikn oleh persmn: f() F() + C engn C lh konstnt semrng yng iset jg konstnt integrl. Ji nti-erivtif t nti-iferensil lh proses menemkn nti-trnn ri st fngsi. Integrl tk tent ri st fngsi ersift tik nik. Rms sr integrl Kren integrl lh opersi kelikn ri iferensil, mk rms integrl pt iperoleh ri rms iferensil. Berikt lh rms sr integrl imn, n v merpkn fngsi, lh ilngn konstnt n C lh konstnt integrsi. Rms Dsr Integrl. Fngsi Aljr. + C. ( + v) + v., konstn C,. ln + C 6. + C, > n ln 7. e e + C Contoh: Hitnglh integrl erikt. Jw : + C. ( + ) Jw : ( + ) C. ( + ) Jw : ( + ) ( + ) ( + + C C. Jw :. Jw : ln + C C + C 6. 6 Jw : C ln6 7. e Jw : e e + C
5 8. ( ) Jw : ( ) ( ( / / ) / / / / + C / / + C 9. ( + ) Jw : misl +, mk ( + ) + C ( + ) + C. 8 ( + ) Jw : misl +, mk t / 8 ( + ) 8 / + C 8 8 ( + C ( + ) ) - + C. Fngsi Trigonometri. sin os + C. os sin + C. tn ln os + C. ot ln sin + C. se ln se + tn + C 6. s ln s ot + C 7. se tn + C 8. s ot + C 9. se tn se + C. s ot s + C Contoh: Hitnglh integrl erikt. sin Jw : sin os + C. os Jw : os sin + C. sin Jw : misl mk trnnny t ½ Ji sin sin ½ ½ sin ½ os + C ½ os + C. Bktikn hw tn ln os + C sin Jw : tn os misl: os, trnnny sin sin Ji ln + C ln os + C os. Bktikn hw se ln se + tn + C Jw : se Misl + sin os os os mk os os ( + sin )( sin ) os os os + sin + sin os + sin + os (Terkti) sin + sin os os + sin + sin os
6 Ji se + sin os os + sin ln + C ln + sin os + C ln os sin + + C ln se + tn + C (terkti) os 6. Bktikn hw se tn + C Jw : misl tn sin os mk Ji se + C tn + C 7. Bktikn hw se tn se + C os + sin os (Terkti) os se sin sin Jw : se tn os os os Misl os mk sin t sin Ji se tn sin os os 8. Fngsi Dlm Bentk Pehn t Akr + C + C se + C (terkti). r sin + C. + r tn + C. r se + C.. ln + C + + ln + C 6. + ln ( + + ) + C 7. ln + + C 8. + rsin + C ln C. ln + + C
7 Contoh: Bktikn hsil integrl erikt. r sin + C Jw : misl sin mk os sin mk r sin sin ( sin ) os os os os + C r sin + C (terkti). Integrl Prsil Jik n v merpkn fngsi yng pt itrnkn terhp, mk (v) v + v v (v) v v v v lh rms integrl prsil Contoh: Hitng integrl erikt. ln Jw : misl ln mk n v mk v v v v ln ln.. ln ln + C. sin Jw : misl mk n v sin mk v os sin ( os ) os os + sin + C. Integrl Fngsi Rsionl Fngsi polinomil lm lh fngsi engn entk n n n n + n engn sem kontnt n, n n ilngn sli termsk nol. Fngsi H iset fngsi rsionl jik H() P() Q() imn P() n Q() lh polinomil. Jik erjt P() leih renh rip erjt Q(), mk H() iset rsionl sejti. Jik erjt P() leih tinggi rip erjt Q(), mk H() iset rsionl tik sejti.. Rsionl ejti Untk mengintegrsikn fngsi rsionl sejti, mk entk P() Q() hrs ih menji jmlh ri gin yng leih seerhn. Penyet ih engn mengrikn/memfktorissi Q() lm hsil kli fktor linier t krtis.
8 KAU : Hsil pemfktorn Q() semny pt it linier n tk erlng, t Q() ( ) ( ).... ( n ) mk it menji P() Q() A + ( ) B ( ) N ( n ) KAU : Fktor Q() sem linier tpi yng erlng Q() ( + ) ( + ).... ( + ) n P() Q() A + ( + ) B ( + ) mk it menji N ( + ) n KAU : Fktor Q() yng linier n krtis, imn fktor krtis tik erlng. etip fktor krtis + + p penyet yng tik pt iringks, ientk menji A + B + + engn A n B konstnt yng hrs itentkn. Contoh : Hitng integrl fngsi erikt. Jw: Uhlh fngsi terset menji pehn terpish: ( A B + + )(( + ) C + Crilh nili konstnt A, B, n C engn pemehn erikt A ( ) ( + ) + B ( + ) + C ( ) A A A + B + B + C C (A + B + C) + ( A + B C) A + elesikn persmn erikt. A + B + C. A + B C iperoleh A, B, C, sehingg 6. A A( )( + ) + B( + ) + C( ) ( )(( + ) ( + 6( ) ) ( + ) ln + ln ln + + ln C 6 6 ( ln + ln ln + + ln C ) 6 ln 6 C ( ) ( + ). ( ) Jw : Uhlh menji pehn terpish. ttn: Untk penyet engn fktor erpngkt n it n pehn engn pngkt n, n -, n setersny,
9 ( ) B C + + A ( ) + D ( ) + E ( ) A( ) + B( ) + C + D ( ) + E ( ) ( ) ( ) A( ) + B( ) + C + D ( ) + E ( ) ( ) A( ) + B ( ) + C + D ( ) + E ( ) Mk A( 6 + 8) + B( 6 + 8) + C + D D + E ( + ) A 6A + A 8A + B 6B + B 8B + C + D D + E E + E (B + E) + (A 6B + D E) + ( 6A + B + C D + E) + (A 8B) 8A A. B + E iperoleh:. A 6B + D E A 8, B 6, C 7. 6A + B + C D + E D, E 6. A 8B e. 8A Ji, ( ) ( ) + ( ) 6 () + ln ( ) ( ) 6 ln + C. Rsionl Tik ejti Untk menyelesikn integrl fngsi rsionl tik sejti, pemilng igi penyet sehingg mementk rsionl sejti, ll integrsikn sesi petnjk i ts. Untk mengh fngsi rsionl tik sejti menji fngsi rsionl sejti pt iliht p ontoh erikt Contoh: + + (. Integrl Fngsi Trigonometri )( 6) + ( )( 6) + Untk mengerjkn integrl fngsi trigonometris, terkng hrs mengh fngsi terset engn menggnkn persmn-persmn trigonometri. Contoh: Hitng integrl erikt. sin ( os) sin + C. os os os ( sin ) os ( sin + sin ) os os sin os + sin os 6 + 6
10 sin sin os + sin os + C misl sin mk os sin os + C sin + C sin os + C sin + C Ji os sin sin + sin + C. sin os sin os os sin ( sin ) os (sin sin ) os misl sin mk os (sin sin ) os ( ) sin sin + C. Integrl Dengn stitsi Trigonometri Fngsi yng mengnng slh st ri entk, +, t n tik memiliki fktor irsionl linny pt itrnsformsikn ke lm fngsi trigonometri menggnkn vriel r segi erikt: BENTUK UBTITUI DIPEROLEH. sin sin os.. + tn + tn se se se tn Contoh: Hitng integrl erikt. 9 Jw: ol ini mempnyi entk mk gnkn sstitsi sin t sin n os sehingg sin 9 os os 9 os os ( os ) sin sin sin sin ( sin ) s sin sin ln s ot + os + C kren sin mk sin (liht gmr i smping) 9 ipt s, ot, os 9 9 7
11 9 ln s ot + os + C 9 ln C ln C. + Jw: ol ini mempnyi entk + mk gnkn sstitsi tn sstitsi : tn, se, + + tn se tn, sin se tn se se tn os os sin os misl p sin mk p os sehingg sin os sin p p + C + C p sin + + C. Jw : ol ini mempnyi entk mk gnkn sstitsi se sstitsi : se mk se tn se tn tn y, se n tn se tn se ln se + tn + C tn + ln + + C ln + C ln + ln + C ln + + C Cttn : kren ln lh konstn mk igng engn C 8
12 .6 Integrl Dengn stitsi Khss Jik fngsi mempnyi entk segi erikt: A. n + mk sstitsi + n kn menghny menji rsionl. Contoh: Hitng ( ) + Jw: stitsi +, mk,. n + ( ) + ( ) ( ) ( + )( ) ( + ( + ) ). ( ln + + ln ) + C ( ) ln + + C ln C B. q + p + mk sstitsi q + p + ( ) kn menghny menji rsionl. Contoh: Hitng + + Jw: stitsi + + ( ), mk iseerhnkn menji + ipt + n + + ( ) t + + mk ( + ) ( ) ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + + ( ) ( + ) ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + ( + ) ( ( ) + ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) A ( + + ) B ( ) A ( ( + ) + B( + ) )( ) A A ( + + B + B ) )( ) 9
13 (A + B) + ( A + B ( + )( ) ) ( + + )( ) Dri A + B n ( A + B) iperoleh A n B mk ( + )( ) + ( + ) ( ) ( + + ) ( + )( ) ( + + ) ( + ) (ln ln + ) ln + + C ln C C. q + p ( α + ) ( β ) mk sstitsi q + p (α + ) t q + p (β ) kn menghny menji rsionl Contoh: Hitng ( ) Jw: ( + ) ( ) mk sstitsi ( + ) ( ) ( ) + ( ) sehingg + iperoleh ( + ) t + n ( + ) ( + ( ) Kren ( ) mk Ji ) ( ) ( ( ) ( ) 6 8 Kren ( ) mk ( ) + + ( + ) ) + + (+ ) 6 ( ) ( + ) 6 ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + C 8 8 ( + )( ) ( ) + n sehingg ( ) + ( + ) + C ( ) + C 8 8
14 + + ( 8 + ) + C 9 + C D. n m (, mk sstitsi m jik m > n kn menghny menji rsionl. Contoh: Hitng Jw: stitsi, mk,, n ( ) + ( + ) ( + + ) ( + + ln ) + C + + ln ( ) + C E. stitsi r tn kn menggnti setip fngsi rsionl lm sin n os menji fngsi rsionl lm kren + sin, os, etelh iintegrsi, gnkn tn ntk kemli ke vriel sliny. Contoh: Hitng + sin os Jw sstitsikn sin +, os +, + + sin os ( + ) + (+ ) ( ) ln ln + + C + ln + + C ln tn + tn + C
15 TUGA MANDIRI BAB I Tgs. Hitng integrl erikt. +. ( + ).. ( ). ( + ) 6. ( ) Tgs: Bktikn hsil integrl erikt. ot ln sin + C. s ln s ot + C. s ot + C. s ot s + C Tgs: Bktikn hsil integrl i ts no. Tgs. Hitng integrl erikt engn menggnkn metoe integrl prsil. os. sin. +. ( + ) sin. sin Tgs. ( + ). + ( ). ( ). ( + ) ( + ). ( ) ( + ). ( + ) Tgs.. tn. sin os. sin os. ot. os 6. os os
16 Tgs... 6 ( + ).. ( + ) Tgs.6 sin os (+ os ). (+ ). (+ ) / 7. ( ) ( + ). + ( ) 8. ( + ) ( + ) sin os. os ( ) ( + ).. sin
17 BAB II INTEGRAL TERTENTU. Pengertin Integrl Tertent Jik fngsi f() terefinisi p intervl terttp [, ] mk integrl tertent f() ri ke inytkn oleh f (), imn f() iset integrn, iset ts wh n iset ts ts. Jik fngsi f() kontiny p intervl terttp [, ], mk f() pt iintegrlkn p [, ]. Jik f() n g() kontiny p intervl integrsi, n k konstnt, mk erlk :. f (). f () f (). k f () k f (). { f () ± g() } f () ± g (). f () + f () f () jik < < F() 6. Jik F() f (), mk f() 7. f () F() F() F() 8. f () g (), jik f() g () lm intervl [, ] Contoh sol. Hitng Jw: [ 6 ] 8. Hitng + Jw: stitsi: +, mk,, n +. + ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) / + + () / () / () / + () / 6/ 6/ / + / 6/
18 . Hitng + jik + Jw : Fngsi f() + pt itlis f() ( + ) jik < + ( + ) + ( + ) + + / + 8 7/. Perhitngn Ls Apliksi integrl ntk perhitngn ls inytkn lm persmn erikt: Ls y g () y f () Ls erh yng itsi oleh fngsi y f() n y g() lm intervl [, ] sepnjng sm inytkn s.: A {f () g()} f (y) Ls g (y) Ls erh yng itsi oleh fngsi f(y) n g(y) lm intervl [, ] sepnjng sm inytkn s.: A {f (y) g(y)} y Contoh sol:. Hitng ls erh yng itsi oleh y n y Jw: Ls y - Ls Fngsi y n y erpotongn i titik,, n. Terpt lsn yng simetris. Ls {( ) } (/ /). ( /) / stn ls. Hitng ls erh yng itsi oleh y + n Jw: Ls y + Krv y + n erpotongn i (, ) n (, ). Ls { f (y) g(y)} y { (y + )} y y y (8 8/) /
19 . Volme Ben Ptr Pengertin Ben Ptr Ben ptr terentk oleh perptrn st lsn ing terhp seh gris seing yng iset sm ptr. m ptr pt menyinggng keliling lsn ing, t tik memotong lsn terset sm sekli. Penentn volme en ptr pt ihitng engn metoe, yit metoe krm (is) n metoe klit (shell).. Metoe Ckrm Dlm metoe krm ikenl ken yit: (). m ptr merpkn ts lsn ing, n () m ptr kn merpkn ts lsn ing. m ptr merpkn ts lsn ing Volme en ptr y f() Rms volme en ptr:. yng itsi krv y f() n sm, engn sm ptr sm V [ f () ] Volme en ptr g (y). yng itsi krv g(y) n sm, engn sm ptr sm V [ g (y) ] y m ptr kn merpkn ts lsn ing Volme en ptr y f () y f () Rms volme en ptr:. yng itsi krv y f () n y f (), engn sm ptr sm V [ f ] [ f() ] () g (y) Volme en ptr g (y). yng itsi krv g (y) n g (y), engn sm ptr sm V [ g ] [ g(y) ] (y) y 6
20 Contoh :. Hitng volme yng terentk kren perptrn terhp sm ri erh yng itsi oleh prol y + n gris y + Jw: P y + Q y + Perpotongn prol y + n gris y + ierikn oleh: + + t ( ) ( + ). Ji n. Ji volme en ptr ts: f () V [ ] [ f() ] V V ( ) ( + + 8) 7/ stn volme ( + ) ( + ) Tentkn volme en ptr yng terentk oleh perptrn terhp gris ri erh yng itsi oleh prol y y n y Titik potong krv y y n y lh: y y y P y y y y y y / (y + ) (y /). Ji titik potong Q ntk y,, n P ntk y /, / (, ) y Volme en ptr ntr ke krv p sm ptr Q p lh V [ ] [ ] + g(y) + g(y) p p y / V + y y + y y / ( y 9y + 8y + ) y / y y + y + y 87/ stn volme 7
21 . Metoe Klit Derh y f() Jik st ing yng itsi oleh y f(),, n sm iptr terhp sm, mk kn mementk en engn volme: V f() Derh Contoh: g(y) Jik st ing yng itsi oleh g(), y, y n sm iptr terhp sm, mk kn mementk en engn volme: V y g(y) y. t erh yng itsi prol y, sm, n gris iptr terhp sm segi sm ptr. Tentkn volme en kit ptrn terset. Jw: y Derh V f() 8. t erh itsi krv y n gris y n iptr terhp gris y segi sm ptr. Tentkn volme en yng terentk kren perptrn it. Jw: y (, ) Derh y y Krv y ih menji ± y nmn kren erh yng imks terpt lm krn I mk ignkn y. Btsny n. Diptr terhp y mk y y + n g(y) g(y) V y sehingg y g(y) y (y + ) ( y ) y ( y / + y y / + ) y y / y y / y
22 . Hitng volme tors yng terentk oleh perptrn lingkrn + y terhp gris segi sm ptr. Jw: Fngsi terset ih menji y ± V ( ) y ( ) - rsin / + +. Derh yng itsi prol y + 6 n gris + y iptr terhp. gris. gris y Hitng volme en yng terji kit perptrn terset. Jw: Q. Menggnkn metoe krm V O P y + 6 Ke krv it erpotongn i P(, ) n Q (, 6). Menggnkn metoe klit V ( y) (y ) ( ) (y y ) ( ) ( + 6) ( + ) ( ) ( + ) + 79 ( 6 + 7) 6 ( 9 + 9) ( + 6) ( + ). Pnjng Bsr Krv y f() Teorem. Jik fngsi f n trnnny f kontin lm intervl ttp [, ] mk pnjng sr ri krv y f() mli ri titik (, f()) smpi titik (, f()) lh: + y 9
23 Teorem. Jik fngsi g n trnnny g kontin lm intervl ttp [, ] mk pnjng sr ri krv g(y) mli ri titik (, g()) smpi titik (, g() lh: + y y g(y) Jik A n B lh titik p krv iefinisikn oleh persmn prmeter f(t) n y g(t) n jik persyrtn kontin memenhi, t mk pnjng sr AB lh: t t + y t t Contoh sol:. Hitng pnjng sr krv y / ri titik (, ) smpi titik (8, ) Jw y / mk y / / n y 9 / Pnjng sr s y / 9 9 / / + misl 9 / +, 6 / 6 / ntk,, ntk 8,, mk s 8 / / 8 ( / / ) 7,6 7. Hitng pnjng sr krv y / ri y smpi y Jw 9 y / y mk 8 y y sehingg Pnjng sr s 8 + y + y y + 8 y y y misl + 8y, 8 y, ntk y,, n ntk y, 8, ji 8 8 / 6 / 8 8 / / 8 ) (8 8 ) (. Ls Permkn Ben Ptr Jik seh krv y f() yng kontin p intervl iptr terhp y f() () g(y) ()
24 y. sm, ls permkn ptr lh + ) A y ( t A + y ( ) y y. sm, ls permkn ptr lh + ) A y ( t A + y ( ) y y y Jik fngsi terset lm entk prmeter f(t) n y g(t) mk ls perptrn kren fngsi terset. iptr terhp sm lh: y A + y ( ) ( ) t t t. iptr terhp sm lh: y A + y ( ) ( ) t t t Contoh sol :. Hitng ls permkn ol erjri-jri r. Jw Kl sr AB iptr terhp sm mk ls permkn ptr lh permkn ol. r os θ n y r sin θ n A O B y r sin θ n r os θ θ θ y A ) + ( ) y ( t A t t (r sin θ) ( r sinθ) + (r osθ) θ Jw (r sinθ) r θ r sinθ θ [ ] r os θ r ( os + os ) r. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn y ri smpi terhp sm y mk y y y 6 y O y + ) 6 A y ( y + ( ) y y ( - )
25 TUGA MANDIRI BAB II Tgs ( ). ( y + y + 8) y Tgs.. y, y,, n 6. y + n y. y n y 7. y y n. y n y 8. y n y. y + 6 n y + 9. y 6 n y. y 6, y, n y +. y n y + Tgs.. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn + 9y 6 terhp sm. Gnkn metoe krm. Jw: 6. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn yng itsi 9 y n y 7 terhp sm. Gnkn metoe klit. Jw:. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn y ( ) terhp sm. Jw: /. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn yng itsi y 6, y, 8 terhp sm. Jw: 8. Hitng volme en ptr yng terentk kren perptrn lsn yng itsi y, y terhp gris 6. Jw: 6 / Tgs.. Hitng pnjng sr krv t, y t ri t smpi t. Jw: 8/7 ( 7 7 ). Hitng pnjng sr krv y + 8 ri smpi. Jw : 7/6. Hitng pnjng sr krv os α + os α + y sin α + sin α Jw : 6. Hitng pnjng sr krv os α i krn y sin α Jw : /
26 Tgs.. Hitng ls permkn en yng terentk jik sr sikloi engn persmn (θ sin θ) n y ( os θ) iptr terhp sm. Jw 6/. y. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn elips +. 6 Jw Hitng ls permkn en yng terentk jik krio engn persmn os θ os θ n y sin θ sin θ iptr terhp sm. Jw 8/.. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn y m ri smpi terhp sm. Jw 9 m + m. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn y terhp sm. Jw [ ln(9 + 8] ri smpi 6. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn (θ sin θ), y ( os θ) terhp sm. Jw 6 7. Hitng ls permkn en ptr yng terentk kren perptrn krv 8 y terhp sm. Jw /.
27 BAB III INTEGRAL LIPAT. Integrl Lipt D Terpt st erh terttp yng itsi oleh krv K n K seperti p gmr. Derh terset pt igi lm n gin gris sejjr sm n n gin gris sejjr sm K K sehingg terpt nyk segiempt keil engn pnjng sisi i n y i imn segi empt i i i- n y j y j y j- Jik terpt fngsi z f(, y) yng kontin i sem titik i lm erh terttp mk ntk per s gin segiempt iperoleh perklin f( i, y j ) i y j i titik ( i, y j ) p segiempt terset. m Untk selrh erh iperoleh hsil penjmlhn segi erikt: j n i f( i, y j ) i y j Untk n n m iperoleh n lim m j m n i f( i, y j ) i y j f(,y) y s iset "integrl lipt ri fngsi f(, y) p erh terttp " Cr menghitng integrl lipt. Untk f(,y) y [ f(,y) ] y rtiny iintegrlkn l terhp ll terhp y s. Untk f(,y) y [ f(,y) y] rtiny iintegrlkn l terhp y ll terhp s sy s s sy Cr menentkn ts integrl. Untk krv seperti gmr erikt f (y) Bts integrl ntk sm seelh kiri f (y) n seelh knn f (y) f (y) Bts integrl ntk sm seelh wh y n seelh ts y f (y) Bentk integrlny f(,y) y f(,y) y f (y)
28 . Untk krv seperti gmr erikt y f () Bts integrl ntk sm seelh kiri n seelh knn Bts integrl ntk sm seelh ts y f () n seelh wh y f () y f () f () Bentk integrlny f(,y) y f(,y) y f () Contoh y y y. Hitng ( + y) y Jw: ( + y) y [ + y ] y (y + y y y ) y y y y y + y y ( + ) ( + ) 87. Hitng y p erh yng itsi prol 6y y n y y Jw: Ji y Titik potong ke prol lh 6y y y y y 8y y(y ) ntk y mk n ntk y mk 8 Ji titik potongny i (, ) n (8, ) Bts integrl ntk, se. kiri y y n se. knn 6y y Bts integrl ntk, se. wh y n se. ts y 6yy y 6yy ] y y y y y 6 y y ) (y y) y y 8y ) y [ y y ]. Hitng ( + y) y p erh yng itsi prol y 6 n gris lrs y Jw: 6y y y 6 y y y 6 Titik potong prol n gris terset: 6 ( ) n Ji titik potongny i (, ) n (, ). Liht gmr. Bts integrl ntk : kiri n knn Bts integrl ntk : ts y 6 n wh y ( + y) y ( + y) y [ y + y ]
29 { 6 + (6 + ) ( + )} ( 7 + ) 6. Ls Derh Terttp K K Terpt st erh terttp yng itsi oleh krv K n K seperti p gmr. Derh terset pt igi lm n gin gris sejjr sm n n gin gris sejjr sm sehingg terpt nyk segiempt keil engn pnjng sisi i segi empt n y i imn i i i- n y j y j y j- Ls segiempt keil terset i y j Ls penektn selrh erh ipt ri hsil penjmlhn: m n i y j j i Untk n n m iperoleh m n lim i y j y n j i m Ternyt ls st erh terttp lh hrg integrl lipt imn f(, y) Ji ls erh terttp lh L Contoh: y Hitng ls erh yng itsi oleh prol y n gris y Jw: y (-,) (-, -) y (, ) (,) (,) Titik potong prol n gris terset: + ( + )( ) n Ji titik potongny i (, ) n (, ). Liht gmr. Bts integrl ntk : kiri n knn Bts integrl ntk : ts y y y [ y ] n wh y ( ) 7 stn ls 6 6
30 . Integrl Lipt D Dlm Koorint Kt O θ j A θ j + θ j D k C krv K B ri θ j r i r i + r i Misl erh terttp p ing tr yng itsi krv K. Derh sgin k itsi lingkrn engn jri-jri r i n r i + r i n gris θ j n θ j + θ j. Ls k ls DOC ls AOB r i ri θj + ri θj (ri + ri Jik terpt fngsi F(r, θ) lm mk terentk: F(r, θ) [ r i r i θ j + ri θ j ] ) θ j ri θj Untk n n m iperoleh lim n m m Σ n F(r i, θ j ) [ r i r i θ j + Σ ri θ j ] F(r, θ) r r θ Bentk F(r, θ) r r θ iset "integrl lipt fngsi F(r, θ) p erh " Jik F(r, θ) mk ls erh terttp lh L r r θ Contoh : os θ. r sin θ r θ osθ [ r sinθ ] θ os θ sinθ θ 6 os θ os θ. r r θ os θ [ r ] θ ( 6 os θ ) θ kren os θ (osθ + ) n os θ (osθ + ) (os θ + osθ + ) ( (os θ + ) + os θ + ) mk ( 8os θ + + os θ) θ. Hitng ls erh yng er i lr lingkrn r n i lm krio r ( + os θ) Jw: P O R Q Titik potong krv: ( + os θ) os θ θ Lsn yng iri, PQRP, simetris terhp sm Ji ls erh PQRP: L (+ os θ) r r θ [ r ] (+ osθ) θ ± L (os θ + os θ) θ sinθ + θ + sinθ 8 + stn ls 7
31 . Integrl Lipt D P Rng D. Volme Ben Z T P D A R Q C B Anikn fngsi f(, y) kontin n erhrg tnggl ntk n y lm mk f(, y) menytkn st lsn. Lsn ini ipotong oleh siliner sejjr sm-z engn ls n ts '. Ditrik gris-gris sejjr sm- engn jrk n jg itrik gris-gris sejjr sm- engn jrk y. Melli gris-gris terset it ing-ing tr yng msing-msing sejjr ing OZ n OZ. Terjilh prism-prism tegk keil, mislny ABCD.PQRT yng mempnyi volme f(,y) y Jmlh selrh volme prism keil terset f(,y) y yng merpkn penektn volme siliner. Jik imil n y mk ipt: lim y ' f(,y) y f(,y) y Ji volme en erentk siliner : V f(,y) y Contoh: Hitng volme en yng itsi siliner + y, ing y + z n ing z Jw: Z Volme yng kn ihitng terletk i wh permkn z y n i ts ing O sengkn i kiri knn itsi siliner + y V y z y y y y ( y) y ( y) y y V ( y) y y ( y) y y Misl: y sin A, mk y sin A os A n y os A A Bts y menji A n y menji A. ehingg volme menji V ( sina)os A os A A 8 ( sina) os A A 8
32 V os A A 6 sina os A A 6 (osa + ) A + 6 os A os A V 6 sin A + A + 6 os 6 6(+ + ) + ( ) 6. Integrl Lipt Tig Integrl lipt f(, y,z) V ri st fngsi vriel es terhp erh terttp R, R ervolme V, imn fngsi ernili tnggl n kontin, merpkn pengemngn ri integrl tnggl n lipt. Jik f(, y, z), mk integrl menji V lh volme erh R R Dlm sistem koorint krtesin, integrl lipt tig menji: y() z(,y) f (, y,z) V f(,y,z) zy R y () z (,y) Contoh : 6z. Hitnglh (6 ) z zy Jw: 6z (6 6z ) z zy (6 ) (6 )zzy 6z (6 ) zz y {(z ) ( ) }zzy (z )zz y (z z)zy ( z z ) y ( ) y ( ) y y [ y] 6 9
33 TUGA MANDIRI BAB III Tgs.. Hitng ye y p erh yng itsi sm, sm y, n gris y. Hitng y y p erh yng itsi prol y, gris lrs y, n sin y. Hitng. y e. + y ( y) y. os y f. y ( + y ) y. y y g. y sin y os θ. r r θ h. sin y y Tgs. Hitng ls erh yng itsi krv-krv i wh ini menggnkn integrl lipt. y n y. y n + y y. y 9 + n y 9. y n y. y n + y Tgs. Hitng ls engn integrl lipt ntk sol erikt:. Ls erh i lm lingkrn os θ n i lr lingkrn r os θ. Ls erh i lm krio r + os θ n i lr prol r ( + os θ). Ls erh yng itsi oleh lemniskt r os θ Tgs.. Hitng volme en i epn ing OZ n itsi oleh y + z n y + z + 6. Hitng volme en i wh z 6 y i ts z n i lm siliner + y. Hitng volme en i krn st terletk i lm y + z 9 n i lr y Tgs.. Hitnglh f ()V engn f() + y + z n R lh erh R yng itsi oleh + y + z,, y, n z. Hitnglh volme ri R yng itsi oleh siliner z n ing-ing, y, y 6, n z. Hitng integrl lipt tig ri f(, y, z) z terhp erh R yng terletk i krn pertm n itsi oleh ing-ing + y n y + 6, n siliner y + z
MODUL 1 INTEGRAL. Sekilas Info
MODUL INTEGRAL Sekils Info Orng yng pertm kli menemkn integrl tertent dlh George Friedrih Bernhrd Riemnn, seorng Mtemtikwn sl Jermn yng lhir pd thn 6. Riemnn menjelskn integrl tertent dengn menggnkn ls
Lebih terperinciINTEGRAL OLEH : WILDAN SUHARTINI (KELAS L)
Tgs Mtemtik indstri TIP-FTP-UB INTEGRAL OLEH : WILDAN SUHARTINI 5 (KELAS L) A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU Integrl dlh kelikn dri trnn (diferensil). Oleh kren it integrl diset jg nti diferensil.
Lebih terperinciKALKULUS 2. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI
KALKULUS KALKULUS Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 0805 Bhn Bcn / Refferensi :. Frnk Ayres J. R., Clcls, Shcm s Otline Series, Mc Grw-Hill Book Compny.. Ysf Yhy, D. Srydi H. S. Dn Ags S, Mtemtik ntk
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT. Oleh Shahibul Ahyan
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Oleh Shhil Ahyn A. Bentk Umm Persmn Kdrt Definisi : Mislkn,, Rdn, mk persmn yng erentk + + = dinmkn persmn kdrt dlm peh. Berkitn dengn nili-nili dri,, dikenl eerp persmn kdrt
Lebih terperinciMatematika Dasar VOLUME BENDA PUTAR
OLUME BENDA PUTAR Ben putr yng seerhn pt kit mil ontoh lh tung engn esr volume lh hsilkli lus ls ( lus lingkrn ) n tinggi tung. olume ri en putr ser umum pt ihitung ri hsilkli ntr lus ls n tinggi. Bil
Lebih terperinciBAB 6 INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA
Dik Klih TK Memik BB 6 INTEGRL DN PENGGUNNNY 6 Inegrl Tken nirnn) F Fngsi F ise nirnn inegrl) ri f p inervl I jik f ) Jik ng ikehi lh f), nk menpkn F) ilkkn penginegrln Secr mm ilis, engn lh konsn Simol
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL TENTU
APLIKASI INTEGAL TENTU A. Lus Derh Bing t 1. Mislkn erh = x, y x, y f x. Lus? y = f(x) x Lngkh-lngkh: 1. Iris menji n gin ri lus stu uh irisn ihmpiri oleh lus persegi pnjng engn tinggi f(x). ls (ler) x
Lebih terperinciBAB VIII INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MAPLE. integral lipat satu merupakan materi pendukung untuk pembahasan dalam materi
BAB VIII INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN MAPLE A. Pengntr Konsep integrl tentu untuk fungsi engn stu peuh pt iperlus menji untuk fungsi engn nyk peuh.integrl fungsi stu peuh selnjutny kn inmkn integrl lipt stu,
Lebih terperinciBab 4. Contoh 4.1 : Berikut adalah beberapa contoh notasi vektor : b. b = b 1 i ˆ +b kˆ
B 4 Vektor di Bidng dn di Rng Vektor merpkn esrn yng mempnyi rh. Pd ini kn dijelskn tentng ektor di idng dn di rng, yng diserti opersi dot prodct, cross prodct, dn penerpnny pd proyeksi ektor dn perhitngn
Lebih terperinciINTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar
INTEGRAL Integrl Tk Tentu Dn Integrl Tertentu Dri Fungsi Aljr A. Integrl Tk Tentu Hitung integrl dlh kelikn dri hitung differensil. Pd hitung differensil yng dicri dlh fungsi turunnny, sedngkn pd hitung
Lebih terperinciBAB 3 VEKTOR DI R 2 DAN R 3. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB VEKTOR DI R DAN R Dr. Ir. Adl Whid Srhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN. Definisi Vektor di R dn R. Hsil Kli Slr. Hsil Kli Silng 4. Gris dn Bidng di R . DEFINISI VEKTOR DI R DAN R Notsi dn Opersi Vektor
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Olimpiade Matematika Mahasiswa Persamaan Kuadrat 1
BAB I PENDAHULUAN A. Ltr Belkng Mtemtik merpkn slh st disiplin ilm yng srt dengn st ilngn. Mtemtik jg merpkn st hs dimn hs pd mtemtik tidk memiliki mkn yng mig t pemknn dri hs mtemtik tidk menimlkn mkn
Lebih terperinciPERSAMAAN LINIER. b a dimana : a, b, c, d adalah
PERSAMAAN LINIER ). Persmn Linier Stu Vriel Bentuk umum : x, imn n konstnt Penyelesin : x Contoh : ). 5x x x 5 8 ). x 8 x x 8 ). Persmn Linier Vriel Bentuk umum : ). Persmn Linier Tig Vriel Bentuk umum
Lebih terperinciVEKTOR. Information System Department TELKOM Polytechnic Bandung
VEKTOR Mt Klih Oleh : Clls (MF) : Hnng N. Prsetyo Informtion System Deprtment TELKOM Polytehni Bndng Clls/Hnng NP/Politeknik Telkom . Vektor di Rng Besrn Sklr dn Besrn Vektor Besrn sklr dlh esrn yng hny
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII Trnsformsi Liner B VIII
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII Trnsformsi Liner B VIII
Lebih terperinciE-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 97 Penulisn Moul e Lerning ini iii oleh n DIPA BLU UNY TA Sesui engn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor 99.9/H4./PL/ Tnggl
Lebih terperinciINTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx
Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl
Lebih terperinciINTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
Lebih terperinci8. FUNGSI TRANSENDEN 1
8. FUNGSI TRANSENDEN 8. Fngsi Invers Mislkn : D R dengn Deinisi 8. Fngsi = disebt st-st jik = v mk = v t jik v mk v v ngsi = st-st ngsi =- st-st ngsi tidk st-st Secr geometri grik ngsi st-st dn gris ng
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi
Lebih terperinciLUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
Lebih terperinci1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
Lebih terperinci7. APLIKASI INTEGRAL
7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus
Lebih terperinci10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c
BAB XVI. INTEGRAL A. Integrl Tk Tentu. Rumus Integrl Fungsi Aljr. k k n = n +. ( + ) n = ( n + ). = ln + n + + ; n - n+ (+) + ; dn n -. ( f ( ) ± g( ) ) f ( ) ± g ( ) n. os (+)sin(+) = ( n + ) os n + (+)
Lebih terperinciBab 7 TRANSFORMASI LINEAR
B 7 ANSFOMASI LINEA Ser mm trnsformsi (pemetn) iefinisin ri st himpnn e himpnn lin. P ini it n mempeljri trnsformsi ri st rng etor e rng etor yng lin sehingg opersi stnr p rng etor (penjmlhn n perlin engn
Lebih terperinciVEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA
VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA Pengertin Dsr Vektor merpkn kombinsi dri st besrn dn st rh Vektor dpt dintkn dlm pnh-pnh, pnjng pnh mentkn besrn ektor dn rh pnh mennjkkn rh ektor
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII rnsformsi Liner B VIII
Lebih terperinci10. cos (ax+b)sin(ax+b) dx = 12. sec x dx = tan x + c. 13. sec (ax+b)dx = tan (ax+b)+ c. 14. c sec x dx = - ctg x + c
Integrl Tk Tentu INTEGRAL. Rumus Integrl Fungsi Aljr. k x n k n +. ( x + n ( n +. x ln x + x n + + ; n - n+ (x+ + ; dn 4. ( f ( x ± g( x f ( x ± g ( x n - n. os (x+sin(x+ ( n + n+ os (x+ + ( + (. sin x
Lebih terperinciPEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL
BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()
Lebih terperinciVEKTOR. Bab 20. a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. ; OB b. maka OA AB OB. dan. maka. Contoh : Tentukan nilai x dan y dari Jawab :
VEKTOR B Penjmlhn dn Pengrngn Vektor. OA ; OB mk OA AB OB AB OB OA AB dn v c d mk v c c d d Contoh : Tentkn nili x dn y dri Jw : Jdi nili x - 8 dn y - ½ Pnjng Vektor Misl, mk pnjng (esr/nili) vector ditentkn
Lebih terperinci7. APLIKASI INTEGRAL. 7.1 Menghitung Luas Daerah. a.misalkan daerah D = {( x, Luas D =? f(x) Langkah : Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh
7. APLIKASI INTEGRAL MA KALKULUS I 7. Menghtung Lus erh.mslkn erh {(,, f ( ) Lus? f() Lngkh :. Irs menj n gn n lus stu uh rsn hmpr oleh lus perseg pnjng engn tngg f() ls(ler) A f ( ). Lus hmpr oleh jumlh
Lebih terperincimatematika WAJIB Kelas X FUNGSI K-13 A. Definisi Fungsi
K- Kels X mtemtik WAJIB FUNGSI TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu ihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi iefinisi fungsi.. Memhmi omin n rnge fungsi liner.. Memhmi omin n rnge fungsi
Lebih terperinciFUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,
Lebih terperinciRUANG VEKTOR REAL. Kania Evita Dewi
RUANG VEKTOR REAL Kni Eit Dewi Definisi Vektor dlh besrn yng mempnyi rh. Notsi: Notsi pnjng ektor: k j i ˆ ˆ ˆ Vektor stn Vektor dengn pnjng t norm sm dengn st Opersi ektor Penjmlhn ntr ektor Mislkn dn
Lebih terperincia 2 b 2 (a + b)(a b) Bentuk aljabar selisih dua kuadrat
SKL Nomor : Memhmi opersi entuk ljr, konsep persmn n pertiksmn liner, persmn gris, himpunn, relsi, fungsi, sistem persmn liner, sert menggunknny lm pemehn mslh.. Menglikn entuk ljr. * = * = * = (*)*(**)
Lebih terperinciE. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
Lebih terperinciMATEMATIKA INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI. Teknik substitusi aljabar yang telah dipelajari sebelumnya memiliki bentuk
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 04 Sesi NGAN INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI Teknik substitusi ljbr yng telh dipeljri sebelumny memiliki bentuk n+ n n u [ f ( )] f ( ) u n + + Di mn: u f()
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Lebih terperinci2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS
B II : Fungsi Liner Dlil : Grfik ri fungsi-fungsi liner (liner rtin pngkt stu tu stright) lh sutu gris lurus... GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (,) S. Y Trik Gris ri titik O ke titik P imn OP terletk p
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
Lebih terperinciDETERMINAN dan INVERS MATRIKS
// DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.
Lebih terperinciKAKLULUS INTEGRAL. Oleh: ABDUL RAHMAN
KAKLULUS INTEGRAL Oleh: ABDUL RAHMAN FUNGSI LOGARITMA DAN FUNGSI EKSPONEN . FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fngsi logritm sli didefinisikn dt, > 0 t Dengn TDK diperoleh: D ( ) D dt t Teorem Jik st fngsi
Lebih terperinciPENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN-SNMPTN 2006
www.purwntowhyudi.com Hl- Sol-sol dn Pemhsn Mtemtik Dsr SBMPTN-SNMPTN 006. Jik > 0, > 0 dn mk A. C. E. B. D. Jw:. Jwnny dlh A. Jik p - dn q -, mk q p. A. C. E. B. D. Jw: q p Jwnny dlh A . Grfik y terletk
Lebih terperinciBAB IV PEMBAHASAN Variasi JG terhadap JL 6 m/s pada waktu 0,1 detik
BAB IV PEMBAHASAN 4.1. Hsil n Anlis P ini memhs hsil ri penelitin yng telh ilkukn yitu pol lirn ule ir-ur p pip horizontl. Pol lirn ule memiliki iri yitu erentuk gelemung ult yng ergerk ilm lirn. Simulsi
Lebih terperincimatematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Lebih terperinci( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú. Ú dx sukar dihitung. ÚÚ ÚÚ ÚÚ. Contoh Hitunglah. Cara lain. e dy sukar dihitung.
Integrl lipt u p erh persegi pnjng i = f () c i b Lus = f () [ b, ] = f (,) b A B c R = Volum B fa (, ) c R A b Integrl tunggl Integrl ri fungsi kontinu = f () p selng tutup [,b] iefinisikn sebgi () b
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1992
Mtemtik EBTANAS Thun 99 EBT-SMA-9-0 Grfik fungsi kudrt yng persmnny y = x 5x memotong sumu x. Slh stu titik potongny dlh (, 0), mk nili sm dengn EBT-SMA-9-0 Persmn x px + 5 = 0 kr-krny sm. Nili p 0 tu
Lebih terperinciTUGAS AKHIR MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN
TUGAS AKHIR MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN Oleh : Nm : Mrnth Fetuli Novinti NIM : 15100301111058 No. Asen : 17 Kels : P JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN FAKULTAS
Lebih terperinciVektor basis Vektor satuan i = 1,0,0, j = 0,1,0, dan k = 0,0,1 sebagai pembentuk ruang dinamakan vektor basis untuk ruang 3.
Koko Mrtono FMIPA - ITB 57 Vektor Vektor dlh rs gris errh ng ditentkn oleh pnjng dn rhn. D ektor diktkn sm jik pnjng dn rhn sm. Vektor digmrkn segi rs gris dri titik pngkl ke titik jng dengn tnd pnh dijng,
Lebih terperinciVEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
Lebih terperinciMATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
Lebih terperinciE-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
Lebih terperinciBAB III TRANSFORMASI LINEAR
Diktt ljr Liner II BB III RNSFORMSI LINER DEFINISI RNSFORMSI LINER Jik V W msing msing lh rung vektor mk V W msing msing merupkn himpunn Dengn emikin pt iut sutu fungsi ntr V n W erkit engn struktur ri
Lebih terperinciErna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
Lebih terperinciRuang Vektor Umum. V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
/8/5 Mtris & Rng Vetor Rng Vetor Umm Strt Rng Vetor Umm Misln v w V dn l Riil V dinmn rng vetor ji terpenhi siom :. V terttp terhdp opersi penjmlhn Unt setip v V m v V.. v v ( v w ) ( v ) w. Terdpt V sehingg
Lebih terperinciINTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR B. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 6 Sesi N INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR Apliksi integrl erikutn dlh menentukn volume end ng memiliki sumu putr. Contoh endn dlh tung,
Lebih terperincididefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Lebih terperinciBAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Lebih terperinciKegiatan Belajar 5. Aturan Sinus. Kegiatan 5.1
Pge of 8 Kegitn eljr 5. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr 5, dihrpkn sisw dpt. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn sinus b. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn kosinus. Menghitung
Lebih terperinciELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
Lebih terperinci02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu. Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian I. Konstanta dari Integrasi. AntiTurunan (Antiderivative)
AntiTrnn (Antiderivtive) AntiTrnn dri seh fngsi f dl seh fngsi F sedemiin hingg F = f Pernytn: Integrl T Tent f dic integrl t tent dri f terhdp, Artiny dl mendptn sem ntitrnn dri f. E. AntiTrnn dri f =
Lebih terperinciINTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR. 1. Jika x 1 dan x 2 adalah penyelesaian. persamaan Diketahui x 1 dan x 2 akar-akar persamaan 6x 2 5x + 2m 5 = 0.
MATEMATIKA ASAR. Jik dn dlh penyelesin persmn mk ( ).. E. B 7 6 6 + - ( + ) ( ). ( ) ( ) 7. Jik dn y b dengn, y > + y, mk. + y + b log b. + b log b b E. + log b E log dn y log b + y + y log + log b log
Lebih terperinciIX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB
Respons Respons IX. RANCANGAN ACAK LENGKAP POLA FAKTORIAL AxB Rncngn Ack Lengkp Pol Fktoril AxB dlh rncngn ck lengkp yng terdiri dri d peh es (Fktor dlm klsfiksi silng yit fktor A yng terdiri dri trf dn
Lebih terperinciJarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!!
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestsi itu dirih ukn didpt!!! SOLUSI SOAL Bidng Mtemtik Disusun oleh : Olimpide Mtemtik Tk Kupten/Kot 00 BAGIAN PERTAMA.
Lebih terperinciIRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
Lebih terperinciSIMAK UI DIMENSI TIGA
IMK I IMNI I. IMK I Mtemtik I, 00 ikethui blok. di mn = cm, = cm, = cm. Mislkn dlh sudut ntr dn, mk cos.... olusi: []. 0... 00 0 cos 0 cos cos cos. IMK I Mtemtik I, 00 Kubus. mempunyi rusuk cm. itik M
Lebih terperinciIntegral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar
Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: www.wllpperse.com Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny?
Lebih terperinciAntiremedd Kelas 12 Matematika
Antireme Kels 1 Mtemtik Mtemtik UTS 0 Doc. Nme: AR1MAT0UTS Doc. Version : 014-10 hlmn 1 01. Jik log b - b log = -3, mk nili ( log b) + ( b log ) lh 5 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13 0. Jik grfik fungsi kurt f(x)
Lebih terperinciDIMENSI TIGA 1. SIMAK UI
IMNI I. IMK I Mtemtik I, 00 ikethui blok. di mn = cm, = 8 cm, = cm. Mislkn dlh sudut ntr dn, mk cos.... olusi: []. 8 8 80.. 8. 8 00 0 8 cos 8 0 8 cos 8 8 cos cos. IMK I Mtemtik I, 00 Kubus. mempunyi rusuk
Lebih terperinciIntegral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative)
Integrl AntiTurunn (Antiderivtive) AntiTurunn dri seuh fungsi f dl seuh fungsi F sedemikin hingg Dierikn Pd Peltihn Guru-Guru Aceh Jy 5 Septemer 0 Oleh: Ridh Ferdhin, M.Sc F f E. AntiTurunn dri f ( ) 6
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.
LEMBAR KERJA SISWA Juul (Mteri Pokok) : Pengertin, Kesmn, Trnspos, Opersi n Sift Mtriks Mt Peljrn : Mtemtik Kels / Semester : XII / Wktu : menit Stnr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor n trnsformsi
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Persipn UN / Beh SKL http://vigt.worpress.om SMA Negeri Mlng Pge. SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Sistem Persmn Liner Du Vriel (SPLDV). Bentuk umum :. Dpt iselesikn engn metoe grfik, sustitusi, eliminsi, n
Lebih terperinciINTEGRAL. Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
INTEGRAL Instruktur : Ferry Whyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Integrl tk tentu b. Integrl tertentu Contoh : Tentukn turunn berikut ini. y b. y. y d. y y y d. - y y. y y b. y y. Jwb: F() F () ---------- C ---
Lebih terperinciHendra Gunawan. 15 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendr Gunwn Semester I, 2013/2014 15 Novemer 2013 Ltihn 1. Pnjng lmi sutu pegs dlh 0.08 m. Gy seesr 0.6 N diperlukn untuk menekn dn menhnny pd pnjng 0.07 m. Tentukn kerjyng dilkukn
Lebih terperinciMATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup
Lebih terperinciVektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
Lebih terperinciMatriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
Lebih terperinciA. Pengertian Integral
A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f () f
Lebih terperinciFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA Yogyakarta 2011
Progrm Sudi M Kulih Pokok hsn : Memik : Geomeri : Kesengunn isusun oleh r. li Mhmudi FKULTS MTEMTIK N ILMU PENGETHUN LM UNIVERSITS NEGERI YOGYKRT Yogykr 0 Lemr Kegin Mhsisw Geomeri Lemr Kegin Mhsisw M
Lebih terperinciBAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
Lebih terperinciSolusi Pengayaan Matematika Edisi 15 April Pekan Ke-3, 2010 Nomor Soal:
Solusi Pengyn Mtemtik disi 5 pril Pekn Ke-3, 00 Nomor Sol: -50. Pd segitig siku-siku di dibut gris bert dn F. Pnjng = dn F = 9. Pnjng sisi miringny dlh.. 6 5. 6 3. 6. 5 5. 6 Solusi: [] Menurut Teorem Pythgors:
Lebih terperinciMATEMATIKA IPA PAKET B KUNCI JAWABAN SOAL
MATEMATIKA IPA PAKET KUNCI JAWAAN SOAL. Jwn : Mislkn p: ir sungi jernih q: Tidk terkndung zt pencemr r: Semu ikn tidk mti Diperoleh : Premis : p q Premis : ~r ~q q r Jdi, kesimpuln dri premis-premis terseut
Lebih terperinciRANGKUMAN INTEGRAL. Di Susun Oleh : Syaiful Hamzah Nasution, S.Si., S.Pd.
Generted y Foxit PDF Cretor Foxit Softwre http://www.foxitsoftwre.om For evlution only. RANGKUMAN INTEGRAL Di Susun Oleh : Syiful Hmzh Nsution, S.Si., S.Pd. Di dukung oleh : Portl eduksi Indonesi Open
Lebih terperinciYohanes Private Matematika ,
Yohnes Privte Mtemtik 3 081519611185, 08119605588 Irisn keruut: Lingkrn Prol Elis Hierol LINGKARAN Bentuk umum : 2 + 2 = r 2 ust: (0, 0) ; jri-jri = r ( ) 2 + ( ) 2 = r 2 ust: (, ) ; jri-jri = r r r 2
Lebih terperinciSIMAK UI 2011 Matematika Dasar
SIMAK UI 0 Mtemtik Dsr Kode Sol Doc. Nme: SIMAKUI0MATDAS999 Version: 0-0 hlmn 0. Sebuh segitig sm kki mempunyi ls 0 cm dn tinggi 5 cm. Jik dlm segitig tersebut dibut persegi pnjng dengn ls terletk pd ls
Lebih terperinciLOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik
Lebih terperinci12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
Lebih terperinciCONTOH SOAL BERIKUT KUNCI JAWABNYA. Dimensi Tiga
ONO SOL RIKU KUNI JWNY imensi ig. ikethui kubus. dengn rusuk. Mellui digonl dn titik tengh rusuk dibut bidng dtr. entukn lus bgin bidng di dlm kubus! Q L Q.Q... 6. Kubus. berusuk cm. itik, Q dn R dlh titik-titik
Lebih terperinci4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3
Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng 4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG- DAN RUANG- 4.. PENGANTAR DEFINISI 4.: VEKTOR Vektor dlh st besrn yng memiliki besr dn rh. Vektor yng memiliki pnjng dn rh yng sm diktkn
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Lebih terperinciAntiremed Kelas 11 Matematika
Antiremed Kels Mtemtik Persipn UAS 0 Doc. Nme: ARMAT0UAS Version : 06-09 hlmn 0. Pd ulngn mtemtik, dikethui nili rt -rt kels dlh 8, Jik rt-rt nili mtemtik untuk sisw priny dlh 6, sedngkn untuk sisw wnit
Lebih terperinciSuku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
Lebih terperinciTujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
Lebih terperinci