BAB 3 VEKTOR DI R 2 DAN R 3. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

Transkripsi

1 BAB VEKTOR DI R DAN R Dr. Ir. Adl Whid Srhim, MT.

2 KERANGKA PEMBAHASAN. Definisi Vektor di R dn R. Hsil Kli Slr. Hsil Kli Silng 4. Gris dn Bidng di R

3 . DEFINISI VEKTOR DI R DAN R Notsi dn Opersi Vektor esrn yng mempnyi rh Notsi vektor Notsi pnjng vektor dlh Vektor stn Vektor dengn pnjng t norm sm dengn st,, ˆ ˆ ˆ k j i

4 VEKTOR GEOMETRI Vektor memiliki: Arh Besrn Vektor jg memiliki: Ekor vektor: titik wl, misl A Ujng vektor: titik terminl (khir), misl B Notsiny: vektor v yng memiliki titik wl A dn titik khir B v = Vektor ekivlen

5 OPERASI VEKTOR.Penjmlhn ntr vektor (pd rng yng sm).perklin vektor ) dengn slr ) dengn vektor lin Hsil kli titik (Dot Prodt) Hsil kli silng (Cross Prodt)

6 PENJUMLAHAN VEKTOR Mislkn dn v dlh vektor vektor yng erd di rng yng sm, mk vektor mk v didefinisikn v v

7 PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR k Perklin vektor dengn sklr k, didefinisikn segi vektor yng pnjngny k kli pnjng vektor dengn rh Jik k > 0 serh dengn Jik k < 0 erlwnn rh dengn

8 ANALISIS OPERASI VEKTOR Ser nlitis, ked opersi pd vektor di ts dpt dijelskn segi erikt : Mislkn,,.,,.,,. k k k, k, dn, dlh vektor-vektor di rng yng sm, mk

9 RUANG DUA (R ) Komponen v dlh koordint (v,v ) di titik khir v, dn ditlis: v = (v,v ) Vektor w ditlis: w = (w,w ) Kedny ekivlen jik v = w dn v = w v + w = (v + w, v + w )

10 RUANG TIGA (R ) R dpt menjdi R jik dilkkn pergesern ke knn t ke kiri

11 CONTOH: WARNA RGB (RED, GREEN, BLUE)

12 CONTOH

13 TRANSLASI SUMBU Persmn trnslsiny: =, = = +, = +

14 CONTOH: Sistem koordint-xy ditrnslsikn ntk memperoleh sistem koordintx y yng slny memiliki koordint-xy: (k,l) = (4,).. Tentkn koordint-x y dri titik terset dengn koordint-xy P(,0). Tentkn koordint-xy dri titik terset dengn koordint-x y Q(-,5) SOLUSI. Persmn trnslsiny: x = 4 = -, y = 0 = -. Persmn trnslsiny: x = =, y = 5 + = 6

15 NORMA VEKTOR NORMA VEKTOR = pnjng vektor dn dinotsikn dengn Dengn teori Pythgors, norm vektor (, ) dn (,, ): = + (R ) = + + (R ) Vektor SATUAN = vektor yng normny sm dengn

16 CONTOH APLIKASI: GPS (GLOBAL POSITIONING SYSTEMS) GPS mengidentifiksi koordintny TITIK (x,y,z) pd st t menggnkn sistem segitig dn menghitng jrk dri empt stelit. Jrk ini dihitngkn menggnkn keeptn hy (sekitr jri-jri mi per 0.0 detik) dn wkt sinyl erjln dri stelit ke TITIK terset. Segi ontoh, TITIK menerim sinyl pd st t dn stelit menghntrkn sinyl pd st t 0, mk jrk yng ditempt oleh sinyl dlh = Stelit jg mengirimkn koordintny (x 0,y 0,z 0 ) pd wkt terset, sehingg = + + Persmnny menjdi: + + = 0. Kren d empt stelit, mk kn d empt SPL

17 . HASIL KALI SCALAR (PERKALIAN DOT) Mislkn, dlh vektor pd rng yng sm, mk hsil kli titik ntr d vektor: dengn : pnjng : pnjng = os : sdt kedny

18 Ilstrsi dot prodt vektor A dn B A B A B os

19 Contoh : Tentkn hsil kli titik dri d vektor iˆ dn iˆ ˆj Jw : Kren tn =, rtiny = 45 0 os = 4 8

20 Ingt trn osins = + os Perhtikn os

21 Selnjtny dpt ditlis Ingt hw : os os..... n.... n n n n n n n n n n n...

22 Perhtikn setip skny, diperoleh hngn :... n n Tentkn kemli hsil kli titik dri d vektor pd ontoh seelmny = () + 0 () = 4 Beerp sift hsilkli titik :... k k k, dimn k R

23 PROYEKSI ORTOGONAL Kren proy w w w w k k k hw terliht k = 0 (kren tegk lrs)

24 Jdi, rms proyeksi diperoleh : Contoh 4 : Tentkn proyeksi ortogonl vektor terhdp vektor 4 4 v Pr oy

25 Jw : ) ( ) ( 4 4) ( 4 4 Pr v v v w oy v w

26 JARAK ANTARA TITIK DAN GARIS Jrk (D) ntr titik P 0 (x 0,y 0 ) dn gris x + y + = 0 = + + +

27 . HASIL KALI SILANG Hsil kli silng merpkn hsil kli ntr d vektor di Rng (R ) yng menghsilkn vektor yng tegk lrs terhdp ked vektor yng diklikn terset. ˆ ˆ ˆ B B B A A A k j i A x B C k B B A A j B B A A i B B A A ˆ ˆ ˆ

28 Contoh : Tentkn, dimn Jw : w iˆ v v w ˆj kˆ v v,, v (, 0, ) iˆ ˆj 0 kˆ. 0( ) î ( ). ĵ kˆ iˆ 7 ˆj 6 kˆ.0.

29 Beerp sift Cross Prodt :.. v x v 0 x v 0. v v v

30 Dri sift ke- diperoleh, sin v x v Jdi v v v os v v os v v os v sin v

31 Perhtikn ilstrsi erikt : v v sin Ls Jjrn Genjng x v v sin Ls segitig yng dientk oleh ked vektor terset dlh Ls segitig v

32 Contoh : Dikethi titik-titik dirng ( di R³ ) dlh : A = (,, ) B = (4,, 0) C = (,, ) Dengn menggnkn hsilkli silng, tentkn ls segitig ABC! Jw : Tlis AB AC = B A= (4,, 0) (,, ) = (,, ) = C A= (,, ) (,, ) = (, 4, 5)

33 AB AC iˆ ˆj 4 kˆ 5 iˆ ˆj 0kˆ Ls segitig ABC yng erimpit di A dlh Ls

34 ORIENTASI PADA TITIK B BA = (,-,-) (4,,0) = (-,-,-) BC = (,,) (4,,0) = (-,,) BA BC iˆ ˆj kˆ iˆ kˆ 0 ˆj Sehingg ls segitig ABC yng erimpit di B dlh : BAxBC

35 INTERPRETASI GEOMETRIK DARI DETERMINAN

36 BUKTI Ls jjrn genjng vektor R yng terletk di R dlh = (,,0) dn v = (v,v,0) Fktny hw =, mk lsny menjdi TERBUKTI

37 BUKTI Ls jjrn genjng di gin ls dlh x Tingginy dlh proyeksi terhdp x : Volmeny: TERBUKTI

38 .4 GARIS DAN BIDANG DI R Dlm geometri nlitik seh gris di R dpt dispesifiksi dengn memerikn grdien dn st titik intersepsiny Mirip dengn it, di R jg dpt dispesifiksi dengn memerikn inklnsi (keenderngn) dn st titikny Inklnsi dri seh idng ntk menentkn vektor kn nol diset NORMAL, yng TEGAK LURUS DENGAN BIDANG

39 NORMAL-TITIK Persmn idng yng melli titik,, dn memiliki vektor kn nol =,, segi seh NORMAL Bktiny: Titik (,, ) di idng terset mementk vektor yng ORTOGONAL terhdp n, sehingg. = 0 Kren =,,, mk + + = Ini diset BENTUK NORMAL-TITIK PERSAMAAN BIDANG Bentk mmny: =

40 CONTOH Temkn persmn idng melli titik (,-,7) dn tegk lrs n = (4,,-5) JAWAB: + + = = = = 0

41 SPL DALAM BIDANG R Jik d idng R, mk persmn idngny mementk SPL: + + = + + = + h + = Kemngkinn solsiny:

42 CONTOH Temkn persmn idng melli titik,,, (,,), dn (,,). Solsiny: + = + + = + = Hsilny dlh =, =, =, dn = Jik = 6, mk persmnny dlh = 0 Solsi LAIN: =,, = (,,) dn =,, = (,,) x = (9,, 5) + + = t = 0