( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú. Ú dx sukar dihitung. ÚÚ ÚÚ ÚÚ. Contoh Hitunglah. Cara lain. e dy sukar dihitung.

Transkripsi

1 Integrl lipt u p erh persegi pnjng i = f () c i b Lus = f () [ b, ] = f (,) b A B c R = Volum B fa (, ) c R A b Integrl tunggl Integrl ri fungsi kontinu = f () p selng tutup [,b] iefinisikn sebgi () b () lim n f = ( ) [ b, ] f = Â fc i i i, P Æ = P = { =,, º, n = b} sutu prtisi untuk [,b], c i Œ [ i-, i ], i = i - i-, n P = mks i. i n Integrl lipt u Integrl lipt u ri fungsi kontinu = f (,) p persegi pnjng tutup R = {(,) : b, c } iefinisikn sebgi Â (,) lim n f A = f( c, ) R i i i A i, P Æ = P sutu jring untuk R, (c i, i ) Œ komp.jring ke-i, A i = i i, n P = mks Ai. i n Integrl berulng Integrl lipt u f (,) A R ihitung engn mentknn sebgi b b f (,) A= (,) (,) R f f = c c. Keu integrl ng terkhir ikenl sebgi integrl berulng.

2 KI FsP Contoh Hitunglh R Cr lin ( - ) A, R = {(, ): -, }. R ( ) ( - ) A = ( - ) = - R - - = ( ) = ( - 8 ) = ( ) ( - ) A = ( - ) = ( ) ( ) = = - = -6. Contoh Hitunglh p p/ sin sin( ). I = + e Ubhlh urutnn lm kren p p/ sin p/ sin p p/ sin p p/ ( ) ( ) p / sin sin p / sin sin( + ) e sukr ihitung. I = sin( + ) e = e sin( + ) ( + ) sin = e - cos( + ) = e cos = e (sin ) = e = ( e- ) ª,66. Contoh Hitunglh = - / I e. Ubhlh urutnn lm kren ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) - e / sukr ihitung. - / - / - / ( ) I = e = e = e - / - / - / - = e = e - = e - / / =- e - =- e + =- e + e+ - = e- e - ª,5696

3 KI FsP Integrl lipt u p erh bukn persegi pnjng persegi pnjng R c b fungsi = b () () b () fungsi = () b erh Tipe fungsi fungsi = g ( ) = ( ) g ( ) ( ) c erh Tipe Akn ihitung integrl lipt u ri fungsi kontinu = f (,) p erh. (gmbr kiri) erh ibtsi beberp kurv kontinu n pt ibingki oleh persegi pnjng R = {(,) : b, c }. erh tipe- Proeksi terhp sumbu lh selng tutup [,b], bts bwhn kurv kontinu = () n bts tsn kurv kontinu = b (), itu = {(,) : b, () b ()}. (gmbr tengh) Integrl berulng ri fungsi = f (,) p erh tipe- lh b() f (,) A= f(,). () erh tipe- Proeksi terhp sumbu lh selng tutup [c,], bts bwhn kurv kontinu = g () n bts tsn kurv kontinu = (), itu = {(,) : c, g () ()}. (gmbr knn) Integrl berulng ri fungsi = f (,) p erh tipe- lh b () f (,) A= f(,). c g () Integrl berulng p erh tipe- pt iubh ke erh tipe- engn cr mencri invers bts erhn. Bentuk limit jumlh integrl lipt u p erh tipe- n tipe- n Ï f (,),(,) Œ fa (,) = lim Â Fc (, ), (,) i i i Ai F P = =Ì, Æ Ó,(, ) ŒR- P sutu jring untuk R, (c i, i ) Œ komp.jring ke-i, A i = i i, n P = mks Ai. i n

4 KI FsP Arti geometri integrl lipt u p erh bukn persegi pnjng S: = f (,), (,) Œ bing tetp (//o) irisn S engn bing tetp c () b () b erh bergerk tetp Untuk bing tetp ( b) ng memotong erh i () n b (), lus irisnn lh = b() L () f (,) () Volum ben ptn lh b b b() V = L () = f (,) () S: = f (,), (,) Œ bing tetp (//o) irisn S engn bing tetp c ( ) b erh tetp bergerk Untuk bing tetp (c ) ng memotong erh i g () n (), lus irisnn lh = () L () f (,) g () Volum ben ptn lh () V = L () = f (,) c c g () g ( ) Integrl lipt u untuk menghitung lus erh Untuk menghitung lus erh tipe- n tipe- mbillh = f (,) =, mk secr numerik volum ben ng ihsilkn sm engn lus erh. b bing = c Lus erh tipe- = {(,): b, () b ()} lh b b() A =. () Lus erh tipe- = {(,): c, g () ()} lh ( ) A =. c g ( )

5 KI FsP 5, Contoh Gmbrkn erh pengintegrln I = + ubhlh urutn integrln kemuin hitunglh I. = = = = erh pengintegrln ri bentuk I = + iperoleh rentng ri smpi, bts tsn gris =, n bts bwhn prbol =. Ji erh pengintegrln I lh = {(,) :, }, ng iperlihtkn gmbr i smping. Untuk mengubh urutn integrln, proeksi erh iubh ri ke sumbu menji ke sumbu. Hsiln lh rentng ri smpi, bts kirin lh sumbu (gris = ), n bts knnn lh invers fungsi =. Kren invers ri =, lh =,, mk erh pt itulis lm bentuk = {(,) :, }. Ji perubhn urutn integrl I lh Integrl I lh. I = + = + I = + = + ( + ) ( ) ( ) ( ) = Ê + ˆ = Ê - ˆ Ë Ë / / / ( ) ( ) ( ) = - = - = -. Cttn lm ksus ini integrln lebih muh ihitung engn cr i ts kren fungsi primitif ri u() = + sukr itentukn.

6 KI FsP 6 Contoh Hitunglh volum ben pt ng ibtsi tbung + = n tbung + =. + = + = = - = - B B + = Ben B i oktn pertm Volum B = 8 kli volum B erh pengintegrln untuk ben B P gmbr kiri iperlihtkn u tbung ng beririsn engn keu sumbu berpotongn i titik sl (,,). Irisn keu tbung lh ben B ng i oktn pertm iperlihtkn gmbr kiri. P gmbr tengh iperlihtkn irisn keu tbung i oktn pertm. Ben B terletk i bwh permukn tbung = - n i ts lingkrn + = i bing o ng terletk i kurn. Volum tbung ng kn icri sm engn 8 kli volum ben B. P gmbr knn iperlihtkn erh pengintegrln untuk ben B, itu erh i kurn pertm ng ibtsi lingkrn + =. erh pt ituliskn lm bentuk = {(, ) :, - } Volum ben B ng ibtsi u tbung lh - V = 8 volum B = ( ) ( ) ( ) = 8 - = = 8 - = 8 - = 8 - = 5.

7 KI FsP 7 = + (-,) (,) = - Ilustrsi Kurv = n gris = + ng berpotongn i (-,) n (,) membentuk erh = {(, ): -, + } Lus lh L A + = = = ( + - ) ( ) = + - = =. Contoh Gmbrkn erh ng ibtsi kurv =, gris = +, n sumbu. Ntkn lus sebgi integrl lipt u lm u cr kemuin hitunglh lus. (,) = + = = - =, - - Kurv = n gris = + berpotongn i titik (,) kren. Proeksi p sumbu lh selng [,], bts kirin gris = -, n bts knnn kurv =. Akibtn, = {(, ):, - } n lus lh L = A =. - Proeksi p sumbu lh selng [-,] = [-,]» [,]. engn meliht bts ts n bts bwhn i setip selng ini iperoleh = {(, ): -, - }»{(, ):, - } n lus lh + + L = A = + - engn integrl lipt u ng pertm, lus erh lh ( ( ) ) ( ) - ( ) L= = - - = - + = - + = - + =

8 KI FsP 8 O q titik kutub P( -, ) r P = P(r,q ) r rius vektor sumbu kutub q - - ttk-ktb sb-ktb r sinq P(r,q ) P(,) r q r cosq r = sinq + = r = c c prmeter q = k k prmeter Koorint kutub Sistem koorint kutub teriri ri u komponen, titik kutub O n sumbu kutub berbentuk sinr ri O ke knn. lm sistem ini titik PŒ iientifiksi sebgi P(r,q ), r = OP n q = (OP,sb-kutub). Rius vektor OP ; q positif jik berlwnn jrum jm n q negtif jik serh jrum jm. Ilustrsi Jrk titik P( -, ) ke O(,) lh n q = (OP,sb-kutub) = p+ np, nœ. Koorint kutubn: P(, p), P(, - p), Kitn koorint kutub engn krtesis P(r,q ) P(,) r= + = r cos q q memenuhi r cos q =, sinq = r = r sin q Fungsi lm korint kutub Fungsi engn peubh bebs q n peubh tk bebs r sehingg (r,q ) membentuk koorint kutub inmkn fungsi lm koorint kutub, itulis r = f (q ). Ilustrsi Lingkrn + = lm koorint kutub iperoleh engn penggntin = r cos q n = r sin q. ri r = r sin q iperoleh persmn lingkrnn r = f (q ) = sin q. Ilustrsi Aturn r = c, c prmeter lh kelurg lingkrn berpust i (,) n q = k, k prmeter lh kelurg sinr bersl ri (,).

9 KI FsP 9 Integrl lipt u lm koorint kutub q = b r i q = q i q i q = q i- jring kutub r = b r = r i r = r i- (r i *,q i *) r = q = * A= r r q i i i i engn trnsformsi integrl ke koorint kutub (,) = (r cos q, r sin q ) iperoleh f (,) A= f (cos,sin r q r q ) rrq, * * = {(r,q ) : q b, p(q ) r q(q )} Lus erh * = {(r,q) : q b, p(q ) r q(q )} lh b q() q A = rrq = rrq. * * p( q) Butlh jring untuk koorint kutub (liht gmbr) r konstn (lingkrn) n q konstn (sinr). Pilihlh titik ( ri*, qi* ) Œ Ai engn ri* = ( ri- + ri). qi Kren ( ) i i i- ( i i i-)( i i-) i* i i A = r r r r r r r r p p - = q + - = q, mk lm koorint kutub berlku A = r r q. Contoh Gmbrkn erh i kurn pertm ng terletk lm lingkrn + = n i lur lingkrn + = kemuin hitunglh lusn engn integrl lipt u sistem koorint kutub. + = A i (,) erh = q = p / r = cosq r = sinq q = erh Gunkn trnsformsi (,) = (r cos q, r sin q ), iperoleh + = r = r cosq r = cosq n + = r = r sinq r = sinq. Keu lingkrn berpotongn i (,) n (,), ng lm koorint kutub (,q ) n ( ) p/ cos q p/, p. Lus = {( r, q): q p, sinq r cos q} ( q ) ( ) cosq L = rrq = r q sinq sinq p/ p/ p / sin. = (cos q - sin q) q = cosqq = =

10 KI FsP Contoh Jik erh terletk i lm lingkrn + = n i lur lingkrn + =, hitunglh I = +. A r = sinq q =5p/6 q =p/6 - - Gunkn trnsformsi (,) = (r cos q, r sin q ), iperoleh + = r = sinq n + = r =. Keu lingkrn ini berpotongn i titik (, p 6 ) n ( 5 ) 6 {(, rq): p q 5 p, r sinq}, p, sehingg erh lh 6 6 =. Gunkn sin q q =- (- cos q ) cos q = cos q - cos q + C, iperoleh 5 p/6 sinq 5 p/6 sinq ( ) p/6 q /6 q p 5 p /6 5 p /6 8 (8sin q ) q ( ) /6 cos q 8cosq q p p /6 5 ( 6p 6p) 9p,766. I = + A = r r r = r = - = - - = = - ª Contoh Hitunglh volum ben pt ng ibtsi tbung + =, bing o, n bing + =. + = + = bing tr tbung tegk = {(,) : q p, r } Gunkn trnsformsi (,) = (r cos q, r sin q ), iperoleh + = = - r sinq n erh pengintegrlnn lh = {(,) : q p, r } Volum ben ptn lh p V = A = ( -r sin q) r r q p p 8 ( ) ( ) sin 8 sin p ( 8q cosq) 6p 6 p. = r - r q q = - q q = + = =

11 KI FsP Contoh Hitunglh volum ben pt B ng ibtsi prboloi = + n bing =. B = - + = - - Proeksi B p o lh = {(, ): + }. Gunkn trnsformsi (,) = (r cos q, r sin q ), iperoleh bts bwh B lh = + = r, bts ts B lh =, n erh lh = {( r, q): q p, r }. Volum ben pt B lh p V = ( -( + ) A = (-r ) rrq ( ) p p ( ) q p = q = 8 p. = r- r r = r - r q Contoh Hitunglh volum ben pt B ng ibtsi prboloi = + n bing =. - ben pt B bing = B + = Proeksi B p o lh erh = {(, ): + }. Gunkn trnsformsi (,) = (r cos q, r sin q ), iperoleh bts bwh B lh = + = r, bts ts B lh = = r sinq, n erh lh = {( r, q): q p, r sin q}. Volum ben pt B lh V = ( - ( + ) A p sinq = (rsin q -r ) rrq sinq ( sin ) p ( ) p p sin = r q - r q = qq = - cosq + cos q q = p = p.

12 KI FsP Contoh Hitunglh = r = secq q = p / (, ) = 6- r = q = 6- / ( ). I = + erh pengintegrlnn lh {(,):, 6 } = -. Titik potong kurv = 6 - engn gris = lh (, ), ng lm koorint kutub lh ( ), p. Gunkn trnsformsi (,) = (r cos q, r sin q ), iperoleh = r cosq = r = sec q, = = 6, r = 6, q p r =, q p, n sumbu positif q =, sehingg lm koorint kutub lm koorint kutub: Integrl lipt un lh / = {( r, q) : q p, secq r }. f (,) = ( + ) - -/ - f (, rq) = ( r ) = r. 6 - / p/ - p/ - ( ) q secq secq I = + = r rr = r rq p/ - p/ p/ ( ) ( ) ( cos ) secq secq p / ( sinq q) ( p) ( p). =- r q =- - q = q - q = - = - = - Contoh Hitunglh -( + ) I= e A, = {(, ): +, >. + = - - Gunkn trnsformsi (,) = (r cos q, r sin q ), erh menji = {(r,q ) q p, r }. Integrln lh p -r p -r q ( ) q p ( ) -r p - - e e e I = e rr =- e -r =- q = (- ) q = ( - ) p.

13 KI FsP Trnsformsi integrl lipt u ke koorint kurviliner Trnsformsi = r cos q n = r sin q menghsilkn f (,) A = f (cos r q,sin r q) rr q, * engn = {(r,q) q b, p(q ) r q(q )}. Kren (, ) r q r q r q cosq -r sinq = = = r(cos q + sin q) = r, sinq r cosq mk trnsformsi integrl lipt u ke koorint kutub pt itulis (, ) r q f ( A, ) = f( rcos q, rsin q) rq. Secr umum, trnsformsi = (u,v) n = (u,v) ri koorint (,) ke koorint (u,v) mengikuti pol terkhir sehingg kit mempuni uv f (,) A = f (,) = f ( uv (,),(,) uv ) uv, engn = {(u,v) : u b, p(u ) v q(u )} n P trnsformsi ini uv (u,v) inmkn koorint kurviliner. u tetp A v tetp u v uv u v =. ikenl sebgi eterminn Jcobi n Komponen jring: r = r(u,v) = (u,v) i + (u,v) j. u tetp fi r(v) = (v) i + (v) j fi v tetp fi r(u) = (u) i + (u) j fi lm (u,v): A = r r u v u v = Jik ri (u,v) itrnsformsikn kembli ke (,), mk f (,) (,) (,) f uv (,) = uv. Akibtn uv uv =, sehingg uv uv =. r = + v v v r = + u u u uv i j. i j. u v.

14 KI FsP Contoh Hitunglh lus erh i kurn pertm ng ibtsi oleh hiperbol =, hiperbol =, gris =, n gris = = = = = Gris bts erh lh = n =. Butlh trnsformsi u = n v =, mk u= n v =, sehingg lm (u,v) erh pengintegrlnn lh = {( uv, ) : u, v }. eterminn Jcobi trnsformsin lh uv = = uv - = = Lus erh lh (,) (,) (,) v uv v ( ) A = u v = vu = ln v u = (ln) u = ln. Contoh Jik erh i kurn pertm ibtsi kurv hiperbol - =, - = 9, =, n = 8, hitunglh ( + ) A. 5 = 8 - = = - = 9 5 Butlh trnsformsi u = - n v =, mk = {( uv, ) : u 9, v 8}. Ubhlh f (,) = + ke lm u n v. ri ( + ) = ( - ) + () = u + v iperoleh + = u + v, sehingg f (,) uv = u + v. eterminn Jcobi trnsformsin lh uv - = = = =. Ji (,) uv ( + ) u + v ( + ) A = u + v vu = v u = 6. u + v

15 KI FsP 5 Apliksi integrl lipt u untuk pust mss n momen inersi c persegi pnjng R pust mss fungsi = b () pust mss fungsi = () fungsi fungsi = g ( ) = ( ) c pust mss b b ikethui keping tr ng rpt mssn i setip (,) Œ lh r (,), r kontinu p. Keping pt itulis lm u bentuk, = {(,) : b, () b ()},, b kontinu p [,b], = {(,) : c, g () ()}, g, kontinu p [c,]. = mss keping lh M r(,) A. momen mss keping terhp sumbu lh M r(,) A. = = momen mss keping terhp sumbu lh M r(,) A. pust mss keping lh titik (, ), engn momen inersi keping terhp sumbu lh momen inersi keping terhp sumbu lh M M M = n =. M I r(,) A. = = I r(,) A. momen inersi keping terhp titik (,) lh I = I + I. Ilustrsi Untuk keping = {(,):, }, jik rpt mss i setip titik (,) Œ lh r (,) = +, tentukn pust mssn. = = = M= r(,) A= ( + ) = M = r(,) A= ( + ) = 8. M = r(,) A= ( + ) =. Pust mss keping lh (, ), = 8 n =. 5

16 KI FsP 6 Ilustrsi Untuk keping = {(, ):, }, jik rpt mss i setip titik (,) Œ lh r (,) = +, tentukn momen inersi terhp sumbu, sumbu, n titik (,). = = = Momen inersi terhp sumbu, n titik lh I = (,) A= ( + ) = 5. I = (,) A= ( + ) = 8. r r ( )( ) I = I + I = + + = + = Contoh Keping terletk i kurn pertm, ibtsi sumbu, gris =, lingkrn + =, n lingkrn + =. Jik rpt mss i setip (,) Œ lh jrk (,) ke (,), tentukn pust mssn. = + = + = Butlh trnsformsi ke koorint kutub, bts lh sinr q = p = i kurn I, sinr q = sb- positif, lingkrn r = + =, n lingkrn r = + =. Ji = {( r, q): q p, r } n rpt mss i setip (r,q) Œ lh r (r,q) = r. Mss, momen mss terhp sumbu n sumbu keping lh p p p p/ p/ (,) (sin) (,) sin p/ p/ 5 5 p / sinq 5 7 ( ) ( ) r q sinqq cosq 8 8. p/ p/ (,) (cos ) (,) cos p/ p/ 5 5 p / q 5 7 ( ) ( ) r q qq q 8 8 M engn, = M M = / / / ( ) M = r(, rq) rrq = r rq = r q = p = p. M = r A = r qrrq rrq = r qrq = = = - = = M = r A= r qrrqrrq= r qrq = cos = cos = sin = =. Pust mss keping lh (, ), = = n,77. M

17