Integral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar

Transkripsi

1 Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny? Ketik peswt hendk mengudr, ling-ling peswt kn erputr dengn keceptn tinggi. Bgimnkh entuk ling-ling itu st erputr? St ling-ling erputr, klin kn mengmti seuh entuk seperti lingkrn. Dptkh klin mengethui lus lingkrn yng terentuk dri perputrn ling-ling itu? Dengn menggunkn integrl, klin kn dpt mengethuiny. B Integrl

2 A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f () f () 7 f () f () f 5 () 99 Perhtikn hw fungsi-fungsi terseut memiliki entuk umum f() c, dengn c sutu konstnt. Setip fungsi ini memiliki turunn f () 9. Jdi, turunn fungsi f() c dlh f () 9. Sekrng, gimn jik klin hrus menentukn fungsi f() dri f () yng dikethui? Menentukn fungsi f() dri f (), errti menentukn ntiturunn dri f (). Sehingg, integrl merupkn ntiturunn (ntidiferensil) tu opersi invers terhdp diferensil. Jik F() dlh fungsi umum yng ersift F() f(), mk F() merupkn ntiturunn tu integrl dri f(). Pengintegrln fungsi f() terhdp dinotsikn segi erikut. f() F() c dengn: notsi integrl (yng diperkenlkn oleh Leiniz, seorng mtemtikwn Jermn) f() fungsi integrn F() fungsi integrl umum yng ersift F() f() c konstnt pengintegrln Sekrng, perhtikn turunn fungsi-fungsi erikut. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () c. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () c. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () c. g () 6 6, didpt g () 5. Jdi, jik g () 5 mk g () g () 6 6 c. Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

3 Dri urin ini, tmpk hw jik g () n n, mk g() c tu n n n dpt dituliskn c, n. n Segi contoh, turunn fungsi f() c dlh f () 9. Ini errti, ntiturunn dri f () 9 dlh f() c tu dituliskn f () c. Urin ini menggmrkn huungn erikut. Jik f () n, mk f() konstnt n n c, n dengn c sutu Contoh. Tentuknlh turunn dri setip fungsi erikut!. f() 5 c. f(). f() 5 d. f() Jw:. f () ( 5). f () ( ) ( ) ( ) 6 6 c. f () ( ) d. f (). Tentuknlh ntiturunn jik dikethui:. g () c. g (). g () 6 d. g () Jw:. g (). g () c. g () c 6 6 c 7 7 c c B Integrl

4 d. g () c c c B. Integrl Tk Tentu Pd gin seelumny, klin telh mengethui hw integrl merupkn ntiturunn. Jdi, pil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd intervl, sedemikin hingg mk ntiturunn dri f() dlh F() c. Secr mtemtis, ditulis f ( ) F() c df ( ( )) f(), di mn Lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn f() Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny c Konstnt Segi contoh, dpt klin tuliskn c kren d c Sehingg klin dpt memndng integrl tk tentu segi wkil keseluruhn kelurg fungsi (stu ntiturunn untuk setip nili konstnt c). Pengertin terseut dpt digunkn untuk memuktikn teorem- teorem erikut yng kn memntu dlm pengerjn hitung integrl. Teorem n Jik n ilngn rsionl dn n, mk c dlh konstnt. n n c di mn Teorem Jik f fungsi yng terintegrlkn dn k sutu konstnt, mk kf ( ) k f( ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

5 Teorem Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk ( f ( ) g ( )) f ( ) g( ) Teorem Jik f dn g fungsi-fungsi yng terintegrlkn, mk ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Teorem 5 Aturn integrl sustitusi Jik u sutu fungsi yng dpt didiferensilkn dn r sutu ilngn r r rsionl tk nol, mk ( u ( )) u( ) ( u ( )) c, di mn c r dlh konstnt dn r. Teorem 6 Aturn integrl prsil Jik u dn v fungsi-fungsi yng dpt didiferensilkn, mk udvuv vdu Teorem 7 Aturn integrl trigonometri cos sin c sin cos c cos tn c di mn c dlh konstnt B Integrl 5

6 Pemuktin Teorem Untuk memuktikn Teorem, klin dpt mendiferensilkn n c yng terdpt pd rus knn seperti erikut. d c n ( ) (n ) n... klikn kedu rus dengn n d n c n n d c n Sehingg n n n n n c n n Pemuktin Teorem dn Untuk memuktikn Teorem, klin dpt mendiferensilkn f ( ) g( ) yng terdpt pd rus knn seperti erikut. d d d f ( ) g( ) f ( ) g( ) f g d f ( ) g( ) f ( ) g( ) Sehingg didpt: ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Contoh Hitunglh integrl dri ( 7)! Jw: ( 7) 7 (Teorem,, dn ) 7 c (Teorem ) 7 c Jdi, ( 7) 7 c. 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

7 Pemuktin Teorem 6 Di kels XI, klin telh mengethui turunn hsil kli du fungsi d f() u() v() dlh uv ( ) ( ) u v v u Akn diuktikn turn integrl prsil dengn rumus terseut. Crny dlh dengn mengintegrlkn kedu rus persmn seperti erikut. d u v u v v u uv uv vu u v u v v u Kren v() dv dn u () du Mk persmn dpt ditulis udv uv vdu B.. Aturn Integrl Sustitusi Aturn integrl sustitusi seperti yng tertulis di Teorem 5. Aturn ini digunkn untuk memechkn mslh pengintegrln yng tidk dpt diselesikn dengn rumus-rumus dsr yng sudh dipeljri. Untuk leih jelsny, perhtikn contoh erikut ini. Contoh Hitunglh integrl dri:. 9. sin Jw:. Mislkn u 9, mk du du 9 9 u du u du u c u c u u c 9 9 c Jdi, c. c. B Integrl 7

8 . Mislkn u du du, sehingg sin du sinudu cosuc cos c c. Mislkn u, mkdu du sehingg integrl terseut dpt ditulis segi erikut. du (Teorem 5) u ( ) u du u c u c Sustitusi u ke persmn u c u c Jdi, ( ) ( ) c ( ) c ( ) c. Pemuktin Teorem 7 Di Kels XI, klin telh mempeljri turunn fungsi trigonometri, d yitu (sin ) cos, d (cos ) sin, dn d (tn ) sec. Berikut ini kn diuktikn turn integrl trigonometri menggunkn rumus terseut. Crny dlh dengn mengintegrlkn kedu rus seperti erikut. d Dri (sin ) cos diperoleh cos sin c d Dri (cos ) sin diperoleh sin cos c d Dri (tn ) sec diperoleh sec tn c 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

9 B.. Integrl dengn Bentuk,, dn Pengintegrln entuk-entuk,, dn dpt dilkukn dengn menggunkn sutisusi dengn sin t, tn t, sec t. Sehingg diperoleh entuk-entuk seperti ini. sin t sin t cos t cost tn t tn t sec t sec t sec t sec t Ingt cos ( ) sin ( ) c sin ( ) cos ( ) c sec ( ) tn ( ) c tn t tn t t t (i) (ii) (iii) t Gmr. Segitig siku-siku untuk integrl sustitusi trigonometri: (i) cost, (ii) sec t, (iii) tn t Contoh. Hitunglh setip integrl erikut!. sin () cos (). 9 Jw:. Untuk mengerjkn integrl ini, terleih dhulu klin hrus menguh sin ( ) cos ( ) ke dlm rumus trigonometri sudut rngkp, yitu B Integrl 9

10 sin cos sin. Dengn rumus ini, klin mendptkn: sin () cos () sin (6 ) sin (6 ) cos (6 ) c 6 cos (6 ) c Jdi, sin cos cos6 c. Mislkn, sin t, mk sin t dn cos t dt. Sekrng, perhtikn segitig erikut ini! Dri segitig di smping, Ingt Integrl entuk: diuh menjdi sin t diuh menjdi tn t diuh menjdi sec t cos t cos t 9 (sin t) cost sin t cos tdt ( cos t ) dt 9 ( cos ) t dt 9 t sin t c 9 t 9 sin t c 9 Ingt, rumus kosinus sudut rngkp cos t sin t t Jdi, 9 t 9 sin tcost c sin c 9 sin 9 c 9 sin 9 c 9 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

11 . Jik g () dn g(), tentuknlh g(). Jw: g() g'( ) ( ) c Kren g(), mk c dpt ditentukn segi erikut. g() c g() c 6 c c c c Jdi, g(). Tentukn persmn kurv yng mellui titik (, ) dn dy memiliki persmn grdien gris singgung 6 5. Jw: dy 6 5 y (6 5) 5 c f() 5 c Kren kurv mellui titik (, ), mk: f() () 5() c c c c c c Jdi, persmn kurv terseut dlh f() 5. Ash Kompetensi. Hitunglh setip integrl erikut!. c. ( ). ( 5) d. (5 ). Jik g () 5 dn g() 6, tentuknlh g().. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, ) dn memiliki grdien gris singgung dy. B Integrl

12 Wktu : 9 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh integrl erikut!.. c. d. i. (5 ) j. 8 (8 5 ) k l. e. 5 f. ( ) ( ) ( ) m. ( ) n. g. o. ( ) h. 9 ( 5). Tentuknlh setip integrl erikut!. (sin cos ). c. ( sin ) sin cos d. (sin cos ) e. sin 5sin f. sin cos8 6 cos sin 8 g. (8sin 9cos 6 sin 9sin ) h. i. 5 (sin )( cos ) ( ) sin ( ) cos( ) j. ( )sin. Tentuknlh fungsi g(t), jik dikethui:. g (t) 7 dn g(). g (t) t 8t dn g() 5 c. g (t) 6t t dn g() 5 d. g (t) t t dn g() e. g (t) t dn g() t f. g (t) t dn g() 8 g. g (t) t dn g( ) Boot sol: Boot sol: Boot sol: h. g (t) t dn g() 9 UMPTN 99 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

13 . Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, 8) dn memiliki persmn grdien gris singgung dy. 5. Tentuknlh persmn kurv yng mellui titik (, ) dn grdien gris singgung pd serng titikny dlh setengh koordint-y. Boot sol: Boot sol: C. Integrl Tertentu C.. Memhmi Lus Segi Limit Sutu Jumlh Seelumny klin telh mempeljri grfik fungsi kudrt. Derh grfik fungsi kudrt erup gris lengkung. Berpkh lus derh yng ts-tsny erup gris lengkung ini? Untuk mengethui, lkuknlh ktivits erikut. A ktivits di K els. Gmrlh grfik fungsi kudrt, mislny f() 9 pd intervl,.. Bgi selng menjdi n selng gin yng lerny msing-msing, memki titiktitik n n n.. But persegi pnjng-persegi pnjng yng lsny dn tingginy f( i ). Tentukn pul lus setip persegi pnjng terseut!. Jumlhkn lus setip persegi pnjng terseut! 5. Dengn memilih sekecil-kecilny hingg mendekti nol, hitunglh limit jumlh dri hsil pd lngkh. Hsil yng klin dptkn menunjukkn lus derh yng ditsi kurv f() 9, sumu-, gris, dn. 6. Butlh kesimpulnny dn diskusikn kesimpuln terseut dengn temn-temnmu! Dri Aktivits ini, klin memperoleh derh yng kn ditentukn lusny. Setelh memgi intervl, menjdi n selng gin yng lerny msing-msing, klin memperoleh: n 9 y f() 9 n 6 n 9 n O i i i n Gmr. Derh yng digi menjdi n selng gin B Integrl

14 Lus setip persegi pnjng pd gmr terseut dlh: f ( i ) f 9 i n n n n n n i i 7 7 Lus seluruh persegi pnjng dlh segi erikut. L f( ) f( )... f( n ) (*) n n n n n n n n n n n 7 nnn n 6 n n n n Dengn memilih mk n, sehingg kn diperoleh lus derh yng ditsi kurv f() 9, sumu-, gris, dn segi erikut. 9 L(R) lim 8 8 n n n Sekrng, perhtikn kemli persmn erikut. L(R n ) f( ) f( ) f( n ) Dengn menggunkn notsi sigm, klin dpt menuliskn persmn terseut segi erikut. Jik, mk kn diperoleh LR ( ) f ( ) n n i LR ( ) lim f ( ) n n i Dengn mengmil ts derh dn, mk entuk di ts merupkn sutu entuk integrl tertentu yng dituliskn segi L f ( ) i i Sehingg diperoleh (9 ) Jik fungsi f terdefinisi pd intervl [, ], mk f ( ) dlh integrl tertentu terhdp fungsi f dri ke. Pengintegrlnny dituliskn segi erikut. ( ) f f FF dengn: f() fungsi integrn ts wh ts ts Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

15 Sehingg klin hrus dpt memedkn hw integrl tertentu f ( ) dlh ilngn, sedngkn integrl tk tentu yng dihs seelumny dlh fungsi. Ash Kompetensi Gmrlh derh dri integrl tertentu erikut. Kemudin, hitunglh integrl terseut! ( ) sin cos Sht Kit Sipkh orng yng pertm kli menemukn integrl tertentu? Di dlh George Friedrich Bernhrd Riemnn, seorng Mtemtikwn sl Jermn yng lhir pd thun 86. Riemnn menjelskn integrl tertentu dengn menggunkn lus derh yng dihitungny menggunkn poligon dlm dn poligon lur. Untuk mengenng jsny, integrl tertentu terseut dinmkn integrl Riemnn. Riemnn meninggl pd thun 866. Sumer: Clculus nd Geometry Anlitic Sumer: Gmr. Riemnn C.. Teorem Dsr Klkulus Berdsrkn definisi integrl tertentu, mk dpt diturunkn sutu teorem yng diseut dengn Teorem Dsr Klkulus. Jik f kontinu pd intervl, dn ndikn F semrng ntiturunn dri f pd intervl terseut, mk f( ) F() F(). Dlm pengerjn hitung integrl tertentu ini kn leih mudh jik klin menggunkn teorem-teorem erikut. B Integrl 5

16 Teorem Kelinern Jik f dn g terintegrlkn pd intervl [, ] dn k sutu konstnt, mk. kf ( ) k f( ). ( f( ) g( )) f( ) g ( ) c. ( f( ) g( )) f( ) g ( ) Teorem Peruhn ts Jik f terintegrlkn pd intervl [, ] mk:. f( ). f( ) ( ) f Teorem Teorem penmhn intervl Jik f terintegrlkn pd sutu intervl yng memut tig titik,, dn c, mk c f( ) f( ) f( ) c Teorem Kesimetrin. Jik f fungsi genp, mk f( ). Jik f fungsi gnjil, mk f( ) f( ) 6 6 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

17 Akn diuktikn teorem dn c, teorem, dn teorem. Pemuktin Teorem. Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk kf ( ) ( ) kf kf() kf() k(f() F()) k f( ) Jdi, kf ( ) k f ( ) Pemuktin Teorem dn c. Jik F() dn G() msing-msing semrng ntiturunn dri f() dn g(), mk ( ( ) ( )) f g F G ( ) ( ) (F() G()) (F() G()) (F() F()) (G() G()) f ( ) g( ). Jdi, ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Pemuktin Teorem. Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk f ( ) F F() F() (F() F()) f( ) Jdi, f( ) f( ). B Integrl 7

18 Pemuktin Teorem Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk c f( ) [ F( )] c F(c) F() (F(c) F()) (F() F()) c f( ) f( ) c c c. Jdi, f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) Contoh. Hitunglh Jw: 6 (sin cos ) sin cos sin cos (Teorem ) cos sin 6 cos cos sin sin Jdi, 6 5 (sin cos ). 6. Tentukn. Jw: Oleh kren untuk f(), erlku f() f(), mk f() merupkn fungsi genp. Dengn menggunkn Teorem, kn diperoleh: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

19 ( ) Jdi,.. Tentuknlh f( ) jik fungsi f didefinisikn segi, jik f(), jik Jw: f( ) Jdi, f( ) f( ) (Teorem ) ( ) 8 ( ) ( ) f( ) 8. Ash Kompetensi. Tentuknlh integrl tertentu erikut ini!.. c. 5 e. ( cos ) 7 6 f. 5 5 g. 5 (cos sin ) d. ( ) h. 6 cos( ) B Integrl 9

20 5. Dri fungsi f() erikut, hitunglh f( ), jik. f 6, jik 5. f c. f, jik, jik 5,jik 9,jik Wktu : 6 menit. Tentuknlh integrl tertentu erikut! t t dt e.. 6 ASAH KEMAMPUAN Boot sol: 8. 8 ( ) f. (sin cos ) c. ( ) g. cos d. dt h. ( t ) tn. Jik f( ) dn erikut!.. g ( ) f( ) d. ( f ( ) g ( )) e., hitunglh integrl-integrl ( g ( ) f( )) ( ( ) ) f Boot sol: c. ( f( ) g( ) ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

21 . Dikethui f merupkn fungsi gnjil dn g merupkn fungsi genp dengn f( ) g( ). Tentuknlh integrl-integrl erikut!. f( ) Boot sol:. g ( ) c. f( ) D. Menentukn Lus Derh D.. Menentukn Lus Derh di Ats Sumu- Pd su c klin telh mengethui hw lus merupkn limit sutu jumlh, yng kemudin dpt dinytkn segi integrl tertentu. Pd su ini, kn dikemngkn pemhmn untuk menentukn lus derh yng ditsi oleh eerp kurv. Mislkn R derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris, dengn f() pd [, ], mk lus derh R dlh segi erikut. L(R) f( ) y y = f() L(R) R O Gmr. Lus derh di ts sumu- B Integrl

22 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv f(), sumu-, gris, dn. Jw: Derh terseut dlh derh R. Lus derh R dlh: L(R) ( ) ( ) f() = y = R O Jdi, lus derh R dlh stun lus. D.. Menentukn Lus Derh di Bwh Sumu- Mislny S derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris, dengn f() pd [, ], seperti yng telh dihs di su D., mk lus derh S dlh L(S) f( ) y O S y = f() Gmr.5 Lus derh di wh sumu Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

23 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh gris y, sumu-, gris, dn sumu-y. Jw: y = y = O S Derh terseut dlh derh S. Lus Derh S dlh L(S) 8 (( ) ) 8 ( 8) 6 Jdi, lus derh yng dirsir dlh 6 stun. D.. Menentukn Lus Derh yng Terletk Ditsi Kurv y f() dn sumu- Mislkn T derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu-, gris, dn gris c, dengn f() pd [, ] dn f() pd [, c], mk lus derh T dlh L(T) f( ) f( ) Rumus ini didpt dengn memgi derh T menjdi T dn T msingmsing pd intervl [, ] dn [, c]. Klin dpt menentukn lus T segi lus drh yng terletk di ts sumu- dn lus T segi lus derh yng terletk di wh sumu-. y c T y f() O c T Gmr.6 Lus derh yng ditsi kurv y = f() dn sumu- B Integrl

24 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv y f() sin,, dn sumu-. y Jw: y f() Lus derh yng ditsi oleh kurv y f() sin,, dn sumu dlh: L L(A ) L(A ) sin sin cos cos (cos cos ) (cos cos ) ( ()) ( ) Jdi, lus derh terseut dlh stun lus. O A A D.. Menentukn Lus Derh yng Terletk di Antr Du Kurv Lus derh U pd gmr di wh dlh L(U) Lus ABEF Lus ABCD D F A U E Gmr.7 Lus derh yng terletk di ntr du kurv C y g() B y f() ABEF dlh derh yng ditsi oleh kurv y f(),,, dn y sehingg Lus ABEF f( ) Adpun ABCD dlh derh yng ditsi oleh kurv y g(),,, dn y sehingg Lus ABEF g ( ) Dengn demikin, lus derh U dlh L(U) f( ) g( ) ( f( ) g( )) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

25 Contoh Tentuknlh lus derh yng ditsi oleh kurv f(), gris, dn di ts gris y. Jw: Lus derh yng dimksud dlh lus derh U. Tentuknlh ts-ts pengintegrln, yitu sis titik potong ntr kurv y f() dn gris y di kudrn I. Sustitusi y ke persmn y sehingg didpt: tu Oleh kren derh U d di kudrn I, mk ts-ts pengintegrlnny dlh smpi. Dengn demikin, lus derh U dlh segi erikut. L(U) ( ) ( ) Jdi, lus derh U dlh stun lus. y U O f() y ASAH KEMAMPUAN Wktu : 6 menit. Gmrlh derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut. Kemudin, tentukn lus derh terseut!. f() dn sumu-.. g(), sumu-, dn gris c. h(), sumu-,, dn sumu simetri prol d. i(), g(), dn 5 e. j() dn sumu gris y f. k() sin dn g() cos, untuk contoh Boot sol: 6 B Integrl 5

26 . Sutu derh yng ditsi oleh kurv f() 8 dn sumu- digi menjdi du gin oleh sumu-y. Tentukn perndingn lus gin msing-msing!. Tentukn lus persegi pnjng teresr yng dpt diut dlm derh yng ditsi kurv y dn gris y. Olimpide Mtemtik SMU, Boot sol: Boot sol: Titik (, ) dn (, ) dengn dn ilngn rel positif merupkn du titik pd prol f(). Jik kedu titik terseut dengn titik (, ) dn (, ) mementuk trpesium, tentuknlh lus teresr trpesium terseut! Sumer : Olimpide Mtemtik SMU, E. Menentukn Volume Bend Putr E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu- Secr umum, volume dinytkn segi lus ls dikli tinggi. Secr mtemtis, ditulis V A. h 6 6 Kemudin, perhtikn seuh end yng ersift hw penmpngpenmpng tegk lurusny pd sutu gris tertentu memiliki lus tertentu. Mislny, gris terseut dlh sumu- dn ndikn lus penmpng di dlh A() dengn. Bgi selng [, ] dengn titik-titik gi... n. Mellui titik-titik ini, lus idng tegk lurus pd sumu-, sehingg diperoleh pemotongn end menjdi lempengn yng tipis-tipis. Volume sutu lempengn ini dpt dinggp segi volume tung, yitu Vi A( ) i dengn i i i. Dengn jumlh yng klin dptkn V A( ), kemudin kn menjdi V A( ). A() dlh lus ls end putr, oleh kren ls end putr ini erup lingkrn, mk A() r jri-jri yng dimksud merupkn seuh fungsi dlm i mislny f(). Dengn demikin volume end putr dpt dinytkn segi ( ) V f. t Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm n i i

27 Mislkn R derh yng ditsi oleh grfik fungsi f(), sumu-, gris, gris, dengn, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh R mengelilingi sumu- dlh y y f() V ( f( )) O R E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Diputr Mengelilingi Sumu-y Mislkn S derh yng ditsi oleh grfik fungsi f(y), sumu-y, gris, gris, dengn, mk volume end putr yng diperoleh dengn memutr derh S mengelilingi sumu-y dlh V. V ( f( y)) dy Gmr.8 Volume end putr yng mengelilingi sumu- y y f() Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f(), sumu-, dn sumu-y diputr 6 terhdp:. sumu-. sumu-y Jw: O y f() = R O Gmr.9 Volume end putr yng mengelilingi sumu-y. Volumeny dlh: V ( ) (6 8 ) Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu- dlh 56 stun volume. 5. Untuk menentukn volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y, klin hrus nytkn persmn kurv y f() menjdi persmn dlm vriel y. y y Volume end putr terseut dlh B Integrl 7

28 V ( y) dy y y (6 8) 8 Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-y dlh 8 stun volume. E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f() dn g() jik Diputr Mengelilingi Sumu- Derh yng ditsi oleh kurv f() dn g() dengn f g pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu- seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. V(T) ( ) ( ) f g y y f() T y g() O Gmr. Volume end putr yng ditsi kurv f() dn g() jik diputr mengelilingi sumu- Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f(), sumu-y, gris, dn y diputr 6 mengelilingi sumu- Jw: Kren derh yng dimksud d di wh sumu-, mk volume ny dlh V (( ) ( ) )) 8 8 Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

29 ( ) O 8 S 8 6 y Jdi, volume end putr yng terjdi jik derh S diputr mengelilingi sumu- dlh 6 stun volume. y f( ) E.. Menentukn Volume Bend Putr yng Ditsi Kurv f(y) dn g(y) jik Diputr Mengelilingi Sumu-y Jik derh yng ditsi oleh kurv f(y) dn g(y) dengn f( y) g( y) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-y. Seperti yng telh dijelskn di su E., mk volume end putr yng diperoleh dlh segi erikut. y g(y) U Contoh V(U) (( ( )) ( ) f y g y dy Tentuknlh volume end putr, jik derh yng ditsi oleh grfik f(), sumu-, gris, dn gris diputr 6 mengelilingi sumu-y. Jw: y O f(y) Gmr. Volume end putr yng ditsi kurv f(y) dn g(y) jik diputr mengelilingi sumu-y f() O U Untuk menentukn volume end putr terseut, tentukn ts-ts pengintegrln, yitu ordint titik potong ntr kurv y f() dn gris. Sustitusi ke persmn y sehingg diperoleh, B Integrl 9

30 y f() Jdi, ts-ts pengintegrlnny dlh y smpi y. Oleh kren derh terseut diputr mengelilingi sumu-y, mk klin hrus menytkn persmn kurv y menjdi persmn dlm vriel y. Dri y y y 8 Jdi, volume end putr terseut dlh V ((y 8) ) dy (y 8) dy (6y 6y 8) dy (6y 6y 6) dy 6 6 y y 8y y y 6y 6 ( ) ( ) 8( ) 6 6 ( ) ( ) 6( ) ( ) ( ) 6( ) Dengn demikin, volume end putr yng terjdi jik derh U diputr mengelilingi sumu-y dlh 8 stun volume. ASAH KEMAMPUAN Wktu : 6 menit Gmrlh derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut ini. Kemudin, tentukn volume end putr yng terjdi jik derh terseut diputr 6 mengelilingi sumu- dn volume jik diputr 6 mengelilingi sumu-y.. y, sumu-, gris, dn gris 6. f() sin pd intervl, dn sumu-. y 6, sumu-, dn sumu-y Boot sol: Boot sol: Boot sol: Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

31 . y, y, dn 5. f(), g(), dn EBTANAS 989 Boot sol: Boot sol: Rngkumn. Bentuk umum integrl tk tentu f ( ) F() c dengn : Lmng integrl yng menytkn opersi ntiturunn f() : Fungsi integrn, yitu fungsi yng dicri ntiturunnny c : Konstnt. Rumus integrl tk tentu n n n kf ( ) k f( ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) r ( u ( )) u( ) ( u ( )) r udvuv vdu c, di mn c dlh konstnt, n cos sin c, di mn c dlh konstnt sin cos c, di mn c dlh konstnt tn c, di mn c dlh konstnt cos. Bentuk umum integrl tertentu r di mn f kontinu pd intervl,. Rumus-rumus integrl tertentu kf ( ) k f( ) c, di mn c dlh konstnt, n f( ) F() F() B Integrl

32 ( f( ) g( )) f( ) g ( ) ( f( ) g( )) f( ) g ( ) f( ) f( ) f( ) c f( ) f( ) f( ) f( ) c f( ) di mn f fungsi genp f( ) di mn f fungsi gnjil 5. Rumus lus derh (L) yng terletk. di ts sumu- L(R) f ( ). di wh sumu- L(S) f( ) c. di ts dn di wh sumu c L(T) f( ) f( ) d. di ntr du kurv L(U) f ( ) g( ) ( f ( ) g( )) 6. Volume end putr (V) yng diputr mengelilingi. sumu-. sumu-y V ( f( )) V ( f( y)) dy c. sumu- dn ditsi kurv f() dn g() V d. sumu-y dn ditsi kurv f(y) dn g(y) f g (( ( )) ( )) V (( ( )) ( )) f y g y dy Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm

33 Ulngn B I. Pilihlh jwn yng pling tept!. Nili dri ( 7) dlh.... A. D. 6 B. 6 E. C.. Jik f() ( 5) dn f() 5, mk f().... A. 5 5 B. 5 5 C. 5 5 D. 5 5 E Jik dn dlh.... A. D. 5 B. E. 6 C.. Jik p, mk nili ( ) p, mk nili p dlh.... A. D. B. E. C Nili dri sin cos A. B. C. dlh.... D. E. 6. Lus idng yng ditsi oleh grfik y 6 dn sumu- dlh.... A. 6 stun lus D. stun lus 6 B. 7 stun lus E. stun lus C. stun lus 8 7. Derh yng ditsi oleh kurv y 7 dn y 7 diputr mengelilingi sumu- sejuh 6. Volume end yng terjdi dlh.... A. 5 D. 5 B. 5 E. C Lus derh terts di wh ini dlh.... y A. B. C. 8 O 5 D. E. B Integrl

34 9. Pnjng usur kurv y dri smpi 8 dlh.... A. 8 D. 6 B. 8 E. C. 6. Lus derh yng ditsi oleh sumu-y, kurv y, dn kurv y 9 dlh.... A. D. 6 B. 6 E. 7 C. 5 II. Jwlh pertnyn erikut dengn jels dn tept!. Proporsi dri pekerj yng mendptkn uph ntr riu dn riu rupih/hri dlh 6 y dn ditsi sumu-. Terletk 6 di ntr dn yng ernili dn 6. Berpkh persentse pekerj yng mendptkn uph di wh Rp.5,?. Seuh end ergerk dengn lju v m/det. Pd st t detik posisi end erd pd jrk m dri titik sl. Tentuknlh posisi end segi fungsi wktu t!. Seuh ol ergulir pd seuh idng dtr dengn lju wl m/det. Akit gesekn dengn idng itu, ol menglmi perlmtn m/det. Jik pd st t posisi end erd pd s, erp juhkh jrk yng ditempuh ol dri wl smpi erhenti?. Ayu dn Bernrd erngkt dri tempt yng sm pd st t. Keceptn pd wktu t dlh v(t) dn jrk yng dijlni ntr t dn t dlh vt dt. Keceptn Ayu seperti kurv yng terliht pd gmr di wh ini. Jik sin 5 5. Berpkh jrk yng ditempuh merek msing-msing pd st keceptnny sm? O y tg 5. Sekelompok kteri dlm sutu lingkungn hidup tertentu erkemng ik sesui dengn perumusn d n,5 N. Jik jumlh d t kteri pd kedn wl dlh, hitunglh jumlh kteri setelh t detik, t detik, t 8 detik, t detik! (Petunjuk: Nytkn hsil perhitungn dlm e, ) Mtemtik Apliksi SMA dn MA Kels XII Progrm Studi Ilmu Alm