Vektor basis Vektor satuan i = 1,0,0, j = 0,1,0, dan k = 0,0,1 sebagai pembentuk ruang dinamakan vektor basis untuk ruang 3.

Transkripsi

1 Koko Mrtono FMIPA - ITB 57 Vektor Vektor dlh rs gris errh ng ditentkn oleh pnjng dn rhn. D ektor diktkn sm jik pnjng dn rhn sm. Vektor digmrkn segi rs gris dri titik pngkl ke titik jng dengn tnd pnh dijng, dn dieri lmng hrf kecil cetk tel. Pnjng ektor Pnjng ektor dlh jrk dri titik pngkl ke titik jngn, dn ditlis. Vektor stn Vektor stn dlh ektor ng pnjngn stn. Untk serng ektor diperoleh ektor stn ng pnjngn. titik jng titik pngkl k z = (,, ) j i (,,) = i+ j + k = + + = Vektor posisi Jik titik pngkl ektor dlh (,,) dn titik jngn (,, ), mk dinmkn ektor posisi, dn ditlis =,,. Pnjng ektor =,, = + +. Vektor sis Vektor stn i =,,, j =,,, dn k =,, segi pementk rng dinmkn ektor sis ntk rng. Vektor dpt dintkn segi = i+ j+ k.

2 V & FsPr 58 Vektor di idng Vektor posisi di idng dlh =,, ektor dengn titik pngkl (,) dn titik jng (, ). Pnjng ektor ini dlh = +. Bsis k di idng terdiri dri ektor stn i =, dn j =,. Vektor =, di idng ditlis = i + j. Vektor nol Vektor nol dlh ektor dengn titik pngkl erimpit dengn titik jng, rhn serng. Vektor nol di dlh =,,. Kesmn d ektor posisi Vektor =,, = i + j + k dn =,, = i + j + k sm, ditlis = =, =, =. Vektor dri rs gris Jik P dn Q dlh titik di idng (rng), mk ektor dengn titik pngkl P dn titik jng Q ditlis PQ. Jik titik pngkln Q dn titik jngn P, mk diperoleh ektor QP. Penjmlhn ektor Pengrngn ektor + + Perklin ektor dengn sklr Penjmlhn ektor Untk ektor dn dengn titik jng titik pngkl, jmlh dn (ditlis + ) dlh ektor dri titik pngkl ke titik jng. Jmlh dri ektor =,, dn =,, dlh + = +, +, +. Perklin ektor dengn sklr Hsilkli ektor dengn sklr c (ditlis c) dlh ektor ng serh jik c >, erlwnn rh dengn jik c >, dn ektor nol jik c =. Hsil kli sklr dri =,, dengn sklr c dlh c = c,c,c dn pnjngn c. Pengrngn ektor Selisih dri ektor dn (ditlis ) dlh ektor + ( ). Selisih dri ektor =,, dn =,, dlh =,,.

3 V & FsPr 59 A Sift Vektor Untk serng ektor,, w dn sklr, erlk: + = + + ( ) = ( + ) = + ( + ) + w = + ( + w) () = () = + = + = ( + ) = + =. Contoh D Q E B P C Pd gmr diperlihtkn jjrgenjng ABCD dengn digonl AC dn BD ng erpotongn di E, P titik-tengh BC, dn Q titik-tengh ED. Jik AB = dn AD =, ntkn rs gris errh AP, AQ, dn CQ dlm ektor dn. Dri sift jjrgenjng diperoleh DC = AB =, BC = AD =, CD = BA=-, dn CB = DA=-. Kren P titik-tengh BC, mk AP = AB + BP = + BC = +. Kren Q titik- tengh ED dn E titik potong digonl AC dn BD, mk BQ = 4 BD, sehingg AQ = AB + BQ = + BD = + BA+ AD = + ( - + ) = +. 4 ( ) Dengn rgmentsi ng sm diperoleh CQ = CB + BQ =- + BD =- + BA+ AD =- + ( - + ) =--. ( ) Contoh Jik =,,), =,,), w =,,), dn =,,4), tentkn konstnt,, dn c gr memenhi = + + cw. Dri = + + cw diperoleh,,4 =,, +,, + c,,, t,,4 = + + c, + c,c Berdsrkn kesmn d ektor diperoleh + + c =, + c =, dn c = 4. Akitn = c = 4 = 7, dn = c = ( 7) 4 = 5. Jdi konstnt,, dn c ng memenhi = + + cw dlh = 5, = 7, dn c = 4.

4 V & FsPr 6 Contoh Jik = 8,, 4 dn = 6,,, tentkn pnjng ektor,, dn. Pnjng ektor dlh = (- 4) = 8= 9. Pnjng ektor dlh = + (- ) + (- 6) = 49 = 7. Kren = 8,, 4 6,, = 8,, 4, 4, 6 = 4, 5,, mk pnjng ektor dlh - = (- 4) = 45 = w Contoh Pd gmr diperlihtkn seh end dengn ert newton ng digntng d kwt ersdt 6 dn 45 dengn horisontl. Jik sem g terletk di dlm st idng dn end dlm kedn setimng, tentkn esrn g tegngn pd setip kwt. Mislkn g tegngn pd kwt kiri dlh ektor, pd kwt knn dlh ektor, dn g ert end dlh ektor w. Urikn g tegngn dn ts komponen horisontl dn ertikl. Dlm kedn setimng esrn g horisontl ke rh kiri dn knn hrs sm, kitn cos6 = cos45. Dri sini diperoleh =, sehingg =. Dlm kedn setimng esrn g horisontl ke rh ts dn wh hrs sm, kitn sin 6 + sin 45 = w =. Selesikn persmn ini dengn dt sol dn =, diperoleh dn =, ( ) = = = 6 - ª,5 Newton. ( ) ( ) = = 6 - = - ª 46,4 Newton.

5 V & FsPr 6 Perklin titik Hsilkli titik dri ektor dn, ditlis i, didefinisikn segi erikt. Untk ektor di idng: i =, Ò i, Ò= +. Untk ektor di rng : i =,, Ò i,, Ò= + +. Sift Perklin titik Untk ektor,, w dn sklr c erlk i = i i( + w) = i+ i w c( i ) = ( c) i = i i =, i > π, i = = Kitn hsilkli titik dengn sdt ntr d ektorn Jik, dn θ = sdt terkecil dri dn, mk i = cos q. Kriteri d ektor sling tegk lrs ^ = (D ektor sling tegk lrs jik dn hn jik hsilkli titikn nol) D ektor ng sling tegk lrs dinmkn ortogonl. i. Bkti dri sift i = cos q. Rms kosins dri segitig pd gmr memerikn - = + - cos q. θ Dri sift perklin titik diperoleh - = ( -) i( - ) = i( -) -i( -) = i - i - i + i = + - i Smkn ked entk dri - ini, diperoleh i = cos q. Contoh Tentkn sdt ntr ektor = 8,4, dn = 4, 4,. Jik, dn θ = sdt terkecil dri dn, mk cosq = i. Untk sol ini, = (- ) = 8= 9, = 4 + (- 4) + (- ) = 6 = 6, 8 96 dn i = 8(4) + 4( - 4) + (-)( - ) = 8, sehingg cosq = =. Akitn sdt ntr ektor dn dlh q = cos ª 7. Ilstrsi Vektor = 8,, 4 dn =, 4, sling tegk lrs kren = 8, -, -4Ò, -4,Ò= = i i. -

6 V & FsPr 6 Contoh Tentkn sem ektor stn ng tegk lrs =,6,4 dn =,,. Mislkn w =,,c dlh st ektor ng tegk lrs dn, mk,,c,6,4 = dn,,c,, =. Dri sini diperoleh persmn c = dn + + c =. Selisih d persmn ini memerikn 4+ c =, sehingg c =- dn =-- c =- + 4 =. Jdi w =,,c =,, =,, dn w = ( ) =, sehingg sem ektor stn ng tegk lrs dn dlh Sdt rh dn kosins rh i z k γ α β j i i i cos = = w,, -Ò s = = = ±,, - Ò. w Sdt tk negtif terkecil ntr ektor rng dengn ektor sis i, j, k dinmkn sdt rh dri, dintkn dengn α, β, dn γ ; di sini α = (,i), β = (,j), dn γ = (,j). Dlm kitn ini, cos α, cos β, dn cos γ dinmkn kosins rh dri. Jik = i+ j+ k, mk j j i, cos = =, dn cosg = = k i k Cttn Kren cos + cos + cos g = + + =, mk ektor (cos α, cos β, cos γ ) pnjngn st stn dn serh dengn. Contoh Tentkn sdt rh ektor =,, 6. Kren = = 7, mk cos = 7, cos = 7, dn cosg =- 6 7, sehingg sdt rh dri ektor =,, 6 dlh α 7,4, β 64,6 dn γ 49.

7 V & FsPr 6 i Vektor Proeksi Proeksi ektor pd dlh ektor pr = dn pr dinmkn proeksi sklr dri pd. θ pr = cos θ pr = cos θ θ q p = (proeksi pd ) = k, k > = cos θ = k = cos θ = k k = i i pr k \ = = = p < q p = (proeksi pd ) = k, k > = cos θ = k = cos θ = k k =- i i pr k \ = = - = Contoh Jik =,, dn =,,, tentkn pr dn pr. Untk contoh ini, = 6, =, dn i = i =, sehingg i 6 pr = =,, Ò=,, tli 5 i dn pr = =,, - Ò=,,- Contoh Jik sdt ntr tnjkn jln dn horisontl dlh 5, tentkn g tegngn tli gr dpt menhn moil seert ton dlm kedn setimng.. T tn 5 5 W = ton Btlh sistem koordint o dengn titik sl segi titik pst mss moil. Dlm sistem koordint ini, W =, dn T =, tn 5, >. G tegngn tli ntk menhn moil dlm kedn setimng dlh pnjng proeksi dri w pd T, it TW i TW i tn5 T T T + tn 5 pr W = = = ª,845 ton. T Cr lin pr T W = W sin 5 =,466=,845 ton.

8 V & FsPr 64 Contoh Jik g + + c =, dn tk sem, tnjkkn ektor + + c, tegk lrs gris g dn jrk A(, ) ke g dlh d =. Untk dn tk sem, terdpt tig kss ng mngkin terjdi c = dn : g + c = g =- g // s-, g. dn = : g + c = c ( ) c + g =- g // s-, g. c ( ) c c Ò dn : -, Œ g dn, - Œ g,- Œg c c c c,- Òi, Ò=,- ^, Ò A(, ) d (, ) pr n n Ò, g. Mislkn (, ) g dn n =, dlh ektor ng tegk lrs gris g + + c =. Btlh ektor dri (, ) ke (, ), mk =,. Kren (, ) g, mk + + c =, sehingg + = c. Dengn menggnkn proeksi ektor diperoleh n n i i i, Ò A g n n n n, Ò ) d= jrk (, ) = pr = = = -, - Ò ( ) ( ( ) c = = = Perklin silng Hsilkli silng dri ektor rng =,, dn =,,, ditlis, didefinisikn segi ektor rng = -, -, -Ò; t i j k i j k (entk determinn) = = - + Sift perklin silng Jik dn ektor rng, mk dn ( ( ) = = ( )),, dn mementk sistem tngn-knn = sin (,) // = (,)

9 V & FsPr 65 Ilstrsi Jik =,6,4 dn =,,, mk i j k = 6 4 = i 4 4 4,, 4 - j + k = i + j - k = - Ò. τ w w O P θ F θ w sinθ cosγ Torsi Pd gmr kiri diperlihtkn seh end dengn titik tetp O dn P titik lin pd end. Di P ekerj g F ng memtr end terhdp sm ng melli O dn tegk lrs idng (OP,F). Vektor t = OP F dinmkn torsi, ng serh dengn sm ptr dn esrn OP F sin q, q = ( OP, F). Arti geometri perklin silng Pd gmr tengh diperlihtkn seh jjrgenjng ng dientk oleh ektor dn w dengn θ = (,w). Als dn tinggi jjr genjng ini dlh dn w sin θ, sehingg lsn dlh L = w sin θ = w. (sift perklin silng) Perklin tripel sklr Perklin tripel sklr dri ektor,, dn w didefinisikn segi sklr ( w). Jik =,,, =,,, dn w = w,w,w, mk Ê ˆ i( w) =,, ÒiÁ,-, Ë w w w w w w = - + =. w w w w w w w w w Arti geometri Perklin tripel sklr Pd gmr knn diperlihtkn seh prlel epipedm ng dientk ektor,, dn w. Ls lsn dlh w dn tinggin dlh cos γ, dengn γ = (, w). Volme prlel epipedm ini dlh V = w cos γ = w cos γ = ( w). γ γ w

10 V & FsPr 66 n Q(,,z) Q P(,,z ) PQ = -, -, z-z Ò Persmn krtesis idng di rng Pd gmr diperlihtkn idng α ng tegk lrs ektor tknol n =,,c dn melli titik P(,,z ). Jik titik Q(,,z) pd α, mk ektor PQ= -, -, z-zò terletk pd α. Kren PQ ^ n, mk PQ in =, kitn α : ( ) + ( ) + c (z z ) =. Persmn ini dpt ditlis dlm entk + + cz = + + cz = k, k konstnt. Jdi persmn idng α dlh α : + + cz = d;,, dn c tk sem nol. Jrk titik ke idng Jrk titik A(,,z ) ke α : + + cz = d dlh + + cz-d d =. + + c Contoh Tentkn persmn idng α ng melli titik A(,, ), B(,,), dn C(,,). n Vektor ng terletk pd idng α dlh AB = (,,) -(,-,- ) = -,, 4Ò AC =- (,,) -(,-,- ) = -4,5, Ò Kren ektor norml idng n memenhi n ^ AB dn n ^ AC, mk i j k n = AB AC = - 4 = -4,-4,7Ò= - 7,, -Ò Amillh n =,,, mk α : + z = k, k dicri. Kren α melli A(,, ), mk k = =. Jdi α : + z =. Contoh Jik α : + z = dn β : + + z = 6, tentkn (α,β ). α α Sdt ntr d idng dlh sdt ntr d ektor normln. Di sini n =,, - Ò, n =,,Ò dengn n =, n =, dn n i n. Kren P A C B n in n n n 9 cos ( n, ) = = = =, mk ( n, n ) ª 77,.

11 V & FsPr 67 Tmpiln prmeter kr idng St kr idng dpt ditliskn dlm persmn prmeter = (t), = (t), t I, ked fngsi ini kontin pd st selng I. Cr penlisn linn dlh entk ektor r(t) = (t) i + (t) j, t I = [,]. Kr ttp dn kr sederhn Pd persmn prmeter = (t), = (t), t [,], titik jng kr dlh P((), ()) dn titik pngkl kr dlh Q( (), ()). St kr dengn titik pngkl dn titik jng erimpit dinmkn kr ttp. St kr ng dijlni tept st kli (kecli titik pngkl dn titik jngn) dinmkn kr sederhn. Contoh Tentkn persmn prmeter ntk lingkrn L: + =. + = (,) t = cos t L = sin t Lintsn ttp sederhn Persmn prmeter L dlh = cos t, = sin t, t π, t r(t) = cos t i + sin t j, t π. Titik pngkl L r() = (,) dn titik jng L r(π) = (,), sehingg L dlh lintsn ttp. Kren L dijlni tept st kli kecli titik (,), mk L dlh lintsn ttp sederhn. Dri = cos t dn = sin t diperoleh persmn lingkrn + =. Lintsn tidk ttp dn tidk sederhn Q Lintsn tidk ttp dn sederhn Q Lintsn ttp dn tidk sederhn Lintsn ttp dn sederhn P P Kr idng Persmn krtesis Persmn prmeter Elips Hiperol + = = cos t, = sin t, t π - =, > = sec t, = tn t, - p < t < p = cosh t, = sinh t, < t <

12 V & FsPr 68 Keterdiferensiln fngsi prmeter Jik = (t), = (t), t I mempni trnn pertm ng kontin dn (t) pd selng k I, mk dlh fngsi terdiferensilkn terhdp dengn d d d/ dt d/ dt =. Ilstrsi Pd fngsi prmeter = cos t, = sin t, t π ntk lingkrn L: + = diperoleh dlh fngsi dri dengn trnn d d/ dt cost d d/ dt -sint = = = -. P R t C sikloid M N π π Sikloid Sikloid dlh kr idng ng merpkn jejk titik pd rod lingkrn ng digelindingkn sepnjng gris lrs tnp tergelincir. Gmr ini dlh rod lingkrn erpst di C dn erjri-jri digelindingkn sepnjng sm- dengn jejk titik P mli dri (,). Pilih prmeter t sdt serh jrm jm ntr CP dengn posisi ertikln st P di titik O. Kren ON = PN = t, mk dn dlh = OM = ON MN = t sin t = (t sin t) = MP = NR = NC + CR = + ( cos t) = ( cos t) Persmn prmeter sikloid dlh = (t sin t), = ( cos t), t >. Trnn terhdp dlh d d/ dt sint ± - d d/ dt (- cos t) ( ) = = =, kren cos t = - fi sin t =± - cos t =± - - =± -. Dri sini diperoleh, titik minimmn tercpi di = k π dn titik mksimmn tercpi di = π + k π, k ilngn lt. Ls derh di wh st sr sikloid dn di ts sm- dlh p p p ( cos ) ( ( sin )) ( cos ) p p Ú ( cos ( ) cos ) sin 4 sin Ú Ú Ú L = d = - t d t- t = - t dt = - t+ + t dt = t- t+ t = p.

13 V & FsPr 69 Fngsi Prmeter di Bidng dn Rng Fngsi prmeter di idng dlh r() t = () t i+ (), t j t dn di rng dlh r() t = () t i+ () t j+ z() t k, t. Fngsi prmeter ini ernili ektor dengn peh sklr. Fngsi ini memt informsi titik pngkl, titik jng, rh, dn erp kli kr dijlni; rhn terlik jik t dignti dengn ( t). (kektn) St kr dpt ditlis segi fngsi prmeter dengn leih dri st cr, trnn tidk tnggl. (kelemhn) t Fngsi Prmeter di Bidng t = α t = β j t = α ttkpkl r(t) r = r(t) t =β ttkjng i r() t = () t i+ (), t j t = (t), = (t) fngsi rel Fngsi Prmeter di Rng z t =α t = α ttkpkl r = r(t) t k t = β r(t) ttkjng t = β i j r() t = () t i+ () t j+ z() t k, t = (t), = (t), z = z(t) fngsi rel q (p,q) p i + q j L p L L : r() t = costi+ sin tj, t p fi + = L : s () t = ( cos t+ p ) i+ ( sin t+ q ) j, t p fi ( - p) + ( -q) = t = z = () t = cost = () t = sint tng + = heliks lingkrn r() t = costi+ sintj + tk tœ, t - < t< Lintsn spirl melilit tng } fi + = r() t = costi+ sin tj+ t k,- < t< tng lingkrn z

14 V & FsPr 7 Contoh Tentkn persmn prmeter dri = 4 -, 4, rh, titik pngkl, titik jng, gmrkn kr, dn rh terlik dri kr. 4 t = = 4 t = t = 4 titik titik 4 pngkl jng Persmn prmeter: r() t = t i+ (4 t - t ) j, t 4. rh: dri titik pngkl (,) ke titik jng (4,) t = t = 4 Jik rh kr dilik, trn fngsin: s() t =- t i+ (-4 t -t ) j,- 4 t. titik pngkl: r( 4) = 4 i + j = (4,) titik jng: r() = i + j = (,) Contoh Tentkn persmn prmeter dn persmn krtesis gris di rng dengn ektor rh dn ektor penngg. z Persmn prmeter: = (t) = + t,, tœ. Jik = (,,), z = (,, ), dn = (,, ), m- (,,) z = (,, ) + t (,, ). Smkn kompo- k nenn, diperoleh (,,) z = ( + t, + t, + t). Eliminsi t dri = + t, = + t, dn z= + t, - - z- diperoleh = =,,, π. Contoh Tentkn persmn kr ng merpkn perpotongn dri tng lingkrn + = dengn idng z = kemdin gmrkn. (,4) r = r(t) z tng + = idng z = Kren persmn kr hrs memenhi + =, mk = cos t, = sin t, >. Kren persmn kr hrs memenhi z =, mk millh z = sin t, >. Persmn prmeter dri kr dlh r(t) = cos t i + sin t j + sin t k, t π. Bentk kr dlh elips ng dijlni st kli dengn sm pnjng dn sm pendek.

15 V & FsPr 7 Limit fngsi prmeter Untk fngsi prmeter r = r(t), α t β dn α t β, lim r( t) = L jik " e> $ d > ' < t- t < d fi r( t) - L < e. tæ t (r(t) dpt dit serng dekt ke L dengn cr memt t ckp dekt ke t tetpi t t ) Kekontinn fngsi prmeter Fngsi prmeter r = r(t) kontin di t, α t β, jik lim r( t) = r ( t ) dn kontin pd st selng jik fngsi tæ t r = r(t) kontin di setip titik pd selng it. Sift limit dn kekontinn fngsi prmeter Untk fngsi prmeter r = r(t) = (t) i + (t) j + z(t) k, α t β, α t β, dn L = (,, ), lim r( t) = L lim ( t) =, lim ( t) =, dn lim z( t) =, tæt tæt tæt tæt r = r(t) kontin di t = (t), = (t), dn z = z(t) kontin di t. Trnn fngsi prmeter Trnn fngsi prmeter z C : r = r(t) r(t ) gris singgng r(t + h) r(t ) r(t + h) gris singgng: s(t) = r(t ) + t r (t ) r = r(t) = (t) i + (t) j + z(t) k, α t β di t (α,β ), ditlis r (t ), didefinisikn segi r( t+ h) -r( t) r ( t ) = lim. h Æ Trnn fngsin di t [α,β ], didefinisikn segi r( t+ h) -r( t) r () t = lim h Æ h h Arti geometri r (t ) ektor singgng di r (t ) pd kr C: r = r(t), persmn gris singgng di r (t ) pd kr C dlh s(t) = r(t ) + t r (t ). Arti fisis r (t ) ektor keceptn di r (t ) pd gerk prtikel sepnjng kr C: r = r(t). Sift trnn fngsi prmeter Trnn dri fngsi prmeter r = r(t) = (t) i + (t) j + z(t) k, α t β dlh r () t = () t i+ () t j+ z () t k. Jik fngsi r = r(t) dn s = s(t) terdiferensilkn di t [α,β ], mk (r + s) (t) = r (t) + s (t) (r s) (t) = r(t) s (t) + r (t) s(t) (r s) (t) = r (t) s (t) (r s) (t) = r(t) s (t) + r (t) s(t) ( di )

16 V & FsPr 7 Gerkn prtikel sepnjng kr Jik st prtikel ergerk sepnjng kr rng C: r = r(t), mk ntk setip st t [α,β ] erlk: Vektor posisi: r = r(t). Vektor keceptn: = (t) = r (t); lj: = (t) = (t). Vektor perceptn: = (t) = (t) = r (t); perceptn: = (t) = (t). Integrl fngsi prmeter Integrl tk-tent dri fngsi r = r(t) pd selng I didefinisikn segi nti diferensiln, r() t dt = s() t + C s (t) = r(t) t I. Ú Integrl tent dri fngsi r = r(t), α t β didefinisikn segi limit jmlh Riemnn, Ú Â r () tdt = lim r ( c) D t, P st prtisi ntk P Æ k = [α,β ], t k = t k t k, c k [t k, t k ], dn P = mks { t k : k n}. Sift integrl fngsi prmeter Jik r(t) = (t) i + (t) j + z(t) k, α t β, Ú Ú Ú Ú Ú = Ú + Ú + Ú mk () tdt= ( tdt () ) + ( tdt () ) + ( ztdt () ) r i j k r() tdt Ê tdt () ˆ i Ê tdt () ˆ j Ê ztdt () ˆ k Ë Ë Ë C: r = r(t), α β i i = f () i i i i i n k k Pnjng sr kr Untk kr C: = f (),, f kontin pd [,], i = sr ke-i tlisr ke-i ( D ) D i i i i i i L = Ú + ( f ( ) ) d D ª D +D = + D. Pnjng sr: Untk kr C: r(t) = (t) i + (t) j dengn r (t) = (t) i + (t) j kontin pd [α,β ] dn r () t = ( () t ) + ( () t ) i i i i i i = ( ) + ( ) = ke-i diperoleh ( ) ( ) Di Di Dt Dt Pnjng sr: D ª D +D = + D t., dri i = sr ke-i tlisr Ú Ú r. L () t () t dt () t dt Rms L= Ú r ( t) dt erlk ntk ntk kr rng r = r(t), α t β.

17 Kren Contoh Hitnglh tæ tæ sin t cos t tæ t tæ V & FsPr 7 ln ( + t) /( + t) t lim = lim =, lim = lim =, mk ln ( + t) - e sin lim ( t t i+ j+ k ) t Æ t t t t Æ -e -et tæ t tæ lim = lim = -, dn lim r( t) = (, -, ) = i- j+ k. Contoh Tentkn persmn krtesis gris singgng di titik A(,,π) pd kr C: r(t) = cos t i + sin t j + t k, tœ. Titik A(,,π) terletk pd C kren r(π) = i + j + π k = (,,π). Trnn fngsi r = r(t) dlh r (t) = sin t i + cos t j + k, sehingg ektor singgngn dlh r (π) = i j + k = (,,). Kren titik A tercpi pd st t = π, mk persmn gris singgng di A pd kr C dlh s(t) = r(π) + t r (π) = (,,π) + t(,,). Untk menentkn persmn krtesisn, mislkn s(t) = (,,z), mk =, = t, dn z = π + t. Eliminsi t menghsilkn = z π. Jdi persmn krtesis gris singgngn dlh = dn = π z. Contoh St prtikel ergerk dengn r(t) = cos t i + sin t j + e t k, tœ. Tentkn sdt ntr ektor keceptn dn perceptnn pd st. Vektor keceptn prtikel (t) = r (t) = sin t i + cos t j + e t k, sehingg ektor keceptnn pd st t = () = (,,). Vektor perceptn prtikel (t) = r (t) = cos t i sin t j + e t k, sehingg ektor perceptnn pd st t = () = (,,). Gnkn () () = () () cos ((),()) dengn () () = (,,) (,,) =, () =, dn () =, diperoleh = cos ((),()), t cos ((),()) =. Jdi (ektor keceptn,ektor perceptn) di ((),()) = 6. Contoh Hitnglh pnjng sr (keliling) lingkrn erjri-jri >. Tlislh lingkrnn dlm entk C: r(t) = cos t i + sin t j, t π. p p Kren r (t) =, mk L = keliling C = r ( t) dt= dt= p. Ú Ú

18 V & FsPr 74 Contoh Jik r(t) = sin t i + sin t j + sin t k, hitnglh Ú r () tdt dn ( ) ( ) ( ) Ú Ú Ú Ú r( t) dt = sint dt i+ sin t dt j+ sin t dt k cost ( t 4 sin t) ( cos t cost) p tdt t ( t t) ( t t) =- i+ - j+ - k + C ( ) p Ú r () tdt. p () =- cos sin + cos - cos = + p + Ú r i j k i j k. Contoh Hitnglh pnjng sr heliks lingkrn C: r(t) = cos t i + sin t j + t k, t π. Kren r (t) = sin t i + cos t j + k, dengn r (t) = pnjng sr C dlh Contoh lintsn θ pelr Ú p p Ú, + mk L= r ( t) dt= + dt= p +. Setir pelr ditemkkn dri titik sl O dengn lj wl m/det dn (pelr,s- positif) = θ. Jik gesekn dr diikn, tentkn ektor posisi ntk gerkn pelr ini dn tnjkkn lintsn pelrn erentk prol. Perceptn ng terkit dengn g gritsi dlh (t) = 9,8 j m/det dengn kondisi wln r() = dn () = cosθ i + sinθ j. Tentkn r = r(t) dengn mengintegrlknn d kli. Ú Dri (t) = 9,8 j diperoleh () t = () t dt = (- 9,8) j dt = - 9,8t j + C dengn C ditentkn dri () = cosθ i + sinθ j. Kren () = C, mk C= cosqi+ sinqj, sehingg () t = ( cos q) i+ ( sinq-9,8) t j. Dri sini diperoleh Ú Ú q ( q ) r() t = () t dt = ( cos ) ti+ ( sin ) t- 4,9t j+ C dengn C ditentkn dri r() =. Kren r() =, mk C =. Jdi ektor posisin dlh r() t = ( cos q) ti+ (( sin q) t-4,9t ) j. Dri ektor posisi ini diperoleh = ( cosθ )t dn = ( sinθ )t 4,9t. Kren t cos q =, mk ( sin q) 4,9 4,9 (tn q) cosq cos q cos q = - = -. sehingg fngsi kdrt dlm dn lintsn pelrn dlh prol.

19 SOAL LATIHAN MA KALKULUS A Pokok Bhsn: Vektor dn Fngsi Bernili Vektor 75 Sol ji konsep dengn enr slh, erikn rgmentsi ts jwn And. No. Perntn Jw. Vektor nol sell tegk lrs dn sejjr dengn serng ektor rng. B S. Untk ektor rng dn, jik // dn (,) = θ, θ π, mk θ =. B S. Untk ektor rng dn, jik = dn w =, mk sejjr dengn w. B S 4. Jik ektor rng, terletk pd idng α, mk n α = k ( ), k konstnt. B S 5. Untk ektor rng dn, jik (,) = θ, < q < p, mk = tn q. i B S 6. Untk serng sdt θ kr (t) = t cos θ dn (t) = t sin θ, t Œ dlh lingkrn. B S 7. Jik dlh ektor singgng pd kr = di titik (,), mk,. B S 8. Jik (t) (t) = t Œ, mk kr gerkn prtikeln dlh lingkrn. B S 9. Vektor perceptn pd gerkn sepnjng heliks lingkrn sell tegk lrs s-z. B S. Pd st gerkn prtikel, jik r(t) = konstn, mk r (t) = (ljn nol). B S ntkn rs gris AP, BP, dn CP d-. Jik P dlh titik ert ABC, AB =, lm dn. Kmpln Sol Vektor di Bidng dn Rng dn AC =,. Jik,, w mempni titik pngkl sm, (,) = (,w) = (,w) =, + + w =, dn = =, tentkn w.. Jik A(,), B(, ), dn C(5,), tentkn titik D sehingg ABCD erentk jjrgenjng kemdin tentkn ( AB, AD) dn ( DA, DC). 4. Jik =,,, =,,, dn w =,,, tentkn (,), (,w), dn (,w). 5. Jik =,k dn =,5, tentkn kontnt k gr () // dn (). 6. Tentkn konstnt k gr ektor = k,k, tegk lrs ektor = k,5,6. 7. Jik A(,,), B(4,,), dn C(8,, ), tnjkkn ABC sik-sik dn sdt mn ng Jik ektor dn memenhi = +, tentkn (,). 9. Jik = 4, = 5, dn (,) =, tentkn +.. Tentkn proeksi ektor = 4,, 4 pd ektor =,, dn pnjng proeksin.. Jik idng α ng melli (,, ) mempni ektor norml n =,,, tentkn persmn idng α. Kemdin, jik β : 4 + z =, tentkn sdt ntr idng α dn β.. Tentkn jrk dri titik A(,, ) ke idng α : + + 6z =.. Tentkn sem ektor ng tegk lrs pd ked ektor = i + j + k dn = i j + k. 4. Tentkn ls ABC ng titik sdtn A(,,), B(,4,6), dn (,,5). 5. Jik α : + z = 7 dn β : z =, tentkn persmn idng γ ng melli titik (,, ), γ tegk lrs α, dn γ tegk lrs β.

20 Kmpln Sol Fngsi Bernili Vektor Tentkn persmn krtesis dri = t, = t +, t dn gmrkn krn. 7. Tentkn persmn krtesis dri = 4 t, = t, t 4 dn gmrkn krn. 8. Tentkn persmn krtesis dri = cos t, = sin t, t dn gmrkn krn. 9. Tentkn persmn gris singgng pd kr = t, = t di t = dn gmrkn krn.. Tentkn trnn pertm dn ked dri = cos t, = + sin t, t nπ, n ilngn lt.. Tentkn st ektor singgng di titik (,) pd kr () = dn () = 4.. Tentkn ls derh di ntr kr = e t, = e t dri t = smpi t = ln 5.. Hitnglh pnjng sr kr = t, = t, t. tsint t+ sint ln ( + t) -cost tnt t - e 4. Jik r() t = i+ j+ k, tentkn r() gr fngsi ini kontin di. 5. Jik r(t) = e t i ln t j, tentkn trnn pertm dri fngsi f (t) = r(t) r (t). 6. Pd gerkn prtikel r(t) = cos t i + sin t j + e t k, t Œ, tentkn sdt ntr ektor keceptn dn ektor perceptnn pd st t =. 7. Jik persmn gerk st prtikel dlh r( t) = ( t - 6t+ 7) i+ ( t - 4) j+ ( t -) k dn () tegk lrs (), tentkn konstnt. 8. Jik st prtikel ergerk menelsri lingkrn + = 5 dri titik (5,) dengn lj sdt 6 rdin per detik, tentkn persmn gerk, ektor keceptn, lj, dn ektor perceptnn. -t t t t t 9. Hitnglh () ( te + te + te ) dt Ú i+ j+ k dt + t + t + t Ú i j k dn () ( ) 4. Hitnglh pnjng sr kr r(t) = cos t i + sin t j, t π. 4. Hitnglh pnjng sr kr r(t) = cos t i + sin t j + t k, t π. Knci Jwn. B. S. S 4. B 5. B 6. S 7. B 8. S 9. B. S. AP = +, BP =- +, CP = -. w =. ( AB, AD) = 67,6, ( DA, DC) =,4 4. (,) = (,w) = 9, (,w) = 5,6 5. () k = () 6 5 k =- 6. k = t k = 7. B ,4,, pr = 6. α : z = dn (α, β ) = 56,9.. c(7i + j k), cœ z = 5 6. = ( ), 7. = 4, 4, 8. = 8 ( ), 9. 8 = ( 4) gs 8 t = 4 4 d d. = cot t; = - csc t. (), () 6, r() = i + j k d d -t f () t =-e - 4t + 8t lnt 6. sdt ntr () dn () dlh 6 7. = t = 4 8. r(t) = 5cos 6t i + 5sin 6t j; (t) = sin 6t i + cos 6t j, (t) = ; (t) = 8cos 6t i + 8sin 6t j ( ) 9. ()( - e ) i+ j+ ( e + ) k ; () p i+ ln j+ ( - p) k p + 4p + ln + 4p + p 4 4 4

21