A. Pengertian Integral

Transkripsi

1 A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f () f () 7 f () f () f 5 () 99 Perhtikn hw fungsi-fungsi terseut memiliki entuk umum f() c, dengn c sutu konstnt. Setip fungsi ini memiliki turunn f () 9. Jdi, turunn fungsi f() c dlh f () 9. Sekrng, gimn jik klin hrus menentukn fungsi f() dri f () ng dikethui? Menentukn fungsi f() dri f (), errti menentukn ntiturunn dri f (). Sehingg, integrl merupkn ntiturunn (ntidiferensil) tu opersi invers terhdp diferensil. Jik F() dlh fungsi umum ng ersift F() f(), mk F() merupkn ntiturunn tu integrl dri f(). Pengintegrln fungsi f() terhdp dinotsikn segi erikut. f() F() c dengn: notsi integrl (ng diperkenlkn oleh Leiniz, seorng mtemtikwn Jermn) f() fungsi integrn F() fungsi integrl umum ng ersift F() f() c konstnt pengintegrln Sekrng, perhtikn turunn fungsi-fungsi erikut. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () c. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () c. g (), didpt g (). Jdi, jik g () mk g () g () c. g () 6 6, didpt g () 5. Jdi, jik g () 5 mk g () g () 6 6 c.

2 Dri urin ini, tmpk hw jik g () n n, mk g() c tu n n n dpt dituliskn c, n. n Segi contoh, turunn fungsi f() c dlh f () 9. Ini errti, ntiturunn dri f () 9 dlh f() c tu dituliskn f () c. Urin ini menggmrkn huungn erikut. Jik f () n, mk f() konstnt n n c, n dengn c sutu Contoh. Tentuknlh turunn dri setip fungsi erikut!. f() 5 c. f(). f() 5 d. f() Jw:. f () ( 5). f () ( ) ( ) ( ) 6 6 c. f () ( ) d. f (). Tentuknlh ntiturunn jik dikethui:. g () c. g (). g () 6 d. g () Jw:. g (). g () c. g () c 6 6 c 7 7 c c

3 d. g () c c c B. Integrl Tk Tentu Pd gin seelumn, klin telh mengethui hw integrl merupkn ntiturunn. Jdi, pil terdpt fungsi F() ng dpt didiferensilkn pd intervl, sedemikin hingg mk ntiturunn dri f() dlh F() c. Secr mtemtis, ditulis f ( ) F() c df ( ( )) f(), di mn Lmng integrl ng mentkn opersi ntiturunn f() Fungsi integrn, itu fungsi ng dicri ntiturunnn c Konstnt Segi contoh, dpt klin tuliskn c kren d c Sehingg klin dpt memndng integrl tk tentu segi wkil keseluruhn kelurg fungsi (stu ntiturunn untuk setip nili konstnt c). Pengertin terseut dpt digunkn untuk memuktikn teorem- teorem erikut ng kn memntu dlm pengerjn hitung integrl. Teorem Jik n ilngn rsionl dn n, mk c dlh konstnt. n n n c di mn Teorem Jik f fungsi ng terintegrlkn dn k sutu konstnt, mk kf ( ) k f( )

4 Teorem Jik f dn g fungsi-fungsi ng terintegrlkn, mk ( f ( ) g ( )) f ( ) g( ) Teorem Jik f dn g fungsi-fungsi ng terintegrlkn, mk ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Teorem 5 Aturn integrl sustitusi Jik u sutu fungsi ng dpt didiferensilkn dn r sutu ilngn r r rsionl tk nol, mk ( u ( )) u( ) ( u ( )) c, di mn c r dlh konstnt dn r. Teorem 6 Aturn integrl prsil Jik u dn v fungsi-fungsi ng dpt didiferensilkn, mk udvuv vdu Teorem 7 Aturn integrl trigonometri cos sin c sin cos c cos tn c di mn c dlh konstnt

5 Pemuktin Teorem Untuk memuktikn Teorem, klin dpt mendiferensilkn n c ng terdpt pd rus knn seperti erikut. d c n ( ) (n ) n... klikn kedu rus dengn n d n c n n d c n Sehingg n n n n n c n n Pemuktin Teorem dn Untuk memuktikn Teorem, klin dpt mendiferensilkn f ( ) g( ) ng terdpt pd rus knn seperti erikut. d d d f ( ) g( ) f ( ) g( ) f g d f ( ) g( ) f ( ) g( ) Sehingg didpt: ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Contoh Hitunglh integrl dri ( 7)! Jw: ( 7) 7 (Teorem,, dn ) 7 c (Teorem ) 7 c Jdi, ( 7) 7 c.

6 Pemuktin Teorem 6 Di kels XI, klin telh mengethui turunn hsil kli du fungsi d f() u() v() dlh uv ( ) ( ) u v v u Akn diuktikn turn integrl prsil dengn rumus terseut. Crn dlh dengn mengintegrlkn kedu rus persmn seperti erikut. d u v u v v u uv uv vu u v u v v u Kren v() dv dn u () du Mk persmn dpt ditulis udv uv vdu B.. Aturn Integrl Sustitusi Aturn integrl sustitusi seperti ng tertulis di Teorem 5. Aturn ini digunkn untuk memechkn mslh pengintegrln ng tidk dpt diselesikn dengn rumus-rumus dsr ng sudh dipeljri. Untuk leih jelsn, perhtikn contoh erikut ini. Contoh Hitunglh integrl dri:. 9. sin Jw:. Mislkn u 9, mk du du 9 9 u du u du u c u c u u c 9 9 c Jdi, c. c.

7 . Mislkn u du du, sehingg sin du sinudu cosuc cos c c. Mislkn u, mkdu du sehingg integrl terseut dpt ditulis segi erikut. du (Teorem 5) u ( ) u du u c u c Sustitusi u ke persmn u c u c ( ) c Jdi, ( ) ( ) c ( ) c. Pemuktin Teorem 7 Di Kels XI, klin telh mempeljri turunn fungsi trigonometri, itu d (sin ) cos, d (cos ) sin, dn d (tn ) sec. Berikut ini kn diuktikn turn integrl trigonometri menggunkn rumus terseut. Crn dlh dengn mengintegrlkn kedu rus seperti erikut. d Dri (sin ) cos diperoleh cos sin c d Dri (cos ) sin diperoleh sin cos c d Dri (tn ) sec diperoleh sec tn c

8 B.. Integrl dengn Bentuk,, dn Pengintegrln entuk-entuk,, dn dpt dilkukn dengn menggunkn sutisusi dengn sin t, tn t, sec t. Sehingg diperoleh entuk-entuk seperti ini. sin t sin t cos t cost tn t tn t sec t sec t sec t sec t Ingt cos ( ) sin ( ) c sin ( ) cos ( ) c sec ( ) tn ( ) c tn t tn t t t (i) (ii) (iii) t Gmr. Segitig siku-siku untuk integrl sustitusi trigonometri: (i) cost, (ii) sec t, (iii) tn t Contoh. Hitunglh setip integrl erikut!. sin () cos (). 9 Jw:. Untuk mengerjkn integrl ini, terleih dhulu klin hrus menguh sin ( ) cos ( ) ke dlm rumus trigonometri sudut rngkp, itu

9 sin cos sin. Dengn rumus ini, klin mendptkn: sin () cos () sin (6 ) sin (6 ) cos (6 ) c 6 cos (6 ) c Jdi, sin cos cos6 c. Mislkn, sin t, mk sin t dn cos t dt. Sekrng, perhtikn segitig erikut ini! Dri segitig di smping, Ingt Integrl entuk: diuh menjdi sin t diuh menjdi tn t diuh menjdi sec t cos t cos t 9 (sin t) cost sin t cos tdt ( cos t ) dt 9 ( cos ) t dt 9 t sin t c 9 t 9 sin t c 9 Ingt, rumus kosinus sudut rngkp cos t sin t t Jdi, 9 t 9 sin tcost c sin c 9 sin 9 c 9 sin 9 c 9

10 . Jik g () dn g(), tentuknlh g(). Jw: g() g'( ) ( ) c Kren g(), mk c dpt ditentukn segi erikut. g() c g() c 6 c c c c Jdi, g(). Tentukn persmn kurv ng mellui titik (, ) dn d memiliki persmn grdien gris singgung 6 5. Jw: d 6 5 (6 5) 5 c f() 5 c Kren kurv mellui titik (, ), mk: f() () 5() c c c c c c Jdi, persmn kurv terseut dlh f() 5. Ash Kompetensi. Hitunglh setip integrl erikut!. c. ( ). ( 5) d. (5 ). Jik g () 5 dn g() 6, tentuknlh g().. Tentuknlh persmn kurv ng mellui titik (, ) dn memiliki grdien gris singgung d.

11 Wktu : 9 menit ASAH KEMAMPUAN. Tentuknlh integrl erikut!.. c. d. i. (5 ) j. 8 (8 5 ) k l. e. 5 f. ( ) ( ) ( ) m. ( ) n. g. o. ( ) h. 9 ( 5). Tentuknlh setip integrl erikut!. (sin cos ). c. ( sin ) sin cos d. (sin cos ) e. sin 5sin f. sin cos8 6 cos sin 8 g. (8sin 9cos 6 sin 9sin ) h. i. 5 (sin )( cos ) ( ) sin ( ) cos( ) j. ( )sin. Tentuknlh fungsi g(t), jik dikethui:. g (t) 7 dn g(). g (t) t 8t dn g() 5 c. g (t) 6t t dn g() 5 d. g (t) t t dn g() e. g (t) t dn g() t f. g (t) t dn g() 8 g. g (t) t dn g( ) Boot sol: Boot sol: Boot sol: h. g (t) t dn g() 9 UMPTN 99

12 . Tentuknlh persmn kurv ng mellui titik (, 8) dn memiliki persmn grdien gris singgung d. 5. Tentuknlh persmn kurv ng mellui titik (, ) dn grdien gris singgung pd serng titikn dlh setengh koordint-. Boot sol: Boot sol: C. Integrl Tertentu C.. Memhmi Lus Segi Limit Sutu Jumlh Seelumn klin telh mempeljri grfik fungsi kudrt. Derh grfik fungsi kudrt erup gris lengkung. Berpkh lus derh ng ts-tsn erup gris lengkung ini? Untuk mengethui, lkuknlh ktivits erikut. A ktivits di K els. Gmrlh grfik fungsi kudrt, misln f() 9 pd intervl,.. Bgi selng menjdi n selng gin ng lern msing-msing, memki titiktitik n n n.. But persegi pnjng-persegi pnjng ng lsn dn tinggin f( i ). Tentukn pul lus setip persegi pnjng terseut!. Jumlhkn lus setip persegi pnjng terseut! 5. Dengn memilih sekecil-keciln hingg mendekti nol, hitunglh limit jumlh dri hsil pd lngkh. Hsil ng klin dptkn menunjukkn lus derh ng ditsi kurv f() 9, sumu-, gris, dn. 6. Butlh kesimpulnn dn diskusikn kesimpuln terseut dengn temn-temnmu! Dri Aktivits ini, klin memperoleh derh ng kn ditentukn lusn. Setelh memgi intervl, menjdi n selng gin ng lern msing-msing, klin memperoleh: n 9 f() 9 n 6 n 9 n O i i i n Gmr. Derh ng digi menjdi n selng gin

13 Lus setip persegi pnjng pd gmr terseut dlh: f ( i ) f 9 i n n n n n n i i 7 7 Lus seluruh persegi pnjng dlh segi erikut. L f( ) f( )... f( n ) (*) n n n n n n n n n n n 7 nnn n 6 n n n n Dengn memilih mk n, sehingg kn diperoleh lus derh ng ditsi kurv f() 9, sumu-, gris, dn segi erikut. 9 L(R) lim 8 8 n n n Sekrng, perhtikn kemli persmn erikut. L(R n ) f( ) f( ) f( n ) Dengn menggunkn notsi sigm, klin dpt menuliskn persmn terseut segi erikut. Jik, mk kn diperoleh LR ( ) f ( ) n n i LR ( ) lim f ( ) n n i Dengn mengmil ts derh dn, mk entuk di ts merupkn sutu entuk integrl tertentu ng dituliskn segi L f ( ) i i Sehingg diperoleh (9 ) Jik fungsi f terdefinisi pd intervl [, ], mk f ( ) dlh integrl tertentu terhdp fungsi f dri ke. Pengintegrlnn dituliskn segi erikut. ( ) f f FF dengn: f() fungsi integrn ts wh ts ts

14 Sehingg klin hrus dpt memedkn hw integrl tertentu f ( ) dlh ilngn, sedngkn integrl tk tentu ng dihs seelumn dlh fungsi. Ash Kompetensi Gmrlh derh dri integrl tertentu erikut. Kemudin, hitunglh integrl terseut! ( ) sin cos Sht Kit Sipkh orng ng pertm kli menemukn integrl tertentu? Di dlh George Friedrich Bernhrd Riemnn, seorng Mtemtikwn sl Jermn ng lhir pd thun 86. Riemnn menjelskn integrl tertentu dengn menggunkn lus derh ng dihitungn menggunkn poligon dlm dn poligon lur. Untuk mengenng jsn, integrl tertentu terseut dinmkn integrl Riemnn. Riemnn meninggl pd thun 866. Sumer: Clculus nd Geometr Anlitic Sumer: Gmr. Riemnn C.. Teorem Dsr Klkulus Berdsrkn definisi integrl tertentu, mk dpt diturunkn sutu teorem ng diseut dengn Teorem Dsr Klkulus. Jik f kontinu pd intervl, dn ndikn F semrng ntiturunn dri f pd intervl terseut, mk f( ) F() F(). Dlm pengerjn hitung integrl tertentu ini kn leih mudh jik klin menggunkn teorem-teorem erikut.

15 Teorem Kelinern Jik f dn g terintegrlkn pd intervl [, ] dn k sutu konstnt, mk. kf ( ) k f( ). ( f( ) g( )) f( ) g ( ) c. ( f( ) g( )) f( ) g ( ) Teorem Peruhn ts Jik f terintegrlkn pd intervl [, ] mk:. f( ). f( ) ( ) f Teorem Teorem penmhn intervl Jik f terintegrlkn pd sutu intervl ng memut tig titik,, dn c, mk c f( ) f( ) f( ) c Teorem Kesimetrin. Jik f fungsi genp, mk f( ). Jik f fungsi gnjil, mk f( ) f( )

16 Akn diuktikn teorem dn c, teorem, dn teorem. Pemuktin Teorem. Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk kf ( ) ( ) kf kf() kf() k(f() F()) k f( ) Jdi, kf ( ) k f ( ) Pemuktin Teorem dn c. Jik F() dn G() msing-msing semrng ntiturunn dri f() dn g(), mk ( ( ) ( )) f g F G ( ) ( ) (F() G()) (F() G()) (F() F()) (G() G()) f ( ) g( ). Jdi, ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Pemuktin Teorem. Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk f ( ) F F() F() (F() F()) f( ) Jdi, f( ) f( ).

17 Pemuktin Teorem Jik F() semrng ntiturunn dri f(), mk c f( ) [ F( )] c F(c) F() (F(c) F()) (F() F()) c f( ) f( ) c c c. Jdi, f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) Contoh. Hitunglh Jw: 6 (sin cos ) sin cos sin cos (Teorem ) cos sin 6 cos cos sin sin Jdi, 6 5 (sin cos ). 6. Tentukn. Jw: Oleh kren untuk f(), erlku f() f(), mk f() merupkn fungsi genp. Dengn menggunkn Teorem, kn diperoleh:

18 ( ) Jdi,.. Tentuknlh f( ) jik fungsi f didefinisikn segi, jik f(), jik Jw: f( ) Jdi, f( ) f( ) (Teorem ) ( ) 8 ( ) ( ) f( ) 8. Ash Kompetensi. Tentuknlh integrl tertentu erikut ini!.. c. 5 e. ( cos ) 7 6 f. 5 5 g. 5 (cos sin ) d. ( ) h. 6 cos( )

19 5. Dri fungsi f() erikut, hitunglh f( ), jik. f 6, jik 5. f c. f, jik, jik 5,jik 9,jik Wktu : 6 menit. Tentuknlh integrl tertentu erikut! t t dt e.. 6 ASAH KEMAMPUAN Boot sol: 8. 8 ( ) f. (sin cos ) c. ( ) g. cos d. dt h. ( t ) tn. Jik f( ) dn erikut!.. g ( ) f( ) d. ( f ( ) g ( )) e., hitunglh integrl-integrl ( g ( ) f( )) ( ( ) ) f Boot sol: c. ( f( ) g( ) )

20 . Dikethui f merupkn fungsi gnjil dn g merupkn fungsi genp dengn f( ) g( ). Tentuknlh integrl-integrl erikut!. f( ) Boot sol:. g ( ) c. f( ) D. Menentukn Lus Derh D.. Menentukn Lus Derh di Ats Sumu- Pd su c klin telh mengethui hw lus merupkn limit sutu jumlh, ng kemudin dpt dintkn segi integrl tertentu. Pd su ini, kn dikemngkn pemhmn untuk menentukn lus derh ng ditsi oleh eerp kurv. Mislkn R derh ng ditsi oleh kurv f(), sumu-, gris, dn gris, dengn f() pd [, ], mk lus derh R dlh segi erikut. L(R) f( ) = f() L(R) R O Gmr. Lus derh di ts sumu-

21 Contoh Tentuknlh lus derh ng ditsi oleh kurv f(), sumu-, gris, dn. Jw: Derh terseut dlh derh R. Lus derh R dlh: L(R) ( ) ( ) f() = = R O Jdi, lus derh R dlh stun lus. D.. Menentukn Lus Derh di Bwh Sumu- Misln S derh ng ditsi oleh kurv f(), sumu-, gris, dn gris, dengn f() pd [, ], seperti ng telh dihs di su D., mk lus derh S dlh L(S) f( ) O S = f() Gmr.5 Lus derh di wh sumu

22 Contoh Tentuknlh lus derh ng ditsi oleh gris, sumu-, gris, dn sumu-. Jw: = = O S Derh terseut dlh derh S. Lus Derh S dlh L(S) 8 (( ) ) 8 ( 8) 6 Jdi, lus derh ng dirsir dlh 6 stun. D.. Menentukn Lus Derh ng Terletk Ditsi Kurv f() dn sumu- Mislkn T derh ng ditsi oleh kurv f(), sumu-, gris, dn gris c, dengn f() pd [, ] dn f() pd [, c], mk lus derh T dlh L(T) f( ) f( ) Rumus ini didpt dengn memgi derh T menjdi T dn T msingmsing pd intervl [, ] dn [, c]. Klin dpt menentukn lus T segi lus drh ng terletk di ts sumu- dn lus T segi lus derh ng terletk di wh sumu-. c T f() O c T Gmr.6 Lus derh ng ditsi kurv = f() dn sumu-

23 Contoh Tentuknlh lus derh ng ditsi oleh kurv f() sin,, dn sumu-. Jw: f() Lus derh ng ditsi oleh kurv f() sin,, dn sumu dlh: L L(A ) L(A ) sin sin cos cos (cos cos ) (cos cos ) ( ()) ( ) Jdi, lus derh terseut dlh stun lus. O A A D.. Menentukn Lus Derh ng Terletk di Antr Du Kurv Lus derh U pd gmr di wh dlh L(U) Lus ABEF Lus ABCD D F A U E Gmr.7 Lus derh ng terletk di ntr du kurv C g() B f() ABEF dlh derh ng ditsi oleh kurv f(),,, dn sehingg Lus ABEF f( ) Adpun ABCD dlh derh ng ditsi oleh kurv g(),,, dn sehingg Lus ABEF g ( ) Dengn demikin, lus derh U dlh L(U) f( ) g( ) ( f( ) g( ))

24 Contoh Tentuknlh lus derh ng ditsi oleh kurv f(), gris, dn di ts gris. Jw: Lus derh ng dimksud dlh lus derh U. Tentuknlh ts-ts pengintegrln, itu sis titik potong ntr kurv f() dn gris di kudrn I. Sustitusi ke persmn sehingg didpt: tu Oleh kren derh U d di kudrn I, mk ts-ts pengintegrlnn dlh smpi. Dengn demikin, lus derh U dlh segi erikut. L(U) ( ) ( ) Jdi, lus derh U dlh stun lus. U O f() ASAH KEMAMPUAN Wktu : 6 menit. Gmrlh derh ng ditsi oleh kurv-kurv erikut. Kemudin, tentukn lus derh terseut!. f() dn sumu-.. g(), sumu-, dn gris c. h(), sumu-,, dn sumu simetri prol d. i(), g(), dn 5 e. j() dn sumu gris f. k() sin dn g() cos, untuk contoh Boot sol: 6

25 . Sutu derh ng ditsi oleh kurv f() 8 dn sumu- digi menjdi du gin oleh sumu-. Tentukn perndingn lus gin msing-msing!. Tentukn lus persegi pnjng teresr ng dpt diut dlm derh ng ditsi kurv dn gris. Olimpide Mtemtik SMU, Boot sol: Boot sol: Titik (, ) dn (, ) dengn dn ilngn rel positif merupkn du titik pd prol f(). Jik kedu titik terseut dengn titik (, ) dn (, ) mementuk trpesium, tentuknlh lus teresr trpesium terseut! Sumer : Olimpide Mtemtik SMU, E. Menentukn Volume Bend Putr E.. Menentukn Volume Bend Putr ng Diputr Mengelilingi Sumu- Secr umum, volume dintkn segi lus ls dikli tinggi. Secr mtemtis, ditulis V A. h Kemudin, perhtikn seuh end ng ersift hw penmpngpenmpng tegk lurusn pd sutu gris tertentu memiliki lus tertentu. Misln, gris terseut dlh sumu- dn ndikn lus penmpng di dlh A() dengn. Bgi selng [, ] dengn titik-titik gi... n. Mellui titik-titik ini, lus idng tegk lurus pd sumu-, sehingg diperoleh pemotongn end menjdi lempengn ng tipis-tipis. Volume sutu lempengn ini dpt dinggp segi volume tung, itu Vi A( ) i dengn i i i. Dengn jumlh ng klin dptkn V A( ), kemudin kn menjdi V A( ). A() dlh lus ls end putr, oleh kren ls end putr ini erup lingkrn, mk A() r jri-jri ng dimksud merupkn seuh fungsi dlm i misln f(). Dengn demikin volume end putr dpt dintkn segi ( ) V f. n t i i

26 Mislkn R derh ng ditsi oleh grfik fungsi f(), sumu-, gris, gris, dengn, mk volume end putr ng diperoleh dengn memutr derh R mengelilingi sumu- dlh f() V ( f( )) O R E.. Menentukn Volume Bend Putr ng Diputr Mengelilingi Sumu- Mislkn S derh ng ditsi oleh grfik fungsi f(), sumu-, gris, gris, dengn, mk volume end putr ng diperoleh dengn memutr derh S mengelilingi sumu- dlh V. V ( f( )) d Gmr.8 Volume end putr ng mengelilingi sumu- f() Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh ng ditsi oleh grfik f(), sumu-, dn sumu- diputr 6 terhdp:. sumu-. sumu- Jw: O f() = R O Gmr.9 Volume end putr ng mengelilingi sumu-. Volumen dlh: V ( ) (6 8 ) Jdi, volume end putr ng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu- dlh 56 stun volume. 5. Untuk menentukn volume end putr ng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu-, klin hrus ntkn persmn kurv f() menjdi persmn dlm vriel. Volume end putr terseut dlh

27 V ( ) d (6 8) 8 Jdi, volume end putr ng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumu- dlh 8 stun volume. E.. Menentukn Volume Bend Putr ng Ditsi Kurv f() dn g() jik Diputr Mengelilingi Sumu- Derh ng ditsi oleh kurv f() dn g() dengn f g pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu- seperti ng telh dijelskn di su E., mk volume end putr ng diperoleh dlh segi erikut. V(T) ( ) ( ) f g f() T g() O Gmr. Volume end putr ng ditsi kurv f() dn g() jik diputr mengelilingi sumu- Contoh Tentuknlh volume end putr, jik derh ng ditsi oleh grfik f(), sumu-, gris, dn diputr 6 mengelilingi sumu- Jw: Kren derh ng dimksud d di wh sumu-, mk volume n dlh V (( ) ( ) ))

28 ( ) O 8 S 8 6 Jdi, volume end putr ng terjdi jik derh S diputr mengelilingi sumu- dlh 6 stun volume. f( ) E.. Menentukn Volume Bend Putr ng Ditsi Kurv f() dn g() jik Diputr Mengelilingi Sumu- Jik derh ng ditsi oleh kurv f() dn g() dengn f( ) g( ) pd intervl [, ] diputr mengelilingi sumu-. Seperti ng telh dijelskn di su E., mk volume end putr ng diperoleh dlh segi erikut. g() U Contoh V(U) (( ( )) ( ) f g d Tentuknlh volume end putr, jik derh ng ditsi oleh grfik f(), sumu-, gris, dn gris diputr 6 mengelilingi sumu-. Jw: O f() Gmr. Volume end putr ng ditsi kurv f() dn g() jik diputr mengelilingi sumu- f() O U Untuk menentukn volume end putr terseut, tentukn ts-ts pengintegrln, itu ordint titik potong ntr kurv f() dn gris. Sustitusi ke persmn sehingg diperoleh,

29 f() Jdi, ts-ts pengintegrlnn dlh smpi. Oleh kren derh terseut diputr mengelilingi sumu-, mk klin hrus mentkn persmn kurv menjdi persmn dlm vriel. Dri 8 Jdi, volume end putr terseut dlh V (( 8) ) d ( 8) d (6 6 8) d (6 6 6) d ( ) ( ) 8( ) 6 6 ( ) ( ) 6( ) ( ) ( ) 6( ) Dengn demikin, volume end putr ng terjdi jik derh U diputr mengelilingi sumu- dlh 8 stun volume. ASAH KEMAMPUAN Wktu : 6 menit Gmrlh derh ng ditsi oleh kurv-kurv erikut ini. Kemudin, tentukn volume end putr ng terjdi jik derh terseut diputr 6 mengelilingi sumu- dn volume jik diputr 6 mengelilingi sumu-.., sumu-, gris, dn gris 6. f() sin pd intervl, dn sumu-. 6, sumu-, dn sumu- Boot sol: Boot sol: Boot sol:

30 .,, dn 5. f(), g(), dn EBTANAS 989 Boot sol: Boot sol: Rngkumn. Bentuk umum integrl tk tentu f ( ) F() c dengn : Lmng integrl ng mentkn opersi ntiturunn f() : Fungsi integrn, itu fungsi ng dicri ntiturunnn c : Konstnt. Rumus integrl tk tentu n n c, di mn c dlh konstnt, n n kf ( ) k f( ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) r ( u ( )) u( ) ( u ( )) r udvuv vdu cos sin c, di mn c dlh konstnt sin cos c, di mn c dlh konstnt tn c, di mn c dlh konstnt cos. Bentuk umum integrl tertentu r c, di mn c dlh konstnt, n f( ) F() F() di mn f kontinu pd intervl,. Rumus-rumus integrl tertentu kf ( ) k f( )

31 ( f( ) g( )) f( ) g ( ) ( f( ) g( )) f( ) g ( ) f( ) f( ) f( ) c f( ) f( ) f( ) f( ) c f( ) di mn f fungsi genp f( ) di mn f fungsi gnjil 5. Rumus lus derh (L) ng terletk. di ts sumu- L(R) f ( ). di wh sumu- L(S) f( ) c. di ts dn di wh sumu c L(T) f( ) f( ) d. di ntr du kurv L(U) f ( ) g( ) ( f ( ) g( )) 6. Volume end putr (V) ng diputr mengelilingi. sumu-. sumu- V ( f( )) V ( f( )) d c. sumu- dn ditsi kurv f() dn g() V d. sumu- dn ditsi kurv f() dn g() f g (( ( )) ( )) V (( ( )) ( )) f g d

32 Ulngn B I. Pilihlh jwn ng pling tept!. Nili dri ( 7) dlh.... A. D. 6 B. 6 E. C.. Jik f() ( 5) dn f() 5, mk f().... A. 5 5 B. 5 5 C. 5 5 D. 5 5 E Jik dn dlh.... A. D. 5 B. E. 6 C.. Jik p, mk nili ( ) p, mk nili p dlh.... A. D. B. E. C Nili dri sin cos A. B. C. dlh.... D. E. 6. Lus idng ng ditsi oleh grfik 6 dn sumu- dlh.... A. 6 stun lus D. stun lus 6 B. 7 stun lus E. stun lus C. stun lus 8 7. Derh ng ditsi oleh kurv 7 dn 7 diputr mengelilingi sumu- sejuh 6. Volume end ng terjdi dlh.... A. 5 D. 5 B. 5 E. C Lus derh terts di wh ini dlh.... A. B. C. 8 O 5 D. E.

33 9. Pnjng usur kurv dri smpi 8 dlh.... A. 8 D. 6 B. 8 E. C. 6. Lus derh ng ditsi oleh sumu-, kurv, dn kurv 9 dlh.... A. D. 6 B. 6 E. 7 C. 5 II. Jwlh pertnn erikut dengn jels dn tept!. Proporsi dri pekerj ng mendptkn uph ntr riu dn riu rupih/hri dlh 6 dn ditsi sumu-. Terletk 6 di ntr dn ng ernili dn 6. Berpkh persentse pekerj ng mendptkn uph di wh Rp.5,?. Seuh end ergerk dengn lju v m/det. Pd st t detik posisi end erd pd jrk m dri titik sl. Tentuknlh posisi end segi fungsi wktu t!. Seuh ol ergulir pd seuh idng dtr dengn lju wl m/det. Akit gesekn dengn idng itu, ol menglmi perlmtn m/det. Jik pd st t posisi end erd pd s, erp juhkh jrk ng ditempuh ol dri wl smpi erhenti?. Au dn Bernrd erngkt dri tempt ng sm pd st t. Keceptn pd wktu t dlh v(t) dn jrk ng dijlni ntr t dn t dlh vt dt. Keceptn Au seperti kurv ng terliht pd gmr di wh ini. Jik sin 5 5. Berpkh jrk ng ditempuh merek msing-msing pd st keceptnn sm? O tg 5. Sekelompok kteri dlm sutu lingkungn hidup tertentu erkemng ik sesui dengn perumusn d n,5 N. Jik jumlh d t kteri pd kedn wl dlh, hitunglh jumlh kteri setelh t detik, t detik, t 8 detik, t detik! (Petunjuk: Ntkn hsil perhitungn dlm e, )