PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

Transkripsi

1 MAKALAH OLEH KELOMPOK DUA NAMA : GIYATNI ( ) SEPTI PRATIWI ( ) 3HARI YADI ( ) PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA MATA KULIAH : GEOMETRI TRANSFORMASI DOSEN PENGAMPU : PADLI MPd SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN 009/00

2 ISOMETRI DEFINISI : Isometri adala suatu transformasi atas refleksi (pencerminan),translasi (pergeseran) dan rotasi (perputaran) pada sebua garis yang mempertaankan jarak ( panjang suatu ruas garis ) Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut: a) Memetakan garis menjadi garis b) Mempertaankan ukuran dua garis c ) Mempertaankan kesejajaran Bukti ; a) Andaikan g sebua garis dan T suatu isometri kita akan membuktikan bawa T (g) = adala suatu garis juga B B A G A H Ambil A g dan B g Maka A' = T(A), B' = T (B) ; melalui A' dan B' ada satu garis Misalnya ' Untuk ini akan dibuktikan ' dan ' (i) Bukti ' Ambil X' ' Ole karena bidang kita adala bidang Euclides Kita andaikan (A' X B' ), artinya A' X + XB' =A'B' Ole karena T suatu isometri Jadi suatu transformasi maka ada X seingga T (X) = X dan ole karena T suatu isometri maka AX =A'X; begitu pula XB =XB' Jadi AX +XB =AB

3 Ini berarti bawa A X B segaris pada g Ini berarti bawa X = T (X) seingga ' sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X dengan ( X A' B') atau ( A'B' X) (ii) Bukti ' Ambil lagi y Maka ada y g seingga T(y) = y dengan y misalnya (A Y B) Artinya Y g dan AY + YB = AB Ole karena T sebua isometri maka A'Y = AY, Y B' = YB,A'B' = AB Seingga A'Y + Y B' = A'B' Ini berarti bawa A' YB' segaris, yaitu garis yang melalui A'dan B' Ole karena ' satusatunya garis melalui A'dan B' maka Y ' Jadi arusla ' Bukti serupa berlaku untuk keadaan ( Y A B) atau ( A B Y) Seingga = ' Jadi kalau g sebua garis maka = T( g) adala sebua garis B B A A Bukti : AB = A'B' b) Ambil sebua ABC G H A A B C B C Andaikan A'= T(A), B'= T(B), C'= T(C) Menurut (a) maka A' B' dan B' C' adala garis lurus

4 Ole karena ABC = BA BC maka A' B'C'= B'A' B'C' sedangkan A'B' = AB, B'C' = BC, C'A' = CA Seingga ABC = A'B'C' Jadi A' B'C' = ABC seingga suatu isometri Mempertaankan besarnya sebua sudut c) A B A B Kita arus memperatikan bawa a'// b' Andaikan a' memotong b' disebua titik P jadi P a dan P b Ole karena T sebua transformasi maka ada P seingga T (B)= P dengan P a dan P bini berarti bawa a memotong b di p Jadi bertentangan dengan yang diketaui bawa a// b, maka pengandaian bawa a' memotong b' sala Jadi arusla a'//b' Conto soal: Diketaui garis g = {( x, y) y = x } dan garis = {( x, y) y = x 3 } adala refleksi pada garis g Tentukanla persamaan garis ' = Mg () Apabila Mg Penyelesaian : Ole karena Mg sebua refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut sifat isometri ' adala sebua garis Garis ' akan melalui titik potong antara dan g

5 Persamaan y = x 3 Misalkan, y = 0 x = 0 y = x 3 y = x 3 0 = x 3 y = (0) 3 -x = -3 y = -3 (0, -3 ) 3 3 x = (, 0 ) kemudian di refleksikan menjadi (0, - 3 ) dan ( 3, 0) rumus persamaan garis : y y y y = x x x x 3 y x 0 = y x = y + = x 3y = x kedua ruas di kali 6y + 9 = 3x -3x + 6y + 9 = 0 kedua ruas di bagi -3 x y -3 = 0 dengan demikian persamaan ' adala : ' = ( y) {, x y 3= 0} x

6 Peratikan gambar berikut : G Y H H O,5 3 X - R(, -) -,5-3 Isometri Langsung dan Isometri Lawan Definisi : Misalkan (P,Q,R) adala ganda tiga titik yang tidak kolinier (tak segaris) Apabila urutan perputaran P,Q,R sesuai dengan perputaran jarum jam, maka P,Q,R disebut memiliki orientasi negatif Sedangkan apabila urutan perputaran P,Q,R berlawanan dengan perputaran jarum jam maka, P,Q,R disebut memiliki orientasi positif Definisi : Suatu transformasi T disebut langsung jika dan anya jika transformasi itu mempertaankan orientasisedangkan transformasi T disebut transformasi lawan jika dan anya jika transformasi itu menguba orientasi

7 Definisi : Misalkan T suatu transformasit disebut mempertaankan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik P,Q,R yang tidak kolinear (tak segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanyasedangkan lainnya disebut menguba orientasi CONTOH : ISOMETRI LAWAN misalnya sebua refleksi (pencerminan) P R P Q Q R PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan P'Q'R' seara dengan jarum jam (-) ISOMETRI LANGSUNG misalnya suatu rotasi (perputaran) P R Q R P Q PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan P'Q'R' tetap berlawanan dengan jarum jam (+)

8 Sifat yang penting dalam geometri transformasi iala : Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adala suatu isometri lawan Akan tetapi tidak setiap isometri adala isometri lawan, ini dapat di liat pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adala sebua isometri langsung Setiap isometri adala sebua isometri langsung atau sebua isometri lawan HASIL KALI TRANSFORMASI ( KOMPOSISI TRANSFORMASI ) DEFINISI : Misalkan ada dua transformasi dan maka komposisi dari dan merupakan suatu transformasi, ditulis dengan notasi o sebagai : ( ) o ( Ρ ) = ( Ρ) [ ] Ρ ν,, ditetapkan Untuk membuktikan transformasi ini yang arus ditunjukkan adala : o fungsi dari ν ke ν Karena suatu transformasi maka merupakan fungsi dari ν ke ν, seingga prapeta dari o = prapeta dari Ambil x ν sebarang, karena transformasi berarti ada y ν seingga ( x ) = y dan juga merupakan transformasi berarti ada z ( y) = z = ( y) y = ( x) z = [ ( x) ] = ( o )( x) z, ν seingga Jadi x ν nilai dari ( o )( x) adala z ν Akibatnya transformasi ini dikatakan sebagai fungsi dari ν ke ν o fungsi bijektif : a) o fungsi kepada ambil z ν karena transformasi maka fungsi kepada,

9 akibatnya ada y ν seingga ( y ) = z dan karena juga transformasi maka juga fungsi kepada, akibatnya y ν seingga ( x ) = y Jadi, untuk z ν z = ( y) = [ ( x) ] = ( o )( ) x sebarang ada x ν seingga ν mempunyai prapeta ole o akibatnya o suatu fungsi kepada b) o fungsi satu satu ambil x,y ν seingga ( )( x) = ( o )( y) [ ( )] = [ ( y) ] dari ubungan ini didapat x ( x ) = ( y) x = y karena Maka o suatu fungsi bijektif o maka o fungsi satu satu dan kepada Kesimpulan : dari uraian di atas maka o suatu transformasi CONTOH : P KG Q H Di ketaui garis garis g dan dan titik titik p dan q Carila : a) A = M [ M ( p) ] b) B = M M ( p) g [ ] c) C = M [ M ( p) ] g

10 Penyelesaian : a) A = M [ M ( p) ] M ( p) = p' ( p ' ) M g = A b) B = M M ( p) M g ( p) = p' ( p ' ) M = B g [ ] c) C = M [ M ( p) ] M ( p) = p' ( p ' ) M = p g

11 Latian : Misalkan V bidang Euclid, A sebua titik tertentu pada V Transformasi T yang ditetapkan sebagai berikut: i) T(A) =A ii) Apabila P V dan P A,T(p) = Q dengan Q merupakan titik tenga ruas garis AP Apaka transformasi T ini suatu isometri? Penyelesaian : Peratikan gambar dibawa iniambil P,R V,misalkan P P A R R P' = T(P) dan R' = T (R),maka AP' = P'P dan AR'=R'RAkibatnya R'P' = ½ RP Jadi T bukan suatu isometri Diberikan relasi T : V V yang ditetapkan sebagai berikut: Apabila P = (x,y) Apaka T suatu transformasi? V,maka ; (i) T (P) = (x+,y) untuk x 0 (ii) T (P) = (x-,y) untuk x<0 Penyelesaian : Bukti dari relasi T adala fungsi dari V ke V Ambil sebarang titik P = (x,y) V, ada dua kasus : Untuk x 0,x+ R dan tunggal, akibatnya (x+,y) V dan tunggal Untuk x<0, x- R dan tunggal, akibatnya (x-,y) V dan tunggal Seingga P V selalu mempunyai peta di V dan tunggal

12 Jadi relasi T merupakan fungsi dari V ke V Ambil (0,0) V seingga (0,0)=T (P)=(x+,y), jika x 0 didapat x=- dan y = 0 Dalam al ini terjadi kontradiksi dengan persyaratan x 0 Akibatnya (-,0) bukan prapeta dari (0,0) Berdasarkan : i) Apabila (0,0) =T(P) =(x-,y), jika x<0 didapat x = dan y = 0, dan ini pun terjadi lagi kontradiksi dengan persyaratan x< 0 Akibatnya (,0) bukan prapeta dari (0,0) ii) Akibatnya dari kedua al ini (0,0) tidak mempunyai prapeta ole T Akibatnya fungsi T bukan fungsi kepada Jadi relasi T bukan suatu transformasi 3 Untuk transformasi,misalkan ν bidang Euclid, g suatu garis tertentu dan ditetapkan Ρ ν : a jika Ρ Α, ( Ρ) = Α Ρ Α, Ρ = Ρ dengan b jika ( ) apaka suatu transformasi? Ρ titik tenga ruas garis tenga dari x ke g Penyelesaian : a) akan ditunjukkan bawa : fungsi dari ν ke ν x ν dan x g, maka x tunggal dari x ole dan ada tunggal Garis kepada g melalui x yang mengakibatkan tunggalnya titik tenga ruas garis dari x ke g jadi x tunggal peta ν yang memenui suatu fungsi dari ν ke ν fungsi bijektif a) fungsi kepada ambil y ν dan x g ada ν sebarangapabila y g, maka ada prapeta y sendiri ole dan apabila y g, maka ada tunggal garis l yang g melalui y

13 n Misalnya ( n) g l =,akibatnya ada garisyang mengakibatkan ada ruas garis NX,seingga y NX dan yn = Nx Dari uraian ini berakibat ada x, seingga kepada b) fungsi satu satu ambil x, y Υ Χ g dan y = ( x) Jadi fungsi ν sebarang seingga x y untuk x, y pada sisi yang berbeda ole garis g,maka ( ) ( y) sebab ( x) dan ( y) x terletak pada sisi yang berbeda ole garis g G T (x) X T (y) Y Untuk x, y pada sisi yang sama ole garis g, dengan x, y g maka jarak dari x ke g dengan jarak dari y ke g berbeda Akibatnya ( ) ( y) sebab jarak dari ( x) dari ( y) x ke g setenga jarak dari x ke g, sedangkan jarak ke g setenga jarak dari y ke g G T (y) T (x) X Y

14 Untuk x, y pada sisi yang sama ole garis g dengan x, y tidak g maka garis l melalui x g dan garis m melalui y g akan sejajar Karena ( x) l, ( y) m dan l // m, maka ( x) ( y) Jadi fungsi satu satu G T (y) T (x) X Y M L disebut sebagai suatu transformasi

15