Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski

Transkripsi

1 Beberapa Pertidaksamaan Tipe Ostrowski Rani Fransiska Departemen Marematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 1644 Abstrak Pertidaksamaan Ostrowski adalah suatu pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunannya terbatas Pertidaksamaan tipe Ostrowski adalah hasil pengembangan dari pertidaksamaan Ostrowski Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari beberapa pertidaksamaan tipe Ostrowski Fungsi yang digunakan adalah fungsi yang turunan pertamanya kontinu variasi terbatas dan kontinu mutlak Abstract Ostrowski s inequality is an integral inequality for continuous functions and its derivative is bounded Ostrowski type inequalities is developed from Ostrowski s inequality This research is studying about the Ostrowski type inequalities, especially for continuous function of bounded variation and absolutely continuous function Keywords : absolutely continous, continuous bounded variation, ostrowski type inequality, Riemann-Stieltjes integral 1 PENDAHULUAN Kelas fungsi kontinu adalah kelas fungsi yang terpenting di analisis riil Istilah kontinu digunakan oleh Newton untuk mendeskripsikan sebuah kurva mulus Setelah itu, Bolzano di tahun 117 dan Cauchy di tahun 11 mengidentifikasi kekontinuan sebagai sifat penting dari fungsi dan mengajukan beberapa definisi Kemudian, di sekitar tahun 170, Weiertrass mendefinisikan fungsi kontinu dengan menggunakan pendekatan limit (Bartle, 000) Terdapat beberapa jenis fungsi kontinu, di antaranya fungsi kontinu seragam, kontinu variasi terbatas, dan kontinu mutlak Masing-masing fungsi tersebut memiliki sifat-sifat tersendiri dan ada beberapa yang terdapat hubungan implikasi Pada tahun 193, Ostrowski memperkenalkan sebuah pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunan pertamanya terbatas Pertidaksamaan ini dikenal dengan pertidaksamaan Ostrowski (Mitrinovic & Pecaric, 1994) Pertidaksamaan integral yang dihasilkan dari pengembangan pertidaksamaan Ostrowski disebut pertidaksamaan tipe Ostrowski Rumusan masalah dalam skripsi ini adalah bagaimana bentuk pertidaksamaan tipe Ostrowski? Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mempelajari beberapa bentuk pertidaksamaan tipe Ostrowski LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan definisi dan teorema mengenai ruang L [a, b], fungsi variasi terbatas, fungsi kontinu mutlak, dan integral Riemann-Stieltjes yang akan digunakan pada bagian pembahasan Definisi 1 Untuk sebarang p R, dengan p 1, ruang Banach L [a, b] adalah ruang yang berisi semua fungsi kontinu bernilai riil di [a, b] dengan norm yang didefinisikan sebagai x = x(t) dt (Kreyszig, 199) Selanjutnya adalah definisi dari fungsi variasi terbatas Definisi Misalkan f: [a, b] R dan P = {x, x,, x, x } partisi dari [a, b] Variasi dari fungsi f atas partisi P didefinisikan sebagai (f, P) = f(x ) f(x ) Variasi dari fungsi f di [a, b] didefinisikan sebagai (f) = sup (f, P) sup (f, P) adalah supremum terhadap semua partisi P dari [a, b] Jika (f) berhingga, maka f disebut fungsi variasi terbatas di [a, b] BV adalah himpunan semua fungsi yang terdefinisi di [a, b] dan variasi terbatas di [a, b] 1 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013

2 Berikut adalah keunikan dari fungsi variasi terbatas Akibat 3 Fungsi f: [a, b] R adalah fungsi variasi terbatas jika dan hanya jika f dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi tak turun Lebih jauh, f fungsi kontinu variasi terbatas jika dan hanya jika f dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi kontinu yang tak turun Berikut ini adalah definisi dari fungsi kontinu mutlak Definisi 4 Sebuah fungsi f dikatakan kontinu mutlak di [a, b] jika untuk sebarang ε > 0 yang diberikan, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(β ) f(α ) < ε, dengan [α, β ], [α, β ],, [α, β ] adalah kumpulan berhingga subinterval dari [a, b] yang tidak saling berpotongan dan (β α ) < δ Sifat berikutnya menjamin bahwa jika suatu fungsi kontinu mutlak maka fungsi tersebut adalah fungsi variasi terbatas Teorema 5 Jika f fungsi kontinu mutlak di [a, b], maka f adalah fungsi variasi terbatas di [a, b] Variasi suatu fungsi yang kontinu mutlak dapat dihubungkan dengan nilai integral dari mutlak turunan pertama fungsi tersebut Teorema 6 Jika f kontinu mutlak di [a, b] dan x [a, b], maka π (x) = (f) kontinu mutlak dan berlaku π (x) = f (t) dt (Folland, 1999) Sebelum masuk kepada definisi fungsi yang terintegrasi secara Riemann-Stieltjes, dibahas terlebih dahulu mengenai jumlah Riemann-Stieltjes Definisi 7 Misalkan f dan α adalah fungsi bernilai riil yang domainnya adalah interval tutup [a, b] dengan fungsi f dan α terbatas di [a, b] Ambil partisi P = {x, x,, x, x } dari [a, b] Pilih t sedemikian sehingga x t x untuk i = 1,,, n, maka f(t ) [α(x ) α(x )] disebut jumlah Riemann-Stieltjes dari f terhadap α dan relatif terhadap P Himpunan dari semua nilai yang mungkin dari jumlah tersebut (dengan f, α, dan P tetap) dinyatakan sebagai S(f, α, P) Selanjutnya, diberikan definisi fungsi yang terintegralkan secara Riemann-Stieltjes Definisi Misalkan fungsi f dan α terdefinisi dan terbatas di [a, b] Dengan menggunakan notasi S(f, α, P) s ketika P 0 atau lim S(f, α, P) = s dimana s R, yang artinya jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika P < δ maka S(f, α, P) (s ε, s + ε) Jika limitnya ada, maka fdikatakan terintegralkan secara Riemann-Stieltjes terhadap α di [a, b] atau "f RS(α) di [a, b]" dan notasi s = f(x) dα(x) digunakan dan dibaca sebagai integral Riemann- Stieltjes dari a ke b dari f terhadap α Fungsi f disebut sebagai integran sedangkan α disebut sebagai integrator Selanjutnya diberikan beberapa sifat dari integral Riemann-Stieltjes Sifat yang pertama mengenai sifat linear dari integral Riemann-Stieltjes terhadap integratornya Teorema 9 Jika f RS(α) dan f RS(β) di [a, b], maka untuk sembarang c, c R diperoleh f RS(c α + c β) di [a, b] dan berlaku f d(c α + c β) = c f dα + c f dβ (Apostol, 004) Sifat selanjutnya membahas mengenai syarat cukup fungsi yang terintegrasi secara Riemann- Stieltjes Syarat cukupnya adalah integran merupakan fungsi yang terbatas dan diskontinu di berhingga titik sedangkan integratornya adalah fungsi yang kontinu dan tak turun Teorema 10 Jika f adalah fungsi terbatas di [a, b] dengan jumlah titik diskontinu yang berhingga dan α adalah fungsi kontinu dan tak turun di [a, b], maka f RS(α) di [a, b] (Rudin, 1976) Sifat berikutnya membahas nilai integral Riemann-Stieltjes jika integrannya adalah fungsi terbatas dan integratornya adalah fungsi variasi terbatas Ternyata nilainya dapat dikaitkan dengan hasil perkalian dari supremum integrannya dan variasi dari integratornya Teorema 11 Misalkan f RS(α) di [a, b] dengan α fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] maka f dα (Lang, 1991) sup [,] f(t ) (α) Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013

3 Sifat selanjutnya yaitu hubungan antara integral Riemann dengan integral Riemann-Stieltjes ketika integratornya adalah fungsi yang turunannya kontinu Teorema 1 Misalkan f RS(α) di [a, b] dan turunan α, yaitu α kontinu di [a, b] Maka Integral Riemann f(x)α (x)dx ada dan berlaku f(x) dα(x) = f(x)α (x) dx (Apostol, 004) Seperti pada integral Riemann, integral Riemann- Stieltjes juga mengenal integrasi parsial Berikut formulanya Teorema 13 Jika f RS(α) di [a, b], maka α RS(f) di [a, b] dan memenuhi f(x)dα(x) = f(x)α(x) b α(x)df(x) a Selanjutnya dibuktikan pertidaksamaan Cauchy- Schwarz untuk integral Riemann berlaku Teorema 14 Misal fungsi f dan g adalah fungsi yang terintegralkan Riemann di [a, b], maka f(x)g(x)dx (Bartle & Sherbert, 000) 3 PEMBAHASAN f(x)g(x) dx f (x)dx g (x)dx Pertidaksamaan Ostrowski adalah pertidaksamaan yang ditemukan dan dibuktikan pertama kali oleh seorang matematikawan bernama A M Ostrowski pada tahun 193 (Cerone, 199) Pertidaksamaan ini adalah pertidaksamaan integral untuk fungsi yang kontinu dan turunannya terbatas Berikut isi dari pertidaksamaan Ostrowski Teorema 31 Misalkan f: [a, b] R dengan f kontinu dan terturunkan di [a, b] dimana turunan pertamanya, f (a, b) R terbatas, dengan f sup (,) f (t) < Maka untuk setiap x [a, b], berlaku f(x) 1 f(t) dt x () () f (1) (Dragomir & Wang, 199) Bukti: Misalkan f kontinu dan terturunkan di [a, b] Ambil sebarang x [a, b] sehingga f(x) 1 f(t) dt = 1 1 = (t a)df(t) + (t b)df(t) p(x, t)f (t) dt, () t a, t [a, x], dengan p(x, t) = t b, t (x, b] Agar sesuai dengan ruas kiri dari (1), ambil nilai mutlak dari () Dengan menggunakan sifat nilai mutlak suatu integral dan karena untuk setiap t [a, b] berlaku f (t) f, maka diperoleh f(x) 1 f(t) dt 1 = p(x, t)f (t) dt 1 p(x, t) f (t) dt f p(x, t) dt (3) Selanjutnya, hitung p(x, t) dt terlebih dahulu p(x, t) dt = t a dt + t b dt = x x() + Dengan mensubstitusi hasil p(x, t) dt ke pertidaksamaan (3), maka f(x) 1 f(t) dt f p(x, t) dt = f x x() + = f () 1 4 x + () Pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya adalah hasil penemuan dari Zheng Liu (00) Terdapat tiga pertidaksamaan tipe Ostrowski yang dibuktikan, yaitu untuk fungsi yang turunan pertamanya adalah fungsi kontinu mutlak dan kontinu variasi terbatas Mulamula dibuktikan Lema 3 karena ketiga pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya menggunakan lema ini Lebih spesifik lagi, ketiga pertidaksamaan selanjutnya menggunakan nilai mutlak dari ruas kanan persamaan (4) 3 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013

4 Lema 3 Misalkan f: [a, b] R sedemikian sehingga f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Maka untuk setiap x [a, b] dan θ [0,1] berlaku K(x, t) df (t) = f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ +(1 θ)() x f (x), (4) dengan 1 (t a)[(t a) θ()], t [a, x], K(x, t) = 1 (t b)[(t b) + θ()], t (x, b] (Liu, 00) Bukti: Berdasarkan definisi K(x, t), maka K(x, t) terbatas dan diskontinu di satu titik yaitu di titik x Berdasarkan premis, f adalah fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Dengan menggunakan Akibat 3, maka f dapat dinyatakan sebagai hasil pengurangan dua fungsi kontinu yang tak turun Misal, untuk setiap t [a, b], f (t) = π(t) v(t) dimana π, v fungsi kontinu tak turun di [a, b] Dengan Teorema 10 mengenai syarat cukup fungsi yang terintegralkan secara Riemann-Stieltjes, karena K fungsi yang diskontinu di berhingga titik dan π dan v adalah fungsi kontinu yang tak turun maka K RS(π) dan K RS(v) di [a, b] Dengan menggunakan sifat linear integral Riemann- Stieltjes terhadap integratornya, Teorema 9 menjamin K RS(π v) di [a, b] yang artinya, K RS(f ) di [a, b] sehingga integrasi parsial Riemann-Stieltjes pada Teorema 13 dapat digunakan Selanjutnya, untuk setiap x [a, b] dan θ [0,1] berlaku K(x, t) df (t) = K(x, t) df (t) + K(x, t) df (t) (5) Masing-masing suku di sebelah kanan dihitung dengan menggunakan rumus integrasi parsial untuk integral Riemann-Stieltjes, sehingga untuk suku pertama K(x, t) df (t) = f (x)k(x, x) f (a)k(x, a) f (t) dk(x, t) = 1 f (x)[(x a) θ(x a)()] f (x)dk(x, t) (6) Karena K(x, t) terturunkan dan turunannya kontinu di [a, x], maka dengan Teorema 1 dapat dihubungkan dengan integral Riemannnya, menjadi f (t) dk(x, t) = f (t) K (x, t) dt = f (t) (t a) θ () dt θ = f (t)(t a)dt = f(t)(t a) f(t)dt = f(x)(x a) f(t)dt () f (t)dt θ ()[f(x) f(a)] θ ()[f(x) f(a)] Dengan mensubstitusikan hasil tersebut, (6) menjadi K(x, t) df (t) = 1 f (x)[(x a) θ(x a)()] f(x)(x a) + f(t)dt + θ ()[f(x) f(a)] Sedangkan suku kedua ruas kanan (5) adalah K(x, t)df (t) = f (b)k(x, b) f (x)k(x, x) f (t) dk(x, t) = 1 f (x)[(x b) + θ(x b)()] f (t) dk(x, t) (7) Kemudian dikaitkan lagi dengan integral Riemannnya, f (t) dk(x, t) = f (t) K (x, t) dt θ = f (t)(t b)dt + = f(t)(t b) f(t)dt () f (t)dt + θ ()[f(b) f(x)] θ = f(x)(x b) f(t)dt + ()[f(b) f(x)] Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke (7), diperoleh K(x, t) df (t) = 1 f (x)[(x b) + θ(x b)()] + f(x)(x b) + f(t)dt θ ()[f(b) f(x)] 4 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013

5 Jika hasil dari (6) dan (7) dijumlahkan, maka (5) menjadi K(x, t) df (t) = 1 f (x)[(x a) θ(x a)()] f(x)(x a) + f(t)dt + θ ()[f(x) f(a)] 1 f (x)[(x b) + θ(x b)()] +f(x)(x b) + f(t)dt = f(t)dt () f(x)(1 θ) + θ +f (x)()(1 θ) x θ ()[f(b) f(x)] f(b) + f(a) Pertidaksamaan yang dibahas pertama adalah tipe Ostrowski untuk fungsi yang turunan pertamanya fungsi kontinu variasi terbatas Berikut isi dari pertidaksamaannya Teorema 33 Misalkan f: [a, b] R sedemikian sehingga f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Untuk a x dengan θ [0,1], berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x b) 4θ()(b x) + θ () + 4(x b) 4θ()(b x) θ () (f ), () dan untuk < x b dengan θ [0,1], berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x a) 4θ()(x a) + θ () + 4(x a) 4θ()(x a) θ () (f ), (9) (Liu, 00) Bukti: Perhatikan bahwa premis dari Teorema 33 sama dengan Lema 3, yaitu sama-sama untuk f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Jadi, persamaan (4) pada Lema 3 dapat digunakan Berdasarkan Teorema 11, karena integrannya, yaitu fungsi K(x, t) terbatas dan integratornya yaitu f (t) kontinu variasi terbatas, maka dengan mengambil nilai mutlak dari persamaan (311) diperoleh f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) = K(x, t) df (t) sup [,] K(x, t) (f ) (10) Dengan menggunakan definisi K(x, t) yang terdapat pada Lema 3, maka (t a)[(t a) θ()], t [a, x], K(x, t) = (t b)[(t b) + θ()], t (x, b] Misalkan K(x, t) didefinisikan sebagai berikut: K (x, t) = (t a)[(t a) θ()], t [a, x] dan K (x, t) = (t b)[(t b) + θ()], t (x, b] Untuk mencari sup [,] K(x, t) terdapat beberapa kandidat titik, yaitu titik stasioner, titik batas, dan titik yang mendekati titik batas Titik stasioner dari K (x, t) yaitu t = a + () dan dari K (x, t) yaitu t = b () K (x, t) memiliki tiga titik kritis, yaitu titik a, t, dan x dengan nilai fungsi K (x, a) = 0, K (x, t ) = θ (), K (x, x) = 1 (x a) θ (x a)() K (x, t) memiliki dua titik kritis, yaitu titik t dan b dengan nilai fungsi K (x, t ) = θ (), K (x, b) = 0, dan titik yang mendekati titik batas x dengan nilai K (x, x ) = lim K (x, t) = 1 (x b) + θ (x b)() Selanjutnya, muncul dua kandidat nilai supremum yang mungkin pada setiap interval a, dan, b sehingga digunakan formula berikut: A + B A B sup K(x, t) = max {A, B} = + [,] Perhatikan bahwa K (x, x) K (x, x ) = 1 (x a) θ (x a)() 1 (x b) θ (x b)() = () x (1 θ) 5 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013

6 Kasus 1, misalkan a x Akan dibuktikan untuk θ [0,1], berlaku A = K (x, x ) dan B = () a Untuk θ 0, 1 Perhatikan untuk K (x, x ) = (x b)[(x b) + θ()] dengan x maka (x b) + θ() θ 1 () 0 Jadi, untuk θ 0, 1 diperoleh K (x, x ) = 1 (x b)[(x b) + θ()] 0 Misalkan K (x, x) 0, maka K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) K (x, x ) 0 K (x, x ) K (x, x) Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah K (x, x ) dan () Misalkan K (x, x) < 0, maka K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) + K (x, x ) 0 K (x, x ) = K (x, x ) K (x, x) Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah K (x, x ) dan () Jadi, terbukti bahwa untuk θ 0, 1, A = K (x, x ) dan B = () b Untuk θ 1, 1 Perhatikan untuk K (x, x) = (x a)[(x a) θ()] dengan x maka (x a) θ() 1 θ() < 0 Jadi untuk θ 1, 1 diperoleh K (x, x) = 1 (x a)[(x a) θ()] 0 Misalkan K (x, x ) > 0, maka K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) + K (x, x ) 0 K (x, x ) = K (x, x ) K (x, x) Diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah K (x, x ) dan () Misalkan K (x, x ) 0, maka K (x, x) K (x, x ) = K (x, x) + K (x, x ) = K (x, x ) K (x, x) 0 K (x, x) K (x, x ) Selanjutnya, K (x, x) dibandingkan dengan () θ () K (x, x) = θ () + K (x, x) = 1 (x a) θ (x a)() + θ () = 1 (x a) θ () 0 () Jadi, () K (x, x) = K (x, x) (11) K (x, x) K (x, x ) Diperoleh yang menjadi supremum adalah () Jadi, terbukti bahwa untuk θ 1, 1, A = K (x, x ) dan B = () Berdasarkan uraian di a dan b, untuk a x dan θ [0,1] diperoleh yang menjadi kandidat supremum adalah A = K (x, x ) dan B = () Dengan mensubstitusi hasil tersebut ke sup [,] K(x, t), diperoleh A + B A B sup K(x, t) = + [,] = (x b) 4θ()(b x) + θ () + 4(x b) 4θ()(b x) θ () (1) Substitusi (1) ke (10) maka f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x b) 4θ()(b x) + θ () + 4(x b) 4θ()(b x) θ () (f ) Kasus, misalkan < x b Untuk θ [0,1], dengan pembuktian yang analog dengan kasus 1, diperoleh supremum yang mungkin adalah A = K (x, x) dan B = () Kemudian disubstitusi ke sup [,] K(x, t), diperoleh K(x, t) sup [,] = (x a) 4θ()(x a) + θ () + 4(x a) 4θ()(x a) θ () (13) 6 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013

7 Substitusi (13) ke (10) maka f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x a) 4θ()(x a) + θ () + 4(x a) 4θ()(x a) θ () (f ) Pertidaksamaan tipe Ostrowski selanjutnya berlaku untuk fungsi yang turunan pertamanya adalah fungsi kontinu mutlak Terdapat hubungan antara Teorema 34 dan Teorema 33 karena fungsi yang kontinu mutlak pasti juga fungsi variasi terbatas Teorema 34 Misalkan f: [a, b] R sedemikian sehingga f kontinu mutlak di [a, b] Untuk a x dengan θ [0,1], berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x b) 4θ()(b x) + θ () + 4(x b) 4θ()(b x) θ () f", (14) dan untuk < x b dengan θ [0,1], berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x f (x) (x a) 4θ()(x a) + θ () + 4(x a) 4θ()(x a) θ () f", (15) dengan f" = f (t) dt (Liu, 00) Bukti: Karena f adalah fungsi yang kontinu mutlak di [a, b], maka berdasarkan Teorema 5, f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b] Oleh karena itu, Teorema 35 dapat digunakan Dengan membandingkan pertidaksamaan (14) dengan () dan pertidaksamaan (15) dengan (9), diperoleh bahwa yang akan dibuktikan adalah (f ) = f Berdasarkan Teorema 6, karena f adalah fungsi yang kontinu mutlak di [a, b], maka variasi f di [a, b] dapat dinyatakan dengan (f ) = f (t) dt Karena f fungsi kontinu variasi terbatas di [a, b], maka (f ) = f (t) dt memiliki nilai yan berhingga, sehingga diperoleh (f ) = f (t) dt = f Tidak semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu mutlak, turunan keduanya adalah anggota L [a, b] Pertidaksamaan tipe Ostrowski terakhir serupa dengan pertidaksamaan di Teorema 34, yaitu untuk fungsi yang turunan pertamanya kontinu mutlak, tetapi ada syarat tambahan, yaitu turunan keduanya adalah anggota L [a, b] Teorema 35 Misalkan f: [a, b] R sedemikian sehingga f adalah fungsi yang kontinu mutlak di [a, b] dan f L [a, b] Maka x [a, b] dan θ [0,1] berlaku f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ (1 θ) x 1 [(1 θ)() x + θ 3θ + 1 (b a) x + f (x) θ 1 θ () ] f" (16) dengan f f (t) (Liu, 00) Bukti: Karena f adalah fungsi yang kontinu mutlak di [a, b], maka f fungsi variasi terbatas di [a, b], jadi Lema 3 dapat digunakan f(t)dt () (1 θ)f(x) + θ +(1 θ)() x = K(x, t)f (t) dt = K(x, t)f (t) dt K (x, t)dt = K (x, t) = K (x, t) [f (t)] dt f (x) dt f (t) dt dt f (17) Selanjutnya, untuk menyelesaikan (17) akan dihitung terlebih dahulu 4 K (x, t) dt = [(t a) θ(t a)()] dt + [(t b) + θ(t b)()] dt 7 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013

8 = (1 θ)() x + θ 3θ + 1 () x + θ 1 θ () K(x, t) dt Dengan mensubstitusi mensubstitusi hasil di atas ke (17), maka diperoleh f = 1 [(1 θ)() x + θ 3θ + 1 (b a) x + θ 1 θ () ] f" 4 KESIMPULAN Pertidaksamaan Ostrowski adalah hasil pengembangan dari pertidaksamaan tipe Ostrowski Setelah mempelajari beberapa pertidaksamaan tipe Ostrowski pada bagian pembahasan, diperoleh tiga pertidaksamaan Ketiga pertidaksamaan tersebut berkaitan karena karakteristik fungsinya juga berhubungan Yang membedakan ketiga pertidaksamaan tersebut adalah norm yang diperoleh dari karakteristik fungsinya Suatu fungsi dapat memenuhi beberapa pertidaksamaan asalkan karakteristik fungsinya terpenuhi [3] Kreyszig, E (199) Intoductory Functional Analysis with Applications New York: John Wiley & Sons, Inc [4] Randolph, J E (196) Basic Real and Abstract Analysis New York and London: Academic Press [5] Folland, G B (1999) Real Analysis Modern Techniques and Their Applications (nd ed) New York: John Wiley & Sons, Inc [6] Apostol, T M (004) Mathematical Analysis (nd ed) Hong Kong: Pearson Education Asia Limited and China Machine Press [7] Rudin, W (1976) Principal of Mathematical Analysis (3rd ed) New York: McGraw-Hil, Inc [] Lang, S (1991) Real and Functional Analysis (3rd ed) New York: Springer [9] Dragomir, SS, & Wang, S (199) Applications of Ostrowski's Inequality to the Estimation of Error Bounds for Some Special Means and for Some Numerical Quadrature Rules Appl Math Lett, Vol 11, 1, [10] Liu, Z (00) Some Ostrowski Type Inequalities Mathematical and Computer Modelling, 4, UCAPAN TERIMAKASIH Terimakasih kepada bapak Arie Wibowo, SSi, MSi selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran hingga akhirnya penelitian ini selesai Selain itu, terimakasih juga kepada Rizky Reza Fauzi yang sudah memberikan banyak masukan dan menjadi teman diskusi DAFTAR ACUAN [1] Bartle, RG, & Sherbert, DR (000) Introduction to Real Analysis (3rd ed) New York: John Wiley & Sons, Inc [] Mitrinovic, D S, Pecaric, JE, & Fink, A M (1994) Inequalities for Functions and their Integrals and Derivatives Dordrecht: Kluwer Academics Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013

9 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013 9

10 10 Beberapa pertidaksamaan tipe, Rani Fransiska, FMIPA UI, 013