SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR. Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo. Abstrak

Transkripsi

1 SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo Abstrak Penulisan ini bertujuan menyelidiki sifat-sifat yang berlaku di dalam topologi ruang linear Metode yang digunakan adalah studi literatur Berdasarkan definisi pada topologi ruang linier maka sifat-sifat yang berlaku pada (,τ ) adalah: koleksi persekitaran N ( x) pada topologi ruang linier aditif berakibat f kontinu pada 0 [ = ( 0,0) ] Setiap persekitaran U N( x) dari 0 dalam topologi ruang linier absorbsing Setiap persekitaran U N( x) dari 0 dalam topologi ruang linier balanced balanced tertutup dari 0 Topologi ruang linier merupakan: ruang Hausdorff jika { 0 } tertutup, ruang regular, ruang T 3, ruang regular lengkap (completely regular), generalisasi topologi grup Kata Kunci: topologi, topologi ruang linier Pendahuluan Ruang linier atau ruang vektor, adalah suatu ruang yang ditentukan oleh himpunan tak kosong dengan dua operasi yang berlaku paya Oleh karena itu suatu himpunan dikatakan ruang linier jika memenuhi dua operasi aljabar, yaitu penjumlahan perkalian skalar yang memenuhi sifat yang berlaku pada aksioma lapangan (field) Ruang linear mempunyai dua kemungkinan yaitu bebas linear tak bebas linier Pembentuk (generator) yang menjadi basis ruang linear adalah himpunan yang saling bebas linier Topologi ruang linier merupakan suatu pasangan (,τ) di mana ruang linier τ suatu topologi pada sedemikian hingga operasi aljabar dalam kontinu Lebih spesifik tentang kontinuitas, dikatakan bahwa dua pemetaan ( x, y) x + y ( α, x) αx kontinu, yang pertama didefinisikan pada yang kedua didefinisikan pada R Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear 57

2 Topologi ruang linier merupakan proses topologi pada ruang linier atau ruang metrik Operasi pada ruang linier bersifat kontinu konsekuensi dari definisi tersebut adalah fungsi atau pemetaan yang didefinisikan merupakan suatu homeomorphisma, selain kontinu terbuka juga memenuhi fungsi bijektif Setelah mengetahui aksioma yang harus terpenuhi pembentuk (generator) dalam topologi ruang linier maka perlu diselidiki sifatsifatnya yang merupakan analogi dari sifat-sifat yang berlaku dalam topologi ruang lain yang sebenarnya merupakan implikasi dari proses topologi Landasan Teori Teori-teori pendukung pada landasan teori ini dirujuk dari SLipschutz (98), E Hutahean (979), W Cheney (200), SL Gupta N Rani (2000), S Hu (967), B Kifli M Usman (985), EG Milewski (994), EJ Purcell D Varberg (987), P Silaban H Anton (985), AE Taylor DC Lay (985), Rudin (976) a Definisi Topologi Topologi dilambangkan dengan τ merupakan koleksi dari himpunan-himpunan sedemikian hingga : i Himpunan kosong, φ, adalah anggota koleksi ii Irisan dari dua anggota koleksi juga di dalam koleksi iii Gabungan dari subkoleksi juga di dalam koleksi Jika τ adalah suatu topologi, didefinisikan adalah gabungan dari semua anggota τ Katakanlah adalah ruang dari τ τ adalah topologi pada Pasangan (, τ) disebut ruang topologi Masingmasing anggota τ disebut himpunan terbuka pada Dengan aksioma di atas, maka adalah terbuka Topologi dalam himpunan, yaitu koleksi takkosong τ 2 x dari himpunan-himpunan terbuka dalam, disebut himpunan terbuka yang memenuhi empat aksioma yaitu: ) Himpunan kosong φ adalah terbuka; 2) Himpunan itu sendiri 58 Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear

3 terbuka; 3) Gabungan dari koleksi himpunan terbuka adalah terbuka; 4) Irisan dari dua himpunan terbuka adalah terbuka Himpunan dikatakan tertopologi jika topologi τ diberikan dalam Himpunan tertopologi disebut ruang topologi, singkatnya ruang, topologi τ dalam disebut topologi dari ruang Himpunan-himpunan terbuka dalam τ disebut himpunanhimpunan terbuka dalam ruang b Definisi Ruang Topologi Pasangan (,τ ) yang terdiri atas himpunan topologi τ pada disebut ruang topologi x i Karena 2 adalah koleksi dari semua himpunan bagianhimpunan bagian dari, 2 x adalah topologi Topologi ini disebut topologi diskrit yang mengandung anggota maksimal yang mungkin dari himpunan ii merupakan perwakilan dari himpunan Koleksi τ = { φ, } adalah topologi pada Topologi ini disebut topologi tak diskrit (topologi trivial) pada yang mengandung anggota paling sedikit dari himpunan Anggota topologi disebut titik Anggota dari τ disebut himpunan terbuka dari ruang,τ topologi ( ) c Aksioma Separasi Definisi c (Ruang T 0 ) Ruang (,τ ) disebut ruang T 0 jika untuk dua titik yang berbeda a, b, terdapat paling sedikit satu persekitaran yang tidak mengandung titik lain Definisi c2 (Ruang T ) Ruang Topologi (,τ ) disebut ruang T, jika setiap himpunan yang beranggotakan satu titik adalah tertutup, yaitu, a ; a = a { } { } Definisi c3 (Ruang T 2 (Ruang Hausdorff atau ruang terpisah)) Ruang topologi adalah ruang hausdorff jika untuk masingmasing pasangan dari titik a b, dua himpunan yang disjoint A B ada, sedemikian hingga a A, b B, A B = φ Definisi c4 (Ruang Regular) Ruang Topologi (,τ ) disebut regular jika sebarang himpunan tertutup tertentu F sebarang titik x, sedemikian hingga x F, terdapat himpunan terbuka U V sedemikian hingga F U, x U V = φ Definisi c5 (Ruang T 3 ) Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear 59

4 Ruang T regular disebut ruang T 3 Definisi c6 (Ruang Normal) Ruang topologi (,τ ) disebut normal jika dua himpunan tertutup disjoint tertentu F F 2 dalam, terdapat himpunan terbuka U V, sedemikian hingga F U F V 2 Definisi c7 (Ruang T 4 ) Ruang normal yang juga ruang T disebut ruang T 4 Definisic8 (Ruang Lengkap Regular) Ruang topologi (,τ ) adalah lengkap regular jika untuk sebarang himpunan bagian tertutup F dari sebarang a, sedemikian hingga a F, fungsi kontinu f : [ 0,] ada, sedemikian hingga untuk setiap x F, f x = f ( a) = 0 ( ) d Basis Sub Basis untuk Topologi Basis untuk topologi adalah koleksi bagian ß dari τ sedemikian hingga setiap himpuan terbuka adalah gabungan dari himpunan-himpunan di dalam ß Basis dari topologi τ di dalam, artinya koleksi bagian ß dari τ sedemikian hingga setiap himpunan U dalam τ adalah himpunanhimpunan terbuka dalam ß Dengan kata lain, untuk setiap masing-masing point x U U τ, terdapat V ß sedemikian hingga x V U Himpunan-himpunan terbuka dari basis ß yang diberikan disebut basis himpunan terbuka dari ruang Definisi d Himpunan S dalam adalah balanced jika αx S α adalah skalar sedemikian hingga α (Beberapa penulis menggunakan circled; buku Bourbaki menggunakan equilibre) Jika S adalah sembarang himpunan dalam balanced hull dari S adalah himpunan { αs : s S, α } Definisi d2 Himpunan S dalam adalah absorbsing jika untuk masingmasing x terdapat ε > 0 sedemikian hingga α x S jika 0 < α Dengan kata lain, S adalah absorbsing jika untuk masing-masing x terdapat r > 0 sedemikian hingga x α S jika α r Teorema d3 Diberikan B suatu kelas dari himpunan-himpunan bagian himpunan tak kosong Kemudian ß adalah basis untuk suatu topologi pada jika hanya jika ß memenuhi dua sifat : B : B ß (i) = { } 60 Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear

5 (ii)untuk sembarang B, B * ß, * B B adalah gabungan dari anggota-anggota ß, atau jika * p B B maka terdapat B ß sedemikian hingga p Sub basis dari topologi τ dalam, artinya subkoleksi σ dari τ sedemikian hingga irisan berhingga (= irisan dari koleksi-koleksi berhingga) dari himpunan-himpunan terbuka dalam σ membentuk basis dari τ Dengan kata lain, untuk setiap U τ masing-masing x U, terdapat bilangan berhingga dari himpunan-himpunan terbuka dalam σ, katakalah hingga p B p B W,,Wn, sedemikian x W W n U Himpuan-himpunan terbuka dalam subbasis σ yang diberikan akan disebut subbasis himpunan-himpunan terbuka dari ruang (Hu:967:08) Suatu subbasis untuk topologi τ adalah sub koleksi S dari τ sedemikian hingga irisan berhingga dari himpunan-himpunan dalam membentuk basis untuk τ (Cheney:200:363) * B S (,τ) adalah suatu topologi ruang Suatu kelas dari himpunanhimpunan terbuka dari yaitu S τ adalah sub basis untuk topologi τ pada jika hanya jika irisan berhingga dari anggota-anggota S membentuk basis untuk τ (Lipschutz:98:88) e Pengertian Topologi Ruang linier Definisi e Topologi ruang linier adalah suatu pasangan (,τ) di mana adalah ruang linier τ adalah suatu topologi pada sedemikian hingga operasi aljabar dalam adalah kontinu Lebih spesifik tentang kontinuitas, dikatakan bahwa dua pemetaan ( x, y) x + y ( α, x) αx adalah kontinu, yang pertama didefinisikan pada yang kedua didefinisikan pada R Himpunan yang ada dalam koleksi τ disebut himpunan-himpunan terbuka, persekitaran dari titik x adalah suatu himpunan U sedemikian hingga untuk suatu himpunan terbuka O terdapat x O U Aksioma kontinuitas di atas dapat dinyatakan dalam istilah persekitaran berikut: S Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear 6

6 ) Jika U adalah persekitaran x + y, maka terdapat persekitaran V dari x persekitaran W dari y sedemikian hingga dalam U di mana v + w berada di v V w W 2) Jika U adalah persekitaran dari α x, maka terdapat persekitaran V dari α W dari x sedemikian hingga λ w U di mana λ V w W Jika v V w W adalah himpunan terbuka, maka U adalah himpunan terbuka, f ( U ) juga terbuka Jika λ V w W adalah himpunan terbuka maka U adalah himpunan terbuka, f ( U ) juga terbuka Operasi penjumlahan perkalian skalar dalam topologi ruang linier digunakan untuk mengoperasikan persekitaran, karena setiap persekitaran adalah himpunan terbuka hasil dari kedua operasi juga merupakan himpunan terbukajadi operasi dalam topologi ruang linier adalah kontinu Metode Penelitian Penulisan ini menggunakan metode studi/telaah literatur, yaitu segala bahan sumber diambil dari buku, jurnal artikel yang sudah ada Pembahasan Berdasarkan definisi tentang topologi ruang linier teorema kontinuitas fungsi, dapat diasumsikan bahwa topologi ruang linier memenuhi sifat homeomorphisma Sehingga sifat-sifat yang berlaku dalam topologi ruang linier adalah sebagai berikut : Koleksi persekitaran N ( x) dalam topologi ruang linier adalah aditif, berakibat f kontinu pada 0 [ ( 0,0) ] = Lebih lanjut, sifat-sifat topologi ruang linier akan dapat diidentifikasi pada titik 0 Berdasarkan definisi, identifikasi sifat selalu melibatkan persekitaran Berikut ini adalah definisi persekitaran pada suatu titik, kemudian diaplikasikan pada titik 0 Definisi persekitaran D Persekitaran dari titik x adalah suatu himpunan V sedemikian hingga terdapat 62 Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear

7 himpunan terbuka U dengan x U V Koleksi dari semua persekitaran dari x ditulis N ( x) Suatu subkoleksi β dari N ( x) disebut basis persekitaran dari x atau singkatnya, basis pada x jika diberikan U β sedemikian hingga U V Jika β adalah basis persekitaran dari 0, maka N ( 0) terdiri atas semua persekitaran dengan sifat V mengandung beberapa U β Karena translasinya adalah suatu homeomorphisma, maka N( x) : { x V : V N( 0) } + Dari β dapat ditemukan kembali ( x) N untuk x di dalam Fakta yang sangat berguna adalah bahwa topologi adalah completely determined (lengkap tertentu) oleh persekitaran dari 0 Definisi D2 Suatu koleksi S dari himpunanhimpunan bagian dari ruang linier disebut aditif jika untuk masing-masing U S terdapat V S dengan V + V U Lemma D3 Dalam topologi ruang linier, himpunan V adalah persekitaran dari titik z jika hanya jika z +V adalah persekitaran dari 0 Berlaku z adalah bilangan tetap, serta definisikan f ( x) x + z = Pemetaan ini mengirimkan 0 ke z V adalah persekitaran dari titik z Karena f kontinu, maka f ( V ) adalah persekitaran dari 0 Sekarang selidiki bahwa f ( V ) = { x : f ( x) V} = { x : x + z V} = x + V Sebaliknya, anggaplah z + V adalah persekitaran dari 0 f ( x) = x z f juga kontinu, memetakan z ke 0 Karena itu ( f ) membawa z +V ke suatu persekitaran dari z Tetapi ( f ) ( z + V ) = { x : f ( x) z + V} = { x : x z z + V} = V Teorema D4 Diberikan ruang linier ruang topologi Definisikan f : dengan Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear 63

8 f ( x y) = x + y kontinu pada 0 [ ( 0,0) ] hanya jika N ( x) aditif, Kemudian f = jika Diberikan U N( x), V N( x) dengan V + V U Kemudian ( ) V V N f ( V V ) = V + V U Maka f kontinu pada 0 Diberikan N( x) U, terdapat N( ) dengan f ( W ) U W Dapat diasumsikan bahwa W = V V, V ( x) 2 i N, V = V IV 2 Maka V + V V + V2 = f [ W ] U 2 Setiap persekitaran U dari 0 dalam topologi ruang linier adalah absorbsing Teorema D2 Setiap persekitaran U dari 0 dalam topologi ruang linier adalah absorbsing x mendefinsisikan u : K dengan u ( t) = tx Karena u kontinu, terdapat ε > 0 sedemikian hingga t < ε mengakibatkan u( t) U yaitu tx U Setiap persekitaran U dari 0 dalam topologi ruang linier termasuk suatu persekitaran balanced balanced tertutup dari 0 Lemma D3 Setiap persekitaran U dari 0 dalam Topologi Ruang Linier termasuk suatu persekitaran balanced dari 0 Pemetaan oleh u( ) x Kemudian u : K diberikan α = α adalah kontinu terdapat W N ( K ) dengan u( W ) U Dapat diasumsikan W = V V 2 dimana V,V2 adalah persekitaran pada 0 dalam K, Kemudian { α : α ε} V untuk ε > 0 Kemudian V N karena V εv 2 [teorema 4D7], juga, V adalah balanced Teorema D32 V U adalah topologi ruang linier S Kemudian S = S + U : U N tepatnya, { } S S + U untuk setiap U N 64 Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear

9 x S, U N Dengan Lemma 4D9, diasumsikan bahwa U adalah balanced Karena x + U adalah persekitaran dari x, bertemu dengan S Maka x S U = S + U Sebaliknya, x S Kemudian x mempunyai persekitaran (boleh ditulis x + U, U persekitaran balanced dari 0) yang tidak bertemu S ; karena itu x S U = S + U Maka { S + U U N} x : Teorema D34 Setiap persekitaran U dari 0 dalam topologi ruang linier termasuk persekitaran balanced tertutup pada 0 V N dengan V + V U [teorema 4D5] Dengan lemma 4D9, W N adalah balanced, W V Maka W U [teorema 4D0] mengingatkan untuk melihat bahwa W adalah balanced dengan 0 α Dengan argument dari teorema 4D7, α W W juga α W αw W karena W adalah balanced Teorema D35 Topologi Ruang Linier mempunyai basis β pada 0 dengan sifat-sifat sebagai berikut: a Masing-masing anggota β balanced absorbsing b Jika U β, terdapat V β sehingga + c Jika U U 2 di dalam β, terdapat sedemikian hingga U3 U U 2 d Sebaliknya, suatu koleksi tertentu tak nol dari β dari himpunan bagian-himpunan bagian tak nol dari ruang linier sedemikian hingga β memenuhi a sampai c, terdapat topologi linier tunggal untuk yang mengan-dung β sebagai basis pada 0 Jika adalah topologi ruag linier, maka β adalah koleksi dari semua persekitaran balanced dari 0, yang sama dengan koleksi balanced hulls dari semua persekitaran dari 0 Anggap β adalah koleksi dengan sifat-sifat a sampai c Untuk masing-masing, x N( x) adalah koleksi dari semua Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear 65

10 himpunan bagian-himpunan bagian dari yang terdiri dari suatu himpunan dengan bentuk untuk U β Himpunan didefinisikan terbuka jika untuk masingmasing x S Jelasnya, himpunan kosong seluruh ruang adalah terbuka dengan definisi ini Ini mudah untuk melihat bahwa gabungan dari sebarang himpunan terbuka adalah terbuka Dari sifat c, irisan berhingga dari himpunan terbuka adalah terbuka Karena itu, himpunan terbuka membentuk suatu topologi pada Untuk masing-masing, N x adalah koleksi persekitaran dari untuk topologi ini Selanjutnya, dari konstruksi N x bahwa β adalah basis dari persekitaran 0 Akan dibuktikan bahwa topologi sesuai dengan struktur linier Kontinuitas dari penjumlahan dalam S S N( x) ( ), mengikuti b Sebelum membuktikan kontinuitas dari x ( ) x x + U perkalian skalar, selidiki yang berikut ini: Jika U β α 0, terdapat V β sedemikian hingga α V U Untuk membuktikan ini, selidiki terlebih dahulu dengan b induksi bahwa U β n adalah integer positif, terdapat V β sedemikian hingga 2 n V U Ambil n ; n α 2, V β sedemikian hingga 2 n V U Karena V balanced, n α 2 V V, yaitu, n α V 2 V U Anggaplah x 0 α 0 adalah tetap Akan ditunjukkan bahwa U β tertentu, terdapat V β ε > 0 sedemikian hingga α x x + U (yaitu α 0 0 α x x U ) di mana α 0 0 α α 0 < ε x x 0 + V Untuk sebarang x α, αx α ( x x 0 ) + ( α α 0 ) 0 0 x 0 = α x 66 Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear

11 Dari b, terdapat W β sedemikian hingga W + W U Karena W absorbsing, ambillah ε > 0 sedemikian hingga δ x 0 W jika δ < ε Ambillah V β sedemikian hingga ( α ) V W + 0 ε Anggaplah bahwa sedemikian hingga Setengah yang lain dari pembukx α ada, 0 α α < ε x x 0 V, tetapi tidak berlaku sebaliknya Kemudian ( ) x W α 0 0 α Jelasnya, α α α + < + 0 α0 ε α0 Karena V balanced, maka α ε + α 0 ( x x ) V 0 ( x x ) ( ε + ) V W 0 α0 α Tetapi atau kemudian α x x W + W U Ini α 0 0 melengkapi pembuktian bahwa perkalian adalah kontinu Pernyataan tunggal dari teorema berdasarkan kenyataan bahwa sistem persekitaran pada masingmasing titik adalah completely determined dengan basis dari persekitaran 0 3 Suatu topologi ruang linier adalah ruang Hausdorff jika hanya jika himpunan { 0 } tertutup Teorema D4 Suatu topologi ruang linier adalah ruang Hausdorff jika hanya jika 0 adalah satu satunya elemen meliputi semua persekitaran 0 Sifat Hausdorff adalah, untuk sebarang pasangan dari x y, harus terdapat persekitaran U V dari x y sedemikian hingga pasangan U V disjoint Pilih persekitaran W untuk 0, sedemikian hingga x y W Kemudian, pilih persekitaran lain W ' untuk 0 sehingga W ' W ' W Maka x + w' disjoint dari y + w', untuk jika z adalah point dari irisan keduanya Dapat ditulis z = x + w = y + dengan w 2 w i W' Kemudian, x y = w w W ' W ' W 2 Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear 67

12 tian adalah hanya memisahkan point tak nol dari 0 dengan memlih persekitaran dari 0 yang tidak mengandung point tak nol 4 Suatu topologi ruang linier adalah ruang regular Teorema D5 Topologi ruang linier adalah regular Karena itu topologi ruang linier adalah ruang Hausdorff jika hanya jika himpunan { 0 } tertutup U adalah persekitaran terbuka dari 0 Dari teorema di atas terdapat persekitaran V dari 0 sedemikian hingga + Closure V adalah persekitaran tertutup dari 0, ditunjukkan bahwa Jika V U x V kemudian x V adalah persekitaran dari x, juga [ x V ] V φ dalam [ x V ] V Ambillah y tulis y = x z, z V Kemudian x = y + z V + V U Ini membuktikan bahwa U mengandung V Karena translasi ini adalah homeomorphisma, setiap persekitaran terbuka dari titik x harus mengandung persekitaran tertutup dari x; yaitu bahwa topologi ruang linier adalah regular Konsekuensinya, topologi ruang linier adalah ruang Hausdorff jika hanya jika titik singleton tertutup Tetapi akan lebih tepat jika hanya jika himpunan {0} tertutup 5 Suatu topologi ruang linier adalah ruang T 3 Teorema D6 Setiap topologi ruang linear adalah ruang topologi regular Kondisi berikut pada Topologi Ruang Linier adalah equivalen (a) adalah ruang T3 (b) {0} adalah himpunan tertutup (c) untuk masing-masing x 0, terdapat persekitaran U dari 0 dengan x U Regularitas mengikuti teorema tentang regularitas Jika adalah ruang T 3, semua singleton adalah tertutup, (b) mengakibatkan (a) karena ruang T reguler adalah T 3 (Semua singleton adalah tertutup oleh prinsip 68 Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear

13 lokalisasi), kondisi (b) equivalent dengan { 0 } = { 0}, segkan (c) equivalen { : U N} = { 0} U Definisi D62 terhadap Topologi ruang linier disebut terpisah jika tiga kondisi equivalen pada teorema D6 berlaku Bisa dikatakan juga bahwa topologi adalah terpisah Sehingga topologi ruang linier terpisah adalah ruang Hausdorff 6 Suatu topologi ruang linier adalah ruang regular lengkap (completely regular) Akibat D7 Setiap topologi ruang linier adalah completely regular 7 Suatu topologi ruang linier adalah generalisasi topologi grup Preposisi D8 Setiap topologi ruang adalah generalisasi topologi grup merupakan topologi ruang linier Menurut kontinuitas dari perkalian skalar µ dengan invers i : didefinisikan oleh ( x) = x = ( ) x = µ ( x) i, kontinu Karena itu, adalah generalisasi topologi grup Penutup Setelah menggunakan studi literature dapat disimpulkan bahwa : Koleksi persekitaran N ( x) dalam topologi ruang linier adalah aditif, berakibat f kontinu pada 0 [ ( 0,0) ] = 2 Setiap persekitaran U dari 0 dalam topologi ruang linier adalah absorbsing 3 Setiap persekitaran U dari 0 dalam topologi ruang linier termasuk suatu persekitaran balanced balanced tertutup dari 0 4 Suatu topologi ruang linier adalah ruang hausdorff jika hanya jika himpunan { 0 } tertutup 5 Suatu topologi ruang linier adalah ruang regular 6 Suatu topologi ruang linier adalah ruang T 3 7 Suatu topologi ruang linier adalah ruang regular lengkap (completely regular) untuk setiap x yang juga Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear 69

14 8 Suatu topologi ruang linier adalah generalisasi topologi grup Topologi ruang linier masih bisa dikembangkan pada ruang lain, misal, ruang metrik sehingga membentuk topologi ruang linier bernorma, yang bersama ruang Hausdorff dapat membentuk ruang Hilbert Menggunakan teori dasar himpunan yang dikembangkan dalam analisis real aljabar, dapat menemukan modifikasi topologi ruang linier Daftar Pustaka Cheney, W 200 Analysis for Applied Mathematics New York: Springer Gupta, SL, Rani, N 2000 Fundamental Real Analysis Forth Revision and Enlarged Edition New Delhi : Vikas Publishing House PVT LTP Hutahean, E 979 Fungsi Riil Bandung: Penerbit ITB Hu, S 967 Element of Real Analysis California: Holden- Day, Inc Kifli, B,Usman, M 985 Prinsip- Prinsip Matematika Bandung: Penerbit Sinar Baru Lipschutz, S 98 Theory and Problems of General Topology International Edition Schaum s Outline Series Singapore: McGraw-Hill Book Company Milewski, E G 994 The Topology Problem Solver New Jersey : Research and Education Assosiation Kurniasih, N Topologi Ruang Linear Jurnal LIMIT Nomor \ Oktober 200 Purworejo: Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Purcell, E J, Varberg, D Diterjemahkan oleh : Susila, I N, Kartasasmita, B, Rawuh 987 Kalkulus Geometri Analitik Jilid Edisi Keempat Jakarta: Erlangga Rudin, W 976 Principles of Mathematical Analysis USA: McGraw-Hill, Inc Silaban, P, Anton, H 985 Aljabar Linear Elementer Jakarta: Erlangga Taylor, A E, Lay, D C 980 Introduction to Functional Analysis New York: John Wiley & Sons Wahyudin 987 Dasar-Dasar Topologi Bandung: Tarsito Wilansky, A 978 Modern Methods in Topological Vector Spaces USA: McGraw-Hill, Inc 70 Nila Kurniasih: Sifat-sifat Topologi Ruang Linear