USAHA DAN ENERGI DALAM ELEKTROSTATIKA

Transkripsi

1 USAHA DAN ENERGI DALAM ELEKTROSTATIKA Usaha untuk Meindahkan Muatan Usaha adalah kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk eindahkan uatan dari satu tepat ke tepat lainnya. = (1) Jika kita hendak eindahkan uatan dala suatu edan listrik aka kerja yang dilakukan adalah elawan edan listrik di tepat itu. Usaha yang dilakukan untuk eindahkan uatan titik dari jauh tak hingga ke posisi adalah: z.. Q q y x = adalah eleen garis. Untuk koordinat bola, = + +sin sedangkan adalah gaya yang dialai oleh uatan Q, dengan = sehingga ungkapan W enjadi = 1 4! ( + +sin ) = 1 4!

2 = 1 4! () Usaha yang dilakukan ini berubah enjadi energi potensial yang diiliki oleh uatan Q yang berada pada jarak r terhadap uatan q. Jadi energi elektrostatika adalah kerja yang dilakukan untuk elawan edan listrik yang ditibulkan oleh suatu uatan q di titik tersebut. Energi Potensial untuk Muatan Titik Hubungan antara energi potensial dengan potensial diperoleh dengan enuliskan kebali bahwa potensial di titik yang ditibulkan oleh uatan q adalah: Φ()= 1 4! Maka energi potensial uatan Q pada titik dapat dinyatakan dengan: = 1 4! =Φ() (4) (3) Jika terdapat N uatan titik, &,, (,,, asing-asing dengan posisi ++, & +++, +++, (..., ++++ aka bagaiana ungkapan energi potensialnya? Energi potensialnya saa dengan usaha total yang diperlukan untuk ebawa uatan-uatan tersebut satu persatu dari posisi jauh tak hingga ke posisi ++, & +++, +++,, ( z +++ &... q 1 q q 3 +, ( q 4 y x Usaha yang diperlukan untuk ebawa uatan & ke titik ++ & adalah &, yaitu

3 & = & Φ( ++) & (5) dengan Φ( ++) & adalah potensial listrik di titik ++. & Oleh karena belu ada uatan yang lain dala siste koordinat, aka Φ( ++)=0 & sehingga & =0 (6) Usaha yang diperlukan untuk ebawa uatan ke titik +++ adalah, yaitu = Φ( +++) (7) dengan Φ( +++) adalah potensial listrik di titik +++. Oleh karena telah ada uatan & dala siste koordinat, aka potensial listrik di titik +++ yang ditibulkan oleh uatan & adalah Φ( +++)= 1 & 4! ++ & +++ sehingga enjadi = 1 & 4! ++ & +++ (8) (9) Usaha yang diperlukan untuk ebawa uatan ( ke titik +++ ( adalah (, yaitu ( = ( Φ( +++) ( (10) dengan Φ( +++) ( adalah potensial listrik di titik +++. ( Pada siste koordinat telah ada uatan & dan sehingga potensial listrik di titik +++ ( ditibulkan oleh uatan & dan, yaitu Φ( +++)= ( 1 & 4! ++ & ( 4! ( (11) sehingga ( enjadi ( = 1 & ( 4! ++ & ( ( 4! ( ( = 1 4 & ( 4! ++ & ( ( (1) ( Usaha yang diperlukan untuk ebawa uatan, ke titik +, adalah,, yaitu, =, Φ( +), (13)

4 dengan Φ( +), adalah potensial listrik di titik +., Kini telah ada uatan &,, dan ( sehingga potensial listrik di titik +, ditibulkan oleh uatan &,, dan (, yang besarnya Φ( +)=, 1 & 4! ++ & + + 1, 4! (, 4! +++ ( +, sehingga, enjadi, = 1 &, 4! ++ & , ( 4! (, ( 4! +++ ( +, (14), = 1 4 &, 4! ++ & + +,, (,, +++ ( + 5 (15), Adapun usaha yang diperlukan untuk eindahkan uatan ke-n adalah = 1 4 & 4! ++ & ( +++ ( & & (16) Usaha total untuk eindahkan N uatan adalah penjulahan dari &,, (,,,..., 89: = & + + ( +, + 89: = 1 & 4! ++ & : = 1 4 & ( 4! ++ & ( ( ( 89: = 1 4 &, 4! ++ & + +,, (,, +++ ( , 89: = 1 4 & 4! ++ & ( +++ ( & & (17) Setelah disusun ulang, didapatkan 89: = 1 4! & ; ++ & ( ++ & +++ +, ( ++ & + + +, ++ & ++++ < + 89: = 1 ( 4! ; , ( , < + 89: = 1, 4! ( ; +++ ( + + +, +++ ( ++++ < + 89: =+

5 89: = 1 4! 7& ; & ++++ < + 89: == 1 A F (18) 4! B+ C +B D >?& AE> Oleh karena 1 B+ C +B = 1 D B+ D +B C aka 1 B+ C +B =1 D G 1 B+ C +B + 1 D B+ D +B H (19) C Dengan ensubstitusikan persaaan (19) ke persaaan (18), diperoleh 89: == 1 = 1 1 4! A G B+ C +B + 1 D B+ D +B H F C >?& AE> 89: = 1 = = 1 A F (0) 4! B+ C +B D >?& A?&,AI> Perhatikan suku dala kurung kurawal pada persaaan (0)! Suku tersebut adalah potensial listrik di +, C yaitu Φ(+), C yang ditibulkan oleh (J 1) uatan, &,, (,, >7, >7&, >K&, >K,,. Φ(+)= 1 C = A 4! B+ C +B D A?&,AI> (1) Dengan deikian, persaaan (0) enjadi 89: = 1 = > >?& Φ(+) C () Ini adalah usaha total yang diperlukan untuk enyusun N uatan titik secara bersaa-saa. Usaha total ini erepresentasikan besarnya energi potensial yang tersipan dala susunan uatan tersebut.

6 Energi pada Distribusi Muatan Kontinue Pada distribusi uatan volue dengan rapat uatan L, aka ungkapan energi potensial pada persaaan () berubah enjadi = 1 LΦ M (3) Ungkapan energi ini dapat juga dinyatakan dala edan listrik N+ yaitu dengan eanfaatkan persaaan pada Huku Gauss. + N+ = L! L=! + N+ (4) dengan ensubstitusikan persaaan (4) ke persaaan (3) diperoleh = 1! + N+Φ M (5) Salah satu sifat perkalian operator + adalah + N+Φ= + N+Φ+N+ +Φ (6) dengan ensubstitusikan +Φ= N+ selanjutnya didapatkan + N+Φ= + N+Φ N+ + N+Φ = + N+Φ+N+ (7) Selanjutnya ensubstitusikan persaaan (7) ke persaaan (5), hasilnya P + N+Φ+N+ Q M + N+ΦM +! R N + M R (8) Ingat kebali teorea divergensi, bahwa

7 + S M R sehingga =T S U V! + N+ΦM R T N +Φ U V (9) Maka persaaan (8) dapat ditulis enjadi T N +Φ U +! V N + M R N + M WXX YZW[\ (30) (31) Ini adalah ungkapan energi potensial dala N+ diana pengintegralan dilakukan untuk seluruh ruang. Contoh Hitung energi potensial dari kulit bola beruatan seraga dengan rapat uatan ] dan total uatan q jika jari-jari R! Solusi 1. Menggunakan ungkapan dala potensial = 1 ]Φ U Potensial pada perukaan bola adalah konstan, besarnya Φ= 1 4π! _ sehingga = 1 ] U 8π! _ = 1 8π! _

8 Solusi. Menggunakan ungkapan dala edan listrik N + M WXX YZW[\ Integral dilakukan pada seluruh ruang, di dala dan di luar bola. N+ di dala bola adalah nol sehingga integralnya bernilai nol untuk ruang di dala bola. Seentara N+ di luar bola adalah N+ = 1 4π! N+ = 1 (4π! ), dengan deikian energinya enjadi N + M WXX YZW[\ 1 (4π! ), c a ` ( sin d d ) koordinat bola (4π! ) 1 c (4π! ) 1 a ` l (4π! ) n 1 n l sin d d dsind dsind (4π! ) 1 _ sind = 1 8π! _ (4π! ) 1 _ 4π