III PEMBAHASAN. Berdasarkan persamaan (2.15) dan persamaan (2.16), fungsi kontinu dan masing-masing sebagai berikut : dan = 3

Transkripsi

1 8 III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial integral Volterra orde satu yang terdapat pada masalah osilasi berpasangan. Agar validitas metode ini terjamin, akan diberikan grafik untuk membandingkan penyelesaian eksak dengan hampiran penyelesaian, diberikan juga galat dari beberapa hampiran yang diperoleh. Metode iterasi variasi yang diterapkan dalam tulisan ini mengikuti pustaka [Matinfar Ghanbari, 2010]. 3.1 Analisis Metode Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode iterasi variasi untuk menyelesaikan persamaan (2.15) persamaan (2.16). Berdasarkan persamaan (2.20) didefinisikan fungsi berikut: =, +, =, +, (3.1) dengan operator linear didefinisikan sebagai berikut:, = +, = operator taklinear berbentuk :, = 0, = 0. Berdasarkan persamaan (2.15) persamaan (2.16), fungsi kontinu masing-masing sebagai berikut : = = 3 + dengan konstanta pegas, massa benda. Selanjutnya, berdasarkan persamaan (2.21) persamaan (3.1), fungsi koreksi dari persamaan (2.15) persamaan (2.16) masing-masing sebagai berikut : = + [ [, + [, = + [ [, + [,. Berdasarkan persamaan (2.17), persamaan (2.18), persamaan (2.25), fungsi koreksi untuk persamaan (2.15) persamaan (2.16) masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk berikut : = + 1[,, = + 1[,,,,,,,,,,,,,.

2 9 dengan,, =,,, =,,,,,, = +,,,,,, =. (3.2) Berdasarkan persamaan (2.26), hampiran untuk penyelesaian persamaan (2.15) persamaan (2.16) masing-masing lim lim (3.3) dengan = 0,1,2,3,. yang menandakan iterasi ke Aplikasi Metode Perhatikan persamaan (2.15) persamaan (2.16) berikut : = + = dengan nilai awal 0 =, 0 =, 0 =, 0 =. Misalkan konstanta pegas bernilai 1, kedua pegas memiliki massa = 1 maka persamaan (2.15) persamaan (2.16) menjadi = 1 + = 3 (3.4) dengan nilai awal 0 = 1, 0 = 2, 0 = 0, 0 = 0. Berdasarkan persamaan (2.11) persamaan (2.12), masalah nilai awal (3.4) memiliki penyelesaian eksak sebagai berikut: = 3 2 cos 1 2 cos 3 (3.5) = 3 2 cos cos 3. (3.6) Penurunan persamaan (3.5) persamaan (3.6) dapat dilihat pada Lampiran 4. Berikut ini akan ditentukan hampiran untuk penyelesaian masalah nilai awal (3.4) dengan menggunakan metode iterasi variasi. Hal yang utama dalam penggunaan metode iterasi varaiasi pembentukan fungsi koreksi. Berdasarkan persamaan (3.2), fungsi koreksi untuk masalah nilai awal (3.4) sebagai berikut : = + 1[ + + +, dengan = 0,1,2,3,. = + 1[ + 3, (3.7)

3 10 Misalkan hampiran awal yang digunakan = 1, = 1 + cos 3. Iterasi ke-1 dapat dilakukan dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan (3.7), diperoleh fungsi koreksi untuk iterasi ke-1 sebagai berikut: = + 1[ = + 1[ + 3. = cos 3, 3 = 1 + cos 3. pada interval waktu [0,0.5. Selanjutnya, akan dilakukan iterasi ke-2 untuk memerluas daerah kekonvergenan. Iterasi ke-2 dilakukan dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan (3.7), sehingga memberikan fungsi koreksi untuk iterasi ke- 2 sebagai berikut: = + 1[ = + 1[ + 3. = cos 3 +, 36 = cos 3. pada interval waktu [0,0.5. Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh sama luas dengan daerah kekonvergenan yang dicapai oleh. Selanjutnya, akan dilakukan iterasi ke-3 untuk memerluas daerah kekonvergenan. Iterasi ke-3 dilakukan dengan mensubstitusi ke dalam persamaan (3.7), sehingga memberikan fungsi koreksi untuk iterasi ke-3 sebagai berikut: = + 1[ = + 1[ + 3.

4 11 = t t = cos 3. sama dengan sebelumnya yaitu pada interval waktu [0.0,5. Daerah kekonvergenan yang dicapai oleh sama luas dengan daerah kekonvergenan yang dicapai oleh serta. Selain itu, galat hampiran untuk iterasi ke-3 lebih besar dari pada galat pada iterasi sebelumnya. Segkan galat hampiran pada iterasi ke-3 lebih kecil atau sama dengan galat pada iterasi sebelumnya. Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.7), iterasi dilakukan terus menerus dengan tujuan dapat memerluas daerah kekonvergenan. Setelah dilakukan proses iterasi hingga iterasi ke-9, didapatkan daerah kekonvergenan sama dengan sebelumnya yaitu pada interval waktu [0.0,5. Selanjutnya, dilakukan iterasi ke-10 diperoleh penyelesaian sebagai berikut : = , = , pada interval waktu [0,0.5, segkan daerah kekonvergenan yang dicapai oleh pada interval waktu [0,0.45. Meskipun demikian, galat hampiran untuk penyelesaian pada iterasi ke-10 lebih kecil dibandingkan dengan galat pada iterasi iterasi sebelumnya. Daerah kekonvergenan yang pada iterasi ke-10 lebih kecil dari pada iterasi sebelumnya. Oleh karena itu, iterasi terus dilakukan dengan tujuan memperluas daerah kekonvergenan. Setelah dilakukan iterasi hingga iterasi ke-57, diperoleh hampiran sebagai berikut : = Cos[ t +, = t. pada interval waktu [0,0.4, segkan daerah kekonvergenan yang dicapai oleh pada interval waktu [0,0.6. Daerah kekonvergenan yang pada iterasi ke-57 lebih luas dari pada iterasi sebelumnya galat hampiran untuk penyelesaian lebih kecil dari pada galat hampiran pada iterasi sebelumnya. Selanjutnya, daerah kekonvergenan yang pada iterasi ke-57 lebih kecil dari pada iterasi sebelumnya. Oleh karena itu, dibutuhkan iterasi-iterasi selanjutnya untuk mencapai daerah kekonvergenan yang lebih luas untuk hampiran penyelesaian. Perluasan daerah kekonvergenan diupayakan dengan menambah jumlah iterasi yang dilakukan. Jumlah iterasi yang dilakukan untuk memerluas daerah kekonvergenan dipengaruhi oleh pendekatan awal yang digunakan pada proses iterasi. Program untuk penyelesaian masalah nilai awal (3.4) dapat dilihat pada Lampiran 5. Dengan menggunakan software Mathematica 7 diperoleh grafik penyelesaian eksak beberapa hampiran penyelesaian dari masalah nilai awal (3.4) yang ditunjukkan oleh Gambar 6 Gambar 7. Gambar 6 menunjukkan grafik penyelesaian hampiran penyelesaian eksak untuk pada iterasi ke-10, 20, 30, 40, 57. Gambar 6 Hampiran penyelesaian pada iterasi ke-10, 20, 30, 40, 57.

5 12 Berdasarkan Gambar 6 terlihat bahwa daerah kekonvergenan yang diperoleh dari,,, pada interval waktu [0,0.5, segkan pada interval [0,0.4. Besar simpangan pegas kiri pada selang waktu [0,0.5 konstan atau sama besar dengan simpangan pada saat posisi seimbang ( = 0. Pada saat = 0, pegas kiri memiliki besar simpangan tidak sama dengan nol atau pegas kiri mendapat suatu gaya tarikan. Selanjutnya, berdasarkan penyelesaian eksak yang terlihat pada Gambar 6, pegas kiri bergerak dengan besar simpangan yang terus berkurang dari selang waktu = 0.5 hingga waktu tertentu. Gambar 7 menunjukkan grafik hampiran penyelesaian eksak untuk pada iterasi ke-10, 20, 30, 40, 57. Penulisan kode perintah untuk Gambar 6 Gambar 7 dapat dilihat pada Lampiran 6. Berdasarkan Gambar 7 terlihat bahwa daerah kekonvergenan yang diperoleh dari,, pada interval waktu [0,0.45, segkan daerah kekonvergenan dari masing-masing pada interval waktu [0,0.4 [0,0.6. Pada saat = 0, pegas kanan memiliki besar simpangan tidak sama dengan nol atau pegas kanan mendapat suatu gaya tarikan. Selanjutnya, berdasarkan grafik penyelesaian eksak pada Gambar 7, pegas kanan bergerak dengan besar simpangan yang terus berkurang dari selang waktu = 0 hingga waktu tertentu. Pada Tabel 1 diberikan selisih antara penyelesaian eksak hampiran penyelesaian pada iterasi ke-10, 30, 57. Berdasarkan Tabel 1, hampiran untuk mencapai daerah kekonvergenan yang lebih luas dibandingkan dengan hampiran untuk. Hal ini dikarenakan hampiran awal yang digunakan merupakan fungsi sinusoidal yang sesuai dengan penyelesaian, segkan hampiran awal berupa konstanta yang kurang sesuai dengan penyelesaian. Gambar 7 Hampiran penyelesaian pada iterasi ke-10, 20, 30, 40, 57. Tabel 1 Galat antara penyelesaian eksak hampiran pada iterasi ke-10,30, Berdasarkan iterasi-iterasi yang dilakukan, diperoleh bahwa daerah kekonvergenan yang dicapai pada interval waktu [0,0.5]. Untuk mencapai daerah kekonvergenan yang lebih luas, dibutuhkan lebih banyak iterasi.