LINEAR PROGRAMMING-1

Transkripsi

1 /5/ LINEAR PROGRAMMING- DR.MOHAMMAD ABDUL MUKHYI, SE., MM METODE KUANTITATIF Perumusan PL Ada tiga unsur dasar dari PL, ialah:. Fungsi Tujuan. Fungsi Pembatas (set ketidak samaan/pembatas strukturis) 3. Pembatasan selalu positip. METODE KUANTITATIF

2 /5/ Bentuk umum persoalan PL Cari : x, x, x 3,, x n. Fungsi Tujuan : Z = c x + c x + c 3 x c n x n optimum (max/min) (srs) Fungsi Kendala : a x + a x + a 3 x a n x n >< h. (F. Pembatas) a x + a x + a 3 x a n x n >< h. (dp) a 3 x + a 3 x + a 33 x a 3n x n >< h a m x + a m x + a m3 x a mn x n >< h m. x j > j =,, 3 n nonnegativity consraint srs : sedemikian rupa sehingga dp : dengan pembatas METODE KUANTITATIF 3 ada n macam barang yg akan diproduksi masing-masing sebesar x,x,, x n x j : banyaknya barang yang diproduksi ke j, j =,, 3,., n c j : harga per satuan barang ke j, j =,, 3,., n ada m macam bahan mentah, masing-masing tersedia h, h, h 3,.., h m h i : banyaknya bahan mentah ke i, i =,, 3,., m a ij : banyaknya bahan mentah ke i yg digunakan utk memproduksi satuan barang ke j x j >, j =,,,n ; cj tidak boleh negatif, paling kecil (nonnegativity consraint) Maksimum dp < h artinya, pemakaian input tidak boleh melebihi h Minimum dp > h artinya, pemakaian input paling tidak dipenuhi h METODE KUANTITATIF 4

3 /5/ Langkah-langkah dan teknik pemecahan Dasar dari pemecahan PL adalah suatu tindakan yang berulang (Inter-active search) dengan sekelompok cara untuk mencapai suatu hasil optimal. Tidakan dilakukan dengan cara sistimatis. Selanjutnya langkah-langkah dari tindakan berulang adalah sebagai:. Tentukan kemungkinan-kemungkinan kombinasi yang baik dari sumber daya alam yang terbatas atau fasilitas yang tersedia, yang disebut sebagai initial feasible solution.. Selesaikan persamaan pembatasan struktural untuk mendapatkan titik-titik ekstreem (disebut sebagai basic feasible solution ). 3. Tentukanlah nilai dari titik-titik ekstreem yang akan merupakan nilai-nilai pilihan, yang telah disesuaikan dengan nilai tujuan dari permasalahan. 4. Ulanglah langkah 3 hingga tercapai tujuan optimal (ha-nya satu yang bernilai tertinggi atau terendah). METODE KUANTITATIF 5 Ada 3 (tiga) cara pemecahan PL. Cara dengan menggunakan grafik. Cara dengan substitusi (cara matematik/aljabar) 3. Cara simplex METODE KUANTITATIF 6 3

4 /5/ Tujuan Model LP Dengan Grafik Mengetahui hubungan-hubungan kendala dalam model LP dan mengetahui konsep-konsep pemecahan LP yang akan digunakan dalam pembahasan analisis sensitivitas dangan program komputer. METODE KUANTITATIF 7 Kendala Aktif dan Tak Aktif: Kendala aktif adalah kendala bila dievaluasi pada tingkat solusi optimal, nilai disebelah kiri sama dengan nilai disebelah kanan. Kendala tak aktif adalah kendala jika dievaluasi pada tingkat optimal, nilai disebelah kiri tidak sama dengan nilai disebelah kanan Kendala Berlebihan (Redundansi): Jika suatu kendala tidak menentukan bagian dari batas daerah yang feasibel. METODE KUANTITATIF 8 4

5 /5/ General Form of an Optimization Problem MAX (or MIN): f (X,,, X n ) Subject to: f (X,,, X n )<=b : f k (X,,, X n )>=b k : f m (X,,, X n )=b m Note: If all the functions in an optimization are linear, the problem is a Linear Programming (LP) problem METODE KUANTITATIF 9 Linear Programming (LP) Problems MAX (or MIN): c X + c + + c n X n Subject to: a X + a + + a n X n <= b : a k X + a k + + a kn X n >=b k : a m X + a m + + a mn X n = b m METODE KUANTITATIF 5

6 /5/ An Example LP Problem Blue Ridge Hot Tubs produces two types of hot tubs: Aqua-Spas & Hydro-Luxes. Aqua-Spa Hydro-Lux Pumps Labor 9 hours 6 hours Tubing feet 6 feet Unit Profit $35 $3 There are pumps, 566 hours of labor, and 88 feet of tubing available. METODE KUANTITATIF 5 Steps In Formulating LP Models:. Understand the problem.. Identify the decision variables. X =number of Aqua-Spas to produce =number of Hydro-Luxes to produce 3. State the objective function as a linear combination of the decision variables. MAX: 35X + 3 METODE KUANTITATIF 6

7 /5/ 5 Steps In Formulating LP Models (continued) 4. State the constraints as linear combinations of the decision variables. X + <= 9X + 6 <= 566 X + 6 <= 88 } pumps } labor } tubing 5. Identify any upper or lower bounds on the decision variables. X >= >= METODE KUANTITATIF 3 LP Model for Blue Ridge Hot Tubs MAX: 35X + 3 S.T.: X + <= 9X + 6 <= 566 X + 6 <= 88 X >= >= METODE KUANTITATIF 4 7

8 /5/ Solving LP Problems: An Intuitive Approach Idea: Each Aqua-Spa (X ) generates the highest unit profit ($35), so let s make as many of them as possible! How many would that be? Let = st constraint: X <= nd constraint: 9X <=566 or X <=74 3rd constraint: X <= 88 or X <= 4 If =, the maximum value of X is 74 and the total profit is $35*74 + $3* = $6,9 This solution is feasible, but is it optimal? No! METODE KUANTITATIF 5 Solving LP Problems: A Graphical Approach The constraints of an LP problem defines its feasible region. The best point in the feasible region is the optimal solution to the problem. For LP problems with variables, it is easy to plot the feasible region and find the optimal solution. METODE KUANTITATIF 6 8

9 /5/ Plotting the First Constraint 5 5 (, ) boundary line of pump constraint X + = 5 (, ) X METODE KUANTITATIF 7 5 Plotting the Second Constraint (, 6) boundary line of labor constraint 9X + 6 = (74, ) X METODE KUANTITATIF 8 9

10 /5/ 5 Plotting the Third Constraint (, 8) 5 boundary line of tubing constraint X + 6 = 88 5 Feasible Region (4, ) X METODE KUANTITATIF 9 Plotting A Level Curve of the Objective Function 5 5 (, 6.67) objective function 35X + 3 = 35 5 (, ) X METODE KUANTITATIF

11 /5/ A Second Level Curve of the Objective Function 5 5 (, 75) objective function 35X + 3 = 35 objective function 35X + 3 = 55 5 (5, ) X METODE KUANTITATIF Using A Level Curve to Locate the Optimal Solution 5 objective function 35X + 3 = optimal solution objective function 35X + 3 = X METODE KUANTITATIF

12 /5/ Calculating the Optimal Solution The optimal solution occurs where the pumps and labor constraints intersect. This occurs where: X + = () and 9X + 6 = 566 () From () we have, = -X (3) Substituting (3) for in () we have, 9X + 6 ( -X ) = 566 which reduces to X = So the optimal solution is, X =, =-X =78 Total Profit = $35* + $3*78 = $66, METODE KUANTITATIF 3 Enumerating The Corner Points 5 obj. value = $54, (, 8) Note: This technique will not work if the solution is unbounded. 5 obj. value = $64, (8, ) obj. value = $66, (, 78) 5 obj. value = $ (, ) obj. value = $6,9 (74, ) X METODE KUANTITATIF 4

13 /5/ Summary of Graphical Solution to LP Problems. Plot the boundary line of each constraint. Identify the feasible region 3. Locate the optimal solution by either: a. Plotting level curves b. Enumerating the extreme points METODE KUANTITATIF 5 Special Conditions in LP Models A number of anomalies can occur in LP problems: Alternate Optimal Solutions Redundant Constraints Unbounded Solutions Infeasibility METODE KUANTITATIF 6 3

14 /5/ Example of Alternate Optimal Solutions 5 objective function level curve 45X + 3 = alternate optimal solutions X METODE KUANTITATIF 7 Example of a Redundant Constraint 5 boundary line of tubing constraint boundary line of pump constraint 5 boundary line of labor constraint 5 Feasible Region X METODE KUANTITATIF 8 4

15 /5/ Example of an Unbounded Solution 8 6 objective function X + = 6 objective function X + = 8 -X + = 4 4 X + = METODE KUANTITATIF 8 X 9 Example of Infeasibility 5 5 X + = feasible region for second constraint feasible region 5 for first constraint X + = X METODE KUANTITATIF 3 5

16 /5/ Masalah Khusus LP. Unbounded : bila satu atau lebih fungsi kendala tidak dimasukkan dalam formulasi modelnya, dengan laba yang diperoleh menjadi tak terhingga dan tidak mempunyai solusi optimal. Infeasible : tidak terdapat daerah yang feasibel Max Z s/t : = X 4X 5X + X X, X + X + 5X 8 3 Max Z = 3X + 4X s/t : 5X + X X + X X + X X, X METODE KUANTITATIF 3 Literatur Cliff T. Ragsdale, A Practical Introduction to Management Science 5 th edition M. Muslich, Metode Kuantitatif, Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia METODE KUANTITATIF 3 6