ANALISIS NUMERIK PERSAMAAN GELOMBANG SCHRODINGER GAYUT WAKTU DENGAN METODE CRANK-NICOLSON

Transkripsi

1 Prosid Semiar asioal Peeliia, Pedidia, da Peerapa MPA Faulas MPA, Uiversias eeri Yoyaara, 6 Mei 9 AALSS UMERK PERSAMAA GELOMBAG SCHRODGER GAYUT WAKTU DEGA METODE CRAK-COLSO Supardiyoo Jurusa Fisia FMPA UESA Kampus Keia Surabaya idayoo@yahoo.com ABSTRAK Telah dilaua peeliia ea peyelesaia umeri persamaa Schroder berau wau da visualisasi usi elomba (, ) da probabilias P (, ) dea meode Cra-icolso meuaa bahasa pemorama Malab 7 Fusi elomba (, ) iu sediri ida mempuyai ari isis apa-apa, eapi probabilias P (, ) diierpreasia sebaai erapaa probabilias yaiu emuia (pelua) uu medapaa pariel ya proram ompuer ersebu diperoleh ilai umeri da visualisasi usi elomba (, ) da probabilias P (, ) peyelesaia persamaa Schroder berau wau dea meuaa pedeaa meode Cra-icolso. Meode Cra-icolso mempuyai ara eeliia (aurasi) da esabila ya i. Uu sep wau (d) ya semai ecil diperoleh ilai umeri ya medeai (hampir sama) dea solusi aalii seha ara eeliiaya (aurasi) i. Seha dapa duaa sebaai irume uu meyelesaia persamaa Schroder berau wau. Kaa uci persamaa Schroder, usi elomba, probabilias, meode Cra- icolso. PEDAHULUA Persamaa Schroder pada awalya merupaa awaba dari dualisme parielelomba ya lahir dari aasa de Brolie ya meuaa persamaa uaisasi cahaya Plac da prisip oolisri Eisei uu melaua uaisasi pada orbi elero. Selai Schroder dua ora isiawa laiya ya meaua eoriya mas-mas adalah Werer Heiseber dea Meaia Maris da Paul Dirac dea Alabar Kuaum. Kea eori ii merupaa a eori uaum leap ya berbeda da dieraa erpisah amu eaya seara. Teori Schroder emudia lebih ser duaa area rumusa maemaisya ya relai lebih sederhaa. Mesipu baya medapa riia persamaa Schroder elah dierima secara luas sebaai persamaa ya meadi posula dasar meaia uaum. Walaupu rumusa maemais persamaa Schroder lebih sederhaa dibada Meaia Maris da Alabar Kuaum, pemecaha persamaa ii eap membuuha peeahua maemaia lau. ( hp// adar/isia ) Simulasi ompuer merupaa salah sau meode ya dapa duaa uu meambara eomea-eomea isia secara elas aau secara visual seha mudah uu diamai da dipahami. Demiia ua halya dalam meelasa eomea pada persamaa Schroder ya mampu meelasa hara araerisi elomba de Brolie ya beraia dea sebuah pariel ya berera pada ii ereu pada saa wau ereu. Salah sau meode peyelesaia persamaa-persamaa isia ya rumi secara aalii aa meadi mudah bila meuaa meode umeri. Meode Cra-icolso merupaa salah sau meode umeri ya dapa duaa uu memecaha persamaa dieresial parsial yaiu persamaa Schroder berau wau.(hp//e.wiipedia.or/wii/cra-icolso_mehod) Seir perembaa eoloi iormasi, visualisasi da simulasi dea pemrorama ompuer diharapa dapa memaia peraa pe dalam sais da pedidia. Diperlua soware ya dapa membau para uru sais uu meembaa simulasi ompuer sebaai F-6

2 Supardiyoo / Aalisis umeri Persamaa media pembelaara, dalam hal ii pemrorama MATLAB 7. merupaa salah sau bahasa pemrorama uu pembuaa proram-proram apliasi isia. Tuua peeliia adalah uu () Melaua aalisa maemais da umeri peyelesaia persamaa Schroder berau wau dea meode Cra-icolso. () Membua visualisasi usi elomba (, ) da probabilias P (, ) persamaa Schroder berau wau dea meuaa bahasa pemrorama MATLAB 7. TJAUA PUSTAKA A. Discreizasi Fiie Dierece ) Meode Eplisi Discreizasi iie-dierece persamaa Schroder berau wau, dapa dea mudah diselesaia dea meuaa meode eplisi. Discreizasi rua dea meuaa pedeaa yaiu, d d a () Kemudia dea meerapa pedeaa imes-dierece eplisi d (, ) d b () Dea b adalah ierval wau. Dea meerapa pedeaa iie-dierece eplisi uu persamaa Schroder ib ( ) V ma (3) Persamaa di aas dapa diulis dalam beu operaor yaiu i ( bh ) (4) Dea H adalah discreizasi Hamiloia da adalah mari saua (dea mari poesial V ermasu di dalamya) da adalah mari saua. Kelemaha dea pedeaa ii secara umeri ida sabil da ua operaor i ( bh) ida uiary, ya duaa dalam meeua probabilias yaiu * d ) Meode mplisi Discreizasi meode implisi persamaa Schroder berau wau yaiu; ib ( ) V ma (5) Persamaa di aas dapa ua diulis i ( bh ). (6) 3) Beu Cayley Tei memperoleh operaor discreizasi iie dierece umeri ya sabil da uiary yaiu dea Cayley Form, dea meuaa ceered-ime-dierece aau sema Cra- icolso uu membua discreizasi wau (, ) d i V (, ) b m d d (, ) V (, ) m d (7) Da discreizasi rua yaiu F-6

3 Prosid Semiar asioal Peeliia, Pedidia, da Peerapa MPA Faulas MPA, Uiversias eeri Yoyaara, 6 Mei 9 F-63 V ma b i V ma (8) diperoleh i i (9) dimaa V b da 4ma b i i () Seha dapa diulis dalam beu mari yaiu 3 3 () Dea adalah mari saua, da H adalah H 3 Seha persamaa dierece umeri dalam Cayley s orm adalah () Hubua operaor wau dea ida haya sabil secara umeri eapi ua uiary, yaiu (3) B. Meode umeri Cra-icolso. Meode Cra-icolso merupaa salah sau meode umeri ya dapa duaa uu meyelesaia persamaa dieresial parsial. Meode umeri Cra-icolso merupaa ombiasi dari meode Bacward Times Ceer Space (BTCS) da meode Forward Times Ceer Space (FTCS), seha memberi ee aurasi ya cuup da a esabila ya i.(suara da Mah, 8 9) h Δ FTCS (4)

4 Supardiyoo / Aalisis umeri Persamaa F-64 h Δ BTCS (5) BTCS FTCS icolso Cra h ) ( Δ Δ h Δ Δ Δ Δ (6) (hp// solvedcra-icolso) (5 mare 8) dea h Δ ;,,3, da,,,. METODE PEELTA ) Aalisis umeri dea Meode Cra-icolso Aalisis umeri persamaa Schroder berau wau dea meode Cra-icolso dapa duaa lowchar beriu Gambar Flowchar Proram Cra-icolso

5 Prosid Semiar asioal Peeliia, Pedidia, da Peerapa MPA Faulas MPA, Uiversias eeri Yoyaara, 6 Mei 9 ) Peyelesaia Aalii Peyelesaia persamaa dieresial, ida erecuali solusi persamaa Schroder, memerlua odisi awal aar dapa dilaua ompuasi umeri dea sep-size ereu. Pada odisi ii aaplah sebuah pariel bebas ya erloalisasi pada posisi dea pae elomba selebar σ da dea momeum raa-raa p ( adalah raa-raa aa elomba). Apabila duaa pae elomba berbeu Gaussia, maa elomba awalya adalah (, ) ep( i ) ep ( ) / σ (7) σ π Perlu diperhaia bahwa usi elomba ii erormalisasi seha d (8) Jua perlu dia bahwa odisi ea-pasia (uceraiy) p Pada rua bebas usi elomba adalah sebaai beriu (Suara da Mah, 8 9) ep( ( p / m) / σ ) σ (, ) ep i ( p / m) (9) σ σ π di maa α σ i / m. V. HASL DA PEMBAHASA ) Hasil Proram Hasil dari proram yaiu diperoleh ilai umeri peyelesaia persamaa Schroder berau wau dea meuaa meode Cra- icolso da visualisai usi elomba usi elomba (, ) da probabilias P (, ). Visualisasi usi elomba (, ) da probabilias P (, ) dea Δ,5, Δ,5 da V adalah sebaai beriu. Gambar. (, ) dea pusa F-65

6 Supardiyoo / Aalisis umeri Persamaa Gambar 3. (, ) dea pusa dea pusa ) Pembahasa Seelah proram simulasi ompuer peyelesaia persamaa Schroder berau wau dialaa dea ipua (masua) parameer umlah ii (rid poi) da sep Gambar 4. (, ) wau (d),5 pada ierval 5 5. Hasil dari proram ersebu yaiu ilai umeri peyelesaia dari persamaa Schroder berau wau dea meuaa pedeaa meode umeri Cra-icolso, da visualisasi usi elomba (,) dea eadaa awal (iiial value) berbeu pae elomba. Gambar. yaiu rai visualisasi usi elomba (,) da probabilias P (, ) ya berbeu pae elomba dea pusa pada. Visualisasi ersebu merupaa peyelesaia persamaa Schroder berau wau dea F-66

7 Prosid Semiar asioal Peeliia, Pedidia, da Peerapa MPA Faulas MPA, Uiversias eeri Yoyaara, 6 Mei 9 meuaa pedeaa meode umeri dea ierval rua d, 5 da ierval wau (sep size) d, 5 dea eeri poesial V. Visualisasi ersebu meuua ilai P, diierpreasia sebaai erapaa probabilias yaiu emuia berada diaara da d pada saa (Purwao; 6). Gambar 4. visualisasi usi elomba berbeu pae elomba ya erloalisasi pada pusa, seha pelua uu diemua pariel yaiu pada daerah. Uu eeri poesial V, ii berari ida ada aya ya berasi pada pariel, ampa pada rai ersebu ilai Real (,) miimum pada da ilai maier (,) masimum pada < < 5. Gambar 3. yaiu rai visualisasi usi elomba (,) da probabilias P (, ) ya berbeu dea pusa pada. Visualisasi ersebu merupaa peyelesaia persamaa Schroder berau wau dea meuaa pedeaa meode umeri dea ierval rua d, 5 da ierval wau (sep size) d,5, dea eeri poesial V. Visualisasi ersebu meuua ilai usi elomba (,) Real (berwara biru) da maier (berwara hiau) sera probabilias P (, ) (berwara merah). Fusi elomba (,) iu sediri ida mempuyai ari isis apa-apa, eapi probabilias P (, ) diierpreasia sebaai erapaa probabilias yaiu emuia (pelua) uu medapaa pariel ya didesripsia oleh (,) berada diaara da d pada saa (Purwao; 6). Gambar 4. visualisasi usi elomba berbeu pae elomba ya erloalisasi pada pusa, seha pelua uu diemua pariel yaiu pada daerah. Uu eeri poesial V, ii berari ida ada aya ya berasi pada pariel, ampa pada rai ersebu ilai Real (,) miimum pada da ilai maier (,) masimum pada < < 5. Gambar 4. yaiu rai visualisasi usi elomba (,) da probabilias P (, ) ya berbeu dea pusa pada. Visualisasi ersebu merupaa peyelesaia persamaa Schroder berau wau dea meuaa pedeaa meode umeri dea ierval rua d, 5 da ierval wau (sep size) d, 5, dea eeri poesial V. Visualisasi ersebu meuua ilai usi elomba (,) Real P, (berwara merah). usi elomba (,) Real (berwara biru) da maier (berwara hiau) sera probabilias P (, ) (berwara merah). Fusi elomba (,) iu sediri ida mempuyai ari isis apaapa, eapi probabilias ( ) (pelua) uu medapaa pariel ya didesripsia oleh (,) (berwara biru) da maier (berwara hiau) sera probabilias Fusi elomba (,) iu sediri ida mempuyai ari isis apa-apa, eapi probabilias P (, ) diierpreasia sebaai erapaa probabilias yaiu emuia (pelua) uu berada diaara da d pada saa (Purwao; 6). Gambar 4. visualisasi usi elomba berbeu pae elomba ya erloalisasi pada pusa, seha pelua uu diemua pariel yaiu pada daerah. Uu eeri poesial V, ii berari ida ada aya ya berasi pada pariel, ampa pada rai ersebu ilai Real (,) masimum pada da ilai maier masimum pada < < 5. medapaa pariel ya didesripsia oleh (,) (,) V. SMPULA DA SARA Simpula ) Hasil dari proram ompuer peyelesaia persamaa Schroder berau wau dea meuaa meode Cra-icolso diperoleh ilai umeri da simulasi ya hampir sama aau ida ada perbedaa ya siia. Hal ii meuua bahwa model F-67

8 Supardiyoo / Aalisis umeri Persamaa simulasi ya diuaa dalam proram ompuer adalah bear seha dapa duaa sebaai isrume uu meyelesaia persamaa Schroder berau wau., da probabilias P (, ) peyelesaia persamaa Schroder berau wau dapa duaa uu meeua emuia diemua sebuah pariel pada daerah da d (sau dimesi) pada saa. ) Simulasi usi elomba Sara Sebaiya dalam meerapa proram memasua d da d ya ecil, seha diperoleh hasil dea ara eeliia ya lebih aura DAFTAR PUSTAKA Abdia, A. Guaidi. (6). MATLAB. Badu ormaia Badu Beiser, Arhur. (99). Kosep Fisia Moder Edisi eempa. Jaara Erlaa Purwao, Aus.(6). Fisia Kuaum. Yoyaara GAVAMEDA Suara, M.Sc da Mah., M. Ph.D. (7). Fisia Kompuasi Solusi Problema Fisia dea MATLAB. Yoyaara AD Yoyaara. hp// (di ases Juli 8) hp//e.wiipedia.or/wii/cra-icolso_mehod ( di ases 5 Juli 8) hp// solvedcra-icolso (5 mare 8) hp// ariv.or/ps.cache/ariv (di ases 5 Ausus 8) hp//ma.iim.ac.i/sryedida/caima (di ases 3 Sepember 8) F-68