ISSN: X 45 SIFAT ASIMTOTIK ESTIMATOR NADARAYA-WATSON DENGAN KERNEL ORDE TAK HINGGA. Maria Suci Apriani a, Sri Haryatmi b

Transkripsi

1 ISSN: X 5 SIFAT ASIMTOTIK ESTIMATOR NADARAYA-WATSON DENGAN KERNEL ORDE TAK HINGGA Mara Suc Ara a, Sr Haryatm b a rogram Stud edda Matemata FKI USD Kamus 3 aga, Yogyaarta 558, marasuc@usdacd b Jurusa Matemata FMIA UGM Se Utara Yogyaarta, s_arto@yaoocom ABSTRAK Artel mejelasa sat eormala da eosstea dar estmator Nadaraya Watso dega megguaa erel berorde ta gga secara asmtot eelta megguaa metode stud lteratur berdasara artel berjudul Mmally Based Noarametrc Regresso ad Autoregresso yag dbaas ole Tmoty da Dmtrs Hasl eelta meujua bawa estmator Nadaraya Watso dega megguaa erel orde ta gga meml sat ormal da osste secara asmtot Kata uc: Regres oarametr, trasormas Fourer, deret Taylor ABSTRACT Ts artcle vestgated te ormalty ad cosstecy o Nadaraya Watso estmator wt te order erel asymtotcally Ts researc used lterature study metod based o te artcle ettle Mmally Based Noarametrc Regresso ad Autoregresso by Tmoty ad Dmtrs Te result sowed tat Nadaraya Watso estmator wt te order erel as ormal ad cosstet caracterstcs asymtotcally Key words: Noarametrc regresso, Fourer trasormato, Taylor seres edaulua Megestmas ugs regres r(x ) ada model regres Y = r(x ) + ε dega edeata oarametr, dlaua ja tda ada asums tetag ugs r(x ) Sala satu te yag daat dguaa utu megestmas ugs tersebut dega edeata oarametr adala te egalusa dega erel Kerel berdasara ordeya dbedaa mejad erel berorde gga da ta gga Meurut Tmoty da Dmtrs (003) ja erel K memuya orde v da ugs eadata r memuya turua otu sebaya al maa: Bas ( ˆr ) = C K,r () + o( ) Keta ugs r cuu mulus atau daat ddeeresala sebaya al dmaa v, maa bas ˆr daat dredus mejad o( ) dega secara teat meml erel dega orde yag leb besar dar bayaya deresal Namu ta esulta utu meetua orde erel beraaa yag arus dl Segga dtetaa suatu erel yag AdMatEdu Vol5 No Ju 05 Sat Asmtot (Mara Suc Ara)

2 6 ISSN: X meml te orde Sat secara asmtot dar estmator Nadaraya Watso dega erel orde ta gga yatu: meml sat osste secara robabltas berdstrbus ormal dega rata-rata ol da as K s ds aa dbaas leb dalam ada artel Metode eelta Metodolog yag dguaa dalam eelta adala stud lteratur Laga-laga yag dlaua euls adala sebaga berut: Mecar da meetua jural yag aa djada baa acua Megumula jural-jural la yag releva dega mater dalam jural acua 3 Memelajar buu-buu eduug yag berata dega to ermasalaa eelta Memelajar da membaas to eelta yag melut: teor regres oarametr, de dasar smootg, estmator erel, estmas ugs dalam regres oarametr, satsat ugs erel, estmas destas erel, ugs estmator Nadaraya Watso, erel dega te orde, 5 Memelajar erormace (bas da as) dar emblag da eyebut estmator Nadaraya- Watso dega te orde erel 6 Meyusu laora eelta Hasl da embaasa Hasl yag derole meujua bawa estmator Nadaraya Watso dega Kerel orde ta gga meml sat osste secara robabltas da ormal secara asmtot Berut embaasaya: Estmator Nadaraya Watso Estmator ugs regres yag dusula ole Nadaraya-Watso utu ugs destas yag tda detau adala: rˆ K X Y K X gˆ ˆ Meurut Hardle (99) la-la statst emblag dar estmator Nadaraya-Watso dega ugs erelya memuya orde dua adala sebaga berut: Bas gˆ g '' K o, 0 ˆ g s K o, utu Sat Asmtot (Mara Suc Ara) AdMatEdu Vol5 No Ju 05

3 ISSN: X 7 ˆ MSE g s K dega g '' K o o 0, s E Y X Derole la MSE dar estmator Nadaraya-Watso yatu: MSE rˆ K r ' ' '', 0,, r K o o Estmas Destas Kerel Dega Kerel Berorde Tgg Teorema (Roussas, 973) Bla X abel radom ta egat maa E X X a a Teorema (Roussas, 973) Bla X abel radom dega E(X) = μ, (X) = σ maa X, 0 Des (Roussas, 973) Barsa abel radom {X } dataa overge e X (dalam robabltas), dotasa X X, ja utu seta 0, X X 0 utu Lemma (Roussas, 973) Ja X X da Y Y maa X Y dmaa X Y Y Y Suatu erel dataa berorde v ja memeu syarat sebaga berut: K 0, utu semua la, K d, j 0, j,, v K d j 0, j v Teorema (Hardle, 99) Adaa erel K berorde tgg, meruaa estmator dar ugs destas yag memuya turua otu terbatas da v adala orde erel, maa bas dar ugs tersebut adala t t t t o, 0 dmaa t t! = m{,v} dega asums sebaga berut: () Fugs bersat otu da tertegrala secara uadrat () Badwdt memeu asums lm 0 da lm Fugs erel K meruaa ugs eadata robabltas yag terbatas da smetr d setar daera aslya 3 Sat Asmtot Estmator Nadaraya Watso Dega Kerel Orde Ta Hgga 3 Kerel orde ta gga ˆ AdMatEdu Vol5 No Ju 05 Sat Asmtot (Mara Suc Ara)

4 8 ISSN: X Meurut Berg (008) ugs Kerel dataa memuya orde v ja v memeu: K d da R K d v 0,,,, Des 3 (Berg, 008) K() dataa berorde ta gga ja memeu: K d 0,,, Des 3 (McMurry da olts, 003) Sebua lat-to Kerel K dega orde ta gga secara umum dbetu melalu Trasormas Fourer λ, yatu utu la teta c > 0 s ja s c g s ja s c Dmaa ugs g dl segga membuat s, s da s s daat dtegrala Flat-to Kerel dbera sebaga berut: s K se ds 3 Sat asmtot estmator Nadaraya Watso dega erel orde ta gga Aa duj erlau dar estmator Nadaraya-Watso dega erel orde ta gga utu egamata asaga data d dega destas yag Asums 3 Keta, badwdt 0 da Asums 3 ε adala radom error dega asums deede, 0 da E X E X Asums 33 berdstrbus det da deede dega destas Lemma 3 Ja berada dalam terval terbua dmaa memuya turua otu terbatas da r memuya turua otu terbatas, maa berdasara asums 3 da 3: a ˆ E o b E gˆ g o But:, dmaa = m{,} a Bas eyebut estmator Nadaraya- Watso dega erel orde ta gga Detau, ˆ E K s s ds! s K s ds Sat Asmtot (Mara Suc Ara) AdMatEdu Vol5 No Ju 05

5 ISSN: X 9 bas ˆ! s AdMatEdu Vol5 No Ju 05 K s ds Berdasara asums 3 maa bas ˆ o b Bas emblag estmator Nadaraya- Watso dega erel orde ta gga E g ˆ E K X Y K u u y y u dy du K u u r u du r u u K u du Adaa r terturua otu ada selag tertutu, da r memuya turua otu terbatas ada terval terbua, yag memuat la dega = m{,} da adaa r meruaa ugs mulus ada semua blaga real R, maa: ˆ E g r v r ' v r! K v dv Keta K tertegrala e satu, semua momeya adala ol da eta r g maa ˆ g E g v! r K v dv Berdasara asums 3 maa ˆ E g g o Asums 3 Tt meruaa tt otu dar, C utu C > 0 da ugs r serta ugs masgmasg terderesal d setar Lemma 3 Ja berada dalam terval terbua dmaa memuya turua otu terbatas da r memuya turua otu terbatas, berdasara asums 3 3 maa: a b ˆ K zdz o O Sat Asmtot (Mara Suc Ara) r gˆ K z dz But: a ˆ o O K X E K u E K u Dmaa,

6 50 ISSN: X E K u K u u du K s s ds K s s ' s s ''! s ds! Segga: ˆ E K u E K u K s ds K s s ' s s ''! s ds! o Berdasar asums 3 maa ˆ K s ds o O b ˆ g K X Y E K u y E K u y Dmaa,, E K u y K u y u y du dy K u u E r u X u du K u ur u udu Segga ddaata: gˆ K u u r u u du o g K s s r s s ds o g Berdasara asums 3 da dega deret Taylor maa: gˆ r K s ds o O Lemma 33 Berdasara asums 3 3 serta lemma 3 da 3 maa: a ˆ Sat Asmtot (Mara Suc Ara) AdMatEdu Vol5 No Ju 05

7 ISSN: X 5 b gˆ g But: a Aa dbuta ˆ overge dalam robabltas e Dega megguaa etasamaa Cebycev, maa: ˆ o K s ds o O Keta maa ˆ 0, al meujua ˆ bawa b Aa dbuta ĝ overge dalam robabltas e g Dega megguaa etasamaa Cebycev da berdasara lemma 3 serta lemma 3 maa: gˆ g o( r o O Keta maa K z dz gˆ 0, al meujua bawa gˆ g Berdasara Lemma maa rˆ gˆ g r ˆ Terbut ˆr meruaa estmator yag osste secara asmtot ada urva regres r Teorema 3 Ja berada dalam terval terbua dmaa memuya turua otu terbatas da r memuya turua otu terbatas maa berdasara asums 3 3, D rˆ r o N K zdz But: 0, Y r X K X Y K X r Daat dtuls: rˆ r r X K X K X aˆ aˆ ˆ ˆ r Aa dbuta â berdstrbus ormal secara asmtot AdMatEdu Vol5 No Ju 05 Sat Asmtot (Mara Suc Ara)

8 5 ISSN: X Adaa b X K, maa aˆ b Kta daata 0 E b, b K sds Aa dbuta bawa syarat Lauov E b E O X K b memeu Keta derole E b 0 Segga D aˆ N 0, K s ds Aa dbuta aˆ o 0 a Nla esetas dar â X E a E K ˆ r r X o o o b Nla as dar â aˆ K r X r X K sr s r s ds o O Megguaa etasamaa Cebycev da eta maa: ˆ a 0, segga aˆ o 0 abatya aˆ o 0 Tela dbuta bawa ˆ segga: aˆ ˆ o, 0 3 Membuta estmator ˆr berdstrbus ormal secara asmtot rˆ r o ˆ aˆ a o ˆ ˆ Berdasara o da maa: Sat Asmtot (Mara Suc Ara) AdMatEdu Vol5 No Ju 05

9 ISSN: X 53 D rˆ r o N 0, K s ds Terbut bawa estmator ˆr berdstrbus ormal secara asmtot Kesmula Secara asmtot estmator Nadaraya Watso dega Kerel orde ta gga meml sat osste secara robabltas da ormal Sat eormala dar estmator tersebut dega megguaa erel orde ta gga meml rata-rata ol da as K s ds ustaa Berg, Artur 008 Noarametrc Fucto Estmato wt Ite- Orde Kerels Deartmet o Statstcs, Uversty o Florda Hardle, Wolgag 99 Smootg Tecues Wt Imlemetato S Srger-Verlag, New Yor McMurry, TL ad olts, DN 003 Noarametrc Regresso wt Ite Orde Flat-To Kerel, terseda d wwwmatucsdedu/~olts/a ER/McMurryolts0d, dases ada taggal 3 Februar 03 Roussas, GG 973 A Frst Course Matematcal Statstcs Addso- Wesley ublsg Comay, Ic Tawa AdMatEdu Vol5 No Ju 05 Sat Asmtot (Mara Suc Ara)

10 5 ISSN: X Sat Asmtot (Mara Suc Ara) AdMatEdu Vol5 No Ju 05