Inversi Tak-Linier Magnetotelurik Dua-Dimensi Menggunakan Algoritma Monte Carlo Rantai Markov

Transkripsi

1 Invers Ta-Lner Magnetotelur Dua-Dmens Menggunaan Algortma Monte Carlo Ranta Marov ugroho D. Hananto dan Ded S. Wdarto Pusat Peneltan Geotenolog Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesa Komple LIPI Jl. Sangurang Bandung - 4 e-mal : nugroho@geote.lp.go.d ABSTRAK Dalam formulas masalah nvers menggunaan nferens Bayes, solus nvers adalah fungs peluang model posteror yang merupaan atualsas peluang model a pror. Pemecahan masalah nvers ta-lner dlauan dengan algortma Monte Carlo Marov Chan (MCMC) dmana peluang transs dar ranta Marov homogen dgunaan untu mengesploras ruang model secara efetf. Penyelesaan nvers talner n meml emampuan untu menghndar ebaan mnmum loal yang serng terad dalam nvers dengan pendeatan lner. Penerapan pemodelan nvers MCMC pada data sntet magnetotelur 2-D menunuan bahwa nvers data mode TE atau TM secara mandr menghaslan ctra yang urang fous arena senstvtas masng-masng mode. amun deman, resolus model nvers dar data mode TE dan TM secara terpadu menghaslan ctra yang memuasan. ABSTRACT In formulaton of nverse problem usng Bayesan nference, soluton to the nverse problem s expressed as posteror probablty of model obtaned as actualsaton of gven pror model probablty. The non-lnear nverse problem s resolved by usng Monte Carlo Marov Chan (MCMC) algorthm where the transton probablty of a homogenous Marov chan s employed to explore effectvely the model space. Ths nonlnear approach has the ablty to overcome local mnma entraptment, whch occasonally occurs n the lnearzed nverson. Applcaton of the algorthm to nvert separate TE and TM mode of MT synthetc data results n non-focused mages due to dfferent senstvtes of TE and TM data. However, smultaneous nverson of TE and TM data gves satsfactorly results. 1. PEDAHULUA Invers secara teorts adalah suatu teor matemata yang mencoba menelasan bagamana nformas tentang suatu sstem fss terparametersas dapat dturunan dar seumpulan data hasl pengamatan (Mosegaard & Tarantola, ). Dalam geofsa, teor nvers telah secara luas dembangan dengan tuuan untu mengambl esmpulan tentang nteror bum dar seumpulan data fsa yang damat d permuaan. Pemecahan nvers basanya dlauan dengan mencar suatu model optmum dmana respon yang dhaslan oleh model tu mendeat data hasl pengamatan. Hal n dlauan dengan memnmuman suatu fungs obyetf tertentu yang menggambaran seberapa deat data pengamatan dengan respon hasl penghtungan suatu model (Mene, 1). Fungs obyetf yang dmnmuman dalam nvers geofsa basanya adalah suatu fungs yang ta-lner. Sfat ta-lner n tmbul dar omplesnya fenomena fss yang damat. Pendeatan lner dapat dlauan untu memecahan fungs ta-lner n dengan cara mendeat graden fungs obyetf dengan menerapan espans deret Taylor orde pertama. Informas tu selanutnya dgunaan untu melauan modfas pada parameter model secara teratf hngga dperoleh suatu model optmal. Pendeatan lner pada fungs obyetf yang ta-lner serngal memberan solus yang tda onvergen dan tereba pada mnmum loal. Kelemahan pendeatan lner n dapat datas dengan melauan pendeatan global (tanpa lnersas) pada fungs obyetf. Metoda stoast berbass Monte Carlo sepert UMC (Unform Monte Carlo), SA (Smulated Annealng) dan GA (Genetc Algorthm) sangat menar dterapan untu melauan optmas fungs msft dalam ruang parameter mult-dmens (Sambrdge, 1). Dalam maalah n dbahas pemecahan masalah nvers ta-lner pada data magnetotelur dua-dmens (MT 2-D) menggunaan sema Monte Carlo dalam formulas statsta Bayes. 2

2 JURAL GEOFISIKA 24/2 Smulas ranta Marov ergod dlauan untu menyataan dstrbus (probablty densty functon atau PDF) a posteror margnal dar model parameter. Selanutnya algortma pemrograman du coba pada data respon model sntet MT untu mengetahu resolus hasl nvers. 2. TEORI Masalah nvers yang aan dselesaan adalah menentuan suatu hmpunan model parameter yang tda detahu m = [ m ] ( = 1, 2,..., M ) dar hmpunan data hasl pengamatan d = d ] [ ( = 1,2,..., D). Setap parameter model meml nla tertentu yang dberan oleh suatu hmpunan nla a pror yang mungn ρ = [ ρ ]( = 1,2,... ). Dalam asus n, perumusan Bayes dapat dtulsan sebaga ( d) ( d m) h( m) d m) h( m) g Π m = (1) dmana d m) mengacu pada peluang ondsonal dar data yang dhaslan oleh model (forward modellng), sedangan h (m) adalah rapat peluang a pror model. Parameter X bers hmpunan M model yang mungn (semua ombnas nla a pror yang mungn untu M parameter model) (Grands d., ). Masalah yang henda dtnau secara husus adalah peluang margnal model dengan elemen tertentu dar parameter model m tanpa mempedulan elemen model yang lan yang dapat dtulsan sebaga : Π( m = ρ d) = d m = ρ ) h( m = ρ ), d m) h( m) (2) Rapat peluang posteror fungs Π pada persamaan (1) dan (2) tda dapat dhtung secara langsung. amun deman dapat dlauan smulas untu memlh sampel secara efsen dar bagan ruang model yang berontrbus terbanya pada denomnator persamaan (2). Dmula dar elemen manapun dalam ruang model, dtentuan peluang relatf dar satu parameter, msalan m untu = 1,2,..., dengan seluruh harga elemen lan tetap. Peluang relatf n pada enyataannya adalah asus husus dar persamaan (2). Peluang ondsonal model dengan m (dan harga elemen model lan tetap) dnyataan oleh : d m ) h( m ) p( m = ρ d) = () = 1 d m = ρ ) h( m = ρ ) dmana ( m ) menyataan secara mplst bahwa parameter model m selan m adalah tetap. Denomnator persamaan () dapat dhtung untu seumlah nla a pror untu parameter model. Peluang relatf n dapat dgunaan sebaga bobot bag nla a pror parameter model yang dplh untu memperbaharu nla m. Peluang ondsonal data yang dberan oleh model d m ) dalam persamaan () adalah fungs lelhood yang beratan dengan dstrbus galat dar data. Dengan mengasumsan galat yang bersfat Gaussan dan peluang yang seragam untu setap nla a pror dapat dtulsan bentu yang lebh esplst dar persamaan () sebaga berut : exp( E( m )) p( m = ρ ) = (4) = 1 exp( E( m = ρ dmana notas vetor d telah dhlangan untu penyederhanaan dan E = ρ ) adalah fungs ( m msft. Fungs msft n ddefnsan sebaga perbedaan antara data hasl pengamatan dan data hasl penghtungan. Evaluas persamaan (4) memerluan pemecahan masalah pemodelan edepan untu vetor model m dmana pada suatu teras elemen e- adalah sama dengan ρ untu = 1,2,...,. la parameter model m dperbaharu dengan melauan seles aca dar nla-nla a pror yang telah dber bobot dengan peluang relatfnya. Pada tahapan n dperluan penyelesaan pemodelan edepan seumlah nla a pror yang dberan untu setap parameter model m. Parametersas model dan proses seles nla a pror untu m 1 secara semats dperlhatan pada Gambar 1. Peluang relatf pada persamaan (4) mereflesan ecenderungan pemlhan sampel pada ruang model. Harga parameter model yang menghaslan msft ecl aan lebh mungn terplh darpada parameter model dengan msft yang besar. Dengan deman pemlhan nla ρ tertentu untu harga parameter m dengan nla msft yang besar tetap dapat terad hanya saa peluangnya lebh ecl. Sfat n memungnan ))

3 JURAL GEOFISIKA 24/2 algortma nvers non-lner n untu lepas dar ebaan mnmum loal (Rothman, ). MODEL SITETIK Jara (m) 1. Gambar 2. Model sntet dengan anomal ondutf (1 Ωm) dan anomal resstf (1 Ωm) pada medum 1 Ωm (sala warna adalah dalam log resstvtas). Gambar 1. (a) Parametersas model dan (b) Pemlhan harga a pror untu satu elemen model.. HASIL DA PEMBAHASA Algortma nvers du dengan melauan nvers data MT sntet 2-D. Sema pemodelan edepan yang dgunaan adalah algortma elemen hngga yang dembangan oleh Uchda (1). Model yang dtnau berupa model blo sederhana dengan dua anomal. Benda anomal pertama bersfat ondutf (1 Ωm) sedangan benda anomal edua bersfat resstf (1 Ωm) yang berada dalam lngungan setengah ruang (halfspace) homogen dengan tahanan-ens 1 Ωm. Tahanan-ens semu dan fasa respon model dhtung pada 24 stasun dengan ara antar stasun serba sama 5 m. Penghtungan respon sntet dlauan dalam mode TM (transverse magnetc), mode TE (transverse electrc). Pada mode TM arah medan magnet seaar arah strutur (stre). Freuens yang dgunaan adalah sebanya 11 freuens antara 2 Hz hngga 248 Hz. Pada seluruh data sntet dberan derau Gaussan sebesar. %. Tpper pada mode TE tda dgunaan. Pada Gambar 2 dtamplan model sntet yang dgunaan dalam peneltan n. Invers dlauan pada data sntet yang dhaslan dar pemodelan edepan respon model pada mode TE, mode TM, dan mode paduan TE dan TM. Invers n bertuuan untu mendapatan embal ctra model dar data sntet. Iteras dbatas hanya sampa 1 teras dengan pertmbangan watu omputas yang panang dan ecenderungan pola msft yang dharapan telah mengalam eenuhan. Kurva msft terhadap teras selanutnya dgambaran untu melhat onvergens nvers. Pada selang dmana onvergens telah tercapa, dlauan penghtungan harga parameter model rata-rata (berdasaran estmas Bayes) sebaga model nvers. Penghtungan varans model tda dlauan arena umlah teras yang sedt sehngga haslnya danggap tda dapat merepresentasan etdapastan model nvers. Ctra model hasl nvers untu mode TM dtamplan pada Gambar sedangan urva msft sebaga fungs teras dperlhatan pada Gambar MODEL IVERSI TM - 1. Jara (m) Log Tahanan-ens Gambar. Ctra model hasl nvers mode TM

4 JURAL GEOFISIKA 24/2 msft (x1) teras Gambar 4. Kurva msft sebaga fungs teras pada nvers mode TM. Dar ctra datas terlhat bahwa algortma nvers telah dapat meresolus daerah anomal resstf sedangan daerah anomal ondutf tda teresolus dengan ba. Hal n dsebaban sfat mode TM yang lebh senstf pada anomal anomal resstf (Uchda, 1). Kurva msft menunuan penurunan nla msft yang sgnfan hngga teras e-5. Pada teras berutnya urva msft sedt beroslas hngga ahrnya onvergen pada teras e-1. Oslas n menunuan emampuan algortma nvers untu mengenal adanya mnmum loal yang dtemu pada teras tertentu dan emudan melauan upaya pembaharuan parameter model sebaga usaha untu lepas dar ebaan mnmum loal tersebut. Hasl nvers pada mode TE dtamplan pada Gambar 5 sedangan urva msft sebaga fungs teras nvers mode TE dtamplan pada Gambar. Dar ctra hasl nvers dapat damat bahwa daerah anomal ondutf relatf dapat terresolus sedangan daerah anomal resstf tda dapat terresolus dengan ba. Hal n dsebaban sfat nheren dar mode TE yang relatf tda senstf terhadap anomal resstf. Kurva msft yang dperoleh menunuan adanya penurunan yang taam pada teras edua yang emudan beroslas hngga onvergen pada teras e-1. Pola n menunuan bahwa nla msft pada teras edua merupaan salah satu mnmum loal yang dapat dhndar algortma n dengan alan melauan pembaharuan nla parameter model. Ctra hasl nvers data sntet pada mode paduan TE dan TM dtamplan pada Gambar 7 sedangan urva msft sebaga fungs teras dperlhatan pada Gambar 8. Dar ctra mode paduan TE dan TM tersebut terlhat bahwa proses nvers telah menghaslan ctra yang mendeat model sntet. Hal n dsebaban arena nformas yang dgunaan pada mode paduan n lebh lengap dan salng melengap arena data mode TE dan mode TM dgunaan secara bersama-sama untu melauan evaluas model parameter a pror. Penggunaan edua mode secara bersamaan aan menambah nformas yang dapat dsaran dar edua mode tu. amun deman, watu omputas yang dperluan uga menad dua al lpat lebh lama darpada nvers pada satu mode saa. Kurva msft sebaga fungs teras uga menunuan adanya emampuan algortma n menghndar mnmum loal pada teras e-5 dan emudan mencoba mereonstrus ctra embal melalu pembaharuan nla parameter model hngga onvergen pada teras e MODEL IVERSI TE Log Jara (m) Tahanan-ens Gambar 5. Ctra model hasl nvers mode TE. msft(x1.e+) MODE TE DATA SITETIK teras Gambar. Kurva msft sebaga fungs teras pada nvers mode TE. 5

5 JURAL GEOFISIKA 24/ MODEL IVERSI TE & TM Log Jara (m) Tahanan-ens Gambar 7. Ctra model hasl nvers mode TE dan TM. MODE TE&TM DATA SITETIK Dalam peneltan n uga telah dperlhatan bahwa algortma nvers ta-lner n meml emampuan untu lepas dar ebaan mnmum loal. Dsampng tu algortma nvers Monte Carlo Ranta Marov bersfat umum (gener) sehngga dapat dterapan pada penyelesaan masalah estmas parameter berdasaran data geofsa lannya. Untu tu perlu dperhtungan penyesuaan yang menyangut pemodelan edepan dan adanya ambgutas nheren pada setap metoda atau data geofsa yang dtnau. UCAPA TERIMA KASIH Penuls menyampaan ucapan terma ash epada Dr. Hendra Grands dan rean-rean dar Lab. Geofsa Terapan, Program Stud Geofsa Dept. GM-ITB yang telah memberan masuan dan dsus untu penulsan maalah n. msft(x1.e+) teras Gambar 8. Kurva msft sebaga fungs teras pada nvers mode TE dan TM. 4. KESIMPULA Penerapan algortma Monte Carlo Ranta Marov pada nvers data sntet menghaslan ctra tahanan-ens yang ba untu nvers paduan TE dan TM. Invers mode TE menghaslan ctra tahanan-ens daerah anomal tahanan-ens rendah yang ba sedangan nvers mode TM menghaslan ctra daerah anomal tahanan-ens tngg yang ba. Temuan n beratan dengan senstvtas data mode TE dan TM dmana mode TE lebh senstf terhadap anomal tahanan-ens rendah sedangan mode TM lebh senstf terhadap anomal tahanan-ens tngg. DAFTAR PUSTAKA Grands, H., Mog, T., Wdarto, D.S.,, -D magnetotellurc nverson usng Marov chan algorthm, Proceedng of th SEG Japan Conference, Toyo, Japan. Mene, W., 4, Introducton to geophyscal data analyss: dscrete nverse theory, Academc Press, Orlando. Mosegaard, K. and Tarantola, A.,, Monte Carlo samplng of solutons to nverse problems, J. Geophys. Res., 1, Rothman,D.H.,, Automatc estmaton of large resdual statcs correctons, Geophyscs, 51, 2 4. Sambrdge, M., 1, Geophyscal nverson wth a neghbourhood algorthm I. Searchng a parameter space, Geophys. J. Int,, Uchda, T., 1, Smooth 2-D nverson of magnetotellurc data based on statstcal crteron ABIC, J. Geomag. Geoelectr., 45,