A. JUDUL: Tinjauan Termodinamika Pada Sistem Partikel Tunggal Yang Terjebak Dalam Sebuah Sumur Potensial

Transkripsi

1 A. JUDUL: injauan ermodinamika ada Sistem artikel unggal Yang erjebak Dalam Sebuah Sumur otensial B. ABSRAK Dalam penelitian ini akan dikembangkan hubungan-hubungan antara koordinatkoordinat termodinamika untuk suatu sistem partikel tunggal ang terjebak dalam sumur potensial secara teoritis. Untuk memudahkan peninjauan terhadap sistem partikel tunggal ang terjebak dalam sumur potensial, akan digunakan pendekatan gas ideal dengan sedikit modiikasi terhadap hukum-hukum termodinamika. arameter-parameter ang digunakan adalah jumlah pertikel, temperatur, energi, rekuansi osilasi, dan tekanan umum. Kemudian dibuat analogi terhadap hubungan termodinamika konvensional untuk gas ideal pada volume tetap. ada akhir penelitian teoritis ini akan diperoleh perumusan kapasitas panas untuk sistem pertikel tunggal ang terjebak pada sebuah sumur potensial. 1

2 C. LAAR BELAKANG Hukum-hukum termodinamika selama ini kebanakan baru diterapkan pada sistem termodinamika berupa gas ideal. enurunan persamaan-persamaan hukum termodinamika ang diterapkan pada gas ideal, biasana diasumsikan bahwa sistem ang ditinjau adalah gas ang terdapat sebuah silinder tertutup dengan sebuah piston ang dapat bergerak. Seperti tergambar di bawah ini :,, W Gambar-1 Gas ideal mempunai siat bahwa partikel-partikel tidak saling berinteraksi, kecuali lewat tumbukan, persamaan ang sudah terkenal untuk gas ideal adalah : Nk......(1 1) dimana adalah tekanan gas, adalah volume bebas untuk gas bergerak, N adalah jumlah partikel, adalah temperatur, k adalah konstanta gas ideal, dan mempunai persamaan energi : 3 E Nk...(1 ) Jika gas berada pada sebuah selinder tertutup, maka dengan mudah kita dapat menentukan volumena. Akan tetapi sekarang bagaimana halna jika partikel gas tersebut berada pada sebuah sumber potensial dimana dindingna dibatasi oleh sebuah energi potensial tak berhingga. Jelas kita tidak dapat menentukan volume dengan mudah, sehingga persamaan (1) di atas harus dimodiikasi agar dapat menentukan persamaan gas ideal pada sistem ini.

3 Sistem ang kita maksud dapat digambarkan sebagai berikut : Sumur potensial satu dimensi Gambar G D. RUMUSAN MASALAH adalah : Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan pokok dalam penelitian ini Bagaimana carana mendeskripsikan sistem partikel tunggal ang terjebak dalam sumur potensial berdasarkan tinjauan termodinamika. Bagaimana rumusan hukum-hukum termodinamika untuk sistem berupa partikel tunggal ang terjebak dalam sumur potensial. E. UJUAN ENELIIAN Sesuai dengan masalah ang telah dirumuskan sebelumna, maka penelitian ini bertujuan : 1) Memperluas penerapan hukum-hukum termodinamika pada sistem-sistem lain, dalam hal ini terutama untuk mendeskripsikan sistem partikel tunggal ang terjebak dalam sumur potensial. ) Untuk memperoleh rumusan-rumusan baru hukum-hukum termodinamika ang diterapkan pada sistem-sistem lain, dalam hal ini terutama untuk sistem berupa partikel tunggal ang terjebak dalam sumur potensial. 3) Mengembangkan materi perkuliahan termodinamika di Jurusan endidikan Fisika FMIA UI. 3

4 F. KERANGKA EORIIK ENELIIAN 1. Sekilas ermodinamika ermodinamika adalah ilmu tentang temperatur, kalor, dan pertukaran energi. ermodinamika mempunai penerapan praktis dalam semua cabang sains dan teknologi seperti halna dalam berbagai aspek kehidupan sehari-hari, mulai dari urusan cuaca sampai urusan masak-memasak.emodinamika adalah ilmu ang mempelajari hubungan antara kalor dengan usaha serta siat-siat ang mendukung hubungan tersebut. Dapat pula dikatakan bahwa termodinamika adalah ilmu ang mempelajari energi dan tranormasina. rinsip-prinsip dan hukum-hukum termodinamika digunakan pada perencanaan motor-motor bakar, pusat-pusat tenaga nuklir, pesawat-pesawat pendingin, roket, pesawat terbang, pesawat dengan tenaga listrik, dan lain-lain. embahasan termodinamika bersiat makroskopis, dalam arti menangkut siat kelompok atom atau molekul individual. Secara historis, termodinamika memang terlepas dari teori mikroskopis. Hal ini disebabkan karena termodinamika dikembangkan sebelum teori atom dan molekul mapan. Oleh karena itu maka hukum-hukum termodinamika tidak terpengaruh oleh perubahan-perubahan dalam teori tentang atom, molekul, struktur at dan antar aksi atom atau molekul. ermodinamika merupakan cabang dari termoisika. ermoisika adalah ilmu pengetahuan ang mempelajari dan menjelaskan perilaku at dibawah pengaruh kalor dan perubahan-perubahan ang menertaina. ermoisika mencakup cabang-cabang ilmu : kalorimetri, termometri, perpindahan kalor, termodinamika, teori kinetik gas dan isika statistik. ada diktat ini kita hana akan membicarakan termodinamika saja. Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep-konsepna kita akan mencoba dengan menggunakan pendekatan teknik, aitu setiap pembahasan akan disertai dengan terapanna dalam kehidupan sehari-hari dan dalam teknologi. ermodinamika berbeda dengan isika statistik. Dalam termodinamika kita akan berusaha mendapatkan rumus-rumus ang menggambarkan kaitan antara besaran isika tertentu, untuk menjelaskan pengaruh at dibawah pengaruh kalor. Besaran isika ang dimaksud disebut koordinat makroskopik sistem. Rumus-rumus ang menggambarkan 4

5 kaitan antara besaran isika tertentu dalam termodinamika diperoleh secara empiris melalui eksperimen ang kemudian digunakan untuk meramalkan perilaku at tersebut dibawah pengaruh kalor ang lain. Jumlah koordinat makroskopik ang diperlukan untuk suatu sistem termodinamika jumlahna tidak terlalu banak. Berbeda dengan termodinamika, dalam isika statistik kita tidak memperlihatkan sistem sebagai suatu keseluruhan, melainkan memandang partikel-partikelna secara individual. Oleh karena itu, besaran-besaran isik ang dibicarakan pada isika statistik disebut koordinat mikroskopik. Supaa terbentuk jembatan antara dunia makroskopik dan dunia mikroskopik, maka diadakan beberapa pemisalan tentang partikel itu, sehingga secara teoritik dapat diturunkan hubungan-hubungan ang mengkaitkan besaran makroskopik dengan siat partikel. Dengan demikian jumlah koordinat mikroskopik untuk suatu sistem adalah sejumlah partikel ang ada dalam sistem tersebut (aitu seorde dengan bilangan Avogadro). Suatu sistem berupa gas, padatan, atau cairan misalna, terdiri atas sejumlah atom atau molekul. Oleh karena itu sangat berguna untuk mendeinisikan suatu makroskopik ang mencakup sejumlah partikel (atom, ion dan molekul). Satuan tersebut sering disebut mol. Dan sejumlah partikel ang terdapat dalam 1 mol gas misalna, disebut bilangan avogadro (N). Bilangan N dideinisikan sebagai jumlah atom ang terdapat dalam tepat 1,00 gram isotop C-1, akni 6, Oleh karena itu jika kita memiliki sejumlah mol gas, maka kita akan memiliki sejumlah partikel (berupa atom, molekul, atau ion) se-orde bilangan avogadro. Jadi istilah mol, kalau disederhanakan sama dengan istilah kodi atau lusin dalam kehidupan sehari-hari, aitu suatu istilah untuk menebut sejumlah atom, ion, atau molkeul pada suatu sistem. Dengan demikian jumlah koordinat mikroskopik ang terlibat dalam suatu sistem, se-orde dengan Bilangan Avogadro. Untuk lebih mempertegas perbedaan antara termodinamika dan isika statistik, perhatikan contoh berikut ini : Misalkan kita memiliki suatu sistem berupa gas ang terdiri dari N buah molekul, ang dibatasi oleh suatu dinding pembatas dalam ruang tertutup. Besaran makroskopik ang menggambarkan sistem gas ini adalah : ekanan (), olume () dan Suhu (). Dari eksperimen diketahui bahwa antara,, dan terdapat kaitan tertentu. Artina bahwa sistem gas tersebut dapat kita beri volume tertentu, suhu 5

6 tertentu, ternata tekananna dengan sendirina mempunai nilai tertentu pula. Hubungan ungsional ini secara matematis ditulis (,,) 0 dimana besaran, dan mudah diukur. Sistem gas di atas, dapat pula dipandang sebagai suatu kumpulan N molekul/partikel ang masing-masing bermassa m dan berkecepatan v. Untuk menjelaskan konsep tekanan (), harus dibuat beberapa asumsi. Misalna gas tersebut dianggap sebagai gas ideal (mengenai gas ideal akan dibicarakan dalam satu bab khusus). Untuk sementara, ang disebut gas ideal atau gas sempurna adalah gas ang dengan tepat memenuhi hukum Bole dan hukum Ga-Lussac, aitu : n R. Disini ekanan, olume ruang untuk gas bergerak secara bebas, n jumlah mol gas, temperatur absolut (mutlak), dan R konstanta universal gas. elah kita ketahui pula bahwa sebenarna tidak ada gas nata ang tepat memenuhi hukum Bole dan Ga-Lussac. etapi bila tekananna tidak terlalu besar dan temperaturna tidak terlalu rendah, gas nata akan mirip dengan gas ideal, dan siatna dapat dilukiskan oleh persamaan : n R. Dalam sudut pandang mikroskopik, ang dinamakan teori kinetik gas, tekanan gas adalah hasil tumbukan antara molekul gas dan dinding-dinding bejana dimana gas berada. Kita dapat menghitung tekanan ini dengan menghitung laju perubahan momentum molekul gas karena tumbukan dengan dinding bejana. Berdasarkan hukum kedua Newton, laju perubahan momentum sama dengan gaa ang diberikan oleh dinding pada molekul-molekul gas : r r d F (1-3) dt Berdasarkan hukum ketiga Newton, gaa ini sama dengan gaa ang diberikan oleh molekul-molekul pada dinding. Gaa persatuan luas sama dengan tekanan. Kita akan mulai dengan membuat asumsi-asumsi model teori kinetik berikut ini : (1) Gas ideal terdiri atas partikel (atom atau molekul) dalam jumlah ang sangat banak, ()artikel itu tersebar merata dan bergerak secara acak (sembarang), (3) Jarak antar partikel jauh lebih besar dibandingkan dengan ukuran partikelna itu sendiri, sehingga ukuran partikel diabaikan (dalam hal ini gerak partikel benar-benar hana translasi saja, gerak rotasi dan vibrasi diabaikan), (4) idak ada gaa interaksi antar partikel satu 6

7 dengan ang lainna, kecuali bila kedua partikel itu bertumbukan, (5) Semua tumbukan ang terjadi, baik antara partikel-partikel penusun gas maupun antara partikel dengan dinding bejana, berlangsung elastis sempurna dan terjadi dalam selang waktu ang sangat singkat, (6) Hukum-hukum Newton tentang gerak berlaku,(7) tanpa adana gaa eksternal (pertikel-partikel bergerak cukup cepat sehingga kita dapat mengabaikan gravitasi), tidak ada posisi ang dicenderungi oleh molekul dalam bejana, dan tidak ada kecenderungan arah vektor kecepatan. Asumsi ketiga menatakan bahwa molekul-moekul atau partikel-partikel gas secara ratarata jauh terpisah. engertian ini ekivalen dengan mengasumsikan kerapatan gas ang sangat rendah. Karena momentum konstan, maka tumbukan ang dilakukan oleh molekul-molekul satu sama lain tidak berpengaruh pada momentum total dalam arah manapun, sehingga kita dapat mengabaikan tumbukan-tumbukan ini. Gambar 3 Marilah kita asumsikan bahwa kita mempunai bejana kotak dengan volume. Gas ang terdiri dari N molekul tersebut kita masukkan kedalam bejana (Gambar 3). Gas ang terdiri dari N molekul tersebut masing-masing dengan massam dan bergerak dengan kecepatan v. Kita ingin menghitung gaa ang diberikan oleh molekul-molekul ini pada didnding kanan, ang tegak lurus sumbu. Komponen momentum sebelum menumbuk dinding adalah dinding, komponen momentum adalah selama tumbukan satu molekul dengan dinding adalah + mv, dan setelah melakukan tumbukan elastik dengan mv. Jadi besarna perubahan momentum mv. erubahan momentum total 7

8 semua molekul selama suatu selang waktu tertentu t adalah ang menumbuk dinding selama selang waktu tersebut. mv kali jumlah molekul erhatikan kembali gambar 3, Jumlah molekul ang menumbuk dinding kanan dengan luas A adalah jumlah molekul ang ada dalam jarak v t dan sedang bergerak ke kanan. Jumlah ini adalah jumlah molekul per satuan volume N/ kali volume 1 v t kali, karena secara rata-rata, separuh dari molekul-molekul akan bergerak ke kanan dan separuh ke kiri. erubahan total momentum waktu t adalah bilangan ini kali molekul-molekul gas dalam selang mv, perubahan momentum per molekul: 1 N ( v ta)mv N mv A t (1-4) Gaa ang diberikan oleh dinding pada molekul-molekul dan oleh molekuk-molekul pada dinding adalah perubahan momentum ini dibagi dengan selang waktu t. ekanan adalah gaa ini dibagi dengan luas : F A 1 A t Dengan membagi perubahan momentum dengan waktu mendapatkan : (1-5) t dan dengan luas t, kita akan N mv (1-6) Dengan memperhitungkan kenataan bahwa semua molekul dalam bejana tidak mempunai kelajuan ang sama, maka kita cukup mengganti ( v ) rata rata. Selanjutna kita tulis persamaan (1-4) dalam energi kinetik berkaitan dengan gerakan sepanjang sumbu, maka kita akan mendapatkan : 1 N( mv ) rata rata v dengan nilai rata-rata 1 mv ang (1-7) ersamaan (1-5) menatakan hubungan antara besasan makroskopik () dengan besaranbesaran mikroskopik m dan v ). Jumlah koordinat makroskopik berbagai sistem termodinamika bervariasi, bergantung sistemna, tetapi tidak akan sebanak koordinat mikroskopikna. Misalna, jika sistem 8

9 termodinamika kita berupa sistem hidrostatik atau sistem kimiawi, maka sistem ini dalam keadaan setimbang, paling tidak memiliki 8 buah koordinat sistem atau variabel keadaan sistem, aitu besaran-besaran makroskopik ang dapat melukiskan keadaan keseimbangan sistem.untuk sistem dielektrik atau sistem paramagnetik, misalna, terdapat koordinat-koordinat termodinamika ang lain. Untuk sistem berupa gas, variabel keadaaan sistem itu adalah sebagai berikut: abel variabel keadaan sistem No Nama variabel Satuan Lambang Keadaan sistem (SI) 1 ekanan a N/m Suhu K 3 olume m 3 4 Entropi S JK -1 5 Energi Dalam U J 6 Entalpi H J 7 Energi bebas Helmholt F J 8 Energi bebas Gibbs G J Dari eksperimen-eksperimen ang telah dilakukan,ang melibatkan 8 buah variabel keadaan sistem diatas, banak sekali dihasilkan hubungan, kaitan dan rumusan ang menggambarkan hubungan ungsional antar berbagai besaran-besaran tersebut. Khusus untuk sistem tertutup, aitu untuk sistem gas ang jumlah partikelna tidak berubah, diperoleh 3 kesimpulan penting sebagai berikut : 1. Semua eksperimen menunjukkan bahwa apabila sistem berada dalam keadaan setimbang maka setiap koordinat dinatakan sebaga ungsi dari dua koordinat lain.. Hana dua diantara 8 koordinat itu ang merupakan variabel bebas sistem 3. Dalam keadaan setimbang termodinamika (setimbang mekanik, kimia, termal dan ase) berlaku hubungan : (,,) 0 Misalkan kita tinjau sistem gas dalam suatu berjana tertutup (sistem tertutup) ang komposisina tidak berubah, artina tidak terjadi reaksi-reaksi kimiawi ang dapat mengubah jumlah partikel dalam sistem, dan tidak terjadi diusi, sistem gas tersebut pada volume tertentu (), dapat diberi sushu () berapa saja atau pada suhu tertentu, dapat 9

10 diberi volume () berapa saja; Hal ini sangat memungkinkan karena ternata terdapat koordinat termodinamika ke-3 ang menesuaikan diri, misalna tekanan (), sehingga sistem gas ini dapat dilukiskan oleh sepasang koordinat bebas (), ang secara matematis dapat ditulis : (,,) 0 Atau secara umum dinatakan dengan hubungan ungsional : (,,) 0. Dierensial Fungsi ariabel unggal Keperluan kita saat ini adalah membicarakan ungsi dengan dua variabel, tetapi sebelum itu marilah kita ulang sedikit ungsi variabel tunggal, agar anda lebih mudah memahami ungsi dengan dua variabel. (,) 0 menatakan hubungan implisit ungsi variabel dan. bentuk (,) 0 disebut bentuk implisit. Bentuk eksplisitna adalah () dan (). Bentuk () artina sebagai variabel bebas, dan sebagai variabel terikat. Sedangkan bentuk () artina sebagai variabel bebas dan sebagai variabel tak bebas. Dalam termodinamika, kita akan banak berbicara mengenai proses. roses ang dimaksud adalah perubahan dari koordinat-koordinat termodinamika. erubahan suatu koordinat termodinamika tertentu dalam suatu sistem, akan berpengaruh terhadap koordinat termodinamika ang alin. Misalna untuk hubungan (,) 0, jika koordinat termodinamika berubah sebesar d, bagaimana cara menatakan perubahan koordinat termodinamika? 10

11 erhatikan penjelasan berikut : Misalkan kita memilih suatu ungsi (), ang sketsa graikna sebagai berikut : Y ( ) B ali Busur E Garis Singgung F D ( 1 ) A C 1 X Gambar 4 ada saat 1 maka nilai ungsi 1 ( 1 ) ada saat maka nilai ungsi ( ) AC - 1 dan BC - 1 an ( BAC) kemiringan tali busur AB Jika mendekati 1, maka titik B akan mendekati titik A.ada gambar 1. ditunjukkan oleh titik E dan F ang makin mendekati titik A. Akibatna tali busur AB akan menjadi garis singgung di titik A. Konsekuensi lain dari mendekatna titik B ke titik A adalah dan mendekati nol. Walaupun dan mendekati nol, tetapi ABC tidak mendekati nol, melainkan menjadi DAC (mempunai nilai tertentu), aitu sudut miring garis singgung AD di titik A.. Jelaslah bahwa, bila 1, walaupun 0 dan 0, tetapi ; lim 0 dan 0 lim melainkan memiliki harga ang berhingga (tertentu). 0 (catatan : tanda artina mendekati) 11

12 pada mata kuliah kalkulus, kita telah mengetahui bahwa : ( X + X ) lim lim turunan pertama () terhadap 0 0 Dari gambar 4 kita dapat melihat bahawa d d ( ) '( ) CD an DAC AC Sehingga tan( DAC). atau d/d., jika perubahanna sangat kecil (Ininitesimal), maka penulisan persamaan d d. d menjadi : d. d. Jadi d d kesimpulanna, jika kita memiliki hubungan ungsional : () atau (,) 0, dengan berubah secara ininit sebesar d, maka akan berubah secara ininit sebesar d. Hubungan d dan d dapat dinatakan dengan : 3. Dierensial Fungsi Dua ariabel d d.d (1-8) d Misalkan kita memiliki suatu bejana berbentuk silinder dengan jejari r dan ketinggian h r Gambar 5 h Untuk memperoleh seperti tampak pada gambar berikut : olume silinder tersebut adalah πr h. Jadi dalam hal ini volume silinder () bergantung pada dua variabel, akni r dan h. Sekarang, bejana silinder tersebut kita isi dengan suatu luida. ada saat kita isi dengan luida, maka jejari r kita jaga tetap dan ketinggian h kita tambah, maka volume akan bertambah. Dalam hal ini kita dapat mencari koeesien dierensial terhadap h, hana jika r dijaga tetap, aitu d dh r kons tan dan ditulis sebagai. h (Catatan : erhatikan simbol Delta ang baru.), kita akan mendeinisikan persamaan ang diberikan h terhadap h dengan menganggap semua simbol, selain dan h konstan. 1

13 Maka, h r π r 1 π r entu saja kita dapat meninjau persoalan dengan h dijaga konstan, perubahan r akan menebabkan perubahan juga. Disini kita mempunai r h ang berarti bahwa sekarang kita mendierensialkan πr h terhadap r dengan menganggap semua simbol, selain dan r, konstan. Maka, r h πrh πrh Oleh karena itu persamaan πr h dinatakan sebagai ungsi dari dua variabel r dan h, sehingga memiliki dua koeesien dierensial parsial, aitu : dan h r r h entu saja kita tidak harus terbatas hana pada variabel-variabel ang membangun volume variabel bebas. silinder. Hal ang sama berlaku juga untuk sembarang ungsi dengan dua ada sub pokok bahasan (1), kita sudah mengenal bentuk (,,) 0. Ini adalah bentuk implisit dari ungsi dengan variabel, dan. ada ungsi (,,) 0 terdapat hubungan tertentu antara variabel,, dan. F ngsi (,,) 0 memiliki arti bahwa hana terdapat variabel diantara 3 variabel itu ang bersiat bebas, sedangkan ang ketigana merupakan variabel tak bebas. Sedangkan bentuk implisit dari ungsi tersebut adalah : (,) ; dimana dan merupakan variabel bebas (,) ; dimana dan merupakan variabel bebas (,) ; dimana dan merupakan variabel bebas Graik ungsi (,,) 0 dalam koordinat -- pada umumna berupa permukaan (bukan kurva). ermukaan ang dimaksud adalah bisa permukaan tertutup seperti bola atau elipsoida, bisa juga berupa permukaan terbuka seperti hiperbola atau paraboloida. 13

14 erhatikan bentuk eksplisit ang ketiga dari bentuk implisit ungsi (,,) 0, aitu (,). Kita misalkan bahwa ungsi ini adalah ungsi ang memang ada dan berkelakuan baik. (kontinu dan dierensiabel). 4. Fungsi Kontinu Misal kita memiliki ungsi () ang sketsa graikna sebagai berikut : Fungsi Y () pada titik a tidak kontinu, karena bila didekati (c) dari arah kiri berharga (a), tetapi (b) bila didekati dari arah kanan (a) berharga (b). Begitu pula pada b dan c a b c Gambar 6 Jadi suatu ungsi dikatakan kontinu pada suatu titik, jika nilai ungsi di titik tersebut, baik didekati dari sebelah kiri maupun dari sebelah kanan berharga sama. Sebalikna jika nilai ungsi di titik tersebut, baik didekati dari sebelah kiri maupun dari sebelah kanan hargana berbeda, maka ungsi tersebut dikatakan tidak kontinu. 5. Fungsi Dierensiabel Misalkan kita memiliki ungsi () ang sketsa graikna sebagai berikut : d d () Fungsi () pada a adalah d dierensiabel ; karena harga Harga di d titik a, jika didekati dari sebelah kiri maupun dari sebelah kanan hargana sama a Gambar 7 14

15 d aitu 0 ; ada gambar 7 ditunjukkan oleh gradien garis singgung ang d a meninggung kurva di titik a. Sekarang coba kita perhatikan gambar 8 berikut ini : ada gambar 8 disamping, nilai dari d d di a jika didekati dari kiri berbeda nilaina dengan jika didekati dari arah kanan. Ini artina bahwa ungsi () di a tidak dierensiabel. Jadi kesimpulanna jika nilai turunan pertama dari suatu ungsi didekati dari sebelah kiri dan didekati dari sebelah kanan pada suatu nilai tertentu sama hargana, maka ungsi tersebut dikatakan dierensiabel di titik ang bersangkutan. Sebalikna, jika nilai turunan pertama dari suatu ungsi didekati dari sebelah kiri dan didekati dari sebelah kanan pada suatu nilai tertentu berbeda bersangkutan. hargana, maka ungsi tersebut dikatakan tidak dierensiabel di titik ang Kembali lagi pada Gambar 7 sebelumna. Fungsi () di a mempunai nilai ungsi dan mempunai nilai turunan pertama ang sama baik didekati dari sebelah kiri maupun didekati dari sebelah kanan. Maka Fungsi ang seperti ini dikatakan sebagai ungsi ang kontinu dan dierensiabel. Fungsi () ang memiliki siat seperti ini dikatakan ungsi ang ada dan berkelakuan baik. Sebagai bahan kajian lebih lanjut, berikut ini saa paparkan sedikit teorema ang berasal dari kalkulus. Dalam kalkulus terdapat suatu teorema ang menatakan Jika (a) ada, maka kontinu di a ; hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut : ( ) ( a) ( ) ( a) ( a) + dimana a a karenana : a Gambar 8 () 15

16 Lim a ( ) Lim ( a) a (a) + (a).0 (a) + ( ) ( a) a Lim a ( a) + Lim a ( ) ( a) a Lim a ( a) Kebalikan teorema diatas adalah tidak benar. Jika ungsi kontinu di a, maka tidak berarti bahwa mempunai turunan di a. ini dengan mudah dapat dilihat dengan () memandang () a di titik asal. Fungsi () a pasti kontinu di titik asal 0, tetapi tidak mempunai turunan di 0, hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut : -1 1 Gambar 9 Lim ( ) ( 0) 0 0 Lim Lim Lim 0 Lim 0 Lim 0 Lim 0 1 1, tidak ada hargana, karena (didekati dari kanan) (didekati dari kiri) Argumentasi ang baru saja disajikan, memperlihatkan bahwa disembarang titik dimana ungsi mempunai sebuah sudut tajam, maka ungsi tersebut kontinu, tetapi tidak dierensiabel. 6. Dierensial Eksak dan ak Eksak Jika (,) adalah suatu ungsi ang ada dan berkelakuan baik (kontinu dan dierensiabel), maka urutan mendierensialkan ungsi tersebut terhadap variabel manapun tidak menjadi persoalan, artina bagaimanapun urutan mendierensialkanna maka hasilna akan sama. Ini berarti, jika (,) maka : Z Z (1-8) 16

17 Karena menjadi : M (, ) dan N(, ), maka persamaan (1-8) dapat ditulis (, ) N ( ) M, (1-9) ersamaan (1-9) ini adalah sarat ang perlu dan cukup agar (,) merupakan ungsi ang ada dan berkelakuan baik. Dierensial total dari suatu ungsi ang ada dan berkelakuan baik, serta memenuhi sarat persamaan (1-9) disebut dierensial eksak. Dan sarat persamaan (1-9) disebut sarat Euler. Selanjutna kita akan berbicara mengenai dierensial tak eksak. Cobalah kita baangkan suatu besaran tertentu katakanlah A ang bukan merupakan ungsi dari variabel dan. jadi ungsi A A(,) memang merupakan ungsi ang tidak ada. etapi walaupun demikian, kita dapat membaangkan suatu perubahan variabel A, katakanlah sebesar da. Mengapa hal ini penting untuk dipelajari? Hal ini penting, karena banak sekali dalam isika besaran-besaran isika ang cara berhubungan dengan besaran isika ang lainna dapat dinatakan dalam bentuk persamaan, tetapi dia bukan merupakan sebuah ungsi. Misalkan, katakanlah besaran A itu mempunai dierensial total : A Jika (, ) A A A da d + d (1-10) dan Q(, ) (sebenarna bukan ungsi) akan selalu berlaku : A A atau, maka untuk semua ungsi ang seperti A (, ) Q( ), (1-10) Hal ini disebabkan karena (,) dan Q(,) bukan merupakan dierensial dari A; karena ungsi A(,) memang tidak ada. Dalam hal demikian da dikatakan dierensial tak eksak, dan diberi lambang da. 17

18 Cobalah anda bedakan pengertian isis d (dierensial eksak) dengan da (dierensial tak eksak). d menatakan perubahan variabel ang amat kecil, sedangkan da menatakan besaran A dalam kuantitas ang sangat kecil. Dalam ilmu isika anda akan banak menemukan besaran-besaran isis ang seperti besaran A diatas, sebagai contoh misalna adalah usaha ang dilakukan oleh gas ang mengembang sambil mendorong piston ang dinatakan sebagai WW (,) Apakan WW(,) merupakan ungsi? untuk menjawab hal ini perhatikan uraian berikut ini : injau suatu sistem gas dalam bejana tertutup ang diatasi oleh piston ang luas penampangna adalah A Lihat Gambar berikut ini : Gambar 9 Usaha mekanik gaa F r sepanjang bejana tersebut adalah : d v ang dilakukan oleh gas ang mengembang dalam r r dw F. d (1-11) Hubungan ang dinatakan oleh persamaan (1-11) diatas adalah rumus empiris ang kebenaranna sudah tidak dapat disangkal lagi. Menurut deinisi, tekanan gas; A F ; sedangkan r r r v r r F. d F d Cos 0 F d ; Karena pada Gambar 1.6 F r dan d r searah. jika r F F dan d r d, maka dw Fd; karena F maka : A dw A.d (1-1) 18

19 Sedangkan Ad adalah perubahan volume ang kecil, dan kita sebut saja d Ad. Maka akhirna persamaan (1-1) dapat ditulis menjadi : ersamaan (1-13) dapat kita tulis ; Dari sini kita tahu bahwa : Oleh karena itu : dw d (113) dw d + 0 d W W dan 0 W W 1 W W 0 Jadi : W W ini artina bahwa W W(,) bukan merupakan suatu ungsi. Dari penjelasan diatas, terbuktilah bahwa ungsi WW(,) sebenarna tidak ada, hingga dw d adalah dierensial tak eksak dan diberi lambang dw. Jadi secara isis dw bukanlah perubahan ininisimal dari suatu ungsi, melainkan perubahan usaha dalam jumlah ang sangat kecil (Ininitesimal). Sampai disini saa harap anda sudah mampu membedakan dierensial eksak dan dierensial tak eksak, baik dari aspek matematis maupun dari aspek isis. Kini akan saa pertajam lagi pemahaman anda. Oleh karena itu lanjutkanlah pada bahasan berikut ini : erbedaan antara dierensial eksak dan takeksak dapat pula dilihat dari hasil integrasina : (i) Jika d adalah dierensial eksak, maka : Integrasi tak tentu suatu dierensial eksak akan menghasilkan ungsi aslina ditambah konstanta : ( ) ( ) C d,, + (1-14) 19

20 Integrasi dalam suatu batas tertentu (misalna dari i ke ) suatu dierensial eksak akan menghasilkan suatu bilangan atau nilai tertentu ang mengandung arti sebagai perubahan nilai ungsi asli pada batas integrasi tertentu : i ( ) ( ) ( ) ( ) d,,,, i i (1-15) Secara grais, interpretasi integrasi d diantara dua batas (i dan ), tidak bergantung pada jalan ang diambil, tetapi hana bergantung pada titik awal (i) dan titik akhir () dari jalan itu. (ii) Jika da adalah dierensial tak eksak, maka : Integrasi tak tentu suatu dierensial tak eksak tidak mungkin menghasilkan suatu ungsi, karena besaran A sebagai ungsi dari variabel dan memang tidak ada. Oleh karena itu dierensial tak eksak d A tidak dapat diintegrasikan dalam pengertian ini. Jika diintegrasi dalam suatu batas (misalna dari i ke ), suatu dierensial tak eksak akan menghasilkan suatu bilangan atau nilai tertentu ang mengandung arti sebagai hasil penjumlahan kuantititas-kuantitas d A ang kecil, hingga akhirna menjadi besar, katakanlah menjadi A i. Berbeda dengan dierensial eksak, hasil integrasi pada batas tertentu dierensial tak eksak tidak dapat diartikan sebagai selisih antara dua nilai ungsi, karena memang ungsina tidak ada. i da A A A A (1-16) i i i 7. Hubungan enting Antara Dierensial arsial Jika (,) adalah ungsi ang ada dan baik, maka perubahan akibat adana perubahan kecil variabel dan dapat dinatakan dengan : d d + d (1-17) Sebenarna ungsi (,) dapat ditulis secara eksplisit (,). Untuk ungsi ang terakhir ini, perubahan akibat adana perubahan kecil variabel dan dapat dinatakan dengan : 0

21 1 d d d + (1-18) Jika persamaan (1-18) disubstitusikan ke persamaan (1-17), maka: d d d d d d d Yang berlaku untuk setiap d dan d. ersamaan ang terakhir ini akan terpenuji jika : 1 atau 1 (1-19) dan 0 atau 1 (1-0) Rumus ang dinatakan sebagai persamaan (1-0) ini sering dinamakan sebagai Rumus 1. Rumus ini dapat pula diubah menjadi : 1 (1-1) Dengan menggunakan persamaan (1-19), maka persamaan (1-1) dapat diubah lagi menjadi : (1-) ersamaan (1-19) sampai dengan (1-) dapat diterapkan pada sistem gas ang persamaan keadaanna dinatakan dalam hubungan ungsional (,,) 0, misalna

22 persamaan keadaan gas ideal atau persamaan keadaan gas van der walls, sebagai berikut : 1 (1-3) 1 (1-4) (1-5) ersamaan (1-3) mudah diingat bila dianalogikan misalna dengan bilangan /3 ang sama dengan 3 1. Sementara itu persamaan (1-4) tampakna lebih sulit untuk diingat. Namun dengan membaangkan bahwa ketiga variabel, dan sebagai titik ang terletak pada sebuah lingkaran dengan jarak ang sama : Gambar 10 Maka persamaan (1-4) itu mudah dituliskan, jika aktor pertama dalam kurung diruas kiri adalah (lihat gambar lingkaran diatas, setelah, kemudian, kemudian ). Untuk memperoleh aktor kedua, letakkan diatas, setelah kemudian, kemudian ;. Untuk memperoleh aktor ketiga, letakkan diatas, ikuti dengan dengan kemudian ;, maka lengkaplah menjadi ;

23 3 1. Untuk menuliskan persamaan (1-4), perlu diingat bahwa turunan parsial itu dipecah menjadi dua buah turunan parsial, ang pertama sebagai pembilang (numerator) dan ang kedua sebagai penebut (denominator). Yang diturunkan baik pada pembilang maupun penebut adalah variabel diluar kurung atau ang dianggap sebagai tetapan pada ruas kiri. Dalam persamaan (1-4) variabel ang dikurung adalah. kemudian didierensialkan terhadap dua variabel lain diruas kiri secara bersilang. Jadi untuk pembilang didierensialkan terhadap dan untuk penebut didierensialkan terhadap. Dengan mengingat cara-cara seperti tersebut diatas itu, maka dari persamaan (1-3), (1-4 ) dan (1-5) mudah dibuat. Misalna ; v v 1 (1-6) 1 (1-7) (1-8) 1 (1-9) 1 (1-30) (1-31) 1 (1-3)

24 4 1 (1-33) (1-34) Dalam termodinamika, ketergantungan suatu variabel terntu pada variabel-variabel ang lain seringkali tak dapat dinatakan secara eksplisit. Contoh ang jelas adalah variabel v pada persamaan keadaan an Der Walls : ( ) R b v v a + ; dimana n v (volume per mol volume jenis). Untuk menghitung turunan parsial dari variabel v ini harus digunakan persamaan (1-3) dan (1-4). Namun timbul pertanaan bagaimana jika secara umum ketiga variabel itu tak dapat dibuat secara eksplisit. ersamaan (1-3) dan (1-4) jelas tak dapat digunakan. Memang sebenarna ada cara untuk menelesaikan persoalan seperti ini, bahkan untuk variabel ang lebih dari tiga. Akan tetapi dalam hal ini pembahasan akan dibatasi sampai dengan tiga variabel saja. Misalkan secara umum (,,) 0. Bila didierensialkan : 0 d d d d,,, + + Jika tidak berubah atau d 0, maka : d d,, Atau,, (1-35) Dengan cara berikir ang sama. Diperoleh :

25 5,,,, Dan jika diterapkan pada sistem (,,) 0, maka akan diperoleh : p t t,, (1-36) p t t,, (1-37) t,, (1-38) G. MEODOLOGI ENELIIAN Metode enelitian ang digunakan adalah kajian teoritis

26 H. JADWAL WAKU ENELIIAN No Jenis Kegiatan Waktu elaksanaan Bulan ke embuatan roposal ersiapan literatur 3 engkajian literatur 4 enerapan hasil kajian literatur terhadap sistem 5 embuatan drat laporan hasil penelitian sementara 6 Lokakara hasil-hasil penelitian 7 embuatan laporam akhir penelitian I. REFERENSI (1) Martin Ligare, Journal Elementar hermodnamics o rapped articles (Department o hsics, Bucknell Universit, Lewisburg,A 00). () Sears and Sallinger, hermodnamics, Kinetic theor and Statistical hermodnamics (Addison-Wesle ublishing Compan 6

27 J. CURICULUM IAE ENELII a. Nama : Drs.Saeul Karim, M.Si b. NI/GOL/angkat : /III D/ enata c. Jabatan Fungsional : Lektor d. Jabatan : Ketua rogram Fisika FMIA UI c. empat/tgl.lhr. : Garut, 7 Maret 1967 d. Unit Kerja : Jurusan endidikan Fisika FMIA UI e. Alamat Kantor : Jl.Dr. Setiabudi No.9 Bandung. Alamat Rumah : Jl.Sentral Sirnarasa No.191 Cibabat- Cimahi a. Riwaat endidikan Nama Sekolah ahun lulus Jurusan empat SDN Neglasari 1977 Garut SMN Cisompet 1983 Garut SMAN Garut 1986 Garut S1 endidikan (IKI Bandung) 1990 Fisika Bandung ra-s IB 1993 Fisika Bandung S IB 1996 Fisika Bandung b. Riwaat Bekerja No. Institusi Jabatan eriode Bekerja 1. SMU aruna Bakti Guru Fisika SMU aruna Bakti Wakil Kepala Sekolah IKI Bandung Dosen Fisika 1991-Sekarang c. Datar enelitian ang sudah dilakukan dalam 5 tahun terakhir No. Judul enelitian ahun 1. emahaman Konsep-konsep Fisika Dikaitkan dengan 1996 enguasaan ersamaan Matematik. Deskripsi Statistik Aliran Reakti urbulen Optimalisasi Suseptibilitas Sentrosimetrik Molekul Non-Linear Komputasi Dinamika Fluida Model Learning Ccle Dalam embelajaran Kinematika dan Dinamika ada erkuliahan Fisika dasar Model Learning Ccle dalam embelajaran Hukum 1998 Archemedes di Sekolah Dasar 7. Model Ubinan Acak Untuk Struktur Kuasikristal Mikrokuasikristal,Superlattice,dan Approksiman Kristal Computational Fluid Dnamics

28 10. Konduktivitas Gas erionisasi Sebagian Konduktivitas Gas erionisasi Seluruh engukuran iscositas dan olaritas Cairan Dibawah engaruh Medan Listrik Faktor-Faktor ang Mempengaruhi Rendahna ingkat 000 kelulusan Matakuliah Fisika dasar ada Mahasiswa rogram ahun persian Bersama FMIA UI 14. Inovasi embelajaran Matakuliah ermodinamika Melalui 000 endekatan eknik dan aket rogram Matematika Khusus Di Jurusan endidikan Fisika FMIA UI 15. emahaman Konsep Fisika moderen Guru Sekolah Menengah Umum Berdasarkan Kurikulum SMU 1994 ada Domain Kogniti Bloom eningkatan emahaman Fisika Dasar okok Bahasan 000 Kinematika dan Dinamika artikel dengan Bantuan Alat eraga Kinematika dan Dinamika ada Mahasiswa B Fisika Angkatan 000/001 ( Hibah bersaing Dana Rutin UI tahun 000) 17. Diagnosa Kesulitan Belajar Mahasiswa ada Mata Kuliah 000 ermodinamika Ditinjau Dari Kemampuan Menasirkan Graik, enguasaan Dierensial arsial, emahaman Konsep dan enerapanna (RII Batch I roek GSM tahun 000) 18. Inovasi embelajaran Fisika Dasar untuk Mahasiswa B Jurusan Biologi FMIA UI 000 8

29 9