I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 9 I PEDAHULUA Latar elakang Pada am-am tertentu, dalam suatu stasun kereta ap terdapat kereta ap penumpang ang tdak doperaskan untuk mengangkut penumpang Perusahaan kereta ap harus melakukan kegatan pelangsran agar kereta ap dapat beroperas dengan bak Kegatan pelangsran n melput pendataan kereta ap ang datang ke stasun kereta ap menad kereta ap ang berangkat dar stasun kereta ap, pemarkran keretaap-datang pada rel-rel pelangsran, pemelharaan kereta, serta perencanaan pekera ang akan melakukan kegatan pelangsran Dua proses pentng dalam masalah pelangsran adalah pendataan unt keretaap-datang (arrvng shunt unt) ang harus dparkr d tempat pelangsran menad unt kereta-ap-berangkat (departng shunt unt) ang harus dberangkatkan dar tempat pelangsran, serta pemarkran unt-unt kereta ap pada rel pelangsran Dalam praktkna, kegatan pelangsran adalah suatu masalah ang sangat kompleks ang harus dhadap oleh perusahaan kereta ap Masalah pelangsran n telah banak dbahas dan dpelaar, d antarana dalam (Frelng et al, 000) dan (Lentnk et al, 003) Penelesaan dar masalah pelangsran n dapat menggunakan algortme smpleks, namun akan membutuhkan waktu ang lama karena banakna varabel ang harus dselesakan Pada tulsan n dgunakan teknk pembangktan kolom eknk pembangktan kolom merupakan teknk ang telah banak dgunakan untuk menelesakan masalah dalam bdang transportas dan penadwalan Salah satuna dkenalkan dalam (arnhart et al, 998) ang menggunakan teknk pembangktan kolom dalam konteks pemrograman blangan bulat ulsan n merupakan rekonstruks dar tulsan Rchard Frellng, Ramon M Lentnk, Leo G Kroon & Denns Husman (00) ang berudul Shuntng of passenger tran unts n a ralwa staton uuan uuan penulsan kara lmah n adalah mempelaar penelesaan masalah pelangsran unt kereta penumpang pada stasun kereta ap dengan menggunakan teknk pembangktan kolom (column generaton) II LADASA EORI Pemrograman Lnear Pemrograman lnear adalah kegatan merencanakan untuk mendapatkan hasl ang optmal Model Pemrograman Lnear (PL) melput pengoptmuman suatu fungs lnear terhadap kendala lnear (Hller & Leberman, 990) Pada tulsan n, suatu PL mempuna bentuk standar sepert ang ddefnskan sebaga berkut: Defns (entuk Standar Suatu PL) Suatu pemrogra man lnear dalam bentuk standar ddefnskan sebaga: Mnmumkan z terhadap A b 0 () dengan dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa c matrks berukuran m n ang dsebut uga sebaga matrks kendala (ash & Sofer, 996) Solus suatu Pemrograman Lnear Untuk menelesakan suatu masalah Pemrograman Lnear (PL), metode smpleks merupakan salah satu metode ang dapat menghaslkan solus optmum Metode n mula dkembangkan oleh Dantzg tahun 947 Seak perkembanganna, metode n adalah metode ang palng umum dgunakan untuk menelesakan PL, atu berupa metode teratf untuk menelesakan masalah PL dalam bentuk standar Pada PL (), vektor ang memenuh kendala A b dsebut sebaga solus PL () Msalkan matrks A dapat dnatakan sebaga A ( ) dengan adalah matrks berukuran m m ang merupakan matrks

2 0 taksngular ang elemenna berupa koefsen varabel bass dan adalah matrks ang elemenna berupa koefsen varabel nonbass pada matrks kendala Matrks dsebut matrks bass untuk PL Msalkan dapat dnatakan sebaga vektor, dengan adalah vektor varabel bass dan adalah vektor varabel nonbass Maka A b dapat dnatakan sebaga A ( ) + b () Karena adalah matrks taksngular, maka memlk nvers, sehngga dar () dapat dnatakan sebaga: b (3) Defns (Solus ass) Vektor dsebut solus bass dar suatu pemrograman lnear ka : memenuh kendala dar PL, dan kolom-kolom pada matrks kendala ang berkorespondens dengan komponen taknol dar adalah bebas lnear (ash & Sofer, 996) Defns 3 (Solus ass Fsbel) Vektor dsebut solus bass fsbel ka merupakan solus bass dan 0 (ash & Sofer, 996) Ilustras solus bass dan solus bass fsbel dapat dlhat dalam contoh berkut: Contoh Msalkan dberkan pemrograman lnear berkut: Mnmumkan z 3 terhadap ,, 3, 4, 0 (4) Dar pemrograman lnear tersebut ddapatkan: A 0 0, b Msalkan dplh ( ) dan ( ) 3 4 maka matrks bass Dengan menggunakan matrks bass tersebut dperoleh ( 4 ) b, ( 0 0) () Solus () merupakan solus bass, karena solus tersebut memenuh kendala pada PL (4) dan kolom-kolom pada matrks kendala ang berkorespondens dengan komponen taknol dar () atu adalah bebas lnear (kolom ang satu bukan merupakan kelpatan dar kolom ang lan) Solus () uga merupakan solus bass fsbel, karena nla-nla varabelna lebh dar atau sama dengan nol PL () dapat dnatakan dalam dan sebaga berkut: Mnmumkan terhadap dengan c c c + b z + (6) 0 adalah koefsen varabel bass pada fungs obektf, c adalah koefsen varabel nonbass pada fungs obektf Jka Persamaan (3) ds ubsttuskan ke Persamaan (6) maka akan ddapat: ( b ) c ( ) b + c c z c + c Jka ddefnskan ( c ) c maka z dapat dnatakan dalam : ( c ) z b + (7) Vektor dsebut vektor pengal smpleks (smple multpler) Untuk suatu solus bass 0 dan b ˆ b, maka: z ˆ c b otas ẑ adalah notas untuk z optmal Koefsen ĉ dsebut baa tereduks (reduced cost) dar dengan ĉ adalah elemen dar ˆ ( c c ) c aa tereduks adalah penambahan nla fungs obektf ka suatu varabel nonbass

3 dadkan varabel bass (artna menad solus taknol) pada suatu pemrograman lnear Penelesaan Pemrograman Lnear dengan Algortme Smpleks Solus suatu pemrograman lnear dapat dketahu optmal atau tdak untuk PL tersebut melalu algortme sebaga berkut: es Keoptmalan Vektor c dhtung, kemudan dapat dhtung pula nla baa cˆ c tereduks ( ) Jka ĉ 0 maka solus ang dperoleh adalah solus optmal t Jka ĉ < 0 maka dplh varabel t ang memenuh cˆ < 0 sebaga varabelmasuk atu varabel t ang akan masuk ke dalam bass Langkah tertentu t Htung A ˆ t A, atu koefsen kendala ang berhubungan dengan varabelmasuk ke t Indeks s dtentukan pada kolom kendala ang berhubungan dengan varabelmasuk ang memenuh bˆ s mn bˆ ; a, t > 0 as, t m a, t Memlh ndeks dengan cara tersebut dsebut dengan u nsbah mnmum (mnmum rato test) Varabel ang menad varabel-keluar (varabel ang akan keluar dar bass dan dgantkan oleh varabel-masuk) dan pvot entr adalah varabel ang berpadanan dengan ˆ a s, t ˆ, t Jka a 0, m untuk semua, maka masalah PL dsebut takterbatas Pvot Matrks bass dan vektor bass dperbak, kemudan dlanutkan ke tes keoptmalan erkut contoh penggunaan algortme smpleks: Contoh Msalkan dberkan PL (4) sepert pada Contoh, maka dengan menggunakan algortme smpleks akan dperoleh solus: t, 8, 3 6, 4 0 dengan z 34 (lhat Lampran ) Masalah Dual Setap masalah pemrograman lnear memlk padanan, atu masalah lan ang dsebut pemrograman lnear dual Pemrograman lnearna sendr dsebut masalah prmal Msalkan dberkan masalah prmal: Mnmumkan terhadap Masalah dual dar (8) adalah Maksmumkan w b terhadap z c A b 0 (8) A c 0 (9) Jka masalah prmal memlk n varabel dan m kendala, maka masalah dual akan memlk m varabel dan n kendala Koefsen fungs obektf masalah prmal merupakan nla ss kanan pada masalah dual, begtu pula sebalkna Jka masalah prmal merupakan masalah mnmsas maka masalah dual merupakan masalah maksmsas Solus optmal dar masalah dual merupakan pengal smpleks pada masalah prmal Pada konds optmal, solus dar masalah dual dan masalah prmal akan menghaslkan nla fungs obektf ang sama Hal n dsebutkan dalam eorema Dualtas Kuat, namun sebelumna perlu dperkenalkan pula eorema Dualtas Lemah ang akan dgunakan untuk membuktkan eorema Dualtas Kuat eorema (eorema Dualtas Lemah) Msalkan dberkan pemrograman lnear prmal dan masalah dualna Msalkan adalah solus fsbel untuk masalah prmal dalam bentuk standarna dan msalkan solus fsbel untuk masalah dual, maka nla fungs obektf dar masalah prmal selalu lebh besar atau sama dengan nla fungs obektf dar masalah dual ukt: lhat (ash & Sofer, 996) Salah satu akbat langsung dar eorema Dualtas Lemah dgunakan untuk membuktkan eorema Dualtas Kuat Hal n dsebutkan dalam Akbat berkut:

4 Akbat Jka adalah solus fsbel untuk masalah prmal, adalah solus fsbel untuk masalah dual, dan b c, maka dan adalah solus optmal berturut-turut untuk masalah prmal dan dual eorema (eorema Dualtas Kuat) Msalkan dberkan pemrograman lnear prmal dan masalah dualna Jka salah satu dar masalah prmal atau masalah dual tersebut memlk solus optmal, maka masalah lanna uga memlk solus optmal dan nla fungs obektf optmalna adalah sama ukt: Msalkan dasumskan bahwa masalah prmal dalam bentuk standar dan mempuna solus ang merupakan solus bass fsbel optmal Msalkan dapat dnatakan sebaga vektor, dengan adalah vektor varabel bass dan adalah vektor varabel nonbass Selan tu, sepert telah delaskan sebelumna matrks A dapat dnatakan sebaga A ( ) dan matrks koefsen pada fungs obektf c dapat dnatakan c sebaga c Karena adalah matrks c taksngular, maka memlk nvers sehngga dapat dnatakan sebaga b Dar tes keoptmalan pada algortme smpleks dketahu pula, ka solus optmal maka baa tereduksna adalah c c 0 atauc c () Msalkan adalah vektor dar pengal smpleks ang berhubungan dengan solus bass fsbel, dengan c atau c Akan dtunukkan bahwa: ) la dar fungs obektf masalah prmal dan dual adalah sama, atu b c, dan ) adalah optmal untuk masalah dual ukt: ) Sebelumna akan dperksa terlebh dahulu kefsbelan dar : A c ( ) Sehngga ( c c ) ( c ) c c dar () A c dan fsbel untuk masalah dual, kemudan dhtung nla obektf untuk masalah prmal (z) dan dual (w): c z c c b b c b w b z Jad adalah fsbel untuk masalah dual dan nla fungs obektf solus optmal dar masalah prmal dan dual mempuna nla ang sama ) erdasarkan Akbat dan b c maka adalah solus optmal untuk masalah dual ukt dar eorema Dualtas Kuat menghaslkan solus optmal dual Msalkan c, A ( ), dan c c maka nla optmal dar varabel dual dberkan oleh vektor pengal smpleks c Dar bukt teorema dualtas kuat terlhat bahwa konds prmal optmal c c 0 adalah ekvalen dengan konds fsbel dual A c atau c A 0 Jad vektor dar baa tereduks ĉ adalah varabel slack dual cˆ c A Contoh 3 Msalkan dberkan pemrograman lnear prmal sebaga berkut: Mnmumkan z terhadap 4 0, untuk {,,3,4,} Masalah dual dar masalah tersebut adalah sebaga berkut:

5 3 Maksmumkan w terhadap 0, untuk {,,3,4,,6,7} Dengan menggunakan LIDO 6, dperoleh solus dar masalah prmal sebaga berkut: 4, 3 0 dengan nla fungs obektfna z 9 (lhat Lampran ) la pengal smpleks untuk masng-masng kendala adalah sebaga berkut:,, dengan adalah nla pengal smpleks kendala ke - Solus dar masalah dual tersebut uga dapat dcar menggunakan LIDO 6 ang menghaslkan solus: 3 6 0, 4, 7 7 dengan nla fungs obektf w 9 (lhat Lampran ) Dar penghtungan tersebut, nla pengal smpleks masalah prmal sama dengan optmal dar masalah dual dan fungs obektf dar masalah prmal dan dual mempuna nla ang sama sepert ang dnatakan eorema 3 Pemrograman Lnear langan ulat (PL) Model pemrograman lnear blangan bulat atau dsebut uga pemrograman blangan bulat adalah suatu model pemrograman lnear dengan varabel ang dgunakan berupa blangan bulat Jka semua varabel harus berupa blangan bulat maka masalah tersebut dsebut pemrograman blangan bulat alam Jka hana sebagan ang harus blangan bulat maka dsebut Pemrograman blangan bulat campuran Pemrograman blangan bulat dengan semua varabelna harus bernla 0 atau dsebut 0- PL Defns 4 (PL-Relaksas) PL-Relaksas dar suatu PL merupakan pemrograman lnear ang dperoleh dar PL tersebut dengan menghlangkan kendala blangan bulat atau kendala 0- pada varabelna (Wnston, 99) Model ang dgunakan pada tulsan n ang berkatan dengan masalah PL adalah masalah pemartsan hmpunan (set parttonng problem) 3 Masalah Pemartsan Hmpunan (Set ParttonngProblem) Defns (Parts) Msalkan dberkan hmpunan I {,,, m} dan hmp unan P { P P,, }, P n dengan P adalah hmpunan bagan dar J,,, n I, { } Hmpunan P dengan adalah parts dar I ka : J, k J, k P P ø dan U P I J k J (Garfkel & emhauser, 97) Ilustras dar suatu parts dapat dlhat pada Contoh 4 berkut: Contoh 4 Msalkan dberkan hmpunan,,3,4,,6 P,6 I { } dan kelas-kelas { } P { 3,4}, P {,4,} 3, {,} 4 P {,3,,6} P, Parts dar I d antarana adalah P, P P, karena untuk {, 4 } J {,,4} berlaku, k J, k P P ø dan U J P I Masalah pemartsan hmpunan (set parttonng problem/spp) adalah masalah menentukan parts dar hmpunan I ang mempuna baa mnmum Untuk mendapatkan parts tersebut, msalkan ddefnskan varabel 0- sebaga berkut:, ka P termasuk dalam parts 0, selanna Msalkan pula c 0 adalah ongkos/baa dar setap k P I

6 4 entuk umum SPP: Mnmumkan c n n terhadap ( ) A 0 atau dengan c adalah baa P, A() adalah matrks koefsen kendala, dan adalah vektor dengan dmens n dengan semua komponenna sama dengan Model n memlk beberapa sfat pentng, atu: Sfat Masalah pada model merupakan masalah mnmsas dan semu a kendalana berupa persamaan Sfat la ss kanan semua kendala adalah Sfat 3 Semua elemen matrks koefsen A() adalah 0 atau Contoh (Masalah Pemartsan Hmpunan) Msalkan dberkan hmpunan I beserta kelas-kelas P sepert pada Contoh 4 Msalkan dketahu baa dar masngmasng kelas P, atu c, dengan c, c 0, c 9, c 8, c Dngnkan hmpunan dar P ang dapat memarts I dengan baa mnmum Masalah tersebut dapat dmodelkan sebaga masalah pemartsan hmpunan Msalkan ddefnskan varabel 0- sebaga berkut: A(), ka P termasuk dalam parts 0, selanna, ka elemen ke- d I merupakan elemen P, dengan,,, 0, selanna Masalah tersebut dapat dmodelkan sebaga berkut: SPP : Mnmumkan c terhadap atau, untuk {,,3,4,} Dengan mengunakan LIDO 6 dperoleh solus untuk masalah SPP tersebut sebaga berkut:, 0, dan nla 4 3 fungs obektf sebesar 3 Pada tulsan n, model matematka dalam penetapan unt kereta pada rel pelangsran dformulaskan sebaga masalah pemartsan hmpunan dengan kendala tambahan masalah pemartsan hmpunan dengan kendala tambahan adalah masalah pemartsan hmpunan dengan beberapa kendala tambahan ang berbeda dengan kendala ang berada pada SPP tu sendr Dalam tulsan n uga dperlukan konsep tentang graf erkut uraan tentang teor graf ang berhubungan dengan masalah pelangsran unt kereta pada stasun kereta ap dan algortme pembangktan kolom 4 Graf Defns 6 (Graf) Suatu graf adalah pasangan terurut (V,E) dengan V hmpunan takkosong dan hngga dan E adalah hmpunan pasangan takterurut ang menghubungkan elemenelemen V dan dnotaskan dengan G V, E ( ) Elemen V dnamakan smpul (node), dan elemen E dnamakan ss (edge),,, atu ss ang dnotaskan sebaga { } menghubungkan smpul dengan smpul, dengan, V (Foulds, 99) Ilustras graf dapat dlhat pada Contoh 6 berkut: Contoh 6 G : v v v v 3 Gambar Graf G (V, E) v 4

7 Pada Gambar, V { v, v, v, v v } 3 4, dan E { v, v }, { v, v }, { v, v3 }, { v, v }, { v3, v4 } { v, v }, { v v }} 3 4, Defns 7 (Walk) Suatu walk pada graf G ( V, E) adalah suatu barsan smpul dan ss dar G dengan bentuk: v v, v, v, v, v,, v, v, v { } { 3} { n n } n,, atau dtuls dengan rngkas: v, v,, v n atau ( v, v,, vn ) Walk tersebut menghubungkan smpul v dengan v n (Foulds, 99) Defns 8 (Path) Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua smpulna berbeda (Foulds, 99) erkut dberkan lustras dar walk dan path Pada graf G ang terdapat pada Gambar salah satu contoh walk adalah v, v, v, v, v, v, ), sedangkan salah ( 4 3 v (, v, v, v4 satu contoh path adalah v ) Defns 9 (Dgraf) Dgraf (drected graf/graf berarah) adalah pasangan terurut (V, A) dengan V adalah hmpunan takkosong dan hngga, dan A adalah hmpunan pasangan terurut dar elemen-elemen d V Elemen dar A dsebut ss berarah (arc) dan dtulskan sebaga (, ) dengan, V (Foulds, 99) Ilustras dgraf dapat dlhat pada Contoh 7 berkut: Contoh 7 Pada Gambar, dgraf G memlk V v, v, v 3, v 4, v dan A {( v, v ), ( v, v), ( v, v3), ( v, v3 ), ( v3, v4 ), v hmpunan smpul { } ( )}, v 4 Defns 0 (Ss erarah Menauh atau Mendekat, Suksesor dan Predesesor) D V, A Msalkan dberkan dgraf ( ) Jka a ( v v ) A, maka ss berarah n dkatakan menauh v dan mendekat v Smpul v dsebut predesesor bag smpul v, smpul v dsebut suksesor bag smpul v (Foulds, 99) Defns tersebut dapat dgambarkan dalam dgraf sepert berkut: v Gambar 3 Ss berarah menauh atau mendekat, suksesor, dan predesesor Defns (Graf erbobot) G V, E atau dgraf Suatu graf ( ) ( V A) v D, dkatakan berbobot ka terdapat fungs w : E R atau ϑ : A R (dengan R hmpunan blangan real) ang memberkan bobot pada setap elemen E atau A (Foulds, 99) erdapat kasus khusus dar graf berbobot atu network eberapa defns ang dgunakan dalam network adalah sebaga berkut: Defns (Smpul sumber) Smpul sumber (source) adalah suatu smpul dengan tdak ada ss berarah ang mendekat smpul tersebut (Foulds, 99) v v v 4 Defns 3 (Smpul tuuan) Smpul tuuan (snk ) adalah suatu smpul sehngga tdak ada ss berarah ang menauh smpul tersebut (Foulds, 99) v v 3 Gambar Dgraf G ' ( V, A) Defns 4 (etwork) etwork adalah suatu dgraf ang mempuna tepat satu smpul sumber dan satu smpul tuuan (Foulds, 99)

8 6 Contoh 8 Graf G pada Gambar merupakan network dengan v sebaga smpul sumber dan v 4 sebaga smpul tuuan Masalah graf berbobot n basana untuk suatu kasus tertentu dngnkan bobot ang terkecl, salah satuna adalah masalah path terpendek (shortest path problem) Defns (Shortest Path Problem) Masalah path terpendek adalah masalah untuk menemukan path terpendek (path dengan baa mnmum) dar suatu smpul ke suatu smpul lan dalam suatu network (Foulds, 99) III DESKRIPSI DA FORMULASI MASALAH 3 Masalah Pelangsran Unt Kereta Penumpang pada Stasun Kereta Dalam am-am sbuk, kereta ap penumpang khusus doperaskan untuk mengangkut penumpang, sedangkan d luar am sbuk, terdapat kelebhan kereta ap ang tdak doperaskan Kelebhan kereta ap tersebut dapat dparkr d rel-rel tertentu pada stasun kereta ap Proses dar pendataan, pemarkran, dan pemelharaan unt kereta ap beserta proses lan ang berhubungan dsebut pelangsran (shuntng) amun dalam tulsan n hana akan dbahas mengena pendataan dan pemarkran unt kereta ap saa Pelangsran dar unt kereta basana dlakukan d stasun kereta ang memlk umlah rel ang banak Unt kereta-apdatang ang akan dlangsr (unt pelangsran) dapat dletakkan pada rel-rel d depan peron ataupun rel-rel d sektar peron Ada dua ens peron pada stasun kereta, atu peron kedatangan dan peron keberangkatan Unt kereta ang dparkr d depan peron adalah unt kereta dar keretaap-terus Kereta-ap-terus adalah ens kereta ang memlk angka waktu ang cukup dekat antara kedatangan ke stasun dan keberangkatan dar stasun Rel ang arang dgunakan untuk memarkr unt pelangsran adalah rel ang serng dgunakan oleh kereta-ap-terus Hal n bertuuan agar aktvtas kereta-ap-terus tdak terganggu karena pelangsran basana memerlukan waktu ang tdak sngkat Unt kereta ap ang harus dparkr d tempat pelangsran dsebut unt kereta-ap - datang (arrvng shunt unt), sedangkan unt kereta-ap-berangkat (departng shunt unt) ddefnskan sebaga unt kereta ap ang harus dberangkatkan dar tempat pelangsran Unt kereta-ap-datang dapat berasal dar kereta ap ang telah selesa doperaskan dalam angka waktu tertentu, sedangkan unt kereta-ap-berangkat membentuk suatu rangkaan kereta ang akan doperaskan untuk melaan penumpang Sebagan besar kereta ap dapat bergerak dalam dua arah dan tdak membutuhkan lokomotf Dalam masalah n, unt kereta dklasfkaskan berdasarkan tpe dan subtpe pe dar suatu unt kereta ap merupakan kelas kereta ap, msalkan kereta ap tpe (kelas) bsns, ekonom atau eksekutf Pada masalah n dasumskan bahwa hana unt kereta dar tpe ang sama ang dapat dkombnaskan untuk membentuk suatu rangkaan kereta ap Sedangkan subtpe dar suatu unt kereta ddasarkan atas banakna gerbong per unt kereta Sebaga contoh, kereta ap dengan subtpe MA_3 terdr atas unt kereta tpe MA dengan banakna gerbong 3 buah Kereta ap dengan subtpe MA_3 MA_4 terdr atas unt kereta MA dengan banakna gerbong 7 buah, d mana unt pertama terdr atas 3 gerbong dan unt kedua dengan 4 gerbong Dalam penggunaanna, unt kereta dar subtpe ang sama dapat dpertukarkan urutanna Secara umum, masalah pelangsran unt kereta terdr atas dua submasalah Pertama adalah pendataan unt kereta-ap-datang menad unt kereta-ap-berangkat Kedua berhubungan dengan pemarkran unt-unt kereta pada rel pelangsran Selanutna, akan dmnmumkan ongkos dar sebuah rencana pelangsran sehngga kapastas dar rel pelangsran tdak terlebh Kendala dar masalah pelangsran unt kereta secara umum terdr atas empat hal, atu: Kedatangan dan keberangkatan dar unt kereta pada suatu stasun tdak harus berurutan Artna, kereta ang pertama