I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 8 I PENDAHULUAN Latar elakang Pendistribusian suatu barang merupakan persoalan yang sering diumpai baik oleh pemerintah maupun oleh produsen Dalam pelaksanaannya sering kali dihadapkan pada berbagai masalah seperti efisiensi biaya, efisiensi waktu ataupun masalah efektifitas kendaraan Contoh pendistribusian barang adalah pengangkutan sampah oleh Dinas Kebersihan, pendistribusian produk perusahaan kepada agen, pengambilan surat di kotak pos oleh P Pos Indonesia dan mas ih banyak lagi Contoh-contoh tersebut termasuk dalam masalah pengambilan dan pengiriman (pick up and delivery problem / PDP) Masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu (pick up and delivery problem with time windows/pdpw) merupakan pengembangan dari PDP Kendala waktu dalam PDPW diartikan sebagai selang waktu untuk menunggu pengambilan atau pengiriman di suatu tempat Masalah PDP dan PDPW telah banyak dibahas dan dipelaari, di antaranya oleh Mitrofic-Minic (998) yang membahas metode heuristik untuk menyelesaikan masalah PDPW, ruggen et al (993) membahas PDPW dengan satu depot, Dumas et al (99) membahas penyelesaian PDPW dengan menggunakan teknik pembangkitan kolom yang dipandang sebagai masalah path terpendek serta M Sol & MWP Savelsberg (995) yang membahas PDP secara luas ulisan ini merupakan rekonstruksi dari tulisan M Sol & MWP Savelsberg (994) yang berudul A ranch-and-price Algorithm for the Pickup and Delivery Problem with ime Windows 2 uuan uuan penulisan karya ilmiah ini adalah mempelaari penyelesaian masalah pengambilan dan pengiriman berkendala waktu dengan menggunakan teknik pembangkitan kolom II LANDASAN EORI eberapa konsep yang dibutuhkan dalam masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu adalah sebagai 2 Graf Definisi (Graf) Suatu graf adalah pasangan terurut (V,E) dengan V himpunan takkosong dan hingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elem en-elemen V dan dinotasikan dengan G = ( V, E) Elemen V dinamakan simpul (node), dan elemen E dinamakan sisi (edge), dinotasikan sebagai { i, }, yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul, dengan i, V (Foulds, 992) Ilustrasi graf dapat dilihat pada Contoh Contoh G: v v 6 v 5 v 2 v 3 Gambar Graf G = (V, E) v 4 Pada Gambar, V = { v, v2, v4, v5, v6} dan E = { v, v2 },{ v },{ v2 },{ v3 }, { v, v }, { v, v },{ v, }} Definisi 2 (Walk) v5 Suatu walk pada graf G ( V, E) = adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan bentuk: v, { v, v2}, v2, { v2, v3},, {, },, atau ditulis dengan ringkas : v, v2,, vn atau v, v2,, Walk tersebut menghubungkan simpul v dengan (Foulds, 992) Definisi 3 (Closed Walk, Cycle) Suatu walk v, v 2,, vn pada suatu graf G dikatakan tertutup (closed walk) ika v = Suatu walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda disebut cycle (Foulds, 992) erikut ini diberikan ilustrasi dari walk tertutup dan cycle Salah satu contoh walk

2 9 tertutup pada graf G dalam Contoh adalah v, v, v2, v, sedangkan v, v2, v adalah salah satu contoh cycle Definisi 4 (Digraf) Digraf (directed graf/graf berarah) adalah pasangan terurut (V, A) dengan V adalah himpunan takkosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut dari elemenelemen di V dan dinotasikan sebagai D = ( V, A) Elemen dari A disebut sisi berarah (arc) dan dituliskan sebagai ( i, ) dengan i, V (Foulds, 992) Contoh berikut merupakan ilustrasi digraf Contoh 2 D: v v 6 v 5 v 2 v 3 Gambar 2 Digraf D = ( V, A) Pada Gambar 2, digraf D memiliki V = { v, v2, v4, v5 } dan A = { v, v2, v, v2, v4 ( v 5 ),( v4, v5)} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Definisi 5 (Walk berarah) Suatu walk berarah pada digraf D = ( V, A) adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan bentuk: v v v v v, v v, v v ( (, 2 ) 2 ( 2 3 ) ( n n ) n ) atau ditulis dengan ringkas: ( v v ) atau v -v Walk tersebut menghubungkan simpul v dengan (Foulds, 992) Definisi 6 (Cycle berarah) Suatu walk berarah ( v v ) dengan v = vn dan mempunyai setidaknya tiga simpul berbeda disebut sebagai cycle berarah (Foulds, 992) erikut ini diberikan ilustrasi mengenai cycle berarah Salah satu contoh cycle berarah pada digraf D dalam Contoh 2 adalah cycle v v -v 2 -v 3 -v 6 -v, sedangkan cycle v,v 6,v 3,v 2,v pada digraf D bukan merupakan cycle berarah Definisi 7 (Graf erbobot) G = V, E atau digraf Suatu graf ( ) ( V A) D =, dikatakan berbobot ika terdapat fungsi w : E R atau ϑ : A R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang memberikan bobot pada setiap elemen E atau elemen A (Foulds, 992) 22 Pemrograman Linear Pemrograman linear adalah kegiatan merencanakan untuk mendapatkan hasil yang optimal Model pemrograman linear (PL) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear (Hillier & Lieberman, 990) Pada tulisan ini, suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai Defi nisi 8 (entuk Standar Suatu PL) Suatu pemrograman linear didefinisikan mempunyai bentuk standar: Minimumkan z = terhadap A = b () 0 c dengan dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m n yang disebut uga sebagai matriks kendala (Nash & Sofer, 996) 22 Solusi S uatu Pemrograman linear Untuk menyelesaikan suatu masalah pemrograman linear (PL), metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 947 Seak perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah PL dalam bentuk standar Pada Pemrograman Linear (), vektor yang memenuhi kendala A = b disebut sebagai solusi PL () Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = ( N), dengan adalah matriks taksingular berukuran m m yang merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa

3 0 koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala Matriks disebut matriks basis untuk PL Misalkan dapat dinyatakan sebagai vektor =, dengan adalah vektor N variabel basis dan N adalah vektor variabel nonbasis Maka A = b dapat dinyatakan sebagai ( ) A = N N =? + NN = b (2) Karena adalah matriks taksingular, maka memiliki invers, sehingga dari (2) dapat dinyatakan sebagai: = b N (3) Definisi 9 (Solusi asis) Vektor disebut solusi basis dari suatu pemrograman linear ika memenuhi kendala dari PL dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berkorespondensi dengan komponen taknol dari adalah bebas linear (Nash & Sofer, 996) Definisi 0 (Solusi asis Fisibel) Vektor disebut solusi basis fisibel ika merupakan solusi basis dan 0 (4) (Nash & Sofer, 996) Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh Contoh 3 Minimumkan z = 22 terhadap = = = 3, 2, 3, 4, 5 (5) 0 Dari pemrograman linear tersebut didapatkan: A = 2 0 0, b = Misalkan dipilih = ( ) dan = ( ) N N 2 maka matriks basis 0 0 = Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh = b = ( 2 7 3), N = ( 0 0) (6) Solusi (6) merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada PL (5) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berkorespondensi dengan komponen taknol dari (6) yaitu adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain) Solusi (6) uga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol_ PL () dapat dinyatakan dalam dan N sebagai Minimumkan z = c + cn N terhadap + N N = b 0 dengan c adalah koefisien variabel basis pada fungsi obektif, c N adalah koefisien variabel nonbasis pada fungsi obektif Jika Persamaan (3) disubstitusikan ke fungsi obektif z = c + cn N maka akan didapat: z = c ( b N N ) + c N N z = c b + ( cn c N) N y = c = c Jika didefinisikan ( ) maka z dapat dinyatakan dalam y: z = y b + ( cn y N) N (7) Vektor y disebut vektor pengali simpleks (simple multiplier) Untuk suatu solusi basis, N = 0 dan b ˆ = = b, maka c ẑ = b Notasi ẑ adalah notasi untuk z optimal Koefisien ĉ disebut biaya tereduksi (reduced cost) dari dengan ĉ adalah elemen dari vektor ˆ N = ( cn c N) c iaya tereduksi adalah penambahan nilai fungsi obektif ika suatu variabel nonbasis diadikan variabel basis (artinya menadi solusi taknol) pada suatu pemrograman linear

4 t 222 Penyelesaian Pemrograman Linear dengan Algoritme Simpleks Solusi suatu pemrograman linear dapat diketahui optimal atau tidak untuk PL tersebut melalui algoritme sebagai es Keoptimalan Vektor y = c dihitung, kemudian dapat dihitung pula nilai biaya tereduksi cˆ N = ( cn y b) Jika ĉ N 0 maka solusi yang diperoleh adalah solusi optimal Jika ĉ N < 0 maka variabel t yang memenuhi c ˆ < 0 dipilih sebagai variabelmasuk, yaitu variabel t yang akan masuk ke dalam basis Langkah tertentu (t) Kolom Aˆ t = At, yaitu kolom koefisien kendala yang berhubungan dengan variabel-masuk ke t dihitung kemudian ditentukan indeks s pada kolom kendala yang berhubungan dengan variabel-masuk yang memenuhi bˆ = ˆ s min bi : ai, t > 0 (8) as, t i m ai, t Pemilihan indeks dengan cara tersebut disebut dengan ui nisbah minimum (minimum ratio test) Variabel yang menadi variabel-keluar (variabel yang akan keluar dari basis, tergantikan oleh variabel -masuk) dan pivot entry adalah variabel yang berhubungan dengan ˆ Jika a s, t ˆ 0, ( i m) untuk semua i, a i, t maka masalah PL disebut masalah takterbatas (unbounded) Pivot Matriks basis dan vektor basis diperbaharui dan kemudian kembali ke tes keoptimalan erikut ini diberikan contoh penggu naan algoritme simpleks: Contoh 4 Misalkan diberikan PL(5) dalam Contoh 3 Dengan menggunakan algoritme simpleks akan diperoleh solusi = 3, 2 = 5, 3 = 3, 4 = 5 = 0 dengan z = -3 (lihat Lampiran ) _ 23 Masalah Dual Setiap masalah pemrograman linear memiliki padanan, yaitu masalah lain yang disebut pemrograman linear dual Pemrograman linearnya sendiri disebut sebagai masalah primal Misalkan diberikan masalah primal: Minimumkan z = c terhadap A b (9) 0 Maka masalah dual dari (9) adalah Maksimumkan w = b y terhadap A y c y 0 Jika masalah primal memiliki n variabel dan m kendala, maka masalah dual akan memiliki m variabel dan n kendala Koefisien fungsi obektif masalah primal merupakan nilai sisi kanan pada masalah dual, begitu pula sebaliknya Jika masalah primal adalah masalah minimisasi maka masalah dual merupakan masalah maksimisasi Solusi optimal dari masalah dual merupakan pengali simpleks pada masalah primal Pada kondisi optimal, solusi dari masalah dual dan masalah primal akan menghasilkan nilai fungsi obektif yang sama Hal ini dibuktikan dalam teorema dualitas kuat Akibat dari teorema dualitas lemah digunakan untuk membuktikan teorema dualitas kuat eorema (eorema Dualitas Lemah) primal dan masalah dualnya Misalkan adalah solusi fisibel untuk masalah primal dalam bentuk standarnya dan misalkan y solusi fisibel untuk masalah dual, maka nilai fungsi obektif dari masalah primal selalu lebih besar atau sama dengan nilai fungsi obektif dari masalah dual ukti : lihat (Nash & Sofer, 996) Akibat Jika adalah solusi fisibel untuk masalah primal, y adalah solusi fisibel untuk masalah dual, dan b y = c, maka dan y adalah solusi optimal berturut-turut untuk masalah primal dan dual eorema 2 (eorema Dualitas Kuat) primal dan masalah dualnya Jika salah satu dari masalah primal atau masalah dual tersebut memiliki solusi optimal, maka masalah lainnya uga memiliki solusi optimal dan nilai fungsi obektif optimalnya adalah sama

5 2 ukti : Misalkan diasumsikan bahwa masalah primal dalam bentuk standar dan mempunyai solusi yang merupakan solusi basis fisibel optimal Misalkan dapat dinyatakan sebagai vektor =, dengan adalah vektor N variabel basis dan N adalah vektor variabel nonbasis Selain itu, seperti telah dielaskan sebelumnya matriks A dapat dinyatakan sebagai A = ( N) dan vektor koefisien pada fungsi obektif c dapat dinyatakan c sebagai c = Karena adalah matriks cn taksingular, maka memiliki invers sehingga dapat dinyatakan sebagai = b Dari sebelumnya diketahui pula, ika optimal maka biaya tereduksinya adalah c N c N 0 atau c N cn (*) Misalkan y adalah vektor dari pengali simpleks yang berhubungan dengan solusi basis fisibel, dengan y = c atau y = c Akan ditunukkan bahwa: Nilai dari fungsi obektif masalah primal dan dual adalah sama, yaitu b y = c 2 y adalah optimal untuk masalah dual ukti: Sebelumnya akan diperiksa terlebih dahulu kefisibelan dari y: y A = c ( N) = ( c c ) N ( c c N ) dari (*) = c Sehingga A y c dan y fisibel untuk masalah dual, kemudian dihitung nilai obektif untuk masalah primal (z) dan dual (w): z = c = c = c b w = b y = y b = c b = z Jadi y adalah fisibel untuk masalah dual dan nilai fungsi obektif solusi optimal dari masalah primal dan dual mempunyai nilai yang sama 2 Karena b y = c maka y adalah solusi optimal untuk masalah dual (dari Akibat )_ ukti dari teorema dualitas kuat menghasilkan solusi optimal dual Misalkan c =, A = ( N), dan c = N cn maka nilai optimal dari variabel dual diberikan oleh vektor pengali simpleks y = c Dari bukti teorema dualitas kuat terlihat bahwa kondisi primal optimal c N c N 0 adalah ekivalen dengan kondisi fisibel dual A y c atau c A y 0 Jadi vektor dari biaya tereduksi ĉ adalah vektor variabel slack dual ˆ c = c A y Contoh 5 primal sebagai Minimumkan z = terhadap i 0, untuk i = {,2,3,4,5} Masalah dual dari masalah tersebut adalah sebagai Maksimumkan w = y + y + y + y + y y6 y + y2 + y3 y + y 2 + y4 27 y 2 + y4 + y5 93 y 2 + y5 + y6 74 y 3 + y5 55 terhadap 5 y 0, untuk i = {,2,3,4,5,6} i Dengan menggunakan LINDO 6, diperoleh solusi dari masalah primal sebagai = = =, = = dengan nilai fungsi obektifnya z = 52 (lihat Lampiran 2) Nilai pengali simpleks untuk masing-masing kendala adalah sebagai y = y2 = 0, y3 = 5, y4 = 27, y5 = 4, y6 = 70 dengan yi adalah nilai pengali simpleks kendala ke-i

6 3 Solusi dari masalah dual tersebut uga dapat dicari dengan menggunakan LINDO 6 yang menghasilkan solusi: y = y = y =, y = 5, y = 27, y = dengan nilai fungsi obektif w = 52 (lihat Lampiran 2) Dari penghitungan tersebut, terlihat bahwa fungsi obektif dar i masalah primal dan dual mempunyai nilai yang sama seperti dinyatakan dalam eorema 2 _ 24 Pemrograman Linear ilangan ulat Model pemrograman linear bilangan bulat (Integer Linear Programming/ILP) adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer) Jika semua variabel harus berupa bilangan bulat, maka masalah tersebut disebut ILP-murni Jika hanya sebagian yang harus bilangan bulat maka disebut ILP-campuran ILP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau disebut 0- I LP Definisi (Pemrograman Linear Relaksasi) PL-relaksasi dari suatu ILP merupakan pemrograman linear yang diperoleh dari ILP tersebut dengan menghilangkan kendala bilangan bulat atau kendala 0- pada variabelnya (Winston, 995) Model yang digunakan pada tulisan ini yang berkaitan dengan masalah ILP adalah model masalah pemartisian himpunan 25 Masalah Pemartisian Himpunan Definisi 2 (Partisi) Misalkan diberikan dua himpunan, yaitu I,2,, m P = P P,, dengan = { } dan { }, 2 P adalah suatu himpunan bagian dari I, J =,2,, n { } Himpunan P, J * J adalah partisi dari I ika: P = I dan Υ J * P n * untuk, k J, k P P = ø (Garfinkel & Nemhauser, 972) Ilustrasi dari suatu partisi dapat dilihat pada Contoh 6 Contoh 6 Misalkan diberikan himpunan I =,2,3,4,5,6 dan kelas-kelas himpunan { } P = {,6}, P 2 = { 3,4}, P 3 = {,4,6}, 4 = { 2} P { 2,3,5} 5 = k P, P, Partisi dari I di antaranya adalah { 3, P 4 } karena untuk himpunan J * = { 3,5} memenuhi: Υ P = I dan J * * untuk, k J, k P P = ø _ Masalah pemartisian himpunan (set partitioning problem/spp) adalah masalah menentukan partisi dari himpunan I dengan biaya minimum Untuk mendapatkan partisi tersebut, misalkan didefinisikan variabel 0- sebagai =, ika P termasuk dalam partisi 0, selainnya entuk umum SPP: Minimumkan c n = terhadap A( ) = n = = 0 atau dengan c adalah biaya P, A() adalah matriks koefisien kendala, dan adalah vektor dengan dimensi n dengan semua komponennya sama dengan Model ini memiliki beberapa sifat penting, yaitu: Sifat Masalah pada model memiliki kendala berupa persamaan Sifat 2 Nilai sisi kanan semua kendala adalah Sifat 3 Semua elemen matriks koefisien A() adalah 0 atau Contoh 7 (Masalah pemartisian himpunan) Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas -kelas P seperti pada Contoh 6 Misalkan diketahui biaya dari masing-masing kelas P, yaitu c, dengan c = 5, c2 = 0, c3 = 9, c4 = 8, c5 = 7 Diinginkan himpunan dari P yang dapat memartisi I dengan biaya minimum Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai masalah pemartisian himpunan Misalkan didefinisikan variabel 0- sebagai =, ika P termasuk dalam partisi 0, selainnya k

7 4 A() =, ika elemen ke- di I merupakan elemen P, dengan =, 2,, 5 0, selainnya Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai SPP Minimumkan terhadap + (elemen ) 3 = = = (elemen 2) (elemen 3) + (elemen 4) 2 3 = 5 = (elemen 5) + 3 = (elemen 6) = 0 atau, untuk = {, 2, 3, 4, 5} Dengan mengunakan LINDO 6 diperoleh solusi untuk masalah SPP sebagai = 2 = 4 = 0, 3 = 5 =, dan nilai fungsi obektif sebesar 36 Jadi partisi dari I =,2,3,4,5,6 dengan biaya minimum { } adalah P {,4,6} dan { 2,3,5} 3 = P 5 = III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH Dalam masalah pengambilan dan pengiriman (PDP) seumlah rute harus dikonstruksi guna memenuhi semua permintaan transportasi (transportation request/r) Permintaan transportasi dapat diartikan sebagai suatu permintaan pengiriman barang yang harus dibawa secara langsung dari lokasi pengambilan barang (tempat asal) ke lokasi pengiriman (tempat tuuan) Setiap permintaan transportasi memiliki kuantitas barang yang dibawa oleh suatu kendaraan Kuantitas barang yang dibawa ke tempat tuuan belum tentu semuanya diturunkan pada tempat tuuan isa adi hanya sebagian barang yang diturunkan atau bahkan tidak diturunkan sama sekali arang yang tidak diturunkan kemudian dikirimkan ke tempat tuuan selanutnya isa adi dalam pengiriman tersebut ditambah dengan barang yang diangkut pada tempat penurunan barang Kuantitas barang dalam permintaan transportasi terkadang tidak selalu diketahui pada masalah pengambilan dan pengiriman Kuantitas tersebut dapat dicari melalui kuantitas suatu barang yang harus diangkut atau diturunkan pada suatu tempat Armada kendaraan sangat dibutuhkan dalam PDP Armada kendaraan dapat beroperasi dalam berbagai rute Suatu armada dapat memiliki berbagai macam tipe kendaraan Setiap tipe kendaraan memiliki depot dan kapasitas pengangkutan barang Depot merupakan tempat di mana kendaraan tersebut diberangkatkan dan kembali setelah peralanan usai Masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu (pick up and delivery problem with time windows/pdpw) merupakan pengembangan dari PDP, dengan kendala waktu diartikan sebagai selang waktu untuk menunggu pengambilan atau pengiriman di suatu tempat Sebagai ilustrasi pada pengambilan surat oleh P Pos Indonesia Misalkan saa waktu pengambilan surat di suatu kotak pos adalah tepat pukul 900 Sering kali dalam pelaksanaannya dihadapkan pada berbagai masalah peralanan, sehingga diperkirakan kendaraan tersebut akan tiba sekitar pukul 850 sampai pukul 90 Perkiraan waktu tersebut digunakan sebagai kendala waktu pada PDPW Dalam masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu, setiap permintaan transportasi memiliki kendala waktu yang ada pada saat pengambilan maupun pengiriman Hal ini berarti setiap kendaraan harus mengunungi setiap tempat sesuai dengan kendala waktu yang ada Di depot, setiap tipe kendaraan dalam armada uga memiliki kendala waktu, sehingga kendaraan tersebut berangkat dan pulang ke depot sesuai dengan waktu yang tersedia Jika rute-rute dalam PDPW yang memenuhi permintaan transportasi telah dikonstruksi, maka harus dicari bagaimana cara memenuhi semua permintaan transportasi tersebut dengan biaya minimum eberapa asumsi digunakan dalam model PDPW ini Asumsi tersebut adalah: arang yang diambil dan dikirim merupakan barang yang homogen 2 arang tersebut dikirimkan oleh satu kendaraan dari lokasi pengambilan ke lokasi pengiriman tanpa adanya biaya pengangkutan di tengah lokasi 3 Waktu yang diperlukan untuk bongkar muat barang pada lokasi pengambilan dan lokasi pengiriman dapat dengan mudah