Kalkulus Multivariabel I

Transkripsi

1 atas Persegi Panjang Integral dalam uang Berdimensi n: atas Persegi Panjang Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014

2 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan integral pada ruang berdimensi n memiliki prinsip yang sama dengan integral pada satu variabel Kita akan menggunakan integral lipat untuk menghitung volume benda padat, luas permukaan, dan pusat massa dari lapisan tipis (lamina), dan benda-benda padat dengan berbagai kerapatan Pengintegralan berlipat ini akan disederhanakan menjadi pengintegralan tunggal berurutan di mana Teorema Dasar Kalkulus Kedua memainkan peranan yang penting

3 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Ingat kembali mengenai integral iemann pada fungsi satu variabel di mana kita membagi interval [a, b] menjadi interval-interval kecil dengan panjang x k, k = 1, 2,..., n, berdasarkan partisi p : x 1 < x 2 <... < x k mengambil sebuah titik contoh x k dari interval ke-k, kemudian b a f (x)dx = lim p 0 k=1 n f ( x k ) x k

4 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Misalkan f (x, y) kontinu pada himpunan berbentuk persegi panjang yaitu = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi p pada himpunan yaitu garis-garis yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil dengan panjang sisi-sisinya masing-masing x k dan y k.

5 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada

6 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Misalkan luas persegi panjang ke-k yaitu A k = x k y k. Pada persegi panjang k ambil sebuah titik ( x k, ȳ k ) sehingga dapat ditentukan bentuk jumlah iemann-nya yaitu n f ( x k, ȳ k ) A k k=1

7 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Definisi: Misalkan f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi panjang tertutup. Jika lim p 0 k=1 n f ( x k, ȳ k ) A k, ada, maka f dapat diintegralkan di. f (x, y)da disebut integral lipat-dua dari f atas dan dapat dinyatakan dengan f (x, y)da = lim p 0 k=1 n f ( x k, ȳ k ) A k

8 Contoh: Hampirilah atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada f (x, y)da berikut dengan menghitung jumlah iemann di mana f (x, y) = 64 8x+y 2 dan = {(x, y) : 0 x 4, 0 y 8} Penyelesaian:

9 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berhubungan pada fungsi tersebut adalah sebagai berikut ( x 1, ȳ 1 ) = (1, 1), f ( x 1, ȳ 1 ) = 57 ( x 2, ȳ 2 ) = (1, 3), f ( x 2, ȳ 2 ) = 65 ( x 3, ȳ 3 ) = (1, 5), f ( x 3, ȳ 3 ) = 81 ( x 4, ȳ 4 ) = (1, 7), f ( x 4, ȳ 4 ) = 105 ( x 5, ȳ 5 ) = (3, 1), f ( x 5, ȳ 5 ) = 41 ( x 6, ȳ 6 ) = (3, 3), f ( x 6, ȳ 6 ) = 49 ( x 7, ȳ 7 ) = (3, 5), f ( x 7, ȳ 7 ) = 65 ( x 8, ȳ 8 ) = (3, 7), f ( x 8, ȳ 8 ) = 89

10 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Karena A k = 4, maka diperoleh f (x, y)da = = 4 8 f ( x k, ȳ k ) A k k=1 8 f ( x k, ȳ k ) k=1 4( ) = = 138

11 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Teorema Keterintegralan Jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup dan jika fungsi ini kontinu di, kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus, maka f dapat diitegralkan pada. Secara khusus, jika f kontinu di seluruh, maka f dapat diintegralkan di.

12 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Sifat-Sifat Perhitungan pada 1. Bersifat linear a. kf (x, y)da = k f (x, y)da; b. [f (x, y) ± g(x, y)]da = f (x, y)da ± g(x, y)da 2. Bersifat aditif (penjumlahan) pada daerah yang saling tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis f (x, y)da = f (x, y)da + f (x, y)da 1 2

13 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada 3. Perbandingan pada integral lipat-dua, jika f (x, y) g(x, y) untuk seluruh (x, y) di, maka f (x, y)da g(x, y)da

14 atas Persegi Panjang Perhitungan pada Sifat-Sifat Perhitungan pada Jika f (x, y) = 1 di maka integral lipat-dua merupakan luas dari, kda = k 1dA = ka() Contoh: Misalkan f adalah fungsi tangga, yaitu misalkan 1 0 x 3, 0 y 1 f (x, y) = 2 0 x 3, 1 y x 3, 2 y 3 Hitung f (x, y)da di mana = {(x, y) : 0 x 3, 0 y 3}.

15 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Penyelesaian: Buat persegi panjang 1, 2, dan 3 sebagai berikut 1 = {(x, y) : 0 x 3, 0 y 1} 2 = {(x, y) : 0 x 3, 1 y 2} 3 = {(x, y) : 0 x 3, 2 y 3}

16 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Dengan menggunakan sifat penjumlahan pada integral lipat-dua diperoleh: f (x, y)da = f (x, y)da + f (x, y)da + f (x, y)da 1 2 = 1A( 1 ) + 2A( 2 ) + 3A( 3 ) = 1(3) + 2(3) + 3(3) = 18 3

17 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada 1. Misalkan = {(x, y) : 1 x 4, { 0 y 2}, hitung 2 1 x 3, 0 y 2 f (x, y)da di mana f (x, y) = 3 3 x 4, 0 y 2 2. Misalkan: = {(x, y) : 0 x 2, 0 y 2} 1 = {(x, y) : 0 x 2, 0 y 1} 2 = {(x, y) : 0 x 2, 1 y 2}

18 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Misalkan pula: f (x, y)da = 3, g(x, y)da = 5, dan g(x, y)da = 2. Hitunglah: 1 a. [3f (x, y) g(x, y)]da b. [2g(x, y) + 3]dA 1 3. Hitunglah (1 + x)da di mana = {(x, y) : 0 x 2, 0 y 1}. (Petunjuk: sketsalah benda padat tersebut).

19 atas Persegi Panjang Sifat-Sifat Perhitungan pada Purcell, E. J & D. Vanberg, Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede.C Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, Terjemahan, Kalkulus, Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, Schaum s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.