PEMAHAMAN METODE NUMERIK (STUDI KASUS METODE NEW-RHAPSON) MENGGUNAKAN PEMPROGRMAN MATLAB

Transkripsi

1 PEMAHAMAN METODE NUMERIK (STUDI KASUS METODE NEW-RHAPSON) MENGGUNAKAN PEMPROGRMAN MATLAB St Nurhabbah Hutagalung STMIK Bud Darma, Jln.SM.Raja No.338 Sp.Lmun, Medan Sumatera Utara Jurusan Teknk Informatka e-mal : st_nurhabbah69@yahoo.com Abstrak Stud tentang karakterstk fungs non-ler dapat dlakukan secara ekspermental maupun teorts. Salah satu bagan dar analsa teorts adalah dengan melakukan komputas. Untuk keperluan komputas n, metode numerk dapat dpaka dalam menyelesakan persamaan-persamaan yang rumt, msalnya persamaan non-lnear. Ada sejumlah metode numerk yang dapat dgunakan untuk menyelesakan persamaan nonlnear, adalah metode Newton-Raphson. Kata Kunc : Numerk, Newton Raphson.. Abstract Studes on the characterstcs of non-lnear functon can be etherexpermental or theoretcal. One part of the theoretcal analyss s to perform computaton. For ths purpose computaton, numercal methods can be used n the complete equatons of the complex, such as non-lnear equaton. There are a number of numercal methods that can be used to complete the non-lnear equaton, s the Newton-Raphson method. Key Word : Numerc, Newton Raphson. 1. PENDAHULUAN Dalam permasalahan non-lner, terutama permasalahan yang mempunya hubungan fungs eksponensal dalam pembentukan polanya dapat danalss secara ekspermental maupun teorts. Salah satu bagan dar analsa teorts adalah dengan melakukan komputas dengan metode numerk. Metode numerk dalam komputas akan sangat membatu dalam menyelesakan permasalahan-permasalahan yang rumt dselesakan secara artmatka. Metode numerk akan sangat membantu setap penyelesaan permasalahan apabla secara matemats dapat dbentuk suatu pola hubungan antar varabel/parameter. Hal n akan menjad lebh bak jka pola hubungan yang terbentuk dapat djabarkan dalam bentuk fungs. Ada sejumlah metode numerk yang dapat dgunakan untuk menyelesakan persamaan non-lnear. Dua dantaranya adalah metode Newton-Raphson dan metode Secant. Pendekatan kedua metode yang berbeda n dalam menyelesakan persoalan yang sama, bsa dkomparaskan terhadap solus akhr yang dperoleh. Kesesuaan nla yang ddapat dalam kedua metode n, menunjukkan bahwa hasl perhtungan yang dperoleh adalah tepat. Secara komputas, dsampng ketepatan nla akhr dar suatu metode juga akan mempertmbangkan kecepatan teras dalam perolehan hasl akhr. Kombnas antara ketepatan dan kecepatan teras dalam metode numerk merupakan hal yang pentng dalam penyelesaan permasalahan secara komputas. 101

2 Tdak semua permasalahan matemats atau perhtungan dapat dselesakan dengan mudah. Bahkan dalam prnsp matematk, dalam memandang permasalahan yang terlebh dahulu dperhatkan apakah permasalahan tersebut mempunya penyelesaan atau tdak. Hal n menjelaskan bahwa tdaksemua permasalahan dapat dselesakan dengan menggunakan perhtungan basa. Pendekatan yang dgunakan dalam metode numerk merupakan pendekatan analss matemats. Sehngga dasar pemkrannya tdak keluar jauh dar dasar pemkran analts, hanya saja pemakaan grafs dan teknk perhtungan yang mudah merupakan pertmbangan dalam pemakaan metode numerk. Mengngat bahwa algortma yang dkembangkan dalam metode numerk adalah algortma pendekatan maka dalam algortma tersebut akan muncul stlah teras yatu pengulangan proses perhtungan. Dengan kata lan perhtungan dalam metode numerk adalah perhtungan yang dlakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus dperoleh hasl yang man mendekat nla penyelesaan eksak. 2. METODE PENELITIAN 2.1 Pencaran Inkremental Dan Penentuan Tebakan Awal Dsampng pengecekan jawaban masng-masng, anda harus menentukan apakah semua akar kemungknan telah dtempatkan. Sepert telah dutarakan sebelumnya, sebuah grafk fungs basanya sangat bermanfaat untuk menuntun anda dalam tugas. Plhan lannya adalah mengkutsertakan suatu caran nkremental pada saat memula pemrograman komputer. Plhan n bermula pada suatu ujung daerah yang dngnkan, lalu membuat evaluas fungs dengan kenakan ( nkremen) dsepanjang daerah tersebut. Jka tanda fungs berubah, harus danggap bahwa suatu akar terletak dalam kenakan tu. Harga x pada permulaan dan akhr dar nkremen kemudan dapat memberkan tebakan awal bag salah satu teknk mengurung. Suatu masalah potensal dengan caran nkremental adalah pemlhan panjang nkremen. Jka panjang tersebut terlalu kecl, caran sangat menghabskan waktu. Sebalknya jka panjang tu terlalu besar, mungkn saja akar-akar yang terpsah secara berdekatan akan hlang. Masalah tersebut dgabungkan dengan kemungknan adanya akar ganda. Bantuan sebagan untuk kasus semacam tu adalah dengan mencar turunan pertama dar fungs f '( x) pada awal dan akhr setap nterval. Jka turunan n berubah tanda, a membertahukan bahwa suatu mnmal atau maksmal telah terjad, dan nterval harus dperksa lebh dekat agar terdapat sebuah kemungknan akar. Walaupun modfkas demkan atau pengerjaan nkremen yang sangat halus merngankan masalah. Anda harus bjaksana menambahkan teknk otomats demkan dengan sembarang keterangan lan yang member pengertan ke dalam penempatan akar-akar. Keterangan semacam tu dtemukan dalam pembuatan grafk dan dalam mengartkan masalah fska darmana persamaan tersebut berasal. 2.2 Krtera Termnas dan Taksran Kesalahan Mengembangkan suatu krtera objektf untuk menentukan kapan metode n berhent. Kta memerlukan suatu taksran kesalahan yang tdak dtentukan oleh pengetahuan tentang akar tu sebelumnya. Suatu kesalahan aproksmas dapat dhtung xr baru xr lama a 100% x baru Dmana r xr baru adalah akar dar teras sekarang, dan xr lama adalah akar teras sebelumnya. Harga absolut dpaka karena kta basanya cenderung memaka besarnya a 102

3 ketmbang tandanya. Bla f ' x a f x 0 x x menjad lebh kecl darpada suatu krtera penghentan praspesfkas s, komputas dhentkan. Metode n palng banyak dgunakan dalam mencar akar-akar persamaan, jka perkraan awal dar akar adalah x, maka suatu gars snggung dapat dbuat dar ttk ( x, f (x )). Ttk dar gars snggung tersebut memotong sumbu-x, basanya memberkan perkraan yang lebh dekat dar nla akar. 2.3 Galat atau x x f 1 x.. (2) 1.. (3) f ' x D dalam pemakaan prakts, penyelesaan akhr yang dperlukan berbentuk numerk. Msalnya, set dar tabulas data yang dberkan dan kesmpulan-kesmpulan yang dmlk gambar dar data tersebut atau penyelesaan suatu sstempersamaan lnear yang dberkan. Metode yang dtempuh dengan melbatkan angka tertentu dkenal dengan metode numerk. Tujuan dar metode numerk adalah memberkan metode-metode yang efsen untuk memperoleh jawaban numerk dar bermacam-macam permasalahan. Untuk menyelesakan suatu masalah basanya dmula dengan sebarang data awal kemudan dhtung, selanjutnya dengan langkah-langkah (pengolahan) tertentu, akhrnya dperoleh suatu penyelesaan. Data numerk adalah suatu aproksmas (taksran) yang sesusa sampa dengan dua, tga, atau lebh tempat desmal. Kadang metode yang dgunakanpun, adalah suatu aproksmas. Oleh sebab tu galat dalam hasl perhtungan mungkn dsebabkan oleh galat data, galat d dalam pemakaan suatu metode, atau kedua-duanya. Dalam bagan n akan dbcarakan de dasar tentang galat. 2.4 Tolerans Dalam menykap galat yang djumpa perlu adanya batasan nla galat yang dterma yang dsebut dengan nla tolerans. Tolerans basa ddefnskan sebaga batas penermaan suatu galat. Dar pengertan n yang dmaksud dengan Tolerans Galat Mutlak adalah nla mutlak dar selsh nla eksak (nla sebenarnya) dengan nla aproksmas. 3.1 Desan Dan Implementas 1. Algortma 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Input : a. Masukkan persamaan non-lnear f(x) dan f (x). b. Masukkan tolerans yang dngnkan dalam persen (%). Tolerans merupakan batas kesalahan (galat) yang dngnkan, semakn mendekat nla 0 semakn bak. c. Masukkan maksmum teras yang dngnkan. Iteras awal = 0 d. Masukkan nla pendekatan awal x 0. Proses : 103

4 a. Htung x 0 Dengan metode Newton Raphson b. Nla teras = teras +1 atau =+1 c. Htung nla x1 dengan kembal ke langkah a d. Htung nla galat Ea e. Jka teras< maksmum teras lanjutkan proses, jka tdak proses berhent. f. Jka nla Ea < Es, lanjutkan ke proses selanjutnya Jka nla Ea > Es, kembal ke proses Output : a. Tamplkan tabel teras, x, f(x), f (x),galat. b. Tamplkan akar persamaan. c. Tamplkan grafk. 3.2 Implementas Pada mplementas, akan dgunakan fungs nonlnear untuk menguj program apakah berjalan dengan bak atau tdak, contoh 1, fungs yang dgunakan adalah f(x) = x 2 +4x-21, yang secara perhtungan manual dapat dcar dferensalnya f (x) = 2x+4, dan untuk nla awal x = Tamplan Program Matlab Kode Program : % -- SITI NURHABIBAH HUTAGALUNG -- % % -- PROGRAM METODE NEWTON -- % Clear Clc format long fx = nput('iskan persamaan non-lnearnya (strng) : '); x0 = nput('iskan nla awal : '); maks = nput('iskan maksmum terasnya : '); tol = nput('iskan toleransnya : '); ter=0; h=0.5; fprntf('\n'); fprntf('ter x f(x) df(x) galat\n'); fprntf('\n'); whle ter<maks f=nlne(fx); fun=f(x0); fak = (f(x0+h)-f(x0-h))/(2*h); Es=abs((x0-fun/fak)-x0)/abs(x0-fun/fak); f fak==0 break elsef Es <tol akar=x0-fun/fak; break else x0=x0-fun/fak; end fprntf('%3d %3.6f %3.6f %3.6f %3.6f\n',ter+1,x0,fun,fak,Es); 104

5 ter=ter+1; end akar=x0; func=f(akar); %grafk fungs (x0) t=-10:10; z=f(t); plot(t,z),ttle('grafk fungs (x)'); grd on; fprntf('\n'); fprntf(1,' Akarnya : %10.5f \n',akar) ; fprntf(1,' dengan tolerans : %10.5f \n',tol) ; fprntf(1,' dan pada teras ke : %10g \n',ter) ; 3.3 Hasl Pada pengujan program Iskan persamaan non-lnearnya (strng) : 'x0.^2+4*x0-21' Iskan nla awal : 0 Iskan maksmum terasnya : 10 Iskan toleransnya : ter x f(x) df(x) galat 105

6 Akarnya : dengan tolerans : dan pada teras ke : 4 Akarnya adalah karena galat dar nla x tersebut lebh mendekat angka 0 maka proses teras pun dhentkan pada proses teras ke -4. contoh ke-2 F(x) = 4x 2 +7x-31 à F (x) = 8x+7 Iskan persamaan non-lnearnya (strng) : '4*x0.^2+7*x0-31' Iskan nla awal : 0 Iskan maksmum terasnya : 40 Iskan toleransnya : ter x f(x) df(x) galat Akarnya : dengan tolerans : dan pada teras ke : 5 Akarnya adalah dengan tolerans dan karena galat dar nla x pada teras ke- 5 sudah memenuh syarat mendekat ketentuan angka dar tolerans error maka proses teras ke-5 dhentkan. 4. KESIMPULAN Metode numerk dgunakan untuk menyelesakan persoalan dmana perhtungan secara analtk tdak dapat dgunakan. Metode numerk n berangkat dar pemkran bahwa permasalahan dapat dselesakan dengan menggunakan pendekatan-pendekatan yang dapat dpertanggung-jawabkan secara analtk. Metode numerk n dsajkan dalam bentuk algortmaalgortma yang dapat dhtung secara cepat dan mudah. 5. SARAN Agar dlakukan peneltan selanjutnya mengena penerapan metode numerk untuk kasuskasus penerapan pengembangan yang lan dan metode-metode yang berhubungan dalam beberapa penentuan hasl dan perhtungan. 106

7 UCAPAN TERIMAKASIH Penuls mengucapkan terma kash kepada perguruan tngg STMIK Bud Darma dan Unverstas Asahan dan beberapa phak-phak lan yang telah member dukungan terhadap peneltan dan penerbtan jurnal n. DAFTAR PUSTAKA [1] Mahmudah, 2013, Modfkas Metode Newton Raphson dalam menyelesakan Optmas Non-Lnear Multvarabel Berkendala. Skrps Program Stud Matematka.Fakultas Sans dan Teknolog. Unvertas Islam Neger.Sunan Kaljaga, Yogyakarta [2] Santyasa, 2012, Algortma Newton Raphson dengan Fungs Non-Lner. Program Stud Teknk Informatka, Jurusan Ilmu Komputer.Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Udayana [3] Srat, Penaksr Maksmum lkelhood dengan Metode teras Newton- Raphson.Dosen Program Stud Matematka FMIPA Unverstas Rau. Kumpulan Makalah Semnar Semrata 2013 Fakultas MIPA Unverstas Lampung 107