BAB 8 TRANSFORMASI LINEAR. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

Transkripsi

1 BAB 8 RANSFORMASI LINEAR Dr. Ir. Abdl Whid Srhim, M.

2 KERANGKA PEMBAHASAN. rnsformsi Linier secr Umm. Kernel dn Rnge 3. rnsformsi Linier Iners 4. Mtriks rnsformsi Liner 5. Similrits

3 7. RANSFORMASI LINIER SECARA UMUM Mislkn V dn W dlh rng ektor, : V W dinmkn trnsformsi liner, jik, b V R ntk setip dn berlk :. b b. Jik V = W mk dinmkn opertor liner

4 Contoh : njkn bhw : R R 3, dengn merpkn trnformsi liner. Jwb : Ambil nsr sembrng di R, Mislkn (i) Akn ditnjkn bhw y y y, R Rms rnsformsi

5 erbkti bhw Τ Τ

6 (ii) Ambil nsr sembrng Jdi, merpkn trnsformsi liner. R R dn ατ

7 Contoh : Mislkn merpkn st trnsformsi dri M ke R yng didefinisikn oleh (A) = det (A), ntk setip A M, Apkh merpkn rnsformsi linier. Jwb : Mislkn mk ntk setip R berlk det (A) = 4 3 M A 4 3 det ) det( 4 3 A Perhtikn bhw det(a) det(a). Jdi bkn trnsformsi linier.

8 Contoh 3 : Dikethi : P (Polinom orde-) R, dengn. Apkh merpkn trnsformsi liner b. entkn ( b c ) ( b c ) Jwb :.(i) Ambil nsr sembrng P, 3 3 Sehingg 3 3

9 Perhtikn bhw Memenhi Τ Τ

10 Ambil nsr sembrng P, dn R, sehingg Jdi, merpkn trnsformsi liner ατ

11 b. ( ) St trnsformsi liner : V W dpt direpresentsikn dlm bentk : A ntk setip V. A dinmkn mtriks trnsformsi dri.

12 Contoh 4: Mislkn, st trnsformsi liner : R R 3 didefinisikn oleh : Jwb : Perhtikn bhw Jdi mtriks trnsformsi ntk : R R 3 dlh Jik : R n R m merpkn trnsformsi liner mk krn mtriks trnsformsi dlh m n y y y y A y y y

13 Mislkn, 3 : R R bsis bgi rng ektor V dn merpkn trnsformsi liner dengn Sehingg Jdi i i 3 3 ntk setip i =,. Mtriks trnsformsiny dpt ditentkn dengn cr : lis : bsis bgi V mk i pny iners

14 ,, 3 3 : P R i i i p A p p p ; ; 3 dn Contoh 5 : Mislkn dlh bsis bgi R 3 rnsformsi liner didefinisikn ntk setip i =,,3. entkn : Mtri trnsformsi A Jik

15 ; ; 3 B B B p p p,,,3 i i p i Jwb : Definisikn : Kren Mk t

16 ~ ~ iners mtriks dicri dengn OBE : Sehingg Jdi mtriks trnsformsi dlh

17 B ingt bhw jdi Sementr it,

18 ,, Contoh 6 : Jik : P R 3 dlh trnsformsi liner dimn entkn. Dikethi bsis dri polinom orde d dlh Gnkn Definisi Membngn

19 Jwb : Perhtikn bhw himpnn 3 polinom tersebt dlh bsis bgi polinom orde mk polinom tersebt ditlis nejdi : Smkn sk-sk sejenis sehingg diperoleh SPL dengn solsi k =, k =, dn k 3 = k k k k k k k 3 k k k

20 Jdi kombinsi liner dits berbentk : t Kren trnsformsi bersift liner mk : 5 4

21 7. KERNEL DAN RANGE Mislkn : V W merpkn trnsformsi liner. Sem nsr di V yng dipetkn ke ektor nol di W dinmkn kernel dengn notsi ker ( ) t Contoh : rns. Liner : P R Perhtikn bhw mk ) ( V Ker c b c b ) ( ( ) ) ( Ker

22 Sementr it, kren Jels bhw ektor nol pd derh sl trnsformsi merpkn nsr kernel. etpi, tk sem trnsformsi liner mempnyi ektor tk nol sebgi nsr kernel. eorem : Bkti : Jik : V W dlh trnsformsi liner mk Ker () merpkn sbrng dri V Ambil (, b Ker ( ) ) Ker( ) sembrng dn Riil

23 . Kren setip Ker ( ) rtiny setip V sehingg mk Ker() V. Perhtikn bhw rtiny setip oleh kren it Ker() { } 3. Kren, b Ker ( ) dn Ker() V Ingt bhw V mrp rng ektor, sehingg berlk b V kibtny Ker ( A ) Jdi b ( ) ( b ) b ker

24 4. Kren Ker ( ) mk V kren V dlh rng ektor mk ntk setip Riil berlk : Jdi, Ker ( ) Dengn demikin, terbkti bhw Jik : V W dlh trnsformsi liner mk Ker( ) merpkn sbrng dri rng ektor V Kren Ker( ) merpkn sbrng Bsis Ker().

25 c b c b c b c b Contoh : Dikethi rnsformsi liner : R 3 P dengn Jwb : Perhtikn bhw : =( + b) + ( c) + ( + b + c) entkn bsis dn dimensi Ker() dn R()

26 c b c b b c b c b c b b c b Ini memberikn sehingg Jdi, mtriks trnsformsi bgi dlh A

27 ~ / / / ~ ~ Dengn melkkn OBE pd mtriks tersebt : Dengn demikin, Bsis ker() = { } dn nlitsny dlh nol.

28 ,,,, Perhtikn hsil OBE mk bsis rng kolom dri mtriks A dlh : oleh kren it, bsis jngkn dri dlh : sehingg rnk (dimensi bsis R(t)) = 3

29 d c b d c b d c b Contoh 3: Dikethi trnsformsi liner : R 4 R 3 didefinisikn oleh : entkn bsis kernel dri dn nlitsny

30 Jwb : d c b d c b d c b d c b A Jdi

31 4, R d c b A ~ A ~ Bsis Ker() dn Nlitsny? Dengn OBE Ker() dlh rng solsi dri

32 A,, t s t s d c b d c b, Ker() = rng solsi dri yit Jdi Bsis Ker() dlh Nlits = Dimensi dri Ker() =

33 7.3 RANSFORMASI LINIER INVERS RANSFORMASI SAU-KE-SAU rnsformsi liner : V W diktkn st-kest jik memetkn ektor jrk di V ke ektor jrk di W Contoh : Jik A dlh mtriks n n dn A : R n R n dlh perklin dengn A, mk A dlh stke-st jik dn hny jik A dlh mtriks yng dpt diblikkn

34 CONOH Mislkn : P n P n+ dlh memiliki L: (p) = (p()) = p() Jik = = dn = = dlh polinomil jrk, mk kedny berbed pling tidk st koefisien. Sehingg, = dn ( ) = jg berbed pling tidk st koefisien. Kren it, dlh st-kest, kren memetkn polinomil jrk p dn q ke polinomil jrk (p) dn (q)

35 PERNYAAAN EKUIVALEN Jik : V W dlh trnsformsi liner, mk yng berikt ini dlh ekilen:. dlh st-ke-st. Kernel mengndng hny ektor nol; mk ker() = 3. Nllits () =

36 CONOH entkn L st-ke-st menggnkn kernel dn nllits: ) : R R merotsi tip ektor melli sdt θ b) : R 3 R 3 dlh proyeksi ortogonl pd bidng-y c) : R 6 R 6 dlh perklin dengn mtriks

37 JAWAB ) Kren setip ektor di bidng-y dpt diperoleh dengn merotsikn beberp ektor melli sdt θ, kit memiliki R() = R. kren it, hny st ektor yng merotsi dri ke, sehingg ker() = {} b) Ker() dlh kmpln titik yng memetkn kedlm = (,,) yng d di smb z. Kren memetkn setip titik di R3 kedlm bidng-y, selng hrs d beberp sb-kmpln di bidng ini. etpi setip titik (,y,) di bidng-y dlh byngn dri beberp titik; fktny, it dlh byngn dri sem titik-titik pd gris ertikl yng lewt melli (,y,). Kren R() dlh keselrhn bidng-y

38 JAWAB c) Rnk Hsil eselon bris terredksi: Rnk(A) = berrti

39 NULIAS () = 4 dlh st-ke-st

40 OPERAOR LINEAR PADA DIMENSI-ENU Berikt ini dlh ekilen:. dlh st-ke-st. ker() = {} 3. Nllits () = 4. Selng dri dlh V, ykni R() = V

41 CONOH Mislkn : R 4 R 4 diklikn dengn Apkh A dlh st-ke-st? JAWAB kren det(a) =, mk tidk dpt diblikkn, mk A bkn st-ke-st

42 L BALIKAN (DARI SUBBAB 4.3) Jik A : R n R n dlh OL-SKS, mk mtriks A dpt diblikkn : R n R n sendiri dlh OL; dn disebt blikn A OL dn menghilngkn efek st sm linny ntk sem di R n

43 CONOH Seperti pd contoh sebelmny, : P n P n+ memiliki L: (p) = (p()) = p() dlh st-ke-st, kren it memiliki blikn. Di sini selng tidk sem dri P n+, sehingg R() dlh sbrng dri P n+ yng terdiri ts polinomil dengn sebh konstnt nol. Bktiny: = : P n+ P n mk: = Jik n 3, mk =

44 CONOH Mislkn :R 3 R 3 dlh opertor liner dengn rms,, = 3 +, 4 + 3, entkn pkh dlh st-ke-st, dn temkn - JAWAB: Mtriks stndrny dlh

45 EOREM 8.3.3

46 DIMENSI DOMAIN DAN KODOMAIN Jik V dn W rng ektor dimensi-tent dengn dim(w)<dim(v), dn jik :V W dlh L, mk bkn st-ke-st. Dengn kt lin, dimensi kodomin W hrs sebesr dimensi domin V gr menjdi L-SKS dri V ke W Ini berrti, sebgi contoh, bknlh L-SKS dri rng R 3 ke bidng R

47 7.4 MARIKS RANSFORMASI LINEAR Andikn bhw V dlh ektor rng berdimensi-n dn W dlh ektor rng berdimensi-m. Jik kit memilih bsis B dn B ntk V dn W, mk ntk setip di V, ektor koordint [] B kn d sebh ektor di R n, dn ektor koordint [()] B kn d sebh ektor di R m

48 MARIKS SANDAR Andikn :V W dlh trnsformsi liner, mk kn diperoleh pet dri R n ke R m yng dpt ditnjkkn bhw it trnsformsi liner. Jik A dlh mtriks stndr ntk trnsformsi ini mk [ ] = ( ) Mtriks A dlh mtriks ntk yng berhbngn dengn bsis B dn B

49 KALKULASI (X) SECARA LANGSUNG DAN AK-LANGSUNG Perhitngn lngsng () Menghitng ektor koordint [] B Rekonstrksi dri ektor koordint [()] B [] B [()] B Menglikn [] B di kiri dengn [] B,B

50 Andikn B = [,,..., n ] dlh bsis rng ektor V dn B = [,,..., m ] dlh bsis rng ektor W, mk mtriks stndrny berdimensi mn: Persmn-persmnny: [ ] = ( ), [ ] = ( ),..., [ ] = ( )

51

52 MARIKS OPERAOR LINEAR Pd kss khss dengn V = W (sedemikin rp hingg :V V dlh opertor liner), bisny B = B st membngn mtriks. Pd kss ini mtriks yng dihsilkn disebt mtriks yng berhbngn dengn bsis B yng dinotsikn dengn [] B bkn [] B,B Jik B = {,,..., n }, mk dn

53 CONOH Mislkn : P P memiliki L: (p) = (p()) = p() emkn mtriks stndr yng sesi dengn bsis dengn Cek hsilny ntk = + b di P JAWABAN [ ] = + = dn

54 CONOH Mislkn :R R 3 dlh opertor liner dengn rms emkn mtriks stndr yng sesi dengn bsis dengn JAWABAN: Mtriks dengn bsis B: Mtriks berbsis B reltif terhdp bsis B ditemkn dengn kombinsi liner: = + + dn = + + dn

55 5 = + + dn 3 = ~ 4 ~ 4 ~ 3 6 ~ 3 ~ =, =, dn = sehingg = 3 ~ ~ ~ 3 3 ~ 4 ~ 3 = 3, =, dn = sehingg = 3 +

56 CONOH Mislkn :R R dlh opertor liner dengn rms: dengn bsis B: B = {, } ). entkn [] B b). Verifiksikn bhw setip d di R JAWABAN: ). b).

57 MARIKS OPERAOR IDENIAS Jik B = {,,..., n } dlh bsis rng ektor V dimensi-tent dn I:V V dlh opertor identits pd V, mk

58 EOREMA 8.4. Jik :R n R m dlh trnsformsi liner, dn jik B dn B dlh bsis-bsis stndr msing-msing ntk R n dn R m, mk [] B,B = []

59 KENAPA MARIKS RANSFORMASI LINEAR PENING? Ad d lsn penting mempeljri mtriks L mm, st sngt teoritis, yng ked prktis:. Jwbn ntk pertnyn teoritis tentng strktr trnsformsi liner mm pd rng ektor berdimensi-hingg seringkli dpt diperoleh dengn mempeljri hny trnsformsi mtriks. Hl tersebt dinggp secr rinci dlm lebih lnjt klih ljbr liner, tpi kmi kn menyenth pd merek dlm bgin beriktny.. Mtriks ini memngkinkn ntk menghitng gmbr ektor menggnkn perklin mtriks. Perhitngn tersebt dpt dilkkn dengn cept pd kompter.

60 MARIKS RANSFORMASI KOMPOSISI DAN BALIKAN. Jik :U V dn :V W dlh L dn jik B, B, dn B dlh bsis ntk U, V dn W, mk [ º ] B,B =[ ] B,B [ ] B,B. Jik :V V dlh opertor liner, dn B dlh bsis V, mk berikt ini dlh pernytn yng ekilen: ) dlh st-ke-st b) [] B dpt diblikkn Kren it, mk [ - ] B = [] B -

61 7.5 SIMILARIAS Jik A dn B dlh mtriks bjr-sngkr, diktkn B SIMILAR dengn A jik d sebh mtriks P yng dpt diblikkn sehingg B = P - AP Sebh mtriks bjr-sngkr diktkn inrin similrits jik siftny berbgi dengn d mtriks similr mnpn

62 INVARIAN SIMILARIAS

63 CONOH Mislkn :R R dlh opertor liner dengn rms: entkn det() JAWABAN: Bsis B: Bsis B :