Fungsi Transenden. Fungsi Transenden

Transkripsi

1

2 Invers sutu fungsi dn turunnn Fungsi logritm sli Fungsi eksponen sli Fungsi eksponen dn logritm umum Pertumbuhn dn peluruhn eksponen

3 f D R : f f Fungsi stu-ke-stu Fungsi diktkn stu-ke-stu jik untuk setip u, v Є Df berlku u v, f (u) f (v). (tu f (u) = f (v) mk u = v, untuk setip u,v Є ) Contoh:, f () = 3 stu-ke-stu kren 3 3 f ( u) f ( v) mk u v dengn demikin u -v 0 tu ( u v)( u uv v ) 0, mk u v 2 f : [0, ), f ( ) bukn stu-ke-stu Fungsi f: Fungsi kren -2, 2 D f D f dengn 2 2 tetpi f (-2) = f (2) = 4.

4 Invers Fungsi & Turunnn f Mislkn berd pd sutu derh sl dn f fungsi stu-stu; Kemudin kit kenkn pd f, kn menghsilkn f() pd derh hsil; f () f - Selnjutn kit kenkn f() pd fungsi invers tu bliknn; ng hsiln dlh itu sendiri. Atu dengn kt lin dpt dinotsikn dengn f f dn f f

5 Notsi Fungsi Invers Andikn f memiliki blikn tu invers, mk f f Akibtn =f() dn f invers menentukn psngn bilngn (,) ng sm, sehingg memiliki grfik-grfik ng identik. ( 2, 4 ) = = f - () ( 4, 2 ) = f()

6 Teorem Eksistensi Fungsi Invers Jik f monoton murni pd derh sln, mk f memiliki fungsi invers

7 Contoh Sol f 5 2 f f memiliki invers pd derh sln, itu bilngn rel.

8 Prosedur Menentukn Bentuk Invers Fungsi Lngkh : Selesikn persmn = f() untuk dlm bentuk. Mislkn: Lngkh 2 : Gunkn f- () untuk untuk menmi ungkpn ng dihsilkn dlm. f Lngkh 3 : Gntilh dengn untuk mendptkn rumus untuk f-(). f

9 Teorem Turunn Fungsi Invers Jik f dlh sutu fungsi ng memiliki invers, dengn g = f - dn f (g()) 0, mk g dpt diturunkn di dn g ()=/f (g()). Contoh f()=2+cos, tentukn (f ) (). Perhtikn bhw f () = 2 sin > 0, kn dicri f (); f(0)= kibtn f (f(0)) =0= f () Jdi (f ) () =/(f (f ())) = /(f (0)) = ½

10 Fungsi Logritm Asli Perhtikn turunn2 fungsi berikut ini D D D Kemudin dkh fungsi ng turunnn dlh /? D????

11 Definisi Logritm Fungsi logritm sli dintkn dlm ln, didefinisikn sebgi ln dt, t 0 Derh sln dlh himpunn rel positip. Secr Geometri 3 dt t ln 3 = / Lus = ln 3 3

12 Turunn Fungsi Logritm. 0, ln dt t D D Dengn demikin bil kit kn mencri nti turunn dri fungsi / kit dptkn. 0, ln dt t D D

13 Penelesin Sol D????, D ln, 0 Dri rumusn ini kit dpt menjwb pertnn ng muncul pd wl sub bb ini kni ln()

14 Teorem A Sift-sift ng dimiliki oleh fungsi logritm sli dlh; Jik db b bilngn-bilngn positif dn r sebrng bilngn rsionl, mk ( i).ln 0 ( ii)ln b ln ln b ( iii)ln b ln ln b ( iv)ln r r ln

15 Contoh Sol Tentukn turunn dri 3 ln Jwbnn : ln D D

16 Fungsi Eksponen Asli Invers dri fungsi logritm sli disebut fungsi eksponen sli dn dintkn oleh lmbng e tu ep; kni ep ln kt ep dikenl dengn lmbng e, g mentkn bilngn rel positip sedemikin rup sehingg ln e =.

17 Sift Fungsi Eksponensil Andikn dn b dlh sebrng bilngn rel, mk ( i). e e b e b ( ii) e e b e b

18 Turunn & Integrl Fungsi Eksponen D e e d e e C Kren fungsi logritm nturl dn eksponensil sli dlh fungsi ng sling invers, mk grfik dri kedu fungsi tersebut dlh sebgi berikut = e = = ln() e ln ln e ln ln e ln

19 Fungsi Eksponen & Logritm Umum Definisi Fungsi eksponensil berbsis didefinisikn sebgi berikut Untuk > 0 dn sebrng bilngn rel. e ln

20 Sift Fungsi Eksponen & Logritm Umum Jik > 0, b > 0, dn, dlh bilngn-bilngn rel, mk b b v b b iv iii ii i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dengn bentuk turunn dn integrln dlh sebgi berikut; ln, ln D d C

21 Pertumbuhn dn Peluruhn Eksponen. Pertumbuhn Populsi dn Peluruhn Rdioctive Glcier Ntionl Prk, Montn Photo b Vickie Kell, 2004 Pertumbuhn & Peluruhn Eksponensil Greg Kell, Hnford High School, Richlnd, Wshington

22 Model Peluruhn & Pertumbuhn Eksponensil Pertumbuhn sutu populsi dpt dintkn sebgi: lju perubhn populsi reltive terhdp populsi wln; misln lju pertumbuhn tersebut konstn sebesr k; mk dpt dintkn dlm formul berikut; d dt k Solusi

23 d k dt d k dt ln kt C e ln kt C e C kt e e C kt e e Ae kt 0 Ae k 0

24 Diperoleh: e 0 kt Bil k bernili positif mk disebut sebgi pertumbuhn eksponensil; dn bil k bernili negtif disebut sebgi peluruhn eksponensil; ng contohn d dlm peluruhn rdioktif. Peluruhn rdioktif dpt digmbrkn dlm proses berikut : Alph Bet - + Gmm

25 2. Kegunn pd bhn mknn dlh untuk pengwetn

26 Wktu Pruh Bhn Rdioktif 2 e kt 0 0 ln ln 2 0 ln ln 2 kt ln 2 kt e kt ln 2 t k

27 Lju pertumbuhn sebnding dengn selisih ntr jumlh tertentu dn populsin. Pertumbuhn terbts Apliksi: Penjuln produk terbru, depresisi perltn, pertumbuhn perushn, proses beljr, dn sebgin. Solusi:

28 Lju pertumbuhn sebnding dengn perklin populsin dengn selisih ntr jumlh tertentu dn populsin. Pertumbuhn logistik Apliksi: Pertumbuhn populsi jngk pnjng, epidemi, penjuln produk bru, penebrn rumor (gosip), pertumbuhn perushn, dn sebgin d dt M + c = k( M - ), k, t > 0, (0) =. Solusi: M = + ce- km t

29 Bukti: ò d dt ( ) M - ln M - M - M d = k( M - ) ubh menjdi ( M - ) Membut rsionl sederhn: + d = km dt = kmt + c ò M - ( ) M - = + d = km dt kmt + c = e = kmt = km t = ce - ce 3 tu - = kmt M 3 tu = + ce-kmt 3 ( + c e ) = M Kren (0) = M + c tu mk M c e - M M = + c + c sehingg c 3 = c. Jdi solusin dlh 3 M c e 2 kmt = + ce- km t kmt km dt

30 Eercise () Crbon 4, n isotope of crbon is rdioctive nd decs t rte proportionl to the mount present. Its hlf-life is 5730 ers; tht is, it tkes 5730 ers for given mount of crbon 4 to dec to one-hlf its originl size. If 0 grms ws present originll, how much will be left fter 2000 ers?

31 Answer The hlf-life of 5730 llows us to determine k, since it implies tht e 2 k (5730) Or, fter tking logrithms, At t = 2000, tht gives ln 2 570k ln 2 k 5730 Thus, =0e t (2000) 0e 7.85grms

32 Eercise (2) The number of bcteri in rpidl growing culture ws estimted to be 0,000 t noon nd 40,000 fter 2 hours. Predict how mn bcteri there will be t 5 P.M.

33 Answer We ssume tht the differentil eqution kt d/dt = k is pplicble, so 0e Now we hve two conditions ( 0 =0,000 nd =40,000 t t=2), from which we conclude tht

34 40,000 0,000e 4 2k (ln 2) t k (2) Tking logrithms ields ln 4 2k or e k ln 4 ln 4 ln 2 2 Thus, 0,000e nd t t=5, this gives 0.693(5) 0,000e 320,000

35