Bab 3 Terapan Integral Ganda

Transkripsi

1 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Bb 3 Terpn Integrl Gnd 3. Integrl Gnd dlm koordint Krtesis dn Polr Koordint Krtesis Koordint Polr Ilustrsi b g f ={,, } Mss M, da, dd r ={,, r )},, M r da r rdrd sin Momen- M,, dd M r r r dr d M cos Momen- M,, d d r r r dr d Titik bert, d d, d d, d d, d d Dpt ditentukn dn r dri rcos rsin r ρ = rpt mss / densiti A = lus derh KK-Astronomi Pge 3-

2 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Jik ρ konstn titik pust mss disebut Sentroid d d d d d d d d A A d d d d 3. Momen Inersi. Momen inersi terhdp sutu gris L, pd kurv I (, ) (, ) dd L Dlm hl ini,, = jrk titik (,) dri gris L. Momen inersi terhdp sumbu dn sumbu I (, ) dd, I (, ) dd 3. Momen inersi polr KK-Astronomi Pge 3-

3 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi I I I (, ) dd Contoh. Dikethui: Sutu lmin berbentuk derh ng dpt didefinisikn sebgi himpunn 3 dengn rpt mss, {, 8, } Ditn:M, M, M dn (, ), dn lin-lin {, 8, } Jwb : 3 Jdi M ( ) (, ) dd dd d d d d 5 Jdi mssn dlh 768/5 stun mss Untuk pertnn lin dpt diselesikn, dengn menggunkn perntn Moment terhdp sumbu (, ) M dd Moment terhdp sumbu (, ) M dd Koordint pust mss M ( ) M( ), M ( ) M ( ) 3.3 Studi ksus Nebul Cincin Lingkrn konsentris berikut dlh model idel dri sebuh ring-nebul berjri-jri dn b, dn mempuni rpt mss ng tetp (, ) c. Pertnnn;. Deskripsikn derh dri cincin ini b. Hitung momen inersi polrn KK-Astronomi Pge 3-3

4 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Simulsi ing Nebule Fomlhut, sutu nebul ng berjrk 5 pc, mss,3 mss mthri dn rdiusn,85 rdius mthri. Suhun 85 K dn berumur jut thun. Nokth merh menunjukkn plnet, nokth putih dlh bintng dn cincin bgin dlm berwrn kecokltn mentkn serpihn piringn. Jrk plnet ke bintng 5 u h m s o Nebul terletk pd rsi Piscis Austrinus dengn 57 39, dn 9 37'" Penelesin Persmn lingkrn dengn jejri dn b dlh; b sebut dreh sebut dreh Jdi derh cincin tersebut dlh - Momen inersi cincin dengn jejri dn b dlh; I r da dlm hl ini, r jrk elemen mss/lus ke pust koordint, = rpt mss dn da elemen lus dlm derh Cr Derh cincin dlh selisih dn. Lus derh ini merupkn 4 kli lus derh ng terletk pd kudrn I dn dn 4 (, ) o, ( ) 4 (, ) b, ( b ) Jdi : I ( ) (, ) dd I 4 ( ) cdd 4 ( ) cdd 4 4 KK-Astronomi Pge 3-4

5 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi b b I 4 cdd 4 cdd 4I 4I 4( I I ) Mislkn; b b I c 3 3 dd d d 3 3 Mislkn; sin d cos d rcsin Jdi diperoleh bentuk integrl ng bru; I c 3 sin sin sin cos d 3 I sin cos cos d ( cos ) cos cos d c 3 3 / cos cos d C C Gunkn rumus rekursif; Cn d n C n Diperoleh; n n cos cos sin ( ) n / C C4 I I c c Dengn cr ng sm, diperoleh; / b C C4 Ib Ib b b c c Dengn demikin diperoleh hsil khir; KK-Astronomi Pge 3-5

6 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi b c c c b I 4 Ib I Cr Persmn ini lebih mudh diselesikn dengn koordint polr dlm hl ini derh ng ditinju dlh ; ( r, ) r b, dn sedngkn elemen lus da rdrd Jdi kit hrus menghitung; b c b 3 3 I r ( r, ) rdrd r cdrd c r drd 4 Atu; I c b Studi Ksus Inti Komet ) Inti sebuh komet memperlihtkn derh berbentuk mirip elips. Inti ini dpt dinggp sebgi sutu lmin dengn rpt mss tetp. Model idel untuk inti komet digmbrkn sebgi sebuh derh ng dibtsi oleh du kurv. Pertnnn, tentukn sentroid dri lmin S ng dibtsi kurv berikut: 3 dn 5 Penelesin Apbil kurv berpotongn rtin, titik potong ntr du kurv memenuhi 3 5 Dengn demikin 5 4 Jdi titik potongn dlh (,-) dn (,) Misl rpt mss lmin homogen tersebut ρ. Mk mss dri lmin tersebut dlh M ρ, dd ρ dd KK-Astronomi Pge 3-6

7 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi M A M A dd dd dd dd Jwb: Hitung lus derh A dd dd d 5 3 d 8 d Titik bertn dpt dicri dd dd d d A d dn dd dd d d A d ). Sutu derh dibtsi oleh kurv log, gris dn Crilh mss dn sentroid dri lmin tersebut? Penelesin KK-Astronomi Pge 3-7

8 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Jwb:,, log ln log ln log d log ln d ln log A dd dd d Tinju ln d Mis : u ln du d, dv d v Gunkn integrsi prsil u dv uv v du ln d ln d ln ln ln Jdi lus derh ng dibtsi dlh ln A ln Titik bert dpt dicri dri perntn log log ln dd dd d log d d A A A A A ln Tinju Mis : ln d u ln du d dn dv d v Gunkn integrsi prsil u dv uv vdu ln d ln d ln 4 KK-Astronomi Pge 3-8

9 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi ln ln d ln Untuk titik bert hitung dri perntn ( ln ) ln ( ln ) ( ln ) A (4ln) ( ln ) 4ln 4( ln ) log log log ln dd dd d d d A A A A A ln Tinju integrl ln I d Mis : u ln du d dn dv ln d v ln udv uv vdu ( ln ) (ln ) [ (ln ) ln ] ( (ln ) ln ) [ ln ] I d d ln ln ln ln ln Jdi ln ln ln ln ln ln ln A ln ln ln Kesimpuln, titik bertn dlh; ( ln ) 4( ln ) dn ln ln ln 3.5 Menentukn titik bert inti steroid / komet Untuk menentukn titik bert inti steroid / komet. Bngn dibgi dlm empt persegi pnjng kecil dengn lus ng sm. Pengukurn dilkukn dengn densitometer. Msing msing empt persegi pnjng diukur densitsn. Pelt potret bergerk mju mundur, ke kiri dn ke knn Densitometer ( i, i ) KK-Astronomi Pge 3-9

10 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Plt potret Schmidt, memperlihtkn jejk steroid/komet. Problem utm dlh menentukn posisi ng tept memilih inti komet/steroid. Apliksi mencri titik bert dpt digunkn untuk menentukn inti komet/steroid Gmbr Low ctivit comet P/6 H3 bngn ksr komet dn model kom dipotret 4 Agustus 6 Plomr inch. Komet ini mirip steroid tipe D Titik bert dpt dicri dri formul. n i n i i i i n ii i dn n i i dengn rpt mss pd tip empt persegi pnjng dengn dimensi ng sm, sedngkn n jumlh empt persegi pnjng. dengn i rpt mss pd tip empt persegi pnjng dengn dimensi ng sm, sedngkn n jumlh empt persegi pnjng. 3.6 Sol ltihn Tentukn sentroid dri lmin S berikut, jik derh S dibtsi oleh kurv ng bersngkutn.., [ /, 8/ 5] 3, 5 [, ] KK-Astronomi Pge 3-

11 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi 3. 8, 3 5,, , 3 39 sin,, [ /, / 8] 5. sin, cos, 4 6. log,, (log ) ( ) ; 4 ( log ) log (log ) ; 4( log ) ( log ) [ ] 5 3 3,, pd kudrn I 56 [ ] 35 7.,, 8. KK-Astronomi Pge 3-

12 Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Dftr Isi Bb 3... Terpn Integrl Gnd Integrl Gnd dlm koordint Krtesis dn Polr Momen Inersi Studi ksus Nebul Cincin Studi Ksus Inti Komet Menentukn titik bert inti steroid / komet Sol ltihn... KK-Astronomi Pge 3-