BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Lner Program lner merupakan suatu teknk perencanaan yang menggunakan model matematka dengan tujuan menemukan beberapa kombnas alternatf dar pemecahan masalah yang kemudan dplh mana yang terbak untuk menyusun strateg dan langkah-langkah kebjakan tentang alokas sumber daya yang ada agar mencapa tujuan atau sasaran yang dngnkan secara optmal dengan melbatkan varabel-varabel lner.dalam model program lner dkenal dua macam fungs, yatu fungs objektf (objectve functon) dan fungs kendala (constrant functon) yang lner. Bentuk umum dar permasalahan program lner adalah: Tentukan nla x x, x,, x, 1, 2 3 n yang memaksmumkan atau memnmumkan: ff xx 1, xx 2,, xx = ZZ = cc 1 xx 1 + cc 2 xx cc xx Dengan kendala: aa 11 xx 1 + aa 12 xx aa 1 xx (=,, )bb 1 (2.1) aa 21 xx 1 + aa 22 xx aa 2 xx (=,, )bb 2 aa mm1 xx 1 + aa mm2 xx aa mmmm xx (=,, )bb xx 1, xx 2,, xx 0 aj dan b merupakan anggota blangan real, c j anggota blangan real postf karena merupakan koefsen fungs tujuan sehngga nlanya harus blangan real postf dan x j merupakan varabel, dengan = 1,2,,m danj= 1,2,, n.

2 Persamaan (2.1) dapat dtuls dalam bentuk yang lebh sederhana sebaga berkut (B. Susanta, 1994: 6): Tentukan nla x j, yang memaksmumkan atau memnmumkan: Dengan kendala: ff xx jj = ZZ = cc jj xx jj aa xx jj (, =, )bb xx jj 0; ( = 1, 2,, mm); ( jj = 1, 2,, ) Fungs kendala bsa berbentuk persamaan (=) atau pertdaksamaan ( ) atau ( ). Konstanta (bak sebaga koefsen aj atau c j maupun nla batas sumber daya (bb )) dalam fungs kendala maupun pada fungs tujuan dkatakan sebaga parameter model program lner. Smbol x x, x,, x n ( x ) menunjukkanvarabel keputusan.jumlah 1, 2 3 j varabel keputusan ( x j ) tergantung dar jumlah kegatan atau aktvtas yang dlakukan untuk mencapa tujuan. Smbol c, 1, c2, c3, cn merupakan kontrbus masng-masng varabel keputusan terhadap tujuan, dsebut juga koefsen fungs tujuan pada model matematknya. Smbol a a, a,, a,, a 11, n mn merupakan penggunaan per unt varabel keputusan akansumber daya yang membatas atau dsebut juga sebaga koefsen fungs kendala pada model matematknya. Smbol b, 1, b2, b3, bm menunjukkan jumlah masng-masng sumber daya yang ada.jumlah fungs kendala tergantung dar banyaknya sumber daya yang

3 dgunakan.pertdaksamaan ( x, x,, ) 0 x menunjukkan kendala noegatf. 1, 2 3 x n Program lner juga dapat drepresentaskan dalam bentuk matrks sebaga berkut (B. Susanta, 1994: 7): Tentukan nla XX, yang memaksmumkan atau memnmumkan: ff = ZZ = CC TT XX Dengan kendala: AAAA(, =, )BB XX 0 Dmana: xx 1 bb 1 cc 1 aa 11 aa 12 aa 1 xx 2 XX =, xx bb 2 BB =, bb cc 2 CC =, cc aa 21 aa 22 aa 21 AA = aa mm1 aa mm2 aa mmmm Keterangan: ZZ =nla fungs tujuan yang dcapa XX =vektor varabel, CC = vektor baya (koefsen fungs tujuan) AA = aa adalah matrks kendala berukuran mm BB =vektor nla batasan sumber. TT =transpose matrks Sfat Umum Program Lner Semua persoalan program lner mempunya empat sfat umum yatu, sebaga berkut (B. Susanta, 1994: 13): 1. Persoalanprogram lner bertujuan untuk memaksmumkan atau memnmumkan pada umumnya berupa laba atau baya sebaga hasl yang optmal.

4 2. Adanya kendala atau batasan (constrans) yang membatas tngkat sampa d mana sasaran dapat dcapa. Oleh karena tu, untuk memaksmumkan atau memnmumkan suatu kuanttas fungs tujuan bergantung kepada sumber daya yang jumlahnya terbatas. 3. Harus ada beberapa alternatf solus layak yang dapat dplh. 4. Tujuan dan batasan dalam permasalahan program lner harus dnyatakan dalam hubungan dengan pertdaksamaan atau persamaan lner Asums Dasar Program Lner Berkut asums-asums dasar program lner agar tdak terbentur pada hal-hal yang menympang (Asr dan Hdayat, 1984: 21): a) Proportonalty Asums n menyatakan bahwa nla Z dan penggunaan sumber yang terseda atau fasltas yang terseda akan berubah secara sebandng dengan perubahan tngkat aktvtas. b) Nla tujuan tap aktvtas tdak salng mempengaruh Artnya, d dalam program lner danggap bahwa kenakan dar nla tujuan (Z) yang dakbatkan oleh kenakan suatu aktvtas dapat dtambahkan tanpa mempengaruh bagan nla Z yang dperoleh dar aktvtas lan c) Dvsblty Asums n menyatakan bahwa output yang dhaslkan oleh setap kegatan dapat berupa blangan pecahan. Demkan pula dengan nla Z yang dhaslkan. d) Determnstc Asums n menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program lner dapat dperkrakan dengan past meskpun jarang tepat. e) Accountablty For Resources Sumber-sumber yang terseda harus dapat dhtung, sehngga dapat dpastkan berapa bagan yang terpaka dan ssa. f) Lnearty Of Objectve Fungs tujuan dan faktor-faktor pembatasnya harus dnyatakan sebaga fungs lner.

5 2.2 Metode Smpleks Salah satu metode untuk menyelesakan masalah program lner adalah dengan menggunakan metode smpleks yang dtemukan oleh George Dantzg pada tahun 1947 dan telah dkembangkan oleh beberapa ahl lan.penentuan solus optmal menggunakan metode smpleks ddasarkan pada teknk elemnas Gauss Jordan.Metode smpleks merupakan prosedur aljabar yang bersfat teratf yang bergerak selangkah dem selangkah dmula dar ttk ekstrem pada daerah layak menuju ke ttk ekstrem yang optmum untuk mencar nla optmal dar fungs tujuan dalam masalah optmas yang terkendala (Hller dan Leberman, 1995: 57). Syarat-syarat yang harus dpenuh dalam menggunakan metode smpleks untuk menyelesakan masalah program lner adalah (Muhddn Srat, 2007: 3): a) Semua kendala pertdaksamaan harus dubah menjad bentuk persamaan. b) Ss kanan dar tanda pertdaksamaan kendala tdak boleh ada yang negatf. c) Semua varabel dbatas pada nla non-negatf. Untuk memecahkan masalah program lner dengan menggunakan metode smpleks, masalah program lner harus dubah terlebh dahulu dalam bentuk kanonk. Bentuk kanonk dar masalah program lner adalah sebaga berkut: Tentukan nla x j, yang memaksmumkan atau memnmumkan ff xx jj = ZZ = cc jj xx jj Dengankendala: (2.2) aa xx jj = bb xx jj 0; ( = 1, 2,, mm); (jj = 1, 2,, )

6 Bentuk kanonk dar masalah program lner sepert persamaan (2.2) dapat dperoleh dengan menambahkan varabel pengetat, yatu varabel slack dan varabel surplus. a) Varabel Slack Varabel slack adalah varabel yang dgunakan untuk mengubah pertdaksamaan dengan tanda menjad persamaan =. Msalnya kendala masalah program lner berbentuk: aa xx jj bb maka pada ruas kr dsspkan yy sehngga kendala menjad: aa xx jj + yy = bb (2.3) Varabel ydsebut varabel slack,dengan sama dengan nol. y 0. Besarnya koefsen kontrbus c b) Varabel Surplus Varabel surplus adalah varabel yang dgunakan untuk mengubah pertdaksamaan dengan tanda menjad persamaan =. Msalnya kendala masalah program lner berbentuk: aa xx jj bb maka pada ruas kr dsspkan s sehngga kendala menjad: aa xx jj ss = bb (2.4) Varabel cc sama dengan nol. s dsebut varabel surplus,dengan s 0.Besarnya koefsen kontrbus

7 c) Varabel Semu (Artfsal) Varabel semu adalah varabel yang dtambahkan jka dalam persamaan tdak ada varabel yang dapat menjad bass.pada persamaan (2.4) tersebut tdak ada varabel dengan koefsen +1 artnya tdak ada varabel yang dapat menjad bass dalam tabel awal smpleks sehngga perlu dtambahkan q 0 pada ruas kr sehngga persamaan kendala menjad: aa xx jj ss + qq = bb (2.5) Varabel q dsebut varabel semu,dengan s, 0.Besarnya koefsen q kontrbusccsama dengan Muntuk pola memaksmumkan dan Muntuk pola memnmumkan, dengan Madalah blangan postf sangat besar Tabel Smpleks Tabel smpleks menggambarkan persoalan program lner dalam bentuk koefseya saja, bak koefsen tujuan maupun koefsen fungs kendala. Bentuk umum dar tabel smpleks adalah sebaga berkut (Zulan Yamt, 1991: 43): Tabel 2.1 Bentuk Umum Tabel Smpleks Awal cc jj cc 1 cc 2 cc c j x xx jj xx 1 xx 2 xx bb RR cc 1 xx 1 aa 11 aa 12 aa 1 bb 1 RR 1 cc 2 xx 2 aa 21 aa 22 aa 2 bb 2 RR 2 cc mm xx mm aa mm1 aa mm2 aa mmmm bb mm RR mm ZZ jj ZZ 1 ZZ 2 ZZ ZZ ZZ jj cc jj ZZ 1 cc 1 ZZ 2 cc 2 ZZ cc ZZ

8 Keterangan: xx jj aa bb : varabel lengkap : koefsen tekns : nla ruas kanan (sumber daya) cc jj :koefsen kontrbusrelatf dar fungs tujuan, untuk varabel slack1dan x surplusbernla nol sedangkan untuk varabel semu bernla MM untuk pola memaksmumkan dan MM untuk pola memnmumkan. : varabel yang menjad varabel bass. c j :koefsen kontrbus relatf untuk varabel dalambass x ZZ jj RR ZZ padaawalnya1koefsen n bernla nol. : hasl kal c j dengan kolom aa ( cc aa ) :dperolehdenganrumusrr = bb aa, yang dgunakan untukmenentukan bars kunc, yatu dplh dengan nla RR terkecl dengan aa > 0. : hasl kal kolom c j dan kolom bb ( cc aa ).Pada tabel smpleks yang telah optmal nla n merupakan nla program atau nla tujuan. ZZ jj cc jj : nla n akan memberkan nformas apakah fungs tujuan telah optmal atau belum, Jka kta menghadap persoalan memaksmumkan, maka tabel telah optmal jka nla pada barszz jj cc jj Langkah-Langkah Metode Smpleks Langkah-langkah metode smpleks secara umum adalah sebaga berkut (Mustafa dan Parkhan, 2000: 57): 1) Merubah fungs tujuan dan fungs kendala kebentuk kanonk. 2) Mentabulaskan persamaan-persamaan yang dperoleh langkah satu. 3) Menentukan enterng varabel: Untuk tujuan memaksmumkan jka: a) (ZZ jj cc jj ) < 0; maka hasl belum optmal, lanjutkan teras. b) (ZZ jj cc jj ) 0; maka hasl sudah optmal, teras dhentkan. c) Enterng varabel adalah (ZZ jj cc jj ) dengan nla negatf terbesar. Untuk tujuan memnmumkan jka sebalknya.

9 4) Menentukan leavng varabel. Bars yang memlk nla raso postf terkecl, dengan rumus sebaga berkut: rrrrrrrrrr = RR = bb kkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkk eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee (aa ) (2.6) 5) Menentukan persamaan pvot baru Tentukan dahulu elemen pvot yatu angka pada perpotongan enterng varabel dan leavng varabel. 1 PPPPPPPPPPPPPPPPPP pppppppppp bbbbbbbb = pppppppppppppppppp pppppppppp llllllll eeeeeeeeeeee pppppppppp (2.7) 6) Menentukan persamaan-persamaan baru selan persamaan pvot PPPPPPPPPPPPPPPPPP bbbbbbbb = pppppppppppppppppp llllllll (kkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkk eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee pppppppppppppppppp pppppppppp bbbbbbbb) (2.8) 7) Lanjutkan perbakan-perbakan, perksa nla(zz jj cc jj ): untuk tujuan memaksmumkan jka: a) (ZZ jj cc jj ) < 0; maka hasl belum optmal, lanjutkan teras. b) (ZZ jj cc jj ) 0; maka hasl sudah optmal, teras dhentkan. untuk tujuan memnmumkan, maka sebalknya. 2.3 Analss Senstvtas Perubahan Kapastas Sumber Daya (bb ) Setelah dtemukan penyelesaan optmal dar suatu masalah program lner, perlu untuk menganalsa lebh jauh kemungknan-kemungknan yang terjad sebaga akbat perubahan-perubahan koefsen-koefsen ddalam model pada saat tabel optmal telah dperoleh sebaga landasan perbakan untuk produks berkutnya.analss senstvtas dlakukan untuk mengetahu akbat atau pengaruh

10 dar perubahan yang terjad terhadap penyelesaan optmal yang telah dperoleh (Fagzduhu Bu lolo, 2005: 78). Analss senstvtas akan menjelaskan nterval atau batas perubahan dar parameter agar tdak merubah penyelesaan optmal (Sswanto, 2000: 162). Tujuan utama dar analss senstvtas selan dgunakan untuk pengecekan adalah untuk mengurang perhtungan-perhtungan dan menghndar penghtungan ulang bla terjad perubahan koefsen-koefsen pada model program lner setelah dcapa tahap optmal dan juga untuk mengetahu tngkat kesenstfan dar masngmasng parameter sebaga landasan untuk melakukan perubahan-perubahan terhadap parameter-parameter yang ada pada produks berkutnya. Analss senstvtas dapat dkelompokkan menjad lmaberdasarkan perubahan-perubahan parameter yang terjad, yatu: 1. Perubahan koefsen fungs tujuan (cc jj ) 2. Perubahan koefsen teknolog (aa ) atau koefsen tekns, 3. Perubahan kapastas sumber daya ( bb ) 4. Adanya tambahan fungs kendala baru, 5. Adanya tambahan varabel pengamblan keputusan (xx jj )atau adanya penambahan kegatan baru. Perubahan yang dmaksud dalam peneltan n adalah perubahankapastas sumber daya(bb ). Salah satu aspek pertmbangan dalam penentuan jumlah produks adalah ketersedaan sumber daya (bb ).Apabla terjad perubahan (bb ) mengakbatkan semua varabel bass bernla noegatf, maka penyelesaan optmal sebelumnya mash tetap.namun, apabla ada salah satu varabel bass tersebut bernla negatf, maka penyelesaan optmal sebelumnya dnyatakan tdak layak (Parln Storus, 1997: 101).

11 Pengaruh perubahan konstanta ruas kanan terhadap tabel optmal dapat dtentukan dengan menyeldk perubahan konstanta ruas kanan yang baru pada tabel optmal. Drumuskan sebaga berkut (Mustafa dan Parkhan, 2000: 91): ˆ B 1 b b = (2.9) Dengan: BBˉ¹ = matrks dbawah varabel bass awal pada tabel optmal bˆ = menunjukkan nla baru atau nla pada tabel optmal Tabel optmal tetap optmal dan layak jka bˆ Software POM-QM Program POM-QM adalah paket program komputer untuk menyelesakan persoalan-persoalan metode kuanttatf, manajemen sans atau rset operas. Program POM-QM juga adalah salah satu software yang dapat dgunakan untuk membantu perhtungan masalah program lner. Gambar 2.1 TamplanCover dar SoftwarePOM-QM 2.5 Teor Hmpunan Crsp dan Hmpunan Fuzzy Hmpunan crspdkenal juga dengan hmpunan tegas. Pada hmpunan crsp nla keanggotaan suatu nla x dalam suatu hmpunan Ayang serng dtuls dengan A [ x] µ, hanya memlk dua kemungknan: 1) [ x] µ = 1, yang berart bahwa x merupakan anggota dar hmpunan A A 2) [ x] µ = 0, yang berart bahwa x bukan merupakan anggota dar hmpunan A A

12 Secara grafs nla keanggotaan dar hmpunan crsp dgambarkan sebaga berkut: Gambar 2.2 Derajat Keanggotaan dar HmpunanCrsp Pada gambar (2.2) dapat dketahu bahwa: 1. Apabla seseorang berusa 34 tahun, maka a dkatakan MUDA. MUDA [ 34] µ = Apabla seseorang berusa 35 tahun, maka a dkatakan tdak MUDA. MUDA [ 35] µ = Apabla seseorang berusa 35 tahun kurang 1 har, maka adkatakan tdak PAROBAYA, [ 35tahun har] µ =0. PAROBAYA 1 Hmpunan fuzzy ddasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungs karakterstk sedemkan hngga fungs tersebut akan mencakup blangan real pada nterval [0,1]. Nla keanggotaaya menunjukkan bahwa suatu tem dalam semesta pembcaraan tdak hanya berada pada nol atau satu, namun juga nla yang terletak dantaranya.secara grafs nla keanggotaan dar hmpunan crsp dgambarkan sebaga berkut: Gambar 2.3 Derajat Keanggotaan dar Hmpunan Fuzzy

13 Pada gambar (2.3) dapat dketahu bahwa: 1. Seseorang yang berumur 40 tahun, termasuk dalam hmpunan MUDA dengan MUDA [ 40] µ = 0,25; namun da juga termasuk dalam hmpunan PAROBAYA dengan [ 40] µ = 0,5. PAROBAYA 2. Seseorang yang berumur 50 tahun, termasuk dalam hmpunan TUA dengan TUA [ 40] µ = 0,25; namun da juga termasuk dalam hmpunan PAROBAYA dengan [ 40] µ = 0,5. PAROBAYA Doman Hmpunan Fuzzy Doman hmpunan fuzzy adalah keseluruhan nla yang djnkan dalam semesta pembcaraan, dengan kata lan doman basanya memlk batas atas dan batas bawah. Doman merupakan hmpunan blangan real yang senantasa nak (bertambah) secara monoton dar kr kekanan.nla doman dapat berupa blangan postf maupun negatf.secara grafs doman hmpunan fuzzy dgambarkan sebaga berkut: Gambar 2.4 Doman Hmpunan Fuzzy Dar gambar (2.4) dapat dketahu domanhmpunan fuzzytua [45, 60] Nla Ambang Batas (Alfa-Cut) Nla ambang (alfa-cut) merupakan nla ambang batas doman yang ddasarkan pada nla keanggotaan untuk tap-tap doman. Hmpunan n bers semua nla doman yang merupakan bagan dar hmpunan fuzzy dengan nla keanggotaan lebh besar atau sama dengan alfa(α) dtuls sebaga berkut:

14 μμ(xx) αα (2.10) Gambar 2.5 Nla Ambang Batas (Alfa-Cut) Representas Hmpunan Fuzzy Fungs keanggotaan (membershp functon) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan ttk-ttk nput data ke dalam nla keanggotaaya (serng juga dsebut dengan derajat keanggotaan) yang memlk nterval antara nol sampa satu. fungs keanggotaan hmpunan fuzzy trapezodal dengan parameter a, b, c dan ddrepresentaskan sebaga berkut: Gambar 2.6Representas HmpunanFuzzyTrapezodal Fungs keanggotaan: 0; xx aa aaaaaaaa xx dd xx aa bb aa ; aa < xx < bb μμ(xx) = 1; bb xx cc dd xx dd cc ; cc < xx < dd

15 Fungs keanggotaan hmpunan fuzzy trangular dengan parameter a, b, dan cdrepresentaskan sebaga berkut: Gambar 2.7 Representas Hmpunan Fuzzy Trangular Fungs keanggotaan: 0; jjjjjjjj xx aa aaaaaaaa xx cc xx aa μμ(xx) = bb aa ; jjjjjjjj aa < xx < bb cc xx cc bb ; jjjjjjjj bb < xx < cc 2.6 Fuzzy Lnear Programmng Pada fuzzy lnear programmng bentuk mperatf pada fungs objektf tdak lag benar-benar maksmum atau mnmum dan tanda untuk kasus maksmas dan tanda untuk kasus mnmas tdak lag bermakna crsp secara matemats,namun mengalam sedkt pelanggaran makna karena adanya beberapa hal yang perlu dpertmbangkan dalam sstem yang mengakbatkan batasan tdak dapat ddekat secara tegas (Kusumadew, 2002: 220). Dalam fuzzy lnear programmng akan dcar suatu nla ZZ yang merupakan fungs objektf yang akan doptmaskan sedemkan hngga tunduk pada batasan-batasan yang dmodelkan dengan menggunakan hmpunan fuzzy.

16 Masalah maksmas: Tentukan x sedemkan hngga: cc TT xx zz (2.11) AAAA bb xx 0 Masalah mnmas: Tentukan x sedemkan hngga: cc TT xx zz (2.12) AAAA bb xx 0 Tanda merupakan bentuk fuzzy dar yang mengnterpretaskan pada dasarnya lebh dar atau sama dengan, tanda merupakan bentuk fuzzy dar yang mengnterpretaskan pada dasarnya kurang dar atau samadengan.bentuk (2.11) dan (2.12) dapat dsederhanakan kebentuk berkut: Tentukan x sedemkan hngga: Kasus maksmas: Kasus mnmas: BBBB dd (2.13) xx 0 BB = cc AA dd = ZZ bb BB = cc AA dd = ZZ bb Dmana: xx 1 bb 1 cc 1 aa 11 aa 12 aa 1 xx 2 xx =, xx bb 2 bb =, bb cc 2 cc =, cc aa 21 aa 22 aa 21 AA = aa mm1 aa mm2 aa mmmm

17 ZZ = nla fungs tujuan yang dcapa xx = vektor varabel, cc =vektor baya (koefsen fungs tujuan) AA = aa adalah matrks kendala berukuran mm bb = vektor nla batasan kendala (sumber daya). Tap-tap bars atau batasan (0,1,2,, m) akan drepresentaskan dengan hmpunan fuzzy, dengan fungs keanggotaan pada hmpunan ke- adalah [ x]. Drepresentaskan dengan kurva Trapesum sebaga berkut: µ B Gambar 2.8 Representas Fungs Keanggotaan [ B x] dengan Kurva Trapesum Dar gambar (2.8) dketahu [ B x] sebalknya µ [ x] = 1 jka batasan ke- benar-benar dpatuh. Nla [ x] B nak secara monoton pada selang [0, 1], yatu: µ =0 jka batasan ke- benar-benar dlanggar, µ akan B 1; jjjjjjjj BB xx dd μμ [BB xx] = [0,1]; jjjjjjjj dd < BB xx < dd + pp (2.14) 0; jjjjjjjjbb xx dd + pp = 1, 2,, mm Fungs keanggotaan: 1; jjjjjjjj BB xx dd μμ [BB xx] = 1 BB xx dd ; jjjjjjjj dd pp < BB xx < dd + pp (2.15) 0; jjjjjjjj BB xx dd + pp

18 denganpp adalah tolerans nterval yang dperbolehkan untuk melakukan pelanggaran bak pada fungs objektf maupun batasan. Fungs keanggotaan untuk model keputusan hmpunan fuzzy dapat dnyatakan sebaga berkut: [ Bx] { [ B x] } µ = mn (2.16) D µ Tentu saja dharapkan akan mendapatkan solus terbak, yatu suatu solus dengan nla keanggotaan yang palng besar, dengan demkan solus yang sebenarnya adalah: max μμ DD[BBBB] = max xx 0 xx 0 mn {μμ [BB xx]} (2.17) Substtus persamaan (2.15) ke (2.17), dperoleh: max μμ DD[BBBB] = max xx 0 xx 0 mn 1 BB xx dd (2.18) pp Semakn besar nla doman, maka akan memlk nla keanggotaan yang cenderung semakn kecl. Sehngga untuk mencar nla λ-cut dapat dhtungsebaga: λλ = 1 tt (2.19) Dengan d + tp adalah nla ruas kanan batasan ke-.dengan demkan akan dperoleh bentuk program lner baru sebaga berkut: Maksmumkan: λλ Dengan batasan: λλpp + BB xx dd + pp (2.20) xx 0; = 1,2,, mm