Siska Binastuti 2, Dafik 1,2. Abstrak

Transkripsi

1 Super (a, d)-face Antimagic Total Labeling of Shackle of C 5 Siska Binastuti, Dafik 1, 1 CGANT-University of Jember Department of Mathematics Education FKIP University of Jember siskabinastuti@rocketmail.com, d.dafik@gmail.ac.id Abstrak Suatu graf G memiliki orde p, size q dan face s dapat dikatakan (a, d)-face antimagic total bilamana terdapat pemetaan dari f : V (G) E(G) F(G) {1,,..., p + q + s}, sedemikian hingga bobot totalnya W f = {a, a + d, a + d,..., a +(s 1)d} membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a, bedanya d dan jumlah wajah sisinya s. Graf tersebut dapat dikatakan super apabila label titiknya adalah f(v ) {1,,...,p} dan label sisinya f(e) {p + 1, p +,...,p}. Dalam penelitian ini, akan dikaji mengenai keberadaan super (a, d) face antimagic total dari Shackle Graf C 5. Kata Kunci : Super (a, d)-face antimagic total labeling, Shackle dari C 5. Pendahuluan Seorang matematikawan Swiss, L. Euler pada tahun 1736 membuat jurnal pertama kali tentang teori graf yang membahas tentang masalah jembatan Konigsberg. Dengan perubahan jaman, teori graf semakin luas dan beragam, diantaranya adalah tentang pelabelan graf ([10]). Beberapa definisi tentang pelabelan, terutama terkaitan dengan pelabelan antimagic dapat dibaca di [1], [4], [5]. Dalam artikel ini akan membahas tetang keberadaan pelabelan super (a, d)- face Graf roda dan prisma memiliki pelabelan face tipe (1,1,0), sedangkan grid dan sarang lebah memiliki pelabelan face antimagic total tipe (1,1,1), untuk hasil-hasil lainnya lihat [9, 3, 8, 6, 7, ]. Suatu graf G memiliki orde p, size q dan face s dapat dikatakan (a,d)- face antimagic total bilamana terdapat pemetaan dari f : V (G) E(G) F(G) {1,,...,p + q + s}, sedemikian hingga bobot totalnya W f = {a,a + d,a + d,...,a+(s 1)d} membentuk barisan aritmatika dengan suku awal a, bedanya d dan jumlah wajah sisinya s. Graf tersebut dapat dikatakan super apabila label titiknya adalah f(v ) {1,,...,p} dan label sisinya f(e) {1,,...,p}, lihat [9],[3]. Makalah ini mengkaji keberadaan super d-antimagic pelabelan untuk graf Shackle C 5 pada d tertentu. Dalam hal ini, artikel ini dikhususkan untuk belajar super(a,d) face antimagic pelabelan tipe (1,1,1) untuk Shackle Graf C 5. Sebelum disajikan beberapa hasil berikut ini akan disajikan batas atas d sedemikian hingga graf Shackle C 5 memiliki super (a,d)-face

2 Binastuti, et.al: Super (a, d)-face Antimagic Total Labelings Lemma 1 Jika graf G = Shack(C 5,e,n) adalah super (a,d)-face antimagic total maka d (p G p H )p H + (q G q H )q H 1 + s s 1 dimana H = (V,E ) adalah sub graf dari G dan s = H i, p G = V, q G = E, p H = V, q H = E Bukti. Nilai bobot terkecil didapat apabila face dari graf itu dilabeli mulai dari bilangan terkecil sehingga p H + (p G + 1) + (p G + ) (p G + q H ) + (p G + q G + 1) = p H (1 + p H ) + q H (p G p G + q H ) + (p G + q G + 1) = p H + p H + q H p G + q H + q H + (p G + q G + 1) a. Sedangkan nilai terbesar berlaku apabila bobot labelnya adalah: a + (s 1)d p H p G p H 1 (s 1)d p H p G p H 1 (s 1)d p H p G p H 1 p H + q H p G + q H q G q H 1 q H + (p G + q G + s) p H + q H p G + q H q G q H 1 q H + (p G + q G + s) a p H + q H p G + q H q G q H 1 q H + (p G + q G + s) ( p H + p H + q Hp G + q H + q H + (p G + q G + 1)) (s 1)d = p G p H p H + p H + q Hq G q H + q H + s (p H + p H + q H + q H + 1) (s 1)d = p G p H p H + p H + q Hq G q H + q H + s p H p H q H q H 1 (s 1)d = p H p G + q H q G p H q H 1 + s (s 1)d = p H p G p H + q Hq G qh 1 + s (s 1)d = (p G p H )p H + (q G q H )q H 1 + s d (p G p H )p H + (q G q H )q H 1 + s s 1 Corollary 1 Misal G = Shack(C 5,e,n) memiliki super (a,d)-face antimagic total labeling maka batas atas d adalah d 36. Bukti. Graf Shackle C 5 adalah graf yang memiliki V (G) = {x i,y i,z j,1 i n+1,1 j n}, E(G) = {x i x i+1,y i z i,y i+1 z i,1 i n} {x i y i,1 i n + 1}, p G = V =3n +, q G = E =4n + 1, p H = 5, dan q H = 5. Sehingga Graf Shackle C 5, dengan p G = V =3n +, q G = E =4n + 1, p H = 5, q H = 5 dan s = n

3 Binastuti, et.al: Super (a, d)-face Antimagic Total Labelings 3 memenuhi hal d ((3n + ) 5)5 + ((4n + 1) 5)5 1 + n d = (3n 3)5 + (4n 4)5 1 + n d = ()3.5 + ()4.5 + () d = ()15 + ()0 + ()1 d = ()( ) d 36 Hasil Penelitian Dalam bagian ini akan disajikan pelabelan super face d-antimagic dengan tipe (1,1,1) untuk Shackle Graf C 5 dan beberapa d yang mungkin. Hasil dari penelitian ini berupa teorema untuk d = 1,3,5 Hasil dari penelitian ini didapatkan teorema terkait face labeling graf untuk Shackle Graf C 5 Teorema 0.1 Graf G = Shack(C 5,e,n) memiliki pelabelan super (40n + 6, 1)-face Bukti. Labeli titik Shackle Graf C 5 dengan fungsi f 1 yang didefinisikan sebagai f 1 (x i ) = i;1 i n + 1 f 1 (y i ) = n + i + 1;1 i n + 1 f 1 (z i ) = n + i + ;1 i n Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 1 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 1 : V (G) {1,,...,3n + }. Misal w f1 adalah bobot sisi sebagai w f1 = 4n + 5i + 6;1 i n. Labeli sisi G dengan fungsi f 1 yang didefinisikan sebagai f 1 (y i+1 z i ) = 5n i + 3;1 i n, f 1 (y i z i ) = 5n i + 4;1 i n,

4 Binastuti, et.al: Super (a, d)-face Antimagic Total Labelings 4 f 1 (x i x i+1 ) = 5n + + i;1 i n, f 1 (x i y i ) = 7n + 4 i;1 i n + 1, Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 1 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 1 : E(G) {3n + 3,3n + 4,...,7n + 3}. Misal W f1 adalah dapat diturunkan sebagai W f1 = 33n + ;1 i n Labeli face Shackle Graf C 5 dengan fungsi f 1 yang didefinisikan sebagai f 1 (f i ) = 7n + i + 3;1 i n Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 1 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 1 : f(g) {7n + 4,7n + 5,...,8n + 3}. Misal WF f1 adalah bobot total face Shackle Graf C 5 untuk n 5, maka dapat diturunkan sebagai WF f1 = w f1 + W f1 + f 1 (f i ) = 40n i. Apabila WF f1 diuraikan untuk 1 i n maka diperoleh himpunan WF f1 = {40n+6,40n+7,...,41n+5}. Terbukti bahwa Shackle Graf C 5 memiliki pelabelan super (40n + 6,1)-face Teorema 0. Graf G = Shack(C 5,e,n) memiliki pelabelan super (38n + 8, )-face Bukti. Labeli titik Shackle Graf C 5 dengan fungsi f yang didefinisikan sebagai f (x i ) = i;1 i n + 1 f (y i ) = n + i + 1;1 i n + 1 f (z i ) = n + i + ;1 i n Dengan mudah dapat dipahami bahwa f adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f : V (G) {1,,...,3n + }. Misal w f adalah bobot sisi sebagai w f = 4n + 5i + 6;1 i n. Labeli sisi G dengan fungsi f yang didefinisikan sebagai f (y i+1 z i ) = 6n + i + 3,1 i n, f (y i z i ) = 3n + i +,1 i n, f (x i x i+1 ) = 6n i + 4;1 i n,

5 Binastuti, et.al: Super (a, d)-face Antimagic Total Labelings 5 f (x i y i ) = 6n i + 5;1 i n + 1, Dengan mudah dapat dipahami bahwa f adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f : E(G) {3n + 3,3n + 4,...,7n + 3}. Misal W f adalah dapat diturunkan sebagai W f = 38n + i + 6;1 i n Labeli face Shackle Graf C 5 dengan fungsi f yang didefinisikan sebagai f (f i ) = 7n + i + 3;1 i n. Dengan mudah dapat dipahami bahwa f adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f : f(g) {7n + 4,7n + 5,...,8n + 3}. Misal WF f adalah bobot total face Shackle Graf C 5 untuk n 5, maka dapat diturunkan sebagai WF f = w f + W f + f (f i ) = 38n + i + 6. Apabila WF f diuraikan untuk 1 i n maka diperoleh himpunan WF f = {38n+8,38n+30,...,40n+ 6}. Terbukti bahwa Shackle Graf C 5 memiliki pelabelan super (38n+8,)-face Teorema 0.3 Graf G = Shack(C 5,e,n) memiliki pelabelan super (39n + 7, 3)-face Bukti. Labeli titik Shackle Graf C 5 dengan fungsi f 3 yang didefinisikan sebagai f 3 (x i ) = i;1 i n + 1 f 3 (y i ) = n + i + 1;1 i n + 1 f 3 (z i ) = n + i + ;1 i n Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 3 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 3 : V (G) {1,,...,3n + }. Misal w f3 adalah bobot sisi sebagai w f3 = 4n + 5i + 6;1 i n. Labeli sisi G dengan fungsi f 3 yang didefinisikan sebagai f 3 (y i+1 z i ) = 6n + i + 3,1 i n f 3 (y i z i ) = 3n + i +,1 i n f 3 (x i x i+1 ) = 5n + + i;1 i n, f 3 (x i y i ) = 7n + 4 i;1 i n + 1,

6 Binastuti, et.al: Super (a, d)-face Antimagic Total Labelings 6 Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 3 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 3 : E(G) {3n + 3,3n + 4,...,7n + 3}. Misal W f3 adalah dapat diturunkan sebagai W f3 = 3n + i + 1;1 i n Labeli face Shackle Graf C 5 dengan fungsi f 3 yang didefinisikan sebagai f 3 (f i ) = 7n + i + 3;1 i n. Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 3 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 3 : f(g) {7n + 4,7n + 5,...,8n + 3}. Misal WF f3 adalah bobot total face Shackle Graf C 5 untuk n 5, maka dapat diturunkan sebagai WF f3 = w f3 + W f3 + f 3 (f i ) = 39n + 3i + 4. Apabila WF f3 diuraikan untuk 1 i n maka diperoleh himpunan WF f3 = {39n+7,39n+30,...,4n+ 4}. Terbukti bahwa Shackle Graf C 5 memiliki pelabelan super (39n+7,3)-face Teorema 0.4 G = Shack(C 5,e,n) memiliki pelabelan super (37n+9,4)-face Bukti. Labeli titik Shackle Graf C 5 dengan fungsi f 4 yang didefinisikan sebagai f 4 (x i ) = i;1 i n + 1 f 4 (y i ) = n + i + 1;1 i n + 1 f 4 (z i ) = n + i + ;1 i n Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 4 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 4 : V (G) {1,,...,3n + }. Misal w f4 adalah bobot sisi sebagai w f4 = 4n + 5i + 6;1 i n. Labeli sisi G dengan fungsi f 4 yang didefinisikan sebagai f 4 (y i+1 z i ) = 6n + i + 3;1 i n, f 4 (y i z i ) = 4n + i + ;1 i n, f 4 (x i x i+1 ) = 3n + i + ;1 i n, f 4 (x i y i ) = 6n i + 5;1 i n + 1, Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 4 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 4 : E(G) {3n + 3,3n + 4,...,7n + 3}. Misal W f4 adalah

7 Binastuti, et.al: Super (a, d)-face Antimagic Total Labelings 7 dapat diturunkan sebagai W f4 = 9n + 5i + 1;1 i n. Labeli face Shackle Graf C 5 dengan fungsi f 4 yang didefinisikan sebagai f 4 (f i ) = 8n i + 4;1 i n Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 4 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 4 : f(g) {8n + 3,8n +,...,7n + 4}. Misal WF f4 adalah bobot total face Shackle Graf C 5 untuk n 5, maka dapat diturunkan sebagai WF f4 = w f4 + W f4 + f 4 (f i ) = 37n + 4i + 5. Apabila WF f4 diuraikan untuk 1 i n maka diperoleh himpunan WF f4 = {37n+9,37n+33,...,41n+5}. Terbukti bahwa Shackle Graf C 5 memiliki pelabelan super (37n + 9,4)-face Teorema 0.5 G = Shack(C 5,e,n) memiliki pelabelan super (38n+8,5)-face Bukti. Labeli titik Shackle Graf C 5 dengan fungsi f 5 yang didefinisikan sebagai f 5 (x i ) = i;1 i n + 1 f 5 (y i ) = n + i + 1;1 i n + 1 f 5 (z i ) = n + i + ;1 i n Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 5 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 5 : V (G) {1,,...,3n + }. Misal w f5 adalah bobot sisi sebagai w f5 = 4n + 5i + 6;1 i n. Labeli sisi G dengan fungsi f 5 yang didefinisikan sebagai f 5 (y i+1 z i ) = 4n i + ;1 i n, f 5 (y i z i ) = 4n i + 3;1 i n, f 5 (x i x i+1 ) = 5n + + i;1 i n, f 5 (x i y i ) = 7n + 4 i;1 i n + 1, Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 5 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 5 : E(G) {3n + 3,3n + 4,...,7n + 3}. Misal W f5 adalah

8 Binastuti, et.al: Super (a, d)-face Antimagic Total Labelings 8 dapat diturunkan sebagai W f5 = 31n + 4i + 0;1 i n. Labeli face Shackle Graf C 5 dengan fungsi f 5 yang didefinisikan sebagai f 5 (f i ) = 7n + i + 3;1 i n Dengan mudah dapat dipahami bahwa f 5 adalah merupakan fungsi bijektif yang memetakan f 5 : f(g) {7n + 4,7n + 5,...,8n + 3}. Misal WF f5 adalah bobot total face Shackle Graf C 5 untuk n 5, maka dapat diturunkan sebagai WF f5 = w f5 + W f5 + f 5 (f i ) = 38n + 5i + 3. Apabila WF f5 diuraikan untuk 1 i n maka diperoleh himpunan WF f3 = {38n+8,38n+33,...,43n+3}. Terbukti bahwa Shackle Graf C 5 memiliki pelabelan super (38n + 8,5)-face Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian di atas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat pelabelan super d-face antimagic total labeling dengan tipe (1, 1, 1) untuk beberapa d Shackle dari graf C 5 memiliki pelabelan super (40n + 6,1)-face antimagic Shackle dari graf C 5 memiliki pelabelan super (38n + 8,)-face antimagic Shackle dari graf C 5 memiliki pelabelan super (39n + 7,3)-face antimagic Shackle dari graf C 5 memiliki pelabelan super (37n + 9,4)-face antimagic Shackle dari graf C 5 memiliki pelabelan super (38n + 8,5)-face antimagic Namun demikian untuk d lainnya dengan batas atas d 36, peneliti belum menemukannya. Oleh karena itu diajukan masalah terbuka Open Problem 1 Tentukan apakah graf shackle dari C 5 memiliki super (a,d)- face antimagic total labeling selain d {1,, 3, 4, 5} untuk d 36.

9 Binastuti, et.al: Super (a, d)-face Antimagic Total Labelings 9 Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada dosen pembimbing yang telah bersedia membimbing serta memberikan kritik dan saran sehingga artikel ini dapat diselesaikan dengan baik. References [1] M. Baca, F. Bertault, J.A. MacDougall, M. Miller, R. Simanjuntak and Slamin, Vertex-antimagic total labelings of graphs, Discuss Math., Graph Theory 3 (003), [] Baca, M., Baskoro, E.T., Cholily,, Y.M., Jendrol, S., Lin, Y., Miller, L., Ryan, J., Simanjuntak, R., Slamin., and Sugeng, K.A. (005), Conjectures and open problems on face antimagic evaluations on graphs., MIHMI, 11, No., (175-19). [3] M. Baca, F. Bashir and A. Semanicova, Face antimagic labelings of antiprisms, Utilitas Math., (To appear) [4] Dafik, M. Miller, J. Ryan and M. Baca, On super (a; d)-edge antimagic total labeling of disconnected graphs, Discrete Math., 309 (009), [5] Dafik, Structural Properties and Labeling of Graphs. University of Ballarat, 007. [6] Y. Lin, Slamin, M. Baca and M. Miller, On d-antimagic labelings of prisms, Ars Combin, 7 (004), [7] Y. Lin and K.A. Sugeng, Face antimagic labelings of plane graphs Pa b, Ars Combin. 80 (006), (59-73). [8] Nur Rahmawati, Dekomposisi graf Gary Chartrand and Ping Zhang. Chromatic Graph Theory. Chapman and Hall, 008. [9] K.A. Sugeng, M. Miller, Y. Lin and M. Baca, Face antimagic labelings of prisms, Utilitas Math., 71 (006), [10] D.B. West, An Introduction to Graph Theory, Prentice-Hall, 1996.