DISKRETISASI MODEL DINAMIK KONTINU MUHAMMAD ARIF TIRTANA G

Transkripsi

1 DISKRETISASI MODEL DINAMIK KONTINU MUHAMMAD ARIF TIRTANA G DEPARTEMEN M ATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008

2 ABSTRAK MUHAMMAD ARIF TIRTANA. Diskretisasi Model Diamik Kotiu. Dibimbig oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA da ALI KUSNANTO. Diskretisasi diperluka utuk medapatka model diamik diskret dari model diamik kotiu. Proses tersebut didapat dega metrasformasi persamaa diferesial pada model diamik kotiu mejadi persamaa beda pada model diamik diskret. Tulisa ii memperlihatka bagaimaa memperoleh persamaa beda sebagai model diskret dari fugsi ekspoesial kotiu da fugsi logistik kotiu. Berdasarka pola perilaku model diskret da model kotiu pada fugsi ekspoesial da fugsi logistik, diperoleh bahwa semua pola perilaku pada model kotiu dimiliki oleh model diskret, tetapi model kotiu tidak memiliki semua pola perilaku pada model diskret. Tulisa ii juga memperlihatka proses diskretisasi pada sistem persamaa diferesial mejadi sistem persamaa beda sebagai model diskretya. Berdasarka perbadiga pola perilaku model diskret da model kotiu pada model peyebara AIDS diperoleh bahwa pola perilaku pada model diskret megimplemetasika pola perilaku pada model kotiuya..

3 ABSTRACT MUHAMMAD ARIF TIRTANA. Discretizatio of Cotiuous Dyamic Model. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA ad ALI KUSNANTO. Discretizatio is a process to form a discrete dyamic model from a cotiuous oe. This ca be doe by trasformig differetial equatios of cotiuous model ito differece equatios of discrete model. This paper shows how to get the differece equatios from a cotiuous epoetial ad a cotiuous logistic fuctio. Based o the patter of the cotiuous ad the discrete model of epoetial ad logistic fuctio, it is foud that all patter of cotiuous models are satisfied by discrete models, but cotiuous models do t ecessarily have all patter of discrete models. This paper also shows the discretizatio process of a system of differetial equatios ito a system of differece equatios. Aalyzig the cotiuous AIDS epidemic model, it is foud that the behavior of the discrete model has a similar patter to the cotiuous model.

4 DISKRETISASI MODEL DINAMIK KONTINU Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Sais pada Program Studi Matematika MUHAMMAD ARIF TIRTANA G DEPARTEMEN M ATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008

5 Judul : Diskretisasi Model Diamik Kotiu Nama : Muhammad Arif Tirtaa Nrp : G Meyetujui: Pembimbig I, Pembimbig II, Ir. N. K. Kutha Ardaa, M.Sc. NIP Drs. Ali Kusato, M.Si. NIP Megetahui Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr. drh. Hasim, DEA. NIP Taggal Lulus :

6 PRAKATA Puji serta syukur peulis ucapka ke hadirat Allah SWT yag telah memberi sagat bayak ikmat, jasmai maupu rohai, sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi ii. Shalawat serta salam peulis tuturka kepada jujuga Nabi besar, Rasulullah Muhammad SAW yag telah memberika telada dalam mejalai hidup. Pada kesempata ii peulis megucapka bayak terima kasih kepada semua pihak yag telah sagat bayak membatu dalam meyelesaika karya ilmiah ii, atara lai: Ibuda tercita atas kasih da sayag yag berlimpah. Ayahada tercita atas segala sara, asihat serta petuahya. Adik-adik tersayag: Dewi, Mega, Isa, Iwa, da Putri. Seluruh keluarga besar ku atas segala dukuga moral yag diberika. Bapak N. K. Kutha Ardaa da bapak Ali Kusato yag tak perah jera membimbig da membatu peulis meyelesaika karya ilmiah ii. Ibu Farida Haum sebagai dose peguji. Husa, Tari, Diah da Dia Sastro Wardoyo yag mejadi siar hidupku. Seluruh dose Departeme Matematika atas ilmu yag tak terilai hargaya. Seluruh staf Departeme Matematika atas segala batuaya. Sahabat sahabat tercita, Dia, Erita, Avi, Ade, Febi, da Ardhi. Saudara seasib sepeagguga: Irwa, Kabul, da Fitrah. Sahabat sahabat kosa pik: Dei Be Haim, Eko Taz, Zaiul Lui, Gia Golo, Ridwa Aracog, Mia, da Toi. Sahabat sahabat kosa kuig di sebelah masjid: Samba, Basyar serta David. Reka reka Futsal yag telah memberika kemeaga da keaga yag idah. Tema tema seperjuaga, Matematika agkata 39 (t.a 2002). Reka reka Matematika agkata 37, 38, 40 da 4. Agug Culai da Riki Ma el serta tema tema dari SMU Patra Nusa. Tema tema seperjuaga dari taah recog, Naggroe Aceh Darussalam. Cao-Cao, Liu Bei, Su Qua, Jedral Gua Yu, Zhuge Liag, Ieyasu Tokugawa, Sasaki Kojiro, Miyamoto Musashi, Adolf Hitler, Zegish Kha, Ir. Soekaro da Albert Eistei, yag mejadi sumber ispirasiku. Seluruh pihak yag telah membatu peyelesaia karya ilmiah ii. Peulis sadar sepeuhya bahwa bayak sekali kekuraga dalam peyusua karya ilmiah ii. Harapa peulis adalah bahwa karya ilmiah ii dapat memberika bayak mafaat bagi peulis maupu pembacaya. Bogor, September 2008 Muhammad Arif Tirtaa

7 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Kuala Simpag, Aceh Tamiag pada taggal 9 Jauari 985. Peulis adalah putra pertama dari eam bersaudara dari pasaga Bapak Muhammad Nurdi da Ibu Wirdahaum. Pada tahu 996 peulis lulus dari SD Ipres Desa Paya Bedi, Aceh Tamiag. Tiga tahu kemudia, tepatya pada tahu 999, peulis lulus dari SMP Negeri Kuala Simpag, Aceh Tamiag. Tahu 2002 peulis lulus dari SMU PLUS PATRA NUSA, Aceh Tamiag, da diterima utuk melajutka kuliah di Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam (FMIPA), Istitut Pertaia Bogor. Selama meempa ilmu di bagku perkuliaha, peulis juga mejalai aktivitas lai, yaitu berorgaisasi di dalam da di luar kampus. Di dalam kampus peulis perah mejabat sebagai staf Departeme Sumber Daya Mausia GUMATIKA (Gugusa Mahasiswa Matematika) da , staf Departeme Iformasi da Komuikasi BEM FMIPA , da mejadi paitia di berbagai kegiata BEM FMIPA. Prestasi o-akademik yag diperoleh adalah Juara III futsal dalam kompetisi futsal da basket FMIPA IPB 2003 sebagai maajer tim Matematika 39. Juara I futsal dalam MIPA Sport Touramet (MISOTO) tahu 2004 sebagai maajer tim Matematika. Juara I futsal dalam Olimpiade IPB tahu 2004 sebagai maajer tim FMIPA. Juara II Sep akbola dalam Olimpiade IPB tahu 2006 sebagai maajer tim FMIPA.

8 DAFTAR ISI Halama DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii I. PENDAHULUAN. Latar Belakag....2 Tujua....3 Ruag Ligkup... II. III. IV. LANDASAN TEORI 2. Persamaa Beda Aalisis Kestabila Titik Tetap pada Orde Tiga atau Lebih Metode Rekursif utuk Mecari Solusi Persamaa Beda Model Kermack da McKedrick... 3 PEMBAHASAN 3.. Diskretisasi Fugsi Ekspoesial Diskretisasi Fugsi Logistik Diskretisasi Sistem Persamaa Differesial Model kot iu wabah peyakit AIDS : Model SIA Diskretisasi Model Kotiu Peyebara AIDS... 0 SIMPULAN da SARAN 4. Simpula Sara... 2 DAFTAR PUSTAKA... 2 LAMPIRAN... 3

9 DAFTAR GAMBAR Halama. Perbadiga Grafik Fugsi Ekspoesial Kotiu da Diskret terhadap k Perbadiga Grafik Fugsi Logistik Kotiu da Diskret terhadap r Model Peyebara AIDS Perbadiga Grafik Model Peyebara AIDS Kotiu da Diskret... DAFTAR LAMPIRAN Halama. Solusi Persamaa (.) Solusi Persam aa (.3) Solusi Persamaa (2.) Peurua persamaa (3.2) da (3.3) dari persamaa (3.) Peurua persamaa (3.4) dari persamaa (3.) Program Mathematica utuk Persamaa (.) Program Mathematica utuk Persamaa (.2) Program Mathematica utuk Persamaa (2.) Program Mathematica utuk Persamaa (2.2) Program Mathematica utuk Model Kotiu Peyebara AIDS (3.) Program Mathematica utuk Model Diskret Peyebara AIDS (3.)... 23

10 I PENDAHULUAN. Latar Belakag Model matematik telah bayak diguaka pada bidag fisika da biologi, terutama dalam masalah diamik. Pemodela feomea alam yag terjadi dalam kehidupa yata secara matematis dapat mempermudah para peeliti utuk mejelajahi efek dari perubaha perubaha berbagai parameter yag berpegaruh dega lebih mudah, cepat da murah dibadigka bila hay a bereksperime, selai tidak murah da memaka waktu yag cukup lama, kadag hasil yag didapat ka tidak fisibel. Sebagia besar model matematik yag meggambarka feomea feomea alam diyataka dalam model kotiu. Namu, sebagia besar dari feomea tersebut haya berubah pada waktu waktu tertetu da tidak setiap saat, sehigga peggambara secara kotiu terasa kurag tepat. Oleh karea itu diperluka sebuah model diskret utuk megimplemetasika feomea feomea alam yag haya berubah pada waktu waktu tertetu, seperti proses kelahira atau kematia, peyebara atau peyembuha peyakit, da sebagaiya. Meskipu begitu, terdapat beberapa model matematik yag telah meggambarka feomea alam secara diskret. Namu, utuk memperoleh model diskret dari sebuah model matematik yag meggambarka feomea alam secara kotiu dilakuka dega metrasformasi model kotiu mejadi model diskret. Bagaimaapu juga, pembetuka secara eksplisit pada model matematik dibuat dega aalisis yag detail secara matematis melalui proses-proses yag lebih mudah dimegerti. Model kotiu telah bayak diguaka dalam pemodela, amu dalam kehidupa yata sebagia kasus lebih berupa sistem diskret, sehigga aka lebih tepat bila megguaka model diskret utuk meggambarka sebagia feomea feomea alam dalam kehidupa yata. Dalam tulisa ii diperlihat ka cara memperoleh proses trasformasi utuk medapatka model diskret yag memadai bagi sebuah sistem kotiu..2 Tujua Tujua dari peulisa karya ilmiah ii adalah mempelajari proses trasformasi sebuah model kotiu diamik mejadi sebuah model diskret..3 Ruag Ligkup Ruag ligkup peulisa karya ilmiah ii mecakup: () melakuka proses trasformasi fugsi kotiu mejadi fugsi diskret pada fugsi ekspoesial da fugsi logistik; (2) merekostruksi jural Modellig AIDS Epidemic ad Treatmet with Differece Equatios oleh Tamizhmai et al, II LANDASAN TEORI 2. Persamaa Beda Defiisi (Persamaa Beda) Persamaa beda adalah suatu persamaa yag meghubugka aggota aggota yag berbeda dari barisa bilaga {,,,...,,...} y y y y yag aka dicari da 0 2 ditetuka ilaiya. [Farlow, 994] Defiisi 2 (O rde Persamaa Beda) Orde persamaa beda adalah perbedaa atara ideks tertiggi dega ideks teredah yag mucul pada persamaa yag diberika. Misal ka diberika persamaa seperti di bawah ii: (,,,..., ) y = F k y y y k+ k+ - k+ - 2 k Persamaa di atas adalah sebu ah persamaa beda berorde jika y k yag mucul dalam fugsi F di sisi kaa adalah y dega ideks ter edah di sisi kaa da ideks tertiggi di sisi kaa adalah. Cotoh : y + = y+ 2, persamaa beda orde. y = y + y, persamaa beda orde dega = 0,, 2, 3,... [Farlow, 994] Defiisi 3 (Persamaa Beda Liear) Sebuah persamaa beda dikataka liear bila persamaa tersebut dapat diuraika mejadi

11 2 2 yk+ + a k yk+ - + a k yk a- k yk- + a k yk = Rk dega a ( k), i=,2,3,..., da R i k merupaka fugsi terhadap k. Cotoh 2: () y+ = y + 2 (2) y y+ + y = si ( p) dega = 0,, 2, 3,... [Farlow, 994] Defiisi 4 (Solusi Persamaa Beda) Solusi persamaa beda adalah fugsi yag merupaka barisa bilaga dari variabel bersagkuta, misalka atau y, yag memeuhi persamaa beda yag diberika utuk setiap, dega = 0,, 2,... [Farlow, 994] Defiisi 5 (Sistem Persamaa Beda Liear (SPBL)) Misalka sebuah persamaa beda liear orde satu diyataka sebagai berikut: y+ + y = 0...() Misalka terdapat fugsi g di luar persamaa () tetapi sagat mempegaruhi persamaa (), dega g merupaka sebuah persamaa beda liear, misalka: + + a = 0, dega a adalah kostata. Hubuga kedua persamaa tersebut dapat dituliska sebagai berikut: y + + y = 0, + + a = 0...(2) dega ( = 0,, 2,...). Persamaa (2) disebut Sistem Persamaa Beda Liear (SPBL). [Farlow, 994] Defiisi 6 (Solusi Sistem Persamaa Beda Liear ) Solusi sistem p ersamaa beda liear adalah fugsi yag merupaka barisa bilaga dari setiap variabel bersagkuta, misalka da y, yag memeuhi sistem persamaa beda liear yag diberika utuk setiap, dega = 0,, 2,... [Farlow, 994] Defiisi 7 (Titik Tetap) Misal ka diberika sistem persamaa beda sebagai berikut: (,,..., ) y = f y y y k+ k+ - k+ - 2 k dega y merupaka sebuah ilai aggota barisa bilaga dari persamaa di atas, dega = 0,, 2,... Titik tetap y diperoleh dari ilai yag memeuhi hubuga berikut: y = y = y =... = y + - [Kapla, 995] 2.2 Aalisis Kestabila Titik Tetap pada Orde Tiga atau Lebih pada Persamaa Beda Diberika sistem persamaa beda sebagai berikut: = f, y,..., z +... (,,..., ) y = f y z + 2 = (,,..., ) f y z z+ Dapat diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: é f f f ù L y z f f f J L = y z M M O M f f f L êë y z úû sehigga diperoleh persamaa poliomial ilai eige ( l ) dari persamaa karakterist ik J- l I = 0, yaitu: - - P ( l ) = l + a l a l + a Agar titik tetap stabil, dipeuhi:. 2 - P() = + a + a a + a > 0-2. (- ) P( - ) = (- ) [(- ) + a (- ) a- ( - ) + a] > 0 [Kapla, 995] 2.3 Metode Rekursif utuk Mecari Solusi Persamaa Beda Misalka diketahui sebuah persamaa beda berorde sebagai berikut: y + y + k 0 + =, dega k merupaka kostata. Utuk medapatka ilai y + maka harus diketahui ilai dari y.

12 3 Misalka diketahui persamaa beda orde 2 sebagai berikut: y 2 + y + y = k Utuk medapatka ilai y + 2 maka harus diketahui ilai dari y + da y. Misalka diketahui persamaa beda orde 3 sebagai berikut: y y y y k = 0 Utuk medapatka ilai y + 3 maka harus diketahui ilai dari y + 2, y + da y. Misalka diketahui persamaa beda orde m, sebagai berikut: y + y y + y = 0 + m + m- + + k Utuk medapatka ilai y + m maka harus diketahui ilai dari y + m -, y + m - 2,..., y + da y. Dapat disimpulka bahwa utuk medapatka ilai dari y harus diketahui ilai y sebelumya, yaitu dari ilai y 0 higga ilai y -, dega =, 2, 3,... Proses di atas disebut metode rekursif utuk memperoleh solusi persamaa beda. [Farlow, 994] 2.4 Model Kermack McKedrick Model Kermack-McKedrick terdiri atas sebuah sistem dari 3 persamaa diferesial biasa takliear, sebagai berikut: ds = β SI di = βsi γ I dr = γ I dega t adalah waktu, S (t) adalah bay akya orag sehat yag reta, I (t) adalah bayakya orag yag terifeksi, R (t) adalah bayakya orag yag telah sembuh da berkembag mejadi imu terhadap ifeksi, β adalah tigkat ifeksi, da γ adalah tigkat peyembuha. [Weisstei EW da Weisste T, 2004] III PEMBAHASAN 3. Diskretisasi Fugsi Ekspoesial Fugsi ekspoesial pada umumya berbetuk f = e, dega e adalah kostata Euler. Fugsi ekspoesial di atas merupaka betuk solusi utuk sebuah laju pertumbuha ekspoesial (epoetial growth). Laju pertumbuha ekspoesial merupaka sebuah model yag terbetuk karea terdapat sebuah variabel yag berkembag secara ekspoesial terhadap waktu. Misalka W adalah sebuah variabel yag berkembag terhadap waktu (t). Hubuga pertumbuha W terhadap t dapat dituliska dalam betuk persamaa diferesial sebagai berikut: dw = kw ( t)...(.) dega k adalah ko stata proposioal yag meggambarka laju pertumbuha dari W. Persamaa (.) merupaka model pertumbuha ekspoesial dega solusi: kt W ( t ) = W e... (.2 ) 0 dega W 0 adalah kodisi awal dari W (lihat Lampira ). Utuk medapatka betuk diskret dari fugsi ekspoesial pada pesamaa (.), aka dilakuka proses trasformasi yag disebut diskretisasi. Lagkah dari proses diskretisasi adalah sebagai berikut: dw Karea adalah laju pertumbuha W terhadap waktu t, maka : dw lim W ( t + t ) W ( t ) = = kw ( t) t 0 t Pada model diskret diambil t =, sehigga W( t+ ) W( t) = kw ( t) W ( t+ ) W ( t) = kw ( t) Dega memisalka Wt () = da t =, didapatka: W ( t+ ) W ( t) = kw ( t) = k + = + k + = + ( + k)

13 4 Dari proses di atas diperoleh persamaa diskret utuk fugsi ekspoesial, sebagai berikut: ( k )...(.3) + = + dega k adalah kostata proposioal yag meggambarka laju pertumbuha dari W. Persamaa (.3) merupaka model diskret pertumbuha ekspoesial dega solusi: = ( + k )...(.4) 0 dega 0 adalah kodisi awal dari (lihat Lampira 2). Setelah dilakuka diskretisasi pada fugsi ekspoesial, aka dilakuka simulasi umerik dega megguaka software Mathematica 6 utuk medapatka graf ik perkembaga W(t) da, sehigga dapat dibadigka apakah grafik dari persamaa diskret hasil trasformasi fugsi ekspoesial sama dega grafik dari fugsi asliya (persamaa (.)). Dega memilih ilai awal utuk W(t) da, diambil W(0) = 0 = 2, aka diperlihatka grafik perkembaga W(t) da pada beberapa ilai parameter k berbeda. Dega megguaka persamaa (.2) sebagai fugsi kotiu ekspoesial: kt W ( t ) = W e 0 da persamaa (.4) sebagai fugsi ekspoesial diskret: = ( + k) 0 Didapatka grafik perkembaga W(t) da dega berbagai kasus pada ilai k tertetu, sebagai berikut: Nilai k Fugsi Ekspoesial Diskret = ( + k ) 0 Fugsi Ekspoesial Kotiu kt W ( t ) = W e

14 Gambar Perbadiga grafik fugsi ekspoesial kotiu da diskret terhadap k. Secara umum terdapat 3 macam kasus perkembaga W() t berdasarka batas ilai k pada fugsi ekspoesial kotiu (persamaa (.2)), yaitu:. k > 0, perkembaga W() t aka terus meigkat higga medekati 8 seirig berjalaya waktu (t). Lihat Gambar pada k = k = 0, perkembaga W () t aka selalu sama dega ilai awalya (W 0 ) utuk setiap t. Lihat Gambar pada k = k < 0, perkembaga W() t aka terus meuru higga medekati 0 seirig berjalaya waktu (t). Lihat Gambar pada k < 0. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa perkembaga tehadap waktu sagat dipegaruhi oleh parameter k. Dega membadigka grafik fugsi ekspoesial diskret (persamaa (. 4)) dega grafik fugsi ekspoesial kotiu (persamaa (.2)) didapat beberapa perbedaa. Pada fugsi ekspoesial kotiu terdapat 3 macam perkembaga () W t berdasarka batas ilai k, yaitu: k > 0, k = 0, k < 0. Fugsi ekspoesial diskret juga memiliki semua kasus dalam fugsi ekspoesial kotiu,

15 6 amu terdapat beberapa kasus pada fugsi ekspoesial diskret yag tidak terdapat pada fugsi ekspoesial kotiu. Secara umum terdapat 7 kasus khusus perkembaga berdasarka batas ilai k pada fugsi ekspoesial diskret (persamaa (. 4)), yaitu:. k > 0, perkembaga aka terus meigkat higga meuju 8 seirig berjalaya waktu (). Lihat Gambar pada k = k = 0, perkembaga aka selalu sama dega ilai awalya ( 0 ) utuk setiap. Lihat Gambar pada k = < k < 0, perkembaga aka terus meuru higga medekati 0 seirig berjalaya waktu (). Lihat Gambar pada k = k = -, perkembaga aka selalu berada pada = 0 utuk setiap. Lihat Gambar pada k = < k < -, perkembaga aka berosilasi da koverge meuju 0 seirig berjalaya waktu (). Lihat Gambar pada k = k = - 2, perkembaga aka berubah secara periodik pada = -2 pada gajil da = 2 pada geap. Lihat Gambar pada k = k < -2, perkembaga aka berosilasi da diverge seirig berjalaya waktu (). Lihat Gambar pada k = Diskretisasi Fugsi Logistik Tijau persamaa berikut : ds S ( t) = S' = rs ( t) (2.) K dega: S ( t ) : bayakya magsa pada saat t r : laju pertumbuha S terhadap waktu (t) K : daya dukug kodisi ligkuga bagi magsa Persamaa (2.) merupaka fugsi logistik kotiu dega solusi sebagai berikut: S ( t) = K ( + be rt )...(2.2) (lihat Lampira 3) Selajutya, dega megguaka proses seperti pada fugsi ekspoesial, aka dilakuka proses trasformasi (diskretisasi) utuk medapatka persamaa beda dari sebuah fugsi logistik kotiu. Lagkah dari proses diskretisasi adalah sebagai berikut: ds Karea adalah laju pertumbuha S terhadap waktu t, maka: ds St ( + t ) St S( t) = lim = rs ( t) t 0 t K Pada model diskret diambil t =, sehigga St ( + ) St S t = rs t K S( t) S( t+ ) S( t) = rs( t) K Dega memisalka St () = da t =, didapatka: S ( t ) S( t+ ) S( t ) = rs ( t ) K = r + K = + r + K Dari proses diskretisasi di atas didapatka fugsi logistik diskret dari persamaa (2.) adalah: r...(2.3) + = K + Setelah dilakuka diskretisasi pada fugsi logistik kotiu, aka dilakuka simulasi umerik dega megguaka software Mathematica 6 utuk medapatka grafik perkembaga S(t) da, sehigga dapat dibadigka apakah grafik dari persamaa diskret hasil trasformasi fugsi logistik sama dega grafik dari fugsi asliya (persamaa (2.)). Dega memilih ilai awal utuk da ilai K, diambil = 0.5 da K = 2, aka 0 diperlihatka grafik perkembaga S(t) da pada beberapa ilai parameter r berbeda. Dega megguaka persamaa (2.2) sebagai fugsi logistik kotiu: S ( t) = K ( + be rt ) da persamaa (2.3) sebagai fugsi logistik diskret: r + = K +, didapat grafik perkembaga St () da pada beberapa ilai r, sebagai berikut:

16 7 Nilai r Fugsi Logistik Diskret r + = K + Fugsi Logistik Kotiu K S ( t) = + be rt r =0 r =0.7 r =.8 r =2 r =2.3

17 8 r =2.5 r =2.74 r =3 r =3.5 Gambar 2 Perbadiga grafik fugsi logistik kotiu da diskret terhadap r. Dari gambar di atas, dega megambil sembarag ilai, S (0), da K, cotoh: 0 = S (0) = 0.5 da K = 2, dapat dilihat 0 beberapa perbedaa atara fugsi logist ik kotiu dega fugsi logistik diskret. Pada fugsi logistik kotiu, dapat dilihat pada Gambar 2, pada r = 0, perkembaga St () selalu berada pada S (0) utuk setiap t, sedagka pada saat r > 0 pola p erkembaga St () aka terus meigkat higga medekati ilai St () = 2, karea sebelumya telah diambil ilai K = 2, sebagai batas atas perkembaga St (). Sedagka pada fugsi logistik diskret, terdapat beberapa perbedaa dibadigka dega fugsi logistik kot iu. Sama dega fugsi logis t ik kot iu, pada r = 0, perkembaga fugsi logistik diskret juga aka selalu berada pada 0 utuk set iap. Namu ut uk r > 0 terdapat beberapa kasus

18 9 khusus yag tidak terjadi pada fugsi logistik kotiu. Secara umum perkembaga pada fugsi logistik diskret dapat dikelompokka dalam beberapa kasus berdasarka batas r, sebagai berikut:. r = 0, perkembaga aka selalu berada pada 0 utuk set iap. Lihat Gambar 2 pada r = < r <.2, perkembaga aka terus meigkat higga medekati K, lihat Gambar 2 pada r = = r < 2., perkembaga aka berosilasi da koverge medekati ilai K seirig berjalaya waktu (), lihat Gambar 2 pada r =.8 da r = = r < 2.4, perkembaga aka berubah berpola periodik. berada disekitar K pada geap da berada disekitar 0 pada gajil da terus berkembag dega pola yag sama. Lihat Gambar 2 pada r = = r = 2.6, perkembaga aka berubah berpola periodik pada ilai tertetu saat tertetu yag disebut dega pola periodik stabil periode 2. Lihat Gambar 2 pada r = < r = 2.85, perkembaga aka berubah berpola periodik pada ilai tertetu saat tertetu yag disebut dega pola periodik stabil periode 4. Lihat Gambar 2 pada r = < r = 3, perkembaga aka berubah berpola acak yag disebut dega chaos. Kasus ii merupaka kasus uik pada fugsi logistik diskret. Lihat Gambar 2 pada r = r > 3, perkembaga aka berkembag terus meuru da diverge meuju -8. Lihat Gambar 2 pada r = 3.5. Dapat disimpulaka bahwa, fugsi logistik diskret memiliki semua kasus dalam fugsi logistik kotiu, amu terdapat beberapa kasus pada fugsi logistik diskret yag tidak terdapat pada fugsi logistik kotiu. 3.3 Diskretisasi Sistem Persamaa Diferesial 3.3. Model kotiu wabah peyakit AIDS : Model SIA Titik pagkal model ii adalah model SIR, yag diperkealka pada tahu 927 oleh Kermack da McKedrick (Weisstei EW da Weisste T, 2004). Pada model tersebut, populasi (N) dikelompokka mejadi 3 bagi a, yaitu populasi idividu reta terserag ifeksi (S), populasi idividu terifeksi da dapat megifeksi idividu lai (I), da pop ulasi idividu yag telah pulih dari ifeksi atau meiggal (R). Namu, berdasarka model di atas, yag diguaka pada model kali ii adalah model SIA yag juga membagi populasi (N) mejadi 3 bagia, yaitu: Pertama, populasi idividu sehat tapi reta terserag ifeksi, (S). Kedua, populasi idiv idu positif terifeksi HIV, masih beriteraksi dega idividu populasi pertama da dapat megifeksi idividu populasi tersebut, (I). Ketiga, populasi idividu terifeksi HIV amu tidak dapat megifeksi idividu laiya (termasuk idividu yag telah meiggal) (A), seperti yag ditujukka pada Gambar 3. S I iteraksi Peigkata jumlah idividu dalam populasi terifeksi (I) da meiggal (A) bergatug pada kuatitas iteraksi populasi terifeksi dega idividu populasi reta, sehigga dibutuhka pembatas atara populasi yag satu dega yag laiya. Utuk medapatka pembatas populasi yag lebih baik, dipegaruhi beberapa asumsi yag tepat, gua membagu model yag lebih baik da seseder haa mugki. Asumsi-asumsi yag diguaka adalah:. Jumlah awal populasi idividu reta adalah tetap da aka terus meuru dega bertambahya waktu. 2. Efek kematia alami ketiga populasi tersebut dapat diabaika. Hubuga ketiga populasi tersebut dapat dituliska sebagai berikut : ds =- SI, di = SI- mi, da = mi- l A..( 3.) dega: m= tigkat kematia idividu pederita AIDS µ A Gambar 3 Model peyebara AIDS.? l = tigkat kesembuha idividu pederita AIDS

19 0 dega l m( 0) > > disebabka karea evolusi terhadap kematia lebih cepat daripada daya taha leukosit (seropositivity) dalam meghadapi virus HIV. (Tamizhmai et al, 2004) Model kotiu yag diberika pada persamaa (3.) dapat diyataka juga sebagai berikut : ' S + I =- mi...(3.2) ' S+ I + A =- l A...(3.3) (lihat Lampira 4) Diskretisasi Model Kotiu Peyebara AIDS Model kotiu yag diberika dapat diyataka dalam model diskret dega melakuka trasformasi dari model kotiu mejadi model diskret yag disebut diskretisasi. Pedekata dasar yag sama seperti pada persamaa logistik maupu fugsi ekspoesial aka diguaka pada model ii. Dimulai dega persamaa ds = - SI sebelumya aka diaalogika dega betuk diskret + =. Proses + y diskretisasi tersebut didapat dega memisalka = St (), y = It (), z = At (), t = da memisalka parameter m= - a da l = - b. ds Diketahui bahwa S '( t) =, maka dapat dicari aalogi diskretya dega cara sebagai berikut: ( + ) ' S t t S t S ( t) = lim t 0 t Pada model diskret diambil t =, sehigga S = ( t + ) S( t) ( t ) S( t) = S + Dega memisalka = St (), y = It () da t = maka didapat: + S t + S t ' Setelah diketahui S() t =D, dari model diskret + = didapat: + y + = + ( + y) = + y + ( y ) = =- ( y ) + + D =- ( y ) + Dega memisalka = St (), y = It () da t = maka didapat: D = - + ( y ) S ' =- St ( + )() I t ds =-SI Dega ii telah ditujukka diskretisasi dari sistem sistem kotiu diskret ds =- SI meghasilka + = + y. Dega megguaka persamaa (3.2) da (3.3) serta melakuka proses diskretisasi yag sama dega proses di atas, aka didapat betuk di da diskret dari persamaa da pada sistem persamaa diferesial (3.), lihat Lampira 5. Model diskret yag meggambarka peyebara virus HIV sebagai hasil trasformasi dari model kotiuya dituliska sebagai berikut : + =, + +y z = - a y +ßz + dega : y y =ay +, +y..(3.4) = bayakya idividu populasi reta pada waktu ke- y = bayakya idividu populasi terifeksi pada waktu ke- z = bayakya idividu populasi meiggal atau telah sembuh pada waktu ke- a = - mda b = - l = 0,, 2, 3,

20 Utuk kedua parameter, didapatka b < a < yag berkorespodesi pada fakta bahwa l > m> 0 pada limit kotiu. Dega melakuka simulasi komputer megguaka software mathematica 6 didapatka grafik dari model kotiu peyebara AIDS da model diskretya, sehigga dapat dibadigka atara kedua model tersebut. Dega memisalka ilai awal dari masig masig varibel adalah 0 = S(0) = 95, y0 = I(0) = 0.0, da z0 = A(0) = 0.0. Didapatka grafik perkembaga ketiga variabel pada model peyebara AIDS kotiu da diskret terhadap beberapa ilai parameter, sebagai berikut: Keteraga : S, =,. I, y =,. A, z =,. Model Diskret Peyebara AIDS (persamaa (3.)) Model Kotiu Peyebara AIDS (persamaa (3.4)) a = ß = 0.5 µ =? = 0.5 a = ß = 0.7 µ =? = 0.7 Gambar 4 Perbadiga grafik m odel peyebara AIDS kotiu da diskret. Dapat dilihat pada gambar di atas, bahwa grafik perkembaga dari, y, z dari model diskret hasil trasformasi model kot iu dari model peyebara AIDS. Grafik model diskret memperlihatka betuk yag sama dega model asalya, model kotiu. Tidak terdapat perbedaa yag sigifika atara betuk diskret da betuk kotiu dari sebuah model peyebara AIDS. Dari 2 grafik pada tabel di atas, dapat dilihat bahwa model diskret (persamaa (3.4)) hasil diskretisasi masih membawa karakteristik model kotiu asalya (persamaa (3.)).

21 IV SIMPULAN da SARAN I. Simpula Proses trasformasi model kotiu mejadi model diskret disebut diskretisasi. Proses ii dilakuka pada fugsi ekspoesial kotiu, fugsi logistik kotiu da model kotiu peyebara AIDS pada jural (Tamizhmai K. M, 2004), didapatka fugsi ekspoesial diskret, fugsi logistik diskret da model diskret peyebara AIDS. Melalui proses simulasi umerik, dega megguaka software Mathematica 6, didapatka grafik perkembaga setiap variabel dari fugsi ekspoesial, fugsi logistik da model peyebara AIDS terhadap beberapa parameter tertetu. Dega membadigka grafik model kotiu dega grafik model diskretya, didapat beberapa perbedaa, terutama pada fugsi ekspoesial da fugsi logistik. Fugsi ekspoesial kotiu memiliki 3 pola perkembaga variabelya berdasarka batas parameter k, dega ilai aw al variabel = 2, yaitu: k > 0, k = 0, k < 0. Fugsi ekspoesial diskret memiliki 7 pola perkembaga variabelya berdasarka batas parameter k, dega ilai awal variabel = 2, yaitu: k > 0, k = 0, - < k < 0, k = -, -2 < k < -, k = -2, k < -2. Fugsi ekspoesial diskret memiliki semua pola perkembaga variabel pada fugsi ekspoesial kotiu, amu fugsi ekspoesial kotiu tidak memiliki semua pola perkembaga variabel pada fugsi ekspoesial diskret. Fugsi logistik diskret memiliki semua pola perkembaga variabel pada fugsi logistik kotiu, amu fugsi logistik kotiu tidak memiliki semua pola perkembaga variabel pada fugsi logistik diskret. Fugsi logistik diskret memiliki 8 pola perkembaga variabel berdasarka parameter laju pertumbuha (r), dega ilai awal variabel = 0.5 da K = 2, yaitu pada: r = 0, 0 < r <.2,.2= r < 2., 2.= r < 2.4, -2.4 = r = 2.6, 2.6 < r = 2.85, 2.85 < r = 3, da r > 3. Pada model peyebara AIDS terdapat beberapa proses peyederhaaa pesamaa diferesial model asliya utuk memudahka dalam proses trasformasi utuk medapatka model diskretya. Pada model peyebara AIDS, model diskret hasil trasformasi dapat megimplemetasika model kotiuya. II. Sara Apabila ada yag igi melajutka tulisa ii, disaraka agar membahas tetag proses diskretisasi pada fugsi kotiu lai selai fugsi ekspoesial da logistik sehigga dapat diimplemet as ika pada pemodela feomea-feomea diskret. V DAFTAR PUSTAKA Farlow SJ A Itroductio to Differetial Equatios ad Their Applicatios. McGraw Hill, New York. Kapla D, Glass L Uderstadig No Liear Dyamics. Spriger-Verlag. New York Murray JD Mathematical Biology. Spriger, Berli. Tamizhmai KM, Ramai A, Grammaticos B, Carstea AS Modellig AIDS Epidemic ad Treatmet with Differece Equatios. Advace i Differece Equatios. 3: Weisstei EW, Weisstei T. Kermack McKedrick Model. MathWorld a Wolfram Web Resource. McKEdrickModel.html. [7 Jauari 2008].

22 L A M P I R A N 3

23 4 LAMPIRAN Solusi Persamaa (.) dw = kw ( t ) Dega megguaka cara pemisaha variab el didapatka: dw dw = kw ( t) = k W t dw = k W ( t) Kemudia dega megitegralka kedua ruas persamaa didapatka: dw = k dw= k W t W t Dega W ( 0) l W ( t) = kt + c,dega W ( t) > 0 l W( t) kt e = e W ( t) = e c e kt c = e maka didapat: c kt kt W ( t) = e e W ( t) = W( 0) e Didapat solusi utuk persamaa (.) sebagai berikut: W ( t) = W( 0) e kt LAMPIRAN 2 Solusi Persamaa (.3) = ( + k) = ( + k) + Dega megguaka metode rekursif, dega memasukka ilai = 0,, 2, 3,..., m, didapat: utuk =0 = ( + k) 0 utuk = = ( + k) 2 = ( + k) (( + k) 0 ) = + k utuk =2 = ( + k) M = + k + k 0 = + k 3 0 utuk = m = ( + k) m m m = + k + k 0 m = ( + k ) 0 Didapat solusi utuk persamaa (.3) sebagai berikut: = ( + k ), dega =, 2, 3, 0

24 5 LAMPIRAN 3 Solusi Persamaa (2.) ds S ( t ) = S' = rs ( t ) K Dega megguaka cara pemisaha variab el didapatka: ds St ds = rs( t) = r ds = r K St St S( t) S ( t) K K ds = r ds = r St K S( t) St K S ( t) K K K K K ds = r ds = r St K S t S t K S t ( ) Kemudia dega megitegralka kedua ruas persamaa didapatka: K K ds = r ds= r St S( t) ( K S ( t )) K S ( t) Dega m egguaka fraksi parsial utuk ruas kaa persamaa di atas, didapat: K K A B ds = + St K St S t K S t S t K St ( ) Diketahui bahwa K K = AK A = ( ) K A( K S ( t) ) + B( S( t) ) ( ) ( ) = S t K St S t K S t K AK + ( B A) S ( t) = S( t) K St S( t) K St = AK da ( B A) S ( t) = 0 maka didapat: ( B A) S( t) = 0 ( B A) = 0,karea S( t) 0 ( B ) = 0 B = Dega memasukka ilai A da B didapat: K K A B ds = + St K S t S t K S t S t K S t ( ) ( ) K = + S t K St S t K S t ( ) K ds= + St K S t K St ( ) S( t) ( ) ds

25 6 K St K S t ds= r + ds= r ( ) St ( K S ( t) ) l l ( ) St K S t = rt + c ( K S ( t) ) ( K St ) St ( K S ( t) ) l St rt+ c l = rt + c e = e St rt+ c rt+ c = e St = K S t e ( ) rt c St = K St e +. Karea K adalah batas atas Karea St > 0, maka St = St (), jadi () ( ) perkembaga S(t), maka K > S(t) sehigga ( K St ) > 0, maka ( K S ( t) ) ( K St ) rt c St () = ( K St ) e +, sehigga ( ) rt+ c St () = K S t e rt+ c rt+ c S( t) = Ke S( t) e rt+ c rt+ c S t + S t e = Ke rt+ c S t + e = Ke ( rt+ c) S( t) = Ke rt+ c ( + e rt + c ) Dega mem bagi e rt+ c dega e rt + c pada ruas atas da bawah, didapatka: e rt+ c K rt + c K S ( t) = e S( t) = + e rt+ c e rt c e rt c Dega memisalka K K S ( t) = S( t) = ( rt+ c) rt e c + e e + c e = b didapatka: K S( t) = rt be + Didapatka solusi utuk persamaa (2.) sebagai berikut: K S( t) = rt + be =, jadi

26 7 LAMPIRAN 4 Peurua persamaa (3.2) da (3.3) dari persamaa (3.) Dari persamaa (.) diketahui bahwa: ds di da = - S( t) I( t), = S( t) I( t) - mi( t), = mi( t) - l A( t) Dari turua S terhadap t didapatka: ds ' = - SI S = - SI, dari turua I terhadap t didapatka: di ' = SI- mi I = SI - mi. Karea S ' =- SI sehigga - S ' = SI, maka didapatka: ' ' ' I = SI- mi I =- S - ' mi I ' + S ' = - mi ( I + S) = - mi...( terbukti) Lalu dari turua A terhadap t didapatka: Karea ( I+ S) ' = - mi sehigga ( I S) ' mi ' ' ' A = mi - l A A =- I + S - l A ' ' A+ I + S =-l A ' + + =- da = mi- l A A ' = mi - l A - + =, maka didapatka: ( A I S) l A...( terbukti)

27 8 LAMPIRAN 5 Peurua persamaa (3.4) dari persamaa (3.) = St (), y = It (), z = At (), t = daparameter = - da = - degab < a < sehiggameyebabkal > m> 0 ds St ( +Dt) - St () lim Dt = Dt 0 degamemilihd t =,maka S() t = S t+ - karea = St (), y = It (), z = At (), t =, maka = S t m a l b St ( + ) - St () = ( + ) - S() t = + - =D ' Setelah diketahui S() t + = + ( + y) = + y =D, d ari model diskret + = didapat: + y + ( y ) = =- ( y ) + + D =- ( y ) + Dega memisalka = St (), y = It () da t = maka didapat: D = - + ( y ) S ' =- St ( + )() I t ds =-SI Didapat model diskret dari ds SI =- adalah + = + y

28 9 di di æ ds ö = SI- mi Þ = ç - - mi t çè ø di ds Þ + =-mi( t) Þ D y +D =-my ( + ) ( + ) y æ + y ö Þ y - y + - ç =-my + + y ç è+ y ø + Þ y - y + - =-my Þ y - y + - =-my Þ y - y + - =-my Þ y - y + - =-my Þ y - y ( m) (- y) ( ) - + y + =-my + y - - y Þ y - y + =-my + + y Þ y - y + =-my + + y Þ y =- my + y - + Þ y+ = - y+ + karea m= - a maka a= - msehigga y Þ y+ = a y+ + y (- y) + y y y...( terbukti)

29 20 da = mit - l At di ds ædi dsö dari pembuktia diatas didapatka bahwa: + =- mi( t), makami( t) =- ç + çè ø Þ Þ da ædi dsö =- ç + - çè ø da ædi ds ö + ç + =- çè ø l At l At Þ da di ds + + =- l At Þ D z +D y +D =-l z Þ z - z ( + ) ( + ) ( + ) Þ z - z + y - y l z = ( l ) Þ z + - z + y - y + - = y Þ z + - z + ay + - y + - = 0 ( l ) + + y + y Þ z + ( l - ) z ( a ) + + y - y + - =-l z Þ z - z + y - y + - =-l z ( ) y - + y Þ z+ + ( l - ) z+ ( a- ) y+ + = 0 + y + y ( l ) ( a ) ( l ) ( a ) ( l) ( a) ( a) ( l) kareal = - b makab = - l sehigga ( a) Þ z = - y + bz...( terbukti ) + y - - y + - y+ + = 0 + y + y y y Þ z+ + ( l - ) z+ ( a- ) y+ - = 0 + y + y Þ z + - z + - y = 0 Þ z =- - z - - y Þ z = - z + - y Þ z = - y + - z

30 2 LAMPIRAN 6 Program Mathematica Fugsi Ekspoesial Kotiu (.) LAMPIRAN 7 Program Mathematica Fugsi Ekspoesial Diskret (.2) LAMPIRAN 8 Program Mathematica Fugsi Logistik Kotiu (2.) LAMPIRAN 9 Program Mathematica Fugsi Logistik Diskret (2.2)

31 LAMPIRAN 0 Program Mathematica utuk Model Kotiu Peyebara AIDS (3.) 22

32 LAMPIRAN Program Mathematica utuk Model Diskret Peyebara AIDS (3.) 23