III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL. : harga saham : tingkat harapan pendapatan. yaitu

Transkripsi

1 III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL 3. Model Kotiu da Model Diskret Perkembaga Harga Saham Saham merupaka aset fiasial yag ilaiya berubah-ubah megikuti harga pasar, sehigga dalam jagka waktu tertetu harga saham dapat megalami keaika maupu peurua atau bahka tidak megalami perubaha harga. Jadi perubaha harga saham dipegaruhi oleh perubaha waktu da dipegaruhi pula oleh peubahpeubah peggaggu yag berupa peubah acak yag megikuti gerak Brow. Perubaha harga saham tersebut dapat dimodelka sebagai berikut: ds S dt S dw (3.) dega: S : harga saham : tigkat harapa pedapata dt W : volatilitas dari harga saham : periode waktu : peubah acak dega drift rate 0 da variace rate, serta megikuti gerak Brow (Hull 003). Perkembaga harga saham ditijau dari sisi waktu terdiri atas dua macam, yaitu model diskret da model kotiu. Dari model harga saham itu, aka ditetuka ilai suatu aset turuaya, di ataraya adalah opsi call yag mempuyai harga eksekusi K da waktu jatuh tempo T. Suatu portofolio lidug ilai yag didefiisika pada (.6) yag memuat aset S da sejumlah pijama tapa risiko pada suku buga r dibetuk utuk mereplikasi ilai dari suatu opsi pada setiap titik waktu t. Dega syarat tapa adaya arbitrase, portofolio itu Scholes utuk fugsi c( t, S) yaitu c c c rs S rc t S S bersesuaia dega persamaa diferesial Black- (3.) Solusi dari persamaa diferesial (PD) dega batas f : x ( x K) merupaka fugsi payoff yag diberika oleh formula opsi Black-Scholes c( t, S) S N( d ) K e N( d ) dega rt

2 3 d dega N (.) S K r T T l( / ) ( ), / (3.3) adalah fugsi distribusi ormal baku. Sesuai dega Harriso da Pliska (98) maka ilai dari c( t, S) merupaka preset value dari ilai opsi pada waktu T yag dapat dituliska sebagai c( t, S) : e rt E([ f ( S )]. (3.4) T Solusi di atas apabila diselesaika dega model biomial memerluka beberapa peyesuaia, yaitu perkembaga harga saham pada iterval waktu (0, T ) aka dibuat mejadi sub-sub iterval yag lebih kecil. Misalka diberika ruag peluag (, F, P), da suatu bilaga yag meyataka waktu perdagaga, di maa perdagaga saham haya terjadi pada waktu t (0 t0, t,..., t T) dega T ti ti t, ( i 0,,..., ). Pedapata dalam satu periode R, i (i=,..., ) dimodelka oleh dua variabel acak biomial yag iid (idepedet idetically distributed) pada ruag peluag i (, F, P) R, i dega u dega peluag p d dega peluag p q (3.5) dega u meyataka faktor keaika harga saham da d meyataka faktor peurua harga saham. Sehigga utuk semua k 0,..., perkembaga aset diskret pada waktu t k diyataka oleh S S R. (3.6), k 0, i i k Deskripsi dari pedapata satu periode perdagaga telah meggambarka perkembaga harga aset diskret S secara keseluruha. Selajutya barisa terbatas dari R ( R, i ) i,..., disebut sebagai lattice (tree). Sedagka pemberia ilai tertetu terhadap parameter r,, S0 da t utuk masig-masig perbaika disebut sebagai pedekata lattice.

3 4 Beberapa pedekata lattice yag berbeda telah memperhitugka argumetasi risiko etral seperti yag disampaika oleh Harriso da Pliska (98) yag meujukka bahwa harapa pedapata satu periode E[ R,] harus sama dega pedapata satu periode dari obligasi bebas risiko r exp{ r t }. Cox, Ross da Rubistei, Jarrow da Rudd da Tia telah merumuska beberapa defiisi alteratif dari parameter tree yag haya bersadar pada peetua faktor keaika da faktor peurua harga aset, yag tertuag dalam tabel berikut Tabel 3. Defiisi alteratif dari parameter tree pada pedekata lattice oleh model CRR, model JR da model Tia. CRR JR Tia u d exp T exp T u d exp exp ' r ' ' T T T T / / r v u v v v / ( 3) r v d v v v r v / ( 3) Keteraga: CRR : Model yag disampaika oleh Cox, Ross da Rubistei JR : Model yag disampaika oleh Jarrow da Rudd Tia : Model yag disampaika oleh Tia. Substitusi parameter pada tabel 3. ke dalam persamaa 3.8 diperoleh ilai opsi call dega metode biomial utuk masig-masig model. Metode biomial tersebut utuk kali yag pertama disampaika oleh Cox, Ross da Rubistei yag meyataka bahwa harga opsi pada t = 0 merupaka preset value dari ilai harapa harga opsi pada t = T yag diyataka sebagai 0 0, 0 exp exp c (0 t, S ) r E[ f ( S ) S ] (3.7) T r T r p ( p ) [ S K] j j, j 0 j (3.8) da meurut Leise da Reimer (996) persamaa (3.8) ekivale dega dega c t S S a p K r a p (3.9) ' (0 0, 0 ) 0 [ ;, ] [ ;, ]

4 5 ( r d ) u l( K / S ) l d p, p p, a= ' 0 ( u d ) r l u l d da (.) meyataka fugsi distribusi biomial. Formula (3.7), (3.8), da (3.9) merupaka suatu pedekata terhadap formula Black-Scholes pada (3.3). Pedekata ii diperoleh dega diskretisasi waktu terhadap perkembaga harga saham pada (3.). sehigga secara implisit meggambarka perkembaga harga opsi melalui argumetasi replikasi backward. 3. Uji Kekovergea Model Biomial Semua pedekata lattice disusu sedemikia sehigga S, koverge ke S T. Selajutya ditetuka rata-rata serta varia dari l, S, yaitu ˆ, ˆ da rata-rata serta varia dari l S T adalah t, t. Meurut Leise da Reimer (996), dega teorema limit pusat da syarat batas Liapuov telah memberika jamia terhadap kekovergea masalah berikut. ˆ (3.0) ˆ (3.) k E (l R ˆ), k ( ˆ ) (3.) Ketiga model (CRR, JR da Tia) koverge lemah pada akhir periodeya. Tetapi dalam peelitia ii haya aka memfokuska pada perilaku da kecepata kekovergeaya. Gambar 3., 3., da 3.3 memperlihatka suatu pola tertetu dari perubaha harga opsi yag diperoleh dari beberapa refiemet tree yag berbeda. Garis lurus horizotal meujukka solusi Black-Scholes. Utuk peghituga dega metode biomial, hasil dari setiap refiemet dihubugka dega garis yag meggambarka perubaha hasil. Dari ketiga model di atas ditemuka suatu pola khusus yaitu perkembaga harga opsi berosilasi da bergelombag. Lebih jauh digambarka bahwa iterval dega peguraga error diikuti oleh iterval dega peigkata error kembali. Pada suatu refiemet tertetu dari harga opsi selalu

5 6 berada di atas solusi Black-Scholes tetapi utuk yag cukup besar, solusi dega metode biomial aka koverge ke solusi Black-Scholes. Gambar 3., 3., da 3.3 adalah grafik yag meujukka pola kekovergea dari model CRR, JR da Tia utuk suatu piliha parameter: S 00, K 0, T, r 0.05, 0.3, 0,...,00. Gambar 3. Grafik pola kekovergea model CRR Gambar 3. Grafik pola kekovergea model JR Gambar 3.3 Grafik pola kekovergea model Tia

6 7 Barisa dari ( u ) da ( d ) aka koverge ke satu dega bertambahya refiemet, demikia pula utuk perubaha S, aka medekati saham awalya. Posisi harga akhir opsi seatiasa bersilaga dega jarak yag semaki kecil. Sebagai hasilya, peghituga harga opsi berosilasi da bergelombag koverge ke solusi Black-Scholes. Pola kekovergea yag ada pada semua model biomial dega piliha parameter acak dapat ditujukka dega ilai distribusi error. Nilai itu diperoleh dega cara membadigka atara solusi formula Black-Scholes dega solusi dari perluasa barisa R ( R, i ) i,..., utuk setiap model biomialya. Utuk melihat kecepata kekovergea, maka diambil satu barisa lattice tertetu, di maa harga yag diperoleh dari model diskret da model kotiu tidak sama, maka aka terdapat error e c(0, S0) c (0, S 0). Dega teorema limit pusat diperoleh lim e 0, yag berarti bahwa harga yag dihitug oleh barisa lattice koverge ke solusi Black-Scholes. Gambar 3.4, 3.5 da 3.6 adalah grafik yag meujukka error dari setiap ilai perbaika beserta batas error yag digambarka dega garis lurus pada model CRR, JR da Tia. Sumbu-x da sumbu-y digambarka dega skala log. Cotoh utuk suatu piliha parameter berikut: S 00, K 0, T, r 0.05, 0.3, 0,...,00 Gambar 3.4 Grafik error da batas error utuk model CRR

7 8 Gambar 3.5 Grafik error da batas error utuk model JR Gambar 3.6 Grafik error da batas error utuk model Tia Dalam kaita dega pola gelombag pada perilaku kekovergea, maka aka dideskripsika suatu pedekata kecepata secara formal, yag megguaka batas atas utuk error e. Utuk ii diguaka kosep matematika kekovergea. Utuk mejelaska masalah tersebut diperluka berikut. Defiisi 3. derajat pedefiisia Misalka f : x ( x K) adalah fugsi payoff opsi call Eropa. Suatu barisa lattice koverge berderajat 0, jika ada suatu kostata 0 sedemikia sehigga N :. e Suatu pedekata lattice koverge dega derajat (3.3) 0, jika utuk semua S,,,, 0 K r T barisa khusus dari lattice koverge dega derajat 0. Derajat kekovergea selalu lebih besar dari ol. Semaki tiggi derajatya berarti semaki cepat kekovergeaya. Kosep teoritis utuk derajat

8 9 kekovergea tidak tuggal, artiya pedekata lattice dega derajat juga mempuyai derajat. Derajat kekovergea sagat mudah diamati pada simulasi, yaitu dega meggambarka error e terhadap perbaika pada skala log-log. Karea log / log log, maka fugsi batas / mejadi garis lurus dega gradie seirig dega perubaha. Garis lurus pada gambar 3.4, 3.5 da 3.6 miimal melalui satu titik dari ilai error-ya. Nilai log pada 0 meggambarka letak suatu titik pada sumbu log e yag berpotoga dega garis yag bergradie. Nilai log utuk masig-masig model di atas utuk = 0 adalah: model CRR = 0.48, JR = da Tia = Sebagai cotoh ilustrasi, pada gambar 3.4, 3.5, da 3.6 ditujukka bahwa model CRR, JR da Tia koverge berderajat satu karea garis batas utuk e bergradie satu. Utuk memeriksa kriteria yag lebih spesifik pada peetua derajat kekovergea utuk pedekata lattice tertetu diberika defiisi berikut. Defiisi 3. Utuk suatu barisa lattice ( R ) da utuk semua N maka,, N m : E[ R ] E[ R ] (3.4) m : E[( R ) ] E[( R ) ] (3.5),, m : E[( R ) ] E[( R ) ] (3.6) 3 3 3,, disebut mome da p E R R (3.7) 3 : [(l, )(, ) ] disebut mome semu. Utuk sebarag N diotasika R ( R ) N sebagai pedapata kotiu atara waktu ti da t i, yag merupaka varibel acak iid pada ruag peluag (, F, P) sedemikia sehigga S S R k 0, 0,...,. t k Mome sebagaimaa pada defiisi merupaka geeralisasi dari mome per periode. Mome per periode pada pedekata diskret tidak sama dega mome per periode pada pedekata kotiu sehigga megakibatka adaya error. k i i

9 30 Implikasi dari persamaa (3.0), (3.) da (3.) adalah mome m, m da m aka koverge ke ol. Sedagka dari simulasi diperoleh bahwa 3 tiga pedekata lattice yag telah didefiisika di atas koverge sagat lemah. Suatu pedekata lattice koverge dega derajat 0 aka berimplikasi pada kekovergea harga opsi. Aka tetapi, kekovergea harga opsi tidak memberika iformasi tetag derajat kekovergea. Semetara kekovergea yag sesuai dega mome tidak cukup mejami kekovergea opsi. Pada pembahasa ii aka ditetapka suatu formula lai utuk meetuka kekovergea harga opsi. Teorema 3. Misalka ( R ) N barisa lattice da m, m, p masig-masig adalah mome 3 (semu). Derajat kekovergea ( R ) N merupaka derajat palig kecil yag dimuat 3 dalam m, m da p dikuragi, tetapi tidak lebih kecil dari pada. Pembuktia teorema 3. ada pada Leise (996). Persepsi lai dari teorema di atas meyataka bahwa derajat kekovergea dari ( R ) N palig sedikit. Sehigga derajat kekovergea yag dimiliki oleh mome semu harus lebih dari satu. Selajutya agar memberika kriteria yag lebih spesifik utuk membadigka model yag titik perhatiaya pada kecepata kekovergea, maka diberika proposisi berikut. Proposisi 3. Pedekata lattice yag disampaika Cox, Ross da Rubistei (979) koverge dega derajat. Proposisi 3. Pedekata lattice yag disampaika Jarrow da Rudd (983) koverge dega derajat. Proposisi 3.3 Pedekata lattice yag disampaika Tia (993) koverge dega derajat. Pembuktia proposisi 3., 3., da 3.3 ada pada Leise (996). Pada gambar 3.7, 3.8 da 3.9 ditujukka pegguaa simulasi dari pedekata lattice CRR, JR, da Tia. Bagia kiri meujukka error dega pola gelombag tertetu. Bagia kaa meggambarka mome semu. Utuk semua

10 3 model, tigkah laku kekovergea dari mome semu sagat halus da berbadig lurus dega barisa (/ ) artiya mome tersebut berderajat dua. Ketiga model tidak ditemuka suatu perbedaa yag yata. Namu demikia derajat kekovergea mome semu dapat disimpulka secara mudah lewat simulasi. Meurut teorema 3. terdapat kekovergea harga berderajat satu. Perbadiga tigkah laku kekovergea pada sisi kiri da kaa pada setiap gambar, tercatat bahwa derajat kekovergea harga opsi melalui mome semu lebih mudah diamati dari pada melalui gambar error-ya. Gambar 3.7, 3.8 da 3.9 adalah grafik yag merupaka ilustrasi dari proposisi 3., 3., da 3.3, yag meyataka perbadiga derajat kekovergea dari model CRR, JR da Tia dega derajat kekovergea pada momeya, yag diuji utuk piliha parameter yag berbeda. Gambar 3.7 Grafik ilustrasi proposisi 3. dega piliha parameter berikut: S 00, K 90, T, r 0.05, 0.3, 0,...,000 Gambar 3.8 Grafik ilustrasi proposisi 3. dega piliha parameter berikut: S 00, K 0, T, r 0.05, 0.3, 0,...,000

11 3 Gambar 3.9 Grafik ilustrasi proposisi 3.3 dega piliha parameter berikut: S 00, K 00, T, r 0.05, 0.3, 0,...,000. Gambar 3.7, 3.8,, da 3.9 meujukka bahwa model CRR, JR, da Tia koverge berderajat satu sebab mome kedua, mome ketiga da mome semu masig-masig model koverge berderajat dua. Hal tersebut sesuai dega peryataa pada Teorema Model Biomial dega Perbaika Sifat-Sifat kekovergea Sebelumya telah dipelajari pegujia perilaku da kecepata kekovergea dega pedekata lattice. Secara umum defiisi da teorema utuk pegukura derajat kekovergea telah dibagkitka. Aplikasi teorema tersebut terhadap model CRR, JR, da Tia tidak meujukka adaya perbedaa yag sigifika pada kekovergea ke solusi Black-Scholes. Kostruksi perbaika dega pedekata tree dilakuka utuk meghitug harga opsi agar diperoleh kekovergea yag besar. kecepata Pada dasarya, kekovergea tidak dapat dicapai dega dua titik peubah acak. Selajutya yag mugki diguaka adalah sifatsifat struktur lai dari opsiya. Metode ii dikataka sebagai perluasa pedekata lattice, utuk memberika peekaa perbedaa terhadap pedekata lattice yag biasa. CRR meujukka kekovergea dari model-model tersebut pada formula Black-Scholes dega pegujia biomial secara terpisah pada (3.9). Hal yag sama utuk peilaia opsi call Eropa dapat digambarka sebagai dua pedekata dari tipe ( a;, p) N ( z ). Pedekata ii diguaka sebagai awal perbaika. Peghituga peluag biomial sagat sulit karea melibatka peghituga beberapa faktorial dari bilaga bulat yag besar atau pejumlaha

12 suatu bilaga besar dari masig-masig eleme. Oleh karea itu, pedekata ormal utuk distribusi biomial dituruka dega metode pedekata Peizer da Pratt (968). Metode tersebut megugkapka suatu pedekata yag baik, dega peluag kebeara P dihitug secara biomial yag didekati dega fugsi ormal stadar N( z ). Iput ditetuka oleh fugsi z = h( a;, p) dega a adalah bay i akya pergeraka aik dari harga saham pada saat eksekusi periode biomial dega ukura peluag p. Pada kasus sederhaa diguaka teorema Moivre- 33 Laplace. P ( a;, p) didekati oleh / P N[ h( a;, p) ( a p /( p( p)) )] dega ( a;, p) merupaka fugsi distribusi biomial dari (3.9). Harga suatu opsi dapat diselesaika dalam dua pedekata yag berbeda. Peghituga pada harga opsi biomial meyataka bahwa eleme dari distribusi ormal didekati dega eleme dari distribusi biomial. Sehigga utuk perbaika tree dari biomial yag diberika, merupaka kebalika dari fugsi h( a;, p) yag ditetapka dega parameter h ( z) p utuk medekati P N ( z) dega P ( a;, p ). Peizer da Pratt dalam Leise da reimer (996) meuruka suatu formula sebagai berikut: A Metode Ivers Peizer-Pratt z h ( z) exp / 3 6 B Metode Ivers Peizer-Pratt z h ( z) exp ( ) Selajutya aka paparka lagkah-lagkah utuk megkostruksi model biomial baru seperti CRR. Sistem persamaa dibagkitka utuk meetuka secara tuggal parameter tree yag mejami kekovergea. Pertama, meetuka dua kompoe pada formula harga pada (3.3) da (3.9), d da d merupaka iput dari persamaa (3.3) pada h ( z) da didapatka

13 34 p serta p ' sebagai parameter distribusi dari dua buah kompoe biomial pada (3.9). Nilai h ( z) diperoleh dega megguaka atura A atau B. Kedua, dibagkitka parameter arbitrase megakibatka p u da d dari persamaa (3.9). Ketiadaa ( r d) ur. Selajutya p ' didefiisika p ' p. ( u d ) r Dari dua persamaa di atas diperoleh parameter model biomial baru yag dituliska sebagai: p h d ' : ( ) u da d. Sehigga diperoleh p h d u : ( ) p ' p : r d : r p u p l( K / S0) l d da parameter a dirumuska a:= l u l d. Dega megambil ilai S 00, K 0, T, r 0.05, 0.3, pada 0,...,50 utuk peghituga harga opsi da 0,...,000 utuk error-relatif, maka ilustrasi perkembaga harga opsi serta error-relatif model PP da PP ditujukka pada Gambar 3.0. Gambar 3.0 Grafik ilustrasi hasil perbaika kostruksi biomial megguaka pedekata PP da PP Gambar 3.0 meujukka hasil dega metode PP da PP. Peerapa kedua metode utuk peetua harga opsi tidak memperlihatka perbedaa secara sigifika di atara keduaya. Pemiliha gajil sebagai batasa daerah asal, tidak

14 35 aka berpegaruh pada hasil peghituga opsi. Selai itu pedekata error meuru secara mooto dega derajat kekovergea dua. Dega mesubstitusika ilai-ilai utuk parameterya, dega semua bilaga Asli, diperoleh suatu gambar yag meyataka adaya pola osilasi dari perkembaga harga opsi. Sedagka utuk geap didapatka suatu pola kekovergea berupa garis lurus dega derajat kekovergea satu. Metode ii memperlihatka adaya perbaika kekovergea utuk peghituga harga opsi 3.4 Perbadiga Kekovergea lima Model Biomial Utuk melihat perbedaa kelima model biomial tetag perilaku da kecepata kekovergea yag ditujukka dega derajat kekovergea, maka ditampilka perbadiga dari kelima macam model. Gambar 3. memperlihatka perbadiga pola kekovergea model CRR, JR, Tia, PP, da PP dega piliha parameter berikut: S 00, K 0, T, r 0.05, 0.3, utuk 0,...,50, sedagka model PP da PP dipilih utuk gajil. model CRR model JR

15 36 model Tia model PP da PP Gambar 3. Perbadiga perilaku kekovergea lima model Gambar 3. memperlihatka perbadiga error da derajat kekovergea model CRR, JR, Tia, PP, da PP dega piliha parameter berikut: S 00, K 0, T, r 0.05, 0.3, utuk 0,...,50, sedagka model PP da PP dipilih utuk gajil. model CRR model JR model Tia Gambar 3. Perbadiga error da derajat kekovergea model PP da PP