LAMPIRAN. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder:

Transkripsi

1 LAMPIRAN A.TRANSFORMASI KOORDINAT 1. Koordinat silinder Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder: Vector kedudukan adalah Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah: Maka: Misalkan V adalah fungsi skalar,

2 Grad V = + Maka operator grad dalam koordinat silinder adalah: Operator Laplacian dalam koordinat silinder adalah: 2. Koordinat bola Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat bola: Vector kedudukan adalah + Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah: +

3 Maka: Misalkan V adalah fungsi skalar, Grad V = + Maka operator grad dalam koordinat bola adalah:

4 Operator Laplacian dalam koordinat bola adalah: B. RUMUS EULER Rumus Euler adalah : Sehingga: C. SIFAT ORTHOGONAL DARI POLINOMIAL LEGENDRE Sifat orthogonal dari polinomial Legendre adalah: Dimana: Bentuk dinyatakan oleh Rodrigues: Dimana:

5 D. FUNGSI GELOMBANG HARMONIS SPHERIS Fungsi gelombang angular yang ternomalisasi dalam harmonis spheris adalah: Dimana untuk dan 1 untuk yang lainnya. Dengan, E. FUNGSI HANKEL Fungsi Hankel adalah: Dan Fungsi Hankel jenis pertama dan kedua didifenisikan sebagai berikut: Dan

6 F. MOMENTUM SUDUT TOTAL Momentum sudut total didefinisikan sebagai: Besar ketiga vector momentum sudut ini terkuantisasi menurut: Dan komponen-komponen-z nya terkuantisasi menurut: Dengan mengetahui,, kita dapat menyimpulkan, dan dari persyaratanpersyaratan berikut:

7 G. Penjabaran persamaan (2.12) hingga persamaan (2.14): Pada sistem pusat massa, persamaan Schrodinger untuk gerak relatif adalah: ; adalah massa partikel yang datang dan adalah massa target. Pada jarak yang sangat jauh dari penghambur, efek potensial dapat diabaikan sehingga persamaan diatas menjadi: Karena berkas elektron yang datang dianggap sebagai gelombang bidang maka: Dengan menggantikan nilai ke persamaan diperoleh: Dengan metode pemisahan variabel dapat digunakan mencari solusi persamaan diferensial diatas. Untuk variabel-x adalah: Untuk mendapatkan hasil persamaan karakteristiknya selalu dinyatakan dalam bentuk eksponensial. Misal: Jadi, persamaan karakteristiknya menjadi:

8 Dengan membagi diperoleh: Maka didapatkan solusi nilai X adalah: Dengan cara yang sama, kita dapat memperoleh solusi untuk variabel-y dan variabel-z. Untuk variabel-y adalah: Dan solusi nilai-y adalah: Untuk variabel-z adalah: Dan solusi nilai-z adalah: Jika kita gabung ketiga solusi persamaan diatas maka diperoleh: Karena berkas elektron yang datang bergerak di sepanjang sumbu-z maka fungsi gelombangnya adalah:

9 H. Penjabaran persamaan (2.18) hingga persamaan (2.20): Probabilitas Rapat Arus didefinisikan sebagai: Atau Probabilitas Rapat Arus Gelombang yang datang adalah: Atau Dimana: Probabalitas Rapat Arus Gelombang yang terhambur adalah: Atau

10 Probabilitas rapat arus yang melewati area bola berjari-jari adalah: Dimana: Karena fungsi gelombang tidak bergantung pada sudut. Maka probabilitas rapat arus yang terhambur adalah: Tampang lintang diferensialnya adalah:

11 I. Penjabaran persamaan (2.37) hingga (2.40): Fungsi gelombang yang datang tidak bergantung pada sudut azimut maka. Kedua ruas dikalikan dengan dan diintegralkan terhadap maka diperoleh: Pada ruas kanan merupakan bentuk integral parsial. Bentuk integral ini dapat diselesaikan dengan rumus: Misalkan : Hasil integral adalah: Bentuk kedua pada hasil integralnya akan menghasilkan faktor Oleh karena itu, ketika maka hasil integral Maka diperoleh:

12 Dengan : Sehingga,

13 J. Penjabaran persamaan (3.1) hingga persamaan (3.7) Persamaan Schrodinger dalam koordinat bola: Dimana: berikut:...(1) adalah massa tereduksi antara elektron dan target, yang dirumuskan sebagai Jika kita mengalikan seluruh persamaan (1) dengan didapatkan hasil:...(2) Untuk mencari solusi persamaan (2) dapat dilakukan dengan cara pemisahan variabel dan kemudian kita susun ulang persamaan hasil pemisahannya untuk menghitung solusinya. Pertama, kita misalkan fungsi gelombangnya adalah:..(3) Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) dan membagi seluruh persamaan dengan, maka diperoleh:...(4) Suku ketiga pada persamaan (4) hanya merupakan fungsi azimut, sedangkan suku yang lainnya hanya merupakan fungsi dan. Persamaan (4) dapat kita atur kembali sehingga menjadi:...(5)

14 Persamaan (5) hanya benar jika kedua ruas itu sama dengan tetapan yang sama, karena suku kiri dan suku kanan merupakan fungsi variabel yang berbeda, untuk memudahkan perhitungan kita misalkan suatu konstanta,, sehingga persamaan diferensial untuk fungsi menjadi:...(6) Kemudian kita substitusikan, suku ruas kanan persamaan (5) dan susun kembali persamaan tersebut sehingga diperoleh:...(7) Karena kedua ruas mempunyai persamaan dengan variabel yang berbeda, kita dapat memisalkan suatu konstanta yang sama untuk kedua ruas,yakni sehingga sekarang ruas kanan persamaan (7) menjadi: Dan ruas kiri persamaan (7) menjadi:...(8) Persamaan (6,8,9) dapat ditulis sebagai berikut: Persamaan untuk adalah:...(9) Persamaan untuk adalah: Persamaan untuk adalah:

15 Untuk menyelesaikan persamaan angularnya yakni dan, digunakan fungsi polinomial Legendre yang terasosiasi yang disebut sebagai fungsi harmonis spheris. Dimana untuk dan 1 untuk yang lainnya. Karena fungsi gelombangnya tidak bergantung pada sudut azimut maka fungsi gelombang angularnya tidak mengandung komponen yakni. Sehingga solusi persamaan bagian angularnya menjadi: Maka solusi fungsi gelombangnya dapat ditulis menjadi: Fungsi gelombang radialnya adalah: Dengan : Untuk, fungsi gelombang radialnya adalah:

16 Dengan : Solusinya adalah: Untuk, fungsi gelombang radialnya adalah: Sehingga: pergeseran fase

17 K. Penjabaran persamaan (3.8) hingga persamaan (3.14):.(1)..(2) Persamaan (1) diselesaikan:

18 Diperoleh: Persamaan (2) diselesaikan: Dengan membagi dan mensubstitusi nilai ke persamaan (2) maka diperoleh: Dimana: