JMP : Volume 1 Nomor 1, April 2009 KETAKSAMAAN CAUCHY SCHWARZ PADA RUANG HASIL KALI DALAM-2

Transkripsi

1 JMP : Volume Nomor April 009 KETAKSAMAAN CAUCHY SCHWARZ PADA RUANG HASIL KALI DALAM- Sri Marani Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Tekink Universitas Jenderal Soedirman Purwokerto srimar_math_97@ahoo.com ABSTRACT. Cauch-Schwar inequalit is an important propert on inner product spaces. This inequalit can be generalied to -inner product spaces. We can be inducted a norm from those inner product spaces and then generalied that norm to -norm. This paper will reprove Cauch-Schwar inequalit used positive semi definite of Gram matri such that sub-matri of Gram determinant is non-negative. Kewords. Cauch-Schwar -inner product spaces -norm Gram matri Gram determinant.. PENDAHULUAN Hasil kali dalam merupakan salah satu konsep penting dalam mempelajari sifatsifat geometri pada bidang ataupun ruang. Salah satu dari sifat geometri tersebut diantarana adalah panjang suatu garis dan sudut ang dibentuk antara dua buah garis pada ruang Euclid kompleks atau ang dikenal sebagai ruang uniter. Sifatsifat geometri tersebut dinamakan sifat metrik. Sifat metrik tersebut dapat diekspresikan sebagai hasil kali dalam pada n C merupakan generalisasi dari hasil kali titik (dot product).. Pendefinisian hasil kali dalam Hasil Kali Dalam (inner product) dari dua buah vektor (... ) ( )... n di n C dan secara umum didefinisikan sebagai berikut: n n i i i dengan i adalah konjugat (sekawan) dari i. Hasil Kali Dalam (inner product) tersebut dapat kita perluas menjadi hasil kali dalam-n dengan n. Selanjutna untuk n kita sebut sebagai hasil kali dalam- ang merupakan fungsi bernilai kompleks. Bentuk hasil kali dalam- tersebut dinotasikan. Sementara dari hasil kali dalam- dapat kita induksi suatu bentuk norm ang juga merupakan Diterima 30 Desember 008 disetujui untuk dipublikasikan April 009.

2 Marani S. fungsi bernilai real tak negative. Bentuk norm tersebut dinotasikan dengan. Notasi tersebut dapat diinterpretasikan sebagai luas jajaran genjang ang dibangun oleh dua buah vektor dan. Gunawan mendefinisikan hasil kali dalam- lebih sederhana [4] (Gunawan00:55). Salah satu sifat penting dari hasil kali dalam- adalah ketaksamaan Cauch Schwar. Kita dapat menunjukkan ketaksamaan Cauch Schwar tersebut dengan menggunakan sifat semidefinit positif dari matriks Gram. Secara khusus proses pembuktian Ketaksamaan Cauch Schwar pada Ruang Hasil Kali Dalam- dapat dilihat pada bagian tiga aitu pada bagian hasil dan pembahasan.. HASIL DAN PEMBAHASAN. Ruang Hasil Kali Dalam Kompleks dan Ruang Norm Kompleks Definisi : Misal X adalah ruang vektor atas lapangan kompleks C. Suatu Hasil Kali Dalam pada X dapat didefinisikan sebagai pemetaaan : X X C sehingga untuk setiap I. Aditif X dan untuk setiap C memenuhi sifat : I. Homogen I3. Simetri I4. 0 jika dan hana jika 0 Pasangan ( Χ ) disebut ruang Hasil Kali Dalam kompleks. Selain keempat sifat di atas pada Hasil Kali Dalam juga berlaku ketaksamaan Cauch Schwar aitu untuk setiap X berlaku :

3 Ketaksamaan Cauch-Schwar 3 Ketaksamaan Cauch Schwar di atas memenuhi sifat-sifat nag telah disebutkan di atas. Definisi : Norm pada suatu ruang vektor X adalah suatu fungsi bernilai real tak negatif di X ang didefinisikan sebagai suatu pemetaan : X R sehingga untuk setiap X dan C memenuhi sifat-sifat : N 0 ; 0 jika dan hana jika 0 N N3 ( Ketaksamaan Segitiga ) Pada ruang hasil kali dalam ( Χ ) berikut : dapat kita definisikan suatu norm sebagai Pasangan ( Χ ) disebut ruang norm kompleks. Pendefinisian norm diatas memenuhi ketiga sifat norm ang telah disebutkan diatas. Salah satu pengembangan Hasil Kali Dalam pada suatu ruang vektor X adalah hasil kali dalam- ang merupakan suatu pemetaan : X X X C sehingga untuk setiap X dan untuk setiap C memenuhi sifatsifat : I 0 ; 0 jika dan hana jika bergantung linear. I I3 I4 I5

4 Marani S. 4 Pasangan ( Χ ) disebut sebagai ruang Hasil Kali Dalam-. Pada ruang Hasil Kali Dalam ( Χ ) kita definisikan ruang hasil kali dalam- baku sebagai berikut : : Hasil Kali Dalam- baku ang didefinisikan diatas memenuhi sifat hasil kali dalam- ang telah disebutkan diatas Ketaksamaan Cauch-Schwar Misalkan X adalah ruang Hasil Kali Dalam-. Maka untuk setiap X berlaku Bukti : Langkah pertama kita akan menunjukkan bahwa matriks Bersifat semidefinit positif. Ambil sebarang dengan Χ C dan misalkan A maka [ ] A * [ ] [ ]

5 Ketaksamaan Cauch-Schwar 5 0 Karena * A 0 maka dapat kita simpulkan bahwa matriks A bersifat semidefinit positif sehingga diperoleh 0 Dengan menggunakan sifat determinan kita dapatkan 0 Berdasarkan sifat dan kemudian pindahkan suku kedua pada ruas kiri ke sebelah kanan kita peroleh 3. KESIMPULAN DAN SARAN 3. Kesimpulan Artikel ini telah menghasilkan ketaksamaan Cauch-Schwar pada ruang hasil kali dalam- dengan menggunakan sifat semidefinit positif pada matriks Gram. 3. Saran Ketaksamaan Cauch-Schwar pada ruang hasil kali dalam- dengan menggunakan sifat semidefinit positif pada matriks Gram dapat kita perluas pada ruang hasil kali dalam-n.

6 Marani S Ucapan Terima Kasih Pada penulisan makalah ini saa haturkan terima kasih ang sebesar-besarna pada pembimbing tesis saa Bapak Prof. Dr. Hendra Gunawan ang telah memberikan bimbingan dan ilmuna sehingga saa bisa menuliskan kembali sebagian dari tesis saa ini ke dalam bentuk artikel. 5. DAFTAR PUSTAKA [] Anton-Rores Elementar Linear Algebra John Wile and Sons Inc. New York 973. [] B. Jacob Linear Algebra W.H. Freeman and Compan New York 990. [3] E. Kreig Advanced Engineering Mathematics John Wile and Sons Inc. New York 973. [4] H. Gunawan On n-inner Products n-norms and the Cauch Schwar inequalit Sci. Math. Jpn. 55(00) [5] H. Gunawan Inner Products On n-inner Product Spaces Souchow Journal of Math. Taipei. 39(00) [6] N. Young An Introduction to Hilbert Spaces Cambride Univ Press New York / Cambridge 988. [7] R. Horn and C. Johnson Matri Analsis Cambridge Univ. Press New York / Cambridge 985. [8] R. Valena Linear Algebra An Introduction to Abstract Mathematics Springer-Verlag New York 993.