PENENTUAN SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN BKdV DENGAN METODE BEDA HINGGA

Transkripsi

1 Berkala Fisika ISSN : - 9 Vol, No., Jauari 9 hal 7- PENENTUAN SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN BKdV DENGAN METODE BEDA HINGGA Sehah da J. Amiuddi Program Sudi Fisika, Fakulas Sais da Tekik, Uiversias Jederal Soedirma Jala dr. Suparo, No. Karagwagkal Purwokero, Jawa Tegah,. sehah@usoed.ac.id; jamrud_uh9@yahoo.com ABSTRACT The iovaive kowledge for modellig of he wave propagaio is soliary waves. The dyamical model of soliary wave represeed i Koreweg de Vrise (KdV) equaio form. I his modellig assumed ha he KdV equaio has o perurbaio sig, so called Basic Koreweg de Vries (BKdV) equaio. This modellig begis from expressig of he BKdV equaio io o discree form as is liear form usig implici scheme for fiie differece mehod. The, i liear form cosruced io marix form. The soluio of marix form deermied usig Gauss-Jorda mehod for resulig of he umerical soluio of he BKdV equaio. umerical soluio was represeig o he surface-graphic for he wave evelope as represeaio of he dyamical o liear i he waer. This modellig resuls idicaig ha he wave evelope, was has disorio of iiial ampliude o logsadig of ime. I idicae ha he fluid eergy was has disorio o logsadig of ime. Key Word: Solio, KdV, Numerical, Wave, Evelope. ABSTRAK Pegeahua iovaif uuk megeahui model diamika gelombag lau adalah megaggapya sebagai derea pulsa sabil. Feomea ersebu laim dikeal dega gelombag solio (soliary wave). Model diamika soliary wave direpreseasika dalam beuk persamaa Basic Koreweg de Vrise (KdV). Dalam pemodela yag elah dilakuka, Persamaa KdV diaggap idak megalami gaggua perurbaif aau laim dikeal dega persamaa Basic Koreweg de Vrise (BKdV). Lagkah awal pemodela dimulai dega diskriisasi persamaa BKdV dega meode beda higga skema implisi uuk medapaka mariks sebagai represeasi liear persamaa BKdV. Solusi mariks dieuka dega megguaka meode Gauss-Jorda uuk medapaka solusi umerik persamaa BKdV. Solusi umerik persamaa BKdV diyaaka dalam beuk grafik evelope gelombag sebagai represeasi diamika o liear dalam air. Hasil pemodela meujukka,. Hal bahwa evelope gelombag megalami disorsi ampliudo awal pada waku ersebu megidikasika bahwa perambaa parikel air aka megalami disorsi berdasarka lama perambaa. Kaa Kuci: Solio, KdV, Numerik, Gelombag, Evelope PENDAHULUAN Pegeahua iovaif uuk megkaji model diamika dari gelombag lau adalah megaggapya sebagai derea pulsa sabil. Feomea ersebu laim dikeal dega ama gelombag solio (soliary wave). Model diamika soliary wave direpreseasika dalam beuk Persamaa Koreweg-de Vrise aau KdV [,,]. Karakerisik gelombag solio dalam air dapa dikeahui dega melakuka modifikasi erhadap suku-suku gaggua (perurbaif) persamaa KdV [,]. Meode yag dapa diguaka uuk memodelka diamika gelombag lau dega persamaa KdV adalah meode beda higga yag erbuki dapa diguaka memiimalka error umerik akiba kesalaha pemooga (rucaio error) dari dere Taylor, sera perhiugaya dikerjaka dega ierasi berurua 7

2 Sehah da J. Amiuddi Peeua Solusi Numerik Persamaa... sehigga saga memudahka proses pemrograma kompuer []. Pemrograma kompuer dega meode beda higga skema implisi dikerjaka dega sofware MATLAB 7. karea memudahka proses perhiuga da visualisasi. Sofware MATLAB 7. diguaka uuk memecahka operasi maemaika secara lagsug sehigga mereduksi kerumia pemrograma, sera memvisualisasika daa dalam beuk grafik D sehigga memudahka dalam pemodela diamika perambaa gelombag dari lau lepas higga memasuki epi paai [7,]. METODE PENELITIAN Meode umerik yag diguaka dilakuka dega prosedur [9-]: ) Diskriisasi persamaa BKdV biasa dega skema implisi seperi pada Gambar uuk memperoleh rumus ierasi seperi pada persamaa (). u u aau u u u um, u um, um, ux x um, u um, uxx x u u u u uxxx x () a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, b, a, a a a a u, u, u, u, u, u, u u d, d, d, d, d, d,. d d () ) Membua program perhiuga uuk meeuka solusi mariks dega meode Gauss-Jorda sebagai kosruksi umum mariks seperi persamaa () u, u, u, u, u, u, u u d, d, d, d, d, d, d d () ) Membua gambar D mariks eleme u i sebagai solusi umerik persamaa KdV. Gambar. Skema implisi meode beda higga ) Megkosruksi beuk diskri persamaa KdV biasa mejadi beuk mariks persamaa () ) Melakuka aalisis erhadap solusi umerik persamaa KdV sebagai model diamika gelombag solio dalam air HASIL DAN BAHASAN Solusi -solio persamaa KdV merupaka represeasi model perambaa gelombag sabil. Lagkah awal yag

3 Berkala Fisika ISSN : - 9 Vol, No., Jauari 9 hal 7- harus dilakuka adalah meyaaka parameer dari persamaa KdV, x xxx dalam beuk x, x, () feomea o dispersif (.) pada proses perambaa gelombag. Dega megguaka agka-agka acak sebagai () (.) variasi ampliudo pada bahasa dega meyaaka parameer pemrograma MATLAB 7. maka kecepaa. Berdasarka asa pada diperoleh model gelombag seperi pada persamaa (), maka persamaa () dapa Gambar, Gambar da Gambar diuliska dalam beuk [,]. ' ' '''. () Iegrasi lagsug erhadap persamaa () h() meghasilka. '' A, (7) (.) dega A adalah kosaa ak eu.. Dega meyaaka ' d ' d d ' '' w '', () '. d d d maka persamaa (7) dapa diuliska dalam beuk ' d A. d (9) h() Iegrasi erhadap parameer erhadap. persamaa (9) meghasilka ' A B, () (.). dega B adalah kosaa ak eu yag w baru. Dega megguaka beberapa ' ''. syara baas, yaiu:,, pada, A pada persamaa (7), B pada persamaa () da ' () sera melibaka d d. ' () Persamaa () merupaka solusi eksak persamaa KdV yag merepreseasika h() 7 9 Gambar. Gelombag solio dega Selajuya, dega megguaka asa sech () da prisip aljabar w d, () maka diperoleh persamaa sech. () (.) 9

4 Sehah da J. Amiuddi Peeua Solusi Numerik Persamaa... h() w 7 9 Gambar. Gelombag solio dega pajag. () x x Dega megguaka skema iik hiuga pada Gambar, sera u adalah sebuah fugsi kosa, maka persamaa () mempuyai beuk diskri m, x (7), x h() w D m -, m +, m +, - - h() 9 7 m - m m + Dx Gambar. Skema implisi persamaa KdV x w 7 9 Gambar. Gelombag solio dega pajag Beuk diskri persamaa BKdV merupaka aproksimasi dega meode beda higga. Jariga iik hiuga yag diguaka adalah skema implisi seperi pada Gambar. Lagkah awal diskriisasi dilakuka dega meyaaka persamaa BKdV dalam beuk oasi biasa, yaiu x x. () Dega variabel x da, maka persamaa () dapa diuliska dalam beuk m, (9) Jika persamaa (9) didereka dari m higga m M, sera megaurya dalam beuk kofigurasi ideks palig redah ke ideks palig iggi, maka diperoleh

5 Berkala Fisika ISSN : - 9 Vol, No., Jauari 9 hal 7-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (),,, 7,, M, M, M, M, M, Kofigurasi persamaa () dapa diyaaka dalam beuk mariks uuk memudahka pemrograma sehigga diperoleh beuk,,,,,,, M, M, () () Meuru model ersebu dapa dikeahui bahwa pake gelombag megalami disorsi pada waku yag saga pajag. Solusi ersebu mempuyai model karakerisik yag sama dega referesi [,,]. Hal ersebu megidikasika bahwa perambaa parikel air aka megalami disorsi berdasarka lama perambaa h() h().... w w.... Solusi persamaa () sebagai pasaga aara eleme mariks M, da, M, merupaka solusi umerik persamaa KdV. Solusi ersebu dihiug dega megguaka megguaka meode Gauss-Jorda dega bahasa pemrograma MATLAB 7.. Parameer visualisasi yag diguaka adalah ampliudo gelombag yag bervaiasi pada Gambar, Gambar da Gambar. Selai iu, parameer eap dalam perhiuga ii adalah u = sebagai kosaa umu da sebagai ampliudo awal, sebagai kosaa waku domai, da, sebagai kosaa spasi domai. Parameer piliha: frekuesi da waku pejalara sebagai kosaa yag bervariasi. Solusi umerik dari persamaa BKdV diperlihaka pada Gambar, Gambar 7, da Gambar... Gambar. Gelombag solio dega da h() w......

6 Sehah da J. Amiuddi Peeua Solusi Numerik Persamaa... h() w.. Gambar 7. Gelombag solio dega da UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih yag besar disampaika kepada DPM DIRJEN DIKTI DEPDIKNAS RI aas biaya yag diberikaya. Terima kasih juga disampaika kepada Keua da Pegelola Laboraorium Fisika Teoreik Eergi Tiggi da Isrumeasi (THEP&I) da Laboraorium Oseaografi Fisis ITB, sera Laboraorium Fisika Kompuasi UNSOED aas baua da dukuga fasilias yag elah diberika dalam peeliia ii. h() h() w w Gambar. Gelombag solio dega da KESIMPULAN Hasil pemodela meujukka bahwa evelope gelombag, megalami disorsi ampliudo awal pada waku. Hal ii megidikasika bahwa perambaa parikel air aka megalami disorsi berdasarka lama perambaaya. DAFTAR PUSTAKA []. Lamb JGL, 9, Elemes o solio heory, Joh Wiley & Sos. Ic, New York, USA. []. Malfie W, 99, Soliary wave Soluios of Noliear Wave Equaio, Am. J. Phys.,. USA. []. Johso RS, 99, Soliary wave, soluio ad shelf evoluio over variable deph, J. fluid. Mech. 7, -, Cambridge Uiver-siy, USA. []. Soewoo E, Adoowai, SR. Pudjapraseya, HJ. Wospakrik. da FP. Ze.,, Solio da Berbagai Solusi Terkai dari Persamaa Tipe Koreweg-de Vries, Proc. ITB Vol., No., Badug, Idoesia. []. Li Y ad F. Raichle,, No- Breakig ad Breakig Soliary Wave Ru-Up, J. fluid. Mech.,,9-, Cambridge Uiversiy, USA. []. Pirooli S, 7, Performace Aalysis ad Opimiaio of Fiie Differece Scheme for Wave Propagaio Problems, J. Comp. Phys, Vol., 9-. [7]. Marha LA ad PB. James, 99, Mahemaica by Example, Academic Press. Ic, Sa Diego, USA []. Lidfield G. ad J. Pey, 99, Numeri-cal Mehods Usig

7 Berkala Fisika ISSN : - 9 Vol, No., Jauari 9 hal 7- MATLAB, Ellis Horwood Limied, New York, USA. [9]. Amiuddi J. ad FP. Ze,, Applicaio of Fiie Differece Mehods for Solig Noliear Schrödiger Equaio, Workshop o Theoreical Physics ad 7 h Birhday of Prof. Musli UGM, Yogyakara, Idoesia. []. Laief H, S. Hadi ad F. Imamura,, Numerical Model for Tsuami Iudaio Area ad Is Sedime Traspor i Pacer Bay, Ier-aioal W/S o Tsuami Risk ad Is reducio i he Asia-Pasific, ITB, Idoesia. []. Groese VE ad Jager EM, 99, Mahemaical srucures i coiuous dyamical sysems, i series: Sudies i Mahemaical Physics, Norh-Hollad, Elsevier, Amserda Hollad. []. Jose VG ad JS. Eugee,, Classical Dyamics: a coempo-rary approach, Cambridge Uiver-siy Press, New York, USA. []. Kaaoka T ad M. Tsuahara,, Traverse Isabiliy of Surface Soliary Wave, J. fluid. Mech., -, Cambridge Uiversiy, US