SKEMA BEDA HINGGA TAK-STANDAR UNTUK MODEL EPIDEMI DENGAN LAJU PENULARAN TERSATURASI YANG DIMODIFIKASI

Transkripsi

1 KNM XV 3-6 Juli 22 UNPAD Jaiagor KEMA BEDA HNGGA TAK-TANDA UNTUK MODEL EPDEM DENGAN LAJU PENULAAN TEATUA YANG DMODFKA AGU UYANTO Jurusa Maemaika Uiversias Brawijaya Jl. Veera Malag 64; Absrak kema beda higga ak sadar uuk model epidemi dega laju peulara ersaurasi yag dimodifikasi aka dikosruksi. Kosruksi skema dilakuka dega megaproksimasi urua perama dega geeralisasi beda maju da medekai sukusuku laiya dega pedekaa ak-lokal. Fugsi peyebu uuk geeralisasi beda maju dikosruksi berdasarka hukum koservasi populasi model epidemi. Berbeda dega meode Euler da meode uge-kua skema yag dikembagka eap mejaga sifasifa diamik dari persamaa diferesial seperi hukum koservasi populasi keposiifa peyelesaia iik eap da kesabilaya apa bergaug pada lagkah waku iegrasi. Hasil-hasil simulasi umerik juga meujukka bahwa skema yag dikembagka lebih akura dibadigka dega skema beda higga ak-sadar apa memperimbagka hukum koservasi. Kaa Kuci: model epidemi skema beda higga ak sadar kosisesi diamik hukum koservasi fugsi peyebu.. Pedahulua Dalam beberapa dekade erakhir elah bayak dikembagka model maemaika yag mejelaska diamika peyaki meular.pada model-model maemaika epidemi umumya populasi dibagi mejadi beberapa kelas yag berbeda. alah sau model maemaika epidemi yag ermasuk dalam kaegori ii adalah model epidemi yag membagi populasi mejadi kelompok idividu rea erhadap ifeksi suau peyaki yag dioasika dega (uscepible) kelompok idividu erifeksi yag dioasika dega (fecive) da kelompok idividu sembuh dari ifeksi yag dioasika dega (emoved). alah sau mekaisme peig dalam model maemaika epidemi adalah laju peulara yaiu laju perubaha idividu rea () mejadi idividu erifeksi ().Pada Model klasik yag dikembagka oleh Kermack ad McKedrik [] laju peulara dimodelka dalam beuk fugsi bi-liear. Dalam hal ii peulara peyaki berbadig lurus baik dega jumlah idividu rea maupu idividu erifeksi sehigga semaki besar jumlah idividu rea maupu idividu erifeksi aka meyebabka igka peulara yag semaki besar pula.ecara umum jika jumlah idividu erifeksi relaif kecil maka laju peulara dapa dimodelka secara bi-liear. Teapi jika jumlah idividu erifeksi saga bayak maka perilaku sosial psikologi masyaraka maupu mekaisme lai aka megakibaka perubaha laju peulara. Berkaia dega hal ersebu beberapa peelii membua model epidemi dega laju BN :

2 uryao A. kema Beda Higga peulara ersaurasi.alah sauya adalah laju peulara yag berbeuk. Di sii efek fakor saurasi mejelaska korol epidemi akiba idaka preveif dari subpopulasi rea liha [2-3].elai iu erdapa juga model yag megguaka laju peulara ersaurasi yag berbeuk. Pada model kedua ii koak efekif 2 aara subpopulasi erifeksi dega subpopulasi rea dapa ersaurasi pada igka ifeksi yag iggi akiba padaya subpopulasi erifeksi aaupu akiba proeksi subpopulasi rea liha [4-].Kombiasi kedua model elah dilakuka oleh Pahak [6]. Jika diasumsika bahwa idividu yag sembuh memiliki imuias sehigga idak dapa erular lagi maka model ersebu berbeuk: d A d 2 d () d 2 d. d Laju peulara pada model () meggambarka efek saurasi dimaa koak efekif aar idividu rea da erifeksi dapa mecapai suau ilai maksimum akiba perubaha perilaku sosial aau psikologi populasi. Perlu diperhaika bahwa model maemaika peyebara peyaki () berbeuk sisem persamaa diferesial oliear dimaa peyelesaia umumya suli diperoleh.oleh karea iu meode pedekaa umerik diperluka uuk medapaka peyelesaia yag akura. Meode umerik aka merasformasika sisem persamaa diferesial ke dalam sisem persamaa beda. Teu saja sisem persamaa beda ersebu diharapka kosise secara diamik dega sisem persamaa diferesialya yaiu jika kedua sisem ersebu mempuyai sifa-sifa diamik yag sama misalya iik eap da kesabilaya keposiifapeyelesaia koservasi jumlah populasi da lai sebagaiya [7-9]. Dalam arikel ii aka dikosruksi skema umerik yag kosise secara diamik uuk model epidemi (). kema dikosruksi megguaka beda higga ak-sadar. Hasil-hasil umerik megguaka skema yag dikosruksi aka dibadigka dega hasil-hasil meode Euler da meode uge-kua orde empa. 2. ifa-ifa Diamik Model dega Laju Peulara Tersaurasi yag Dimodifikasi Pada bagia ii aka dibahas secara rigkas eag sifa-sifa diamik model epidemi dega laju peulara erifeksi yag dimodifikasi (). ifa -sifa ersebu aka diguaka sebagai acua dalam membahas sifa-sifa diamik model diskri hasil diskriisasi model () megguaka beda higga ak sadar. Perama perlu diperhaika bahwa oal populasi merupaka jumlah seluruh idividu da yaiu N = + +. Persamaa () mejelaska diamika populasi sehigga perilaku diamik aka dipelajari pada domai N. KNM XV Juli 22 UNPAD Jaiagor 88

3 KNM XV 3-6 Juli 22 UNPAD Jaiagor Dega demikia semua subpopulasi da idak boleh berilai egaif.kodisi ii disebu kodisi keposiifa populasi.jika persamaa-persamaa pada sisem () dijumlahka maka diperoleh persamaa diferesial uuk oal populasi dn A N d. (2) Persamaa (2) disebu hukum koservasi uuk populasi yag berkai a dega sisem ().olusi persamaa (2) adalah N A A N e (3) dimaa N N dega masig-masig da meyaaka jumlah subpopulasi awal. Dari persamaa (3) dapa diliha bahwa oal populasi idak berilai kosa. Lebih epaya oal populasi merupaka fugsi mooo aik jika N A/ da mooo uru jika N A/. Pada kedua kasus ersebu berlaku lim N A/ sehigga bidag A/ adalah maifold ivaria yag sabil pada oka perama. elajuya Pahak [6] medefiisika agka reproduksi dasar uuk model () yaiu A A. (4) elai iu Pahak [6] juga meujukka bahwa jika maka model () mempuyai iik keseimbaga uggal yag bersifa sabil asimoik yaiu A/.Tiik keseimbaga ersebudikeal sebagai iik keseimbaga bebas peyaki. Apabila maka selai iik keseimbaga bebas peyaki model () juga mempuyai iik keseimbaga edemi e e e dega A 2 A e ; A e e 2 A 2 A e da.pada kasus ii iik bebas peyaki idak sabil sedagka iik edemi sabil asimoik. 3. kema Beda Higga Tak adar Uuk megkosruksi skema umerik variabel waku didiskriisasi pada iik-iik h 2... dega h adalah lebar grid aau serig disebu lebar lagkah waku iegrasi. olusi pada iik. olusi umerik pada iik yag sama yag berkaia dega solusi ersebu diyaaka sebagai da. elajuya skema umerik dikosruksi dega meerapka meode beda higga ak sadar yag dikembagka oleh Mickes [7-9]. Dega meerapka geeralisasi beda maju da pedekaa ak lokal erhadap persamaa () diperoleh model umerik ak sadar uuk model epidemi () yaiu masig-masig adalah da BN :

4 uryao A. kema Beda Higga h h A 2 2. h Perhaika bahwa urua didekai dega beda maju eapi dega megguaka fugsi peyebu h sehigga dikeal sebagai perluasa beda maju.jika dipilih fugsi peyebu h h maka skema () eap merupaka skema beda higga ak sadar karea megguaka pedekaa ak lokal. Pada arikel ii aka dipilih fugsi peyebu sehigga oal populasi eksak eap erjaga yaiu dega cara beriku.dega mejumlah semua persamaa pada sisem diskri () dapa diperoleh persamaa N N A N. (6) h Perhaika bahwa persamaa ( 6) merupaka beuk diskriisasi ak-sadar dari persamaa koservasi populasi (2 ) sehigga fugsi peyebu h dapa diperoleh dega membadigka solusi persamaa beda ( 6) dega solusi persamaa (2) yaiu solusi pada persamaa (3) pada saa yaiu N A A N exp h. Dega cara ii diperoleh bahwa fugsi peyebu harus berbeuk berbeuk exp h h. (7) Dega megguaka fugsi peyebu ( 7) persamaa beda ( 6) mempuyai solusi yag epa sama dega solusi (3) yaiu h N A A N e. (8) Persamaa ( 8) meujukka bahwa hukum koservasi populasi selalu erpeuhi uuk sembarag ilai h. elajuya perhaika bahwa skema () merupaka skema implisi karea megguaka pedekaa ak-lokal. Teapi skema ersebu dapa disusu kembali dega mudah uuk medapaka skema eksplisi yaiu A h h dega / h h h h 2. Karea semua parameer da fugsi peyebu berilai k-egaif skema (9) aka selalu meghasilka peyelesaia ak-egaif. Aalog dega kasus koiu kodisi keposiifa peyelesaia ersebu bersama-sama dega hukum koservasi populasi mejami keerbaasa peyelesaia umerik yag dihasilka oleh skema () aau (9). () (9) KNM XV Juli 22 UNPAD Jaiagor 882

5 KNM XV 3-6 Juli 22 UNPAD Jaiagor 4. imulasi Numerik Pada bagia ii diujukka beberapa hasil umerik uuk megkofirmasika hasil aalisis sebelumya.imulasi dilakuka dega meguaka parameer seperi pada Tabel. Tabel. Nilai-ilai parameer uuk simulasi Parameer Tiik bebas A Tiik edemi peyaki Nilai Tiik Keseimbaga Bebas Peyaki ( ) 4 3 h =. 2 Tiik Bebas Peyaki 2 Gambar. Diagram fasa uuk skeario iik bebas peyaki megguaka skema beda higga ak sadar () dega h =.. kema beda higga ak sadar () aau beuk eksplisiya ( 9) mempuyai iik keseimbaga bebas peyaki yag sabil asimoik. Uuk sifa kesabila pada Gambar diujukka hasil simulasi umerik megguaka parameer seperi pada Tabel dega. 3 h =. da beberapa ilai awal. Dega megguaka parameer ersebu diperoleh.9742 sehigga iik bebas peyaki (8.8..) merupaka iik keseimbaga yag sabil.gambar meujukka bahwa solusi semua umerik dega berbagai ilai awal koverge ke iik bebas peyaki. elajuya pada Gambar 2 diujukka perbadiga solusi umerik megguaka skema beda higga ak sadar (9) beda higga ak sadar seperi pada skema (9) eapi dega fugsi peyebu h h meode Euler da meode uge-kua orde 4. Pada gambar ersebu diguaka lagkah waku iegrasi yag cukup besar yaiu h = da ilai awal (2 2 ). Terliha bahwa solusi umerik yag dihasilka oleh seluruh meode ersebu mempuyai perilaku diamik yag sama yaiu semua solusi berilai ak egaif da koverge ke iik bebas peyaki. Teapi error oal populasi dari masig-masig meode meujukka perbedaa yag cukup sigifika liha Gambar 3. Pada Gambar 3 BN :

6 uryao A. kema Beda Higga ersebu diujukka error mulak dari oal populasi dalam skala logarima. Terliha bahwa error yag dihasilka oleh skema beda higga ak sadar ( 9) saga kecil yaiu dalam orde 4. Meode beda higga ak sadar dega h h da meode Euler mempuyai error yag hampir sama da saga besar karea keduaya mempuyai akurasi orde perama. Meode uge-kua orde 4 mempuyai error yag relaif kecil dibadigka dega skema beda higga ak sadar dega h h maupu skema Euler eapi relaif saga besar dibadigka dega meode beda higga ak sadar (9). (a) kema Tak adar; = (exp(h) - ) / 2 2 (b) kema Tak adar; = h 2 2 (c) kema Euler 2 2 (d) kema uge Kua order Gambar 2. Perbadiga solusi umerik uuk skeario iik bebas peyaki dega h =. olusi umerik dari masig-masig meode koverge ke iik bebas peyaki. error mulak - - Tak adar; = (exp(h)-)/ Tak adar; = h Euler uge-kua orde 4 error berilai ol Gambar 3. Perbadiga error mulak oal populasi uuk simulasi seperi pada Gambar Tiik Keseimbaga Edemi ( ) elajuya dilakuka simulasi dega meode beda higga ak sadar (9 ) uuk skeario iik edemi. Di sii juga parameer seperi pada Tabel dega. 3. Pada Gambar 4 diujukka hasil simulasi megguaka h =. dega beberapa ilai KNM XV Juli 22 UNPAD Jaiagor 884

7 KNM XV 3-6 Juli 22 UNPAD Jaiagor awal yag berbeda. Pada kasus ii erdapa dua iik keseimbaga yaiu iik keseimbaga bebas peyaki(8.8..) da iik edemi ( ).Meskipu demikia dapa diliha bahwa semua solusi koverge ke iik edemi. Hal ii sesuai dega aalisis bahwa karea iik edemi merupaka iik keseimbaga yag sabil. 2 Tiik Edemi Tiik Bebas Peyaki 2 Gambar 4. Diagram fasa uuk skeario iik edemi megguaka skema beda higga ak sadar () dega h =.. (a) kema Tak adar; = (exp(h) - ) / (b) kema Tak adar; = h (c) kema Euler (d) kema uge Kua order Gambar. Perbadiga solusi umerik uuk skeario iik edemi dega h =. olusi umerik dari meode beda higga baik skema () maupu skema dega h h koverge ke iik edemi; sedagka meode Euler da uge-kua meghasilka solusi berilai egaif da ak erbaas (plo haya pada ierval [-4 4]. Pada Gambar dibadigka solusi umerik dari skema beda higga ak sadar (9) skema beda higga ak sadar dega h h skema Euler da skema uge- Kua orde 4 megguaka h =. Gambar meujukka bahwa kedua beda higga ak BN :

8 uryao A. kema Beda Higga sadar mempuyai perilaku diamik yag sama yaiu kedua solusi koverge ke iik edemi. Teapi meode Euler da uge-kua orde 4 idak sabil.dalam hal ii solusi meode Euler maupu uge-kua dapa berilai egaif da ak erbaas. Meskipu kedua meode beda higga ak sadar mempuyai perilaku diamik yag sama eapi dapa diliha pada Gambar 6 bahwa oal populasi dari meode beda higga dega h h mempuyai error mulak yag relaif jauh lebih besar dibadigka dega skema (9). Hal ii meujukka bahwa skema (6) mejaga hokum koservasi populasi.. Kesimpula Dalam ulisa ii elah dikembagka meode umerik uuk meyelesaika model epidemi dega laju peulara ersaurasi yag dimodifikasi megguaka meode beda higga ak-sadar. kema umerik diuruka dega memperkealka fugsi peyebu dalam medekai urua perama da meerapka pedekaa ak-lokal uuk suku-suku laiya.fugsi peyebu diuruka dari hukum koservasi populasi sehigga oal populasi eksak selalu erpeuhi. Hasil-hasil simulasi umerik meujukka bahwa skema yag dikembagka kosise secara diamik dega model epidemi koiu uuk berapapu lagkah waku iegrasi yag diguaka. error mulak - - Tak adar; = (exp(h)-)/ Tak adar; = h Euler uge-kua orde 4 error berilai ol Gambar 6. Perbadiga error mulak oal populasi uuk simulasi seperi pada Gambar. Ucapa Terima Kasih Peeliia ii dibiayai oleh Direkora Jederal Pedidika Tiggi Kemeeria Pedidika da Kebudayaa melalui DPA Uiversias Brawijaya No. : 636/ //22 da berdasarka K ekor Uiversias Brawijaya No. : 8/K/22. KNM XV Juli 22 UNPAD Jaiagor 886

9 KNM XV 3-6 Juli 22 UNPAD Jaiagor Dafar Pusaka [] Kermack W.O. da A.G. McKedrick A Coribuio o he Mahemaical Theory of Epidemic Proc.. oc. Lodo A : [2] C. Wei da L. Che A delayed epidemic model wih pulse vacciaio Discree Dyamics i Naure ad ociey 28 Aricle D [3] Zhag J.-Z. Ji Z. Liu Q.-X. da Zhag Z.-Y. Aalysis of a delayed model wih oliear icidece rae Discree Dyamics i Naure ad ociey28 Aricle D 663. [4] Xu. da Ma Z. abiliy of a delayed epidemic model wih a oliear icidece rae Chaos olios ad Fracals 4(): [] A. uryao A Dyamically Cosise Nosadard Numerical cheme for Epidemic Model wih auraed cidece ae. J. of Mahemaics ad Compuaio 3 (D) [6] Pahak. Maii A. da amaa G.P. ich Dyamics of a Epidemic Model Noliear Aalysis: Modellig ad Corol() [7] Mickes.E. Nosadard Fiie Differece chemes World cieific igapore 994. [8] Mickes Applicaio of Nosadard Fiie Differece chemes World cieific Publishig Co Pe. Ld. 2. [9] Mickes.E. Dyamic cosisecy: a fudameal priciple for cosrucig osadard fiie differece schemes for differeial equaios Joural of Differece Equaios ad Applicaios (7): BN :

10 uryao A. kema Beda Higga KNM XV Juli 22 UNPAD Jaiagor 888