BAB I BILANGAN. Bilangan Real Bilangan Cacah Bilangan Bulat

Transkripsi

1 BAB I BILANGAN I. SKEMA HIERARKIS BILANGAN Bilanan Kompleks Bilangan non prima Bilangan asli Bilangan prima Bilangan Bulat Rasional Bilangan Real Bilangan Cacah Bilangan Bulat Irasional Bilangan Nul (Nol) Bilangan Imajiner II. PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN Bilangan kompleks : Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari bilanganreal dan imajiner Bilangan Real : Bilangan yang nyata.. (0.02, -V3) macam-macam bilangan Bilangan Imajiner : Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar negative Contoh : V-2, V-0,05, V-3 Simbolnya (xi) Bilangan Rasional Bilangan Irasional : Bilangan yang terbentuk dalam p/q (Dimana P & Q adalah bilangan bulat), dan bilangan desimalnya selalu berulang misalnya 1 = 0,3333 (berulang) : Bilangan yang akar bilangan rasional yang hasilnya tidak rasional Misalnya : V2 V3 Tak berulang V Atau disebut juga bilangan berbentuk akar 1

2 Bilangan Bulat : terdiri dari B.B + & B.B Misal : -3, -2, -1, 0,1,2,3 Bilangan Cacah : disebut juga sebagai bilangan bulat positif Bilangan Asli : yang terdiri 1,2,3 dst Bilangan Prima : bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri Bilangan Non Prima : bilangan yang bukan bilangan prima III. OPERASI HITUNG PADA REAL & TURUNANNYA 1) Penjumlahan = (+) 2+3 2) Penguranngan = (-) 2-3 3) Perkalian = (X 3. ) 2*2*2 = = 23 4) Pembagian = (: ;...) 24 = = Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya : 1. Hukum Komulatif 2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2 Tapi 2-3 # Hukum Asosiatif (2+3) +4 = 2+ (3+4) (2.3). 4 = (2.3) Hukum Distributif 2 (3+4) = (2.3) + (2.4) 2 (3-4) = (2.3) (2.4) A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, & PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL PENJUMLAHAN 2

3 i) Va + Va = 2 Va Contoh : 1. V3 + V3 = 2 V3 2. V7 + V7 = 2 V7 ii) Va + Vb = Va + Vb ( Tetap karena bilangan pokoknya berbeda ) Contoh : V2 + V3 = V2 + V3 iii) a Vb + c Vb = (a+c) Vb Contoh : 3 V5 + 2 V5 = (3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional PENGURANGAN i) Va Va = 0 Note : Va Va = (1-1) Va = 0 Va = 0 Contoh : 1. V2 V2 = 0 2. V5 V5 = 0 ii) Va Vb = Va Vb Contoh : 1. V3 V5 = V3 V5 2. V7 V3 = V7 V3 iii) avb cvb = (a-c) Vb contoh : 1. 5V7 2V7 = (5-2) V7 Kesimpulan : Penjumlahan dan Pengurangan irasional hasilnya selalu irasional 3

4 PERKALIAN i) Va x Va = a Note : Va x Va Contoh : = Va.a = Va2 V2 x V2 = 2 = (a2) ½ V5 x V5 = 5 = a 2/2 = a 1 = a ii) Va x Vb = Vab Contoh : 1. V3. V5 = V15 2. V5. V7 = V35 iii) avb x cvb = (a.x) Vb b = (ac) (b 2 ) ½ = (ac) b 2/2 = acb atau abc Kesimpulannya : pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias rasional/irsaional. PEMBAGIAN I) a (Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional) Vb Note : a = a x vb vb vb vb = a vb = a vb b b contoh : 1. 1 = 1 x V2 V2 V2 V2 4

5 = 1 V2 = 1 V V3 = V3 x V5 V5 V2 V2 = V15 = 1 V II) 1 = 1 x Va + Vb Va + Vb Va+Vb Va Vb = 1 ( Va Vb ) ( Va + Vb ) ( Va Vb ) = 1 ( Va Vb ) a ( Vab + V ab ) = Va = Vb ( Sudah Rasional ) a b contoh : 1 = 1 x V3 + V5 Va + Vb V3+V5 V4 V5 = V3 + V5 V3. V3 V5 V5 MENYEDERHANAKAN ANGKA 1. V20 = V4. V5 = 2 V5 2. V32 = V16. V2 = 4 V2 3. V200 = V100. V2 = 10 V2 Contoh soal : 1. 2 V2 + V8 + V V3 + V12 = 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3 = (2+2+4) V2 + (2+2) V3 = 8 V2 + 4 V3 5

6 2. (1+3+V2) = (4-V50) + V243 = 1 + 3V2 (4-5 V2) + 9 V3 = V2 + 5 V2 + 9 V3 = V2 + 5 V2 + 9 V3 = V2 + 9 V3 3. V11 V13 = V11 V13 x V11 V13 = V11 V13 x V11 V13 = (V11 V13) (V11 V13) = (V11 + V13) (V11 V13) = 11 V143 + V V143 V = 11 V143 V = 11 2 V = 24 2 V143 = 24 2 V = V V2 2 V3 = 3 V2 2 V3 x 2 V3 + 3 V2 2 V3 3V2 2 V3 3 v2 2 V3 + 3 V2 = 6 V6 + 9 V4 4 V9 6 V6 4 V9 9 V4 = 9 V4 9 V9 = V9 9 V = = 6/-6 =.1 5. (V10 V8) 2 = (V10 V8) (V10 V8) = 10 V80 V = 18 2 V180 6

7 B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR Ditulis : a x b ; a + b atau ab (maksudnya a kali b) biasanya berbentuk symbol huruf (a z) jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan symbol bilangan lain disebut koefisien dari symbol. Contoh : 5 koef x dari 5x Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga Contoh : 5q adalah koefisien x 3 dari 5 qx 3 Penjumlahan pada aljabar : Contoh = (a+b+c) + (a+b+c) = (a+b) + (b+b) + (c+) Atau A + b + c A + b + c 2a + 2b +2c Pengurangan pada aljabar Contoh : (-a b + c) (a + b c) = samakan variable yang sama Perkalian pada bilangan aljabar Hitunglah : a.b 2 x a 2 b 3 = a 1+2 b 2+3 = a 3 b 5 (lihat sifat pada bilangan eksponen) latihan : 1. Hitunglah 2a 3b + 4c +2 (a-b) 2. Sederhanakanlah 3 (2-3 (2a + 4)) 4a 3. Hitunglah : 2 2. b 2 avb : untuk a = 2 : b 3 7

8 C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN Pecahan 1 & 3 dinamakan pembilang 4 dinamakan penyebut Berbentuk a semakin besar penyebut b semakin kecil nilai pecahan itu pecahan-pecahan yang senilai 1 = 5 didepan 1 x 5 = x 5 = 10 3 = 9 3 x 3 = x 3 = 12 Membandingkan 2 pecahan 7 dengan Caranya samakan penyebut dulu 7 x 7 6 x 8 8 x 7 7 x 8 49 > < Pecahan campuran Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran 5 = =

9 7 = = Hanya pecahan yang nilainya >1 Mencari bilangan antara dua pecahan Tentukan bilangan antara 2/5 dan 5/11 Jawab : 2 dan 5 2 x 4 5 x 5 = x x Penjumlahan : a = = 6 bukan b samakan penyebut = x Pengurangan a. 5 1 = 5 1 = b. 3 x 3 1 samakan penyebut 9 4 = 5 4 x Perkalian 2 x 1 = 2 x 1 = x x 1 = 5 x 1 = x x -1 = 2 x -1 = x x 1 = 2 x -1 = 2 = x 2 2 9

10 Pembagian a. 1 : 1 = 1 x (kebalikan dari 1 = 2) = 1 x 2 1 = 1 x 2 = 2 b. 2 : 1 = 2 x c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 = Pecahan Desimal Berasal dari kata decimus (bahasa latin) yang berarti persepuluh milsanya : = 1 = 0,1 : 1 = 0, Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh : 2 / 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal 2 = 2 x 2 = 4 = 0, = 4 x 125 = = 0, x 125 = Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10 Pecahan persen Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100 Conoh : 25 / 100 : 25% Pecahan dapat diubat dalam bentuk persen begitu juga sebaliknya 10

11 Contoh : 4 persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50% 8 8 : persen = 2 x 100 = 200% % pecahan biasa (sama juga dengan menyederhanakan bilangan) 35% : 5 = : 5 10 Pecahan campuran pada bilangan persen contoh = 22 (1) % = 25 x = 25 /100 D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT 1. Penjumlahan a = 6 b = 5 c = 1 d = 1 2. Pengurangan a. 8 3 = 5 b. 7 3 = 10 c. 6 7 = -1 d. 7 + (-10) = 7 10 = 3 e = -9 f. -6 (-3) = = -3 11

12 3. Perkalian a. 2 x 3 = 6 - x - = + b. -2 x -3 = 6 - x - = - c. 2 x -3 = -6 - x + = - d. -2 x 3 = Pembagian a. 10 : 5 : 10/2 = 2 b. -10 : 5 10/5 = -2 c /5 = -10/5 = -2 I. PERBANDINGAN (RATIO) Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa perbandingan banyaknya perwira dari seluru crew? Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 10/25 II. PROPORSI Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan bahwa pasangan ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut dengan double titik dua (::) Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40 5 : 10 :: 20 : 40 Atau 5 : 10 = 20 : 40 5 = A. INVERSE PROPORSI (BERBALIK HARGA) Ditulis : a/b = c/d Artinya : jia nilai objek a bertambah maka nilai objek c berkurang begitu juga sebaliknya 12

13 Contoh 1 : 25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu diselesaikan oleh 18 orang Jawab : Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat ( kecil ) Banyaknya pekerja lama mengerjarkan (hari) x 25/18 = x/54 X = 125 hari (catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang) B. DIRECT PROPORSI 10 : 20 = 25 : 50 = ½ a/b = c/d artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya contoh 2 : Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp berapa upah yang diterima jika bekerja 7 jam. Jawab : Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya (senilai) Banyaknya jam bekerja besarnya upah (Rp) x 4 = x 4.x = x 7 4 Catatan : VARIABEL yang dinyatakan diletakan sebagai penyebut 13

14 Contoh 3 : Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu yang dapat diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit 5 mesin Jawab : Banyaknya pekerja banyaknya mesin yang dirakit banyaknya hari ? Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin yang dapat dirakit (direct proporsi) kemudian dengan banyaknya hari (inverseproportion) 8. 5 = x = x x = X =.. hari III. VARIASI Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan sebagai berikut, saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan quantitas yang lain saling ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika suatu pertambahan quantitas dapat menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi untuk variasi adalah ( : = ) A = B A = Konstant B Direct Proporsi A 1 = A 2 B 1 B 2 A = 1 B A 1 B 1 = A 2 B 2 Inverse proporsi 14

15 Contoh : Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding terbalik dengan luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki 2 ohm. Berapakah resistan suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya 250 m dan luasnya 0,5 mm? Jawab : R adalah resistan tali R 1 = 2 ohm L adalah luas tali L 1 = 0,0001 m L 2 = 0,00005 m P adalah panjang tali P 1 = 100 m P 2 = 250 m Ditanya R 2 Penyelesaiannya : Karena : 1) R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L R 1 = R 2 L 1 L 2 2) R berbanding terbalik dengan luasnya, maka : R = 1/P R 1 P 1 = R 2 P 2 L 1 L 2 Coba anda cari nila R 2 Bentuk baku Notasi Ilmiah Perhatikan bentuk decimal 0, 1 : 0,0 : 0, = x /a = _ a-n Banyaknya bilangan dibelakang koma 0,0075 = 75 x 10-4 : : : = 7,5 x Pertidak samaan bilangan 15

16 ditandai dengan tanda pertidaksamaan Contoh : Symbol-symbol pertidaksamaan <, >, <, > A & b adalah dua bilangan bulat A = b a sama dengan b A > b dibaca a lebih dari b A < b dibaca a kurang dari b Sedangkan : A > b A < b dibaca a lebih dari satu sama dengan b dibaca a kurang dari atau sama dengan b Contoh 1 : 2 < 2-4 < 0-1 > Carilah nilai x yang memenuhi X + 2 < 3 x anggota bilangan real Jawab : X < = 3 2 X < 1 Hp = (1,2,3.) Contoh 2 : I. Pertidaksamaan linear ( pangkat terendah x 1 ) 3x > 5 3x 5 > 5 3 x > 5 X > 5/3 Garis bilangan 16

17 Hp ( X > 5/3 ) Apabila x > 5/3 Maka garis bilangannya HP { x > 5/3 } 1. -2x + 5 > 0-2x > -5 x (-) 2x < 5 X < 5/2 HP { x < 5/2 } II. Pertidaksamaan Irasional 1. V5x + 2 > 4 Syarat Va > 0 Solusi V5 x + 2 > 4 (dikali 2) = 5x + 2 > 4 2 = 5x + 2 > 16 = 5x > 14 = x > 14/5 = x > 2 4/5 Syarat Va > 0 = V5x + 2 > 0 5x + 2 > 0 5x > -2 X > -2/5 Garis bilangan Hp { x > 2 2/4 } 2. V7x + 3 < v3 + 7 Va Vb = (7x + 3) < (3x + 7) 7x 3x < 7 3 4x < 4 X < 1 17

18 Syarat Va > 0 V7x + 3 > 0 7x + 3 > 0 7x > -3/7 X > -3/7 Vb > 0 V3x + 7 > 0 3x + 7 > 0 3x > -7 3 > -3/7 Garis bilangan Hp {-3/7 < x < 1} Notes dalam penulisan Hp : 1 > x > -3/7 7/3 > x salah x -2 < x 3. Pertidaksamaan nasional dan irasionak 15x + 3 < 0 dan V7x + 5 > 0 15x < -3 7x + 5 > 0 X < -3/15 7x > -5 X > -5/7 18

19 III. PERBANDINGAN FUNGSI KUADRAD 1. x 2 + 5x + 14 > 0 ( - ) Menjadi : X 2 5x -14 < 0 (x + 2) (x 7) < X1 = -2 X2 = 7 HP {-2 < x < 7} 2. X 2 3x < 4 dan x2 2x > 8 X 2 3x 4 <0 x 2 2x 8 > 0 (x + 2) (x 4) (x + 2) (x 4) X1 = 1 x3 = -2 X2 = 4 x4 = 4 Hp {x < -2 atau -1 < x atau x > 4} 3. (x 2) (x2 + 3x 18) > X2 25 (x 2) (x 3) (x + 6) > 0 (x + 5) (x 5) X1 = 2 x4 = -5 X2 = 3 x5 = 5 X3 = 06 HP {-6 < x < -5 atau x > 5} 4. X 2 < 81 X 2 81 < 0 (x +9) (x-9) X1 = -9 HP (-9 < x < 9) X2 = 9 19

20 X = -10 x = 10 ( ) = -1 = 19 = = -19 = 1-19 * * 1 =19 = 19 IV. NILAI MUTLAK X < a -a < x < a X > a x < -a atau x > a (x + 1) > 3 X + 1 < -3 x + 1 > 3 X < -3 x > 2 X < - 4 Absolut : membuat hal-hal menjadi + Contoh : 1. x < 5-2 < x 3 < 2 2. x 3 < 3-2 < x 3 < 2 = < x < = -1 < x < 5 3. x > 5/2 x < - 5/2 atau x > 5/2 Nilai absolut (x + 1) > 3 X + 1 < -3 / x + 1 > x 5 < 1 (dikuadratkan karena ada koefisiennnya 3) = (2x 5) 2 < 1 2 = (1x 5) < 0 = ( (2x -5) - 1) (2x -5) + 1)< 0 Font note : (2x -5) 2 +(2x -5) (2x) -5)

21 = (2x 6) (2x -4) < 0 X1 < -3 x = <-2 X1 = 3 x2 = 2 Hp {2 < x < 3} 5. (3x -2) > 4 (3x 2) 2 > 4 2 ((3x 2) 4) ((3x 2) + 4 ) > 0 (3x -6) (3x + 2) > 0 X1 = 2 x2 = -2/3 Hp {x < -2/3 atau x > 2} (x 2 4) (x 2 2 x -2) < 0 (x + 2) (x 2) (x + 1) (x 3) < 0 X1 = -2 x3 = -1 X2 = 2 x4 = 3 Hp {(-2 < x < -1) atau (2 < x < 3)} X = -3 x X = 5 =12 0 X = -1 1/2-1 ½ ½ ½ -3-1 ½ + 2 = -3 ½ = - ½ = -4 ½ 0 = ½ Aritmatika Dalam bentuk social Contoh : 21

22 Pada suatu ruang muatan yang terdiri dari mobil-mobil yang akan dikirim ke daerah A jika mobil itu dibeli dengan harga Rp dan pemilik menghendaki untung Rp berapa harga jualnya? Jawab : Harga beli Rp Untung Rp Harga jual Rp.? U = J B = J = Harga spare part tipe A Rp dan dijual oleh si empunya Rp berapakah % keutungannya? Jawab : Harga beli Rp Harga jual Rp Laba (untung) Rp Rp Rp Persen keuntungan = / x 100% = 10% Untuk jika Rugi jika Limpas jika Untung jika Rugi kita J > B J > B J = B J B B J Persen keuntungan = U/B x 100% Persen kerugian = R/B x 100% Persen keuntungan dari harga jual = U/J x 100% 22

23 Latihan BAB I Hitunglah 1. X 4. x 2. x 3 = 2. 2a. -5a 3. 3a 4 = xy. 2x 3 y 5 = 4. 3x5 y. 15 x 2 y = -9x 3 y 5. a. 3V2 + V12 V72 + V50 b. 1 / V23. 1/V2+3 c. V2 + V3 / V2 V3 d. (22 V5) (-15) 3 7. (18 8 ) (4 3) (8 4) 10. Pada musim dingin disebuah kota A suhu siang hari (pkl ) = 18 0 C 15 suhu pada malam hari (23.00) adalah -3 0 C, berapa derajat penurunan suhu : x (-5) Sederhanakanlah 13. 4/6 = /18 = 15. 7/35 = /56 = Gunakan tanda >, < atau = 17. 6/5 6/ /15 4/ /16,,, 1/5 23

24 BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR a) Bentuk umum persamaa linear : Determinan persamaan kalimat matematika yang ditandai dengan tanda (*=*) dengan 1 variabel / symbol 1. Ax + b = 0. Dengan ketentuan a tidak boleh o. a dan b adalah konstanta Contoh : 1) 4x + 5 = 0 4x = -5 X = -5/4 2) 3 / 5x + 2 = 4 / 2x 2 = 3 (2x 2) = 4 (5x + 2) = 6x 6 = 6x 20x = = -14x = 14 X = 14/-144 = -1 3) 2x 8 = 15 2x = = 23 X = 23/2 = 11 ½ 4) 5x + 6 = -2x 8 5x + 2x = x = -14 X = -14/7 = -2 5) 3x + 7 = 0 3x = -7 X = -7/3 24

25 6) A memiliki $20 lebih dari B, tetapi nilainya ½ dari C, jika jumlah ketiganya adalah = $80, berapa masing-masing uang mereka Jawab : Mis : uang B = $ x mata uang A = $20 + x dan A = ½ C atau C = 2A Jumlah A + B + C = 20 + x + x + 2 (20 + x) = x + 4x = x = 20 X= 5 Jadi B = 15$ A = 25$ C = 36$ b) System persamaan linear dengan 2 peubah (variable) bentuk umum dari (P,S,L dengan 2 peubah adalah : 1. A1x + b1y + c1 = 0 a1x + b1y = -c1 2. A2x + b27 + c2 = 0 a2x + b2y = -c2 - C1 a1, b1, c1, a2, b2, c2 = R - C2 Persamaan 1 a 1 / b1 boleh ( 0 ) tetapi tidak boleh kedua-duanya 0, demikian juga pada persamaan ke 2. Persamaan tersebut diatas adalah persamaan garis lurus. Sehingga penyelesaian dari system penyelesaian diatas dapat ditentukan sebagai koordinat titik potong antara 2 buah garis lurus (x, y) dan himpunan penyesuaiannya (x,y) untuk menentukan penyelesaian tersebut dapat dilakukan beberapa cara : a) Metode grafik b) Metode subtitusi c) Metode eliminasi d) Metode determinan a. METODE GRAFIK Dengan metode ini, setiap garis pada persamaan linear tersebut diatas kita gambar grafiknya pada system koordinat cartesius. Yaitu koordinat titik potong antara ke 2 garis yang hasilnya akan sama dengan cara hitung metode subtitusi dan metode eliminasi. Contoh : 25

26 Tentukan : Hp dari s. persamaan I = x + y = 4 II = x y = 16 Dengan metode grafik Solusi jawaban X + y = 4 Untuk x = 0 x + y = y = 4 Y = 4 x,y = (0,4) Untuk y = 0 x + y = 4 X + 0 = 4 X = 4 x.y = (4,0) X 2y = 16 Untuk x = 0 x 2y = y = 16-2y = 16 Y = y =16/-2 = -8 x,y = (0, -8) Untuk y = 0 x 2y = 16 X 0 = 16 X = 16 x,y = (16,0) Model grafiknya : 26

27 b. MODEL SUBTISUSI Subtitusi artinya : menggantikan / memasukan nilainya. Metode ini lebih tepat dipergunakan apabila pada system persamaan linear dengan 2 perubah / variable. Terdapat persamaan dengan salah satukoefisiend dari salah satu perubahan variablernya adalah satu. Contoh : 1. 3x + y =1 (I) 2x 3y = 8 (Z) Persamaan I 3x + y = 1 Y = 1 3x (3) Subs (masukkan) y = 1 3 x ke pers (z) 2x 3x = 8 untuk x = 1 subs ke pers (3) 2x 3 (1 3x) = 8 y = 1 3 x 2x 3 + 9x = 8 y = 1 3 (1) 11x = 11 = 1 3 X = 11/11 y = - 2 Hp ( 1, -2 ) 2. 2x + 3x = 20 3x y = -3 Jawab : Pres (2) = 3x y = 3 -y = -3-3x (x) Y = 3 + 3x.. (x) Y = 3+ 3x subs ke pers (1) 2x + 3y = 20 11x = 11 2x + 3 (3 + 3x) = 20 x = 1 X = 1 sub ke pers (3) y = (I) Y = 6 hp (1,6) 27

28 c. METODE ELIMINASI Eliminasi artinya menghilangkan salah satu unsure / variable, sehinggga dari 2 variabel semua menjadi hanya 1 variabel. System p.s tersebut dapat diselesaikan, cara menghilangkan salah satu variable tersebut adalah, dengen menyamakan koefisiens dari variable tersebut. Kemudian dikurangkan apabila tanda-tandanya berlawanan / berbeda. Contoh : Tentukan Hp. Dengan eliminasi 1. 3x + y = 1 (1) 2x 3y = 8 (2) Jawab : 3x + y = 1 x2 6x + 2y = 2 2x 3y = 8 x3 6x 9y = 24 11y = -22 Y = -22/11 Mencari y y = -2 3x + y =1 x 3 9x + 3y = 3 2x 3y = 8 x1 2x 3y = 8 11x = -22 X = 11/11 Mencari x 1 = 1 Jadi Hp = (1, -2) d. PENGGABUNGAN ELIMINASI DAN SUBTITUSI 1. 3x + y = 1 (1) 2x 3y = 8 (2) Cara eliminasi : 3x + y = 1.2 6x + 2y = 2 2x 3y = 8.3 6x 9y = 24 11y = -22 Y = -2 Cara subtitusi 28

29 Y = -2 sub ke persamaan (1) 3x + y = 1 3x + y 2 = 1 3x X = 1 a. Yang lebih umum untuk dipergunakan adalah metode eliminasi yang digabungkan dengan subtitsi. b. Metode subtitusi lebih tepat digunakan apabila salah satu koefisien darisalah satu variabbel itu adalah 1 c. Metode grafik lebih tepat dipergunakan untuk memperkirakan/mengecek hasil penyelesaian dengan metode sustitusi / eliminasi dengan cara menggambarkan grafik garis-garis pada system persamaan tersebut dan menentukan titik potongnya. e. METODE DETERMINAN (S) Persamaan dengan 2 variabel 1. Ax + by = k (I) Cx + dy = I (II) Untuk met x dan y X = Sy/S y = Sy/y S = a b = ad bc c d Sx = K b = kd bl L d Sy = ak = al kc Cl X = kd bl y = al kc Ad bc ad bc 29

30 Contoh : 1. X + y = 7 D.M Det X y = 19 Solusi S = 1 1 = 1. ( 1) 1 (1) Sx = 7 1 = 7 (-1) -1 (19) = -26 Sy = 1 7 = 19 7 = Jadi x = 26 / -2 = 13 Y = 12 / -2 Hp ( 13, 6) 2. 2x + y = 5 2x + 3y = -1 S = 2 1 = 6 2 = Sx = 5 1 = 15 (-1) = Sy = 2 5 = = X = 16 / 4 = 4 Y = -12 / 4 = 3 METODE DETERMINAN DENGAN 3 VARIABEL 1. Persamaan dengan 3 variabel / peubah adalah A1x + b1y = ciz = k ( I ) A2x + b2y = c2z = I ( II ) A3x + b3y = c3z = m ( III ) 30

31 Karena memiliki 3 variabel maka harus memiliki 3 persamaan X = sx / s y = sy / s z = sz / s Sy = c1 a1 k c1 a1 C2 a2 I c2 a2 C3 a3 m c3 a3 Sz = A1 b1 k a1 b1 A2 b2 I a2 b2 A3 b3 m a3 b3 X = sx / s = ** / * Y = sz / s = **** / * HP ( X, Y, Z ) Z = sz / s = **** / * A1x + b1y = ciz = 0 ( I ) A2x + b2y = c2z = 0 ( II ) A3x + b3y = c3z = 0 ( III ) Eliminasi pers. ( I ) & ( II ) A1x + b1y + c1z = 0 x pers (2) A2x + b2y + c2z = 0 x pers (1) Menjadi (a1 a2) x + (b1 b2) y = 0. (IV) Eliminasi pers II dan III A2x + b2y + c2z = 0 x pers (2) A3x + b3y + c3z = 0 x pers (1) Menjadi (a2 a3) x + (b2 b3) y = 0. (IV) Pada * dan ** yang dicoret harus z agar mendapatkan nilai x dan y lebih mudah. Persamaan (IV) dan (V) dapat dengan cara subtitsi / eliminasi (a1 a2) x + (b1 b2) y = 0 dapat ditentukan variabelnya 31

32 (a2 a3) x + (b2 b3) y = 0 x dan y dengan cara subtitusi/eliminasi Subtitusi ke salah satu persamaan awal (1) (2) dan (3) maka didapatkan hp (X,Y,Z) Contoh soal 1. 2x y 2z = 15 (I) 3x + 2y + z = 17 (II) X + 4y 3z = 29 (III) Eliminasi pers I dan II 2x y 2z = 5 x 1 = 2x y 2z = 5 3x + 2y + z = 17 x 2 = 6x + 2z = 34 8x + 3y = 39.. (IV) Eliminasi pers II dan III 3x + 2y + z = 17 x 3 9x + 6y + 3z = 51 3x + 2y + z = 17 x 2 x + 4z - 3/z = 29 10x + 10y = 80 X + y = 80 (IV) Pers (4 dan 5) dapat dikerjakan dengan cara eliminasi / subtitusi. Sustitusi apabila pada persamaan 4 dan 5 terdapat 1 koefisien (apabila tidak ada maka harus dengan eliminasi) 8x + 3y = 39 (IV) X + y = 8 (V) M AB = m BP satu garis Y2 y1 = y y2 y2 y1 = x2 x1 (4) X2 x1 x x1 y y2 x x2 Y y1 = x x1 Y2 y1 x2 x1 32

33 LATIHAN : 1. Carilah hambatan parallel untuk R1 = 2V3 ohm dan R3 = V12 ohm 2. Diketahui suatu rangkain listrik parael terdiri dari 3 hambatan yang dipasang secara prarel : jika R total = 0,5 ohm : R1 = 2 ohm : R2 = 1 ½ ohm dan R3 = x 2 ohm, carilah nilai x itu 3. Jumlah dari dua bilangan A dan B adalah 16, sedangkan selisih dua bilangan tersebut adalah 4, berapakah bilangan-bilangan itu? 4. Carilah nilai x dan y dari system persamaan dibawah ini : 2x / 3 3y / 5 = ¾ dan x / 2 y / 4 = 13 / Hitunglah nilai a, b, dan c dari system persamaan linear dibawah ini : 3a + 2b c = 4 2a + b + c = 7 A b + c = 2 6. Dua buah kapal adalah 99 nautical mil jaraknya steaming pada kecepatan yang berbeda, jika dua kapal tersebut mengadakan perjalanan langsung kedepan bersama-sama mereka akan bertemu dalam waktu 3 jam. Jika mereka steaming dalam arah yang sama pada tempat yang sama mereka akan bertemu dalam waktu 49 ½ jam. Berapakah kecepatan kedua kapal tersebut masing-masing 7. Hokum wiliam mengenai hubungan antara konsumsi uap dan tenanga yang dikembangkan oleh sebuah steam engine dalam kondisi tertentu dapat dijelaskan M = a + bp Dimana m adalah mass uap yang digunakan perjam P adalah tenaga yang dikembangkan A dan b adalah konstanta Jika apda suatu ketika pada mesin itu m = 2025 kg/jam saat P = 250 kw dan m = 1515 kg/jam saat P = 175kw a. Carilah besarnya konstanta a dan b b. Berapa kg/jam nilai m saat p = 200kw 33

34 BAB III PERSAMAAN KUADRAT a. PENGERTIAN Ialah suatu bentuk persamaan dengan variable x yang mempunyai pangkat tertinggi misalnya : X 2 3x 2 = 0 2x 2 = 3x 2x = 0 b. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum : ax + bx + c = 0 ; a,b,c, E R, A F o ( sebab bila a = o bentuk tsb menjadi bx + c = 0 yakni persamaan linear) c. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT Ialah nilai nilai x yang memenuhi bentuk suatu persamaan kuadrat misalnya : x 2 5x + 4 = 0, akar-akarnya adalah x = 1 dan x = 4, sebab 1 2 5,1 + 4 = 0 demikian pula 4 2 5,4 + 4 = 0 sedangkan x = 3 bukan persamaan itu, sebab ,3 + 4 # 0 bagaimana cara mencarinya : d. MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Dengan faktorisasi 4x 2 9 = 0 4x 2 = 9 X 2 = 9/4 X = (3/2) 1/2 X = I v3/2 X 2. ½ = (9/4) 1/2 X 1 = 3.2 x 2 = -3 / 2 HP (3/2, -3/2) Note : Tentukan akar dapat dengan faktorisasi Cara : (a b) a 2 b 2 = (a + b) 34

35 (a b) 2 = (a b) (a + b)a 2 2ab + b 2 (a + b) 2 = (a + b) (a + b) a 2 + 2ab + b 2 Rumus Abc Ax 2 + bx + c = 0 Ax 2 + bx = -c : a x 2 + bx : -c (x + b/a) 2 : -c / a a : a Note : (x + b/a) 2 X b/a. x + (b/a) 2 (x + b/a) 2 = -c/a + 4 b/a (x - b/a) 2 = -c/a + 4 b/a X b/a = + V-c/a + 4 b/a X1 = -b/a + V-c + 4ab A X12 = -b + vb2 + 4ac = -b + V d/2a 2a Contoh soal : Tentukan hp dengan rumus abc dari : 1. 6x 2 11x 10 = 0 = -b + Vb 2 4 ac 2a = 11 + V (60) = 11 + V X1 = = 30 = 5/ X2 = = -8 = -2/

36 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 Luas bidang datar satuannya dalam pangkat 2 : m 2, cm 2 1. PERSEGI PANJANG L = P x L : Kel = 2 (P + I) 2. PERSEGI L = Sisi x sisi : Kel = 4 x sisi 3. LINGKARAN L = rr 2 : Kel = 2rr 44

45 4. JAJAR GENJANG L = P x L 5. TRAPESIUM L = Jumlah Garis sejajar x t/2 6. SEGITIGA L = Alas x T/2 Volume = satuannya dalam pangkat 3 : m3, cm 3 7. KUBUS Volume = a x a x a 45

46 8. BALOK Volume = P X I X I 9. PRISMA Volume = L alas x tinggi 10. PIRAMID Volume = 1/3 x luas alas x tinggi 11. SILINDER Volume = rr 2 t 46

47 12. KERUCUT Volume = 1/3 rr 2 t Contoh : 1. Sebuah ruangan penyimpanan barang ukurannya adalah 6.4 m x 4.5 m. carilah luasnya dalam satuan feet (1m = 3.28m) 2. Sebuah persegi panjang tingginya 1 meter. Suatu segitiga yang alasnya sama memiliki luas sama dengan 2/3 luas persegi panjang. Carilah tinggi segitiga itu 3. Sebuah tank alasnya berukuran 20 x 15 m dan sisinya tegak. Jika berisi iar 2400m3 air berapakah tinggi tersebut? 4. Keliling segitiga sama sisi = 240 m dan alasnya 5 cm, carilah luas a. L permukaan silinder 2nrr 2 x 2nrh b. Luas permukaan balok 2 p.t + 2pl + 2 lt c. Luas permukaan limas L Alas + J Luas Segiti sisi tegak d. L Permukaan kerucut nr 2 + nrs Bola Memiliki jari-jari = r Luas permukaan = 4 nr 2 Volumenya 4nr 2 / 3 Contoh : 1. Luas permukaan bola adalah 616 c,2 berapakah volumenya 2. Diameter sebuah bola adalah 30 cm carilah luas permukaan dan biaya gelindingnya untuk $1.50 cm2 47

48 IRREGULAR FIGURES Simpsons first rule. This method of finding the area of an irregular figure is one of the most useful to marine enginers nad neval architects. Briefly it is staled : To the sum of the first and last ordinates, add four times the even ordinates and twice the odd ordinate, multiply this sum by one thirs the common interval and the result is the area of the figure An odd number of ordinates, equally spaced, must be used for this rule, step by step, the producedure is as follow, referring figure. 1. Divide the given figure into an even number of equally spaced parts, this gives and odd number of ordinates 2. Measure the ordinates and the common distance between them 3. Add together : the first ordinate the last ordinate, four time the event ordinates and twice the odd ordinates 4. Multiply the aboce sum by one the third of the third of common distance between the ordinates. 48

49 Example A flat-plate is shaped as shown in fig, the dimension being in millimeters, find its area by simson s rule Working in centimeters and seting out in tabulated form : Ordinates simpson s Multipliers product Sum = Common interval = length : number of spaces = 320 : 8 = 40,, = 4 cm Luas = x 4 / 3 = cm2 From the explanation This rule is often experesed in formula fashion thus : Area h/3 (a + 4b + 2x + 4c + e) H being the coming interval a,b,c etc being ordinates 49

50 The student, however, is advised to set out the work in tabulated form as in the example shown because, in work to follow, simpson s rule is applied in finding first and second moments of irregular shapes and this is most neatly done by extending the tables as for areas. The man (average) height of an irregular figure can be obtained by dividing the area its lengtht, or can be found direct bye simpson s rule bye dividing the sum of the product of the ordinates and theirs multipliers, by the total of multipliers In the foreging example the two methods of obtaining the mean height would be : ( I ) area = cm 2 Length = 32 cm Mean height = : 32 = cm = mm ( II ) Sum of product = Sum Multipliers = = 24 Mean Height = : 245 = cm Example The ordinates measured art wart ship across a ship at her lad water line are : 0,2 : 9, 15.5 : 20 : 21.5 : 20.5 : 18.5 : 12.5 : and 1.3 meters respectively, and the length is 180 meters. Find the water plane are Ordinates simpson s Multipliers product Number ordinates = Number of Spaces = Commong interval = lengths : no of space = Water plane area = 50

51 Latihan Regularly spaces semi = ordinates measured transverly across at ship the load water line are as follow : 0,1 : 3,5.8.5 : 7.2 : 8.1: 8.4 : 8.4 : 8.25 :8.1: 7.5 : 6.3 : 3.75 and 0.5 meters respectively and the length is 150 meters. Find the area of the water plane by simsons rule 51

52 Dalam mencari luas segitiga pada gambar diatas kita dapat menggunakan rumus : 1. L = s V (s-a) (s-b) (s-c) Dimana : s = ½ (a + b + c) 2. L = ½ ab sin x Atau L = ½ bc sin Atau L = ½ ac sin Contoh : Dik : dalam segitiga a = 15 : b = 20 : c = 25, carilah luas segitiga itu, jawab A = 15 B = 20 s = C = 25 2 = 30 52

53 V. TRIGONOMETRI a. Pengertian dan perbandingan trigonometri < ABC disebut Betha < BAC disebut Alpha < BCA disebut Gamma Nama-nama perbandingan trigonometri 1. Sinus a disingkat sin a 2. Cosines a disingkat cos a 3. Tangent a disingkat tg a 4. Cotangent a disingkat cotg a 5. Secans a disebut sec a 6. Cosecans a disingkat cosec a Ditinjau dari a dalam segitiga Siku-siku ABC Sisi BC = a Sisi AB = c Sisi AC = b 1. Sin a = c / a 2. Cos a = b / c 3. Tg a = a / b 4. Cotg a = b / a 5. Sec a = c / b / = 1 / cosa 6. Cosec a = c / a = 1 / sina 53

54 PENGUKURAN SUDUT Sudut dapat diukur dalam beberapa cara. Jika sebuah lingkaran dibagi dalam 360 derajat bagian yang sama yang masing-masing sudut terbentuk disebut = 1 derajat masing-masin sudut dibagi dalam 60 bagian yang sama disebut minutes. - 1 minute ditulis 1 untuk mencegah pengertian dengan minute waktu maka minute waktu diterjemahkan dalam min of m - Masing-masing minute dibagi dalam 60 bagian yang sama yang disebut second diluts 1 bukan 1 secong yang terbiasa digunakan dalam 1 sekon waktu. 60 secons = 1 minute 60 = 1 60 minute = 1 60 = 1 90 = 1 sudut siku-siku Dalam sebuah circular measure Circumference dari sebuah lingkaran adalah 2n sepanjang jari-jari lingkaran. N adalah ratio dan menggunakan pendekatan kadang kita juga menggunakan 22/7 walaupun itu bukan pendekatan yang bagus sudut yang dibentuk dari sebuah panjang busur dengan jari-jari disebut radian itu lah makanya 2nrad terdapat dalam sebuah lingkaran maka : 54

55 b. Fungsi Trigonometri pada Koordinator 1. Letak dalam kwadran 1 (0 0 < Q < 90 0 ) 2. Letak dalam kewadran II (90 0 < a < ) 55

56 3. Letak dalam kwadran III (180 0 < a < ) 4. Letak dalam kwadran IV (270 0 < a < ) Rumus rumus Trigonometri 1. Kwadran I a. Sin (90 a) 0 = cos a b. Cos (90 a) 0 = sin a c. Tg (90 a) 0 = cotg a d. Tg a = sin a / cos a e. Sin 2 a = cos 2 a = 1 56

57 2. Kwadran II a. Sin (180 a) = sin a b. Cos (180 a) = - cos a c. Tg (180 a) = - tg a d. Sin (90 + a) 0 = cos a e. Cos (90 a) 0 = - sin a f. Tg (90 a) = - cotg a 3. Kwadran III a. Sin (180 + a) = - sin a b. Cos (180 + a) = - cos a c. Tg (180 + a) = cotg a d. Sin (270 - a) 0 = - cos a e. Cos (270 a) 0 = - sin a f. Tg (270 a) = cotg a 4. Kwadran IV a. Sin (360 - a) = - cos a b. Cos (360 - a) = cos a c. Tg (360 - a) = - tg a d. Sin (270 + a) = - cos a e. Cos (270 + a) = sin a f. Tg (270 + a) = - cotg a 5. Sudut-sudut istimewa Jika G = 30 0 Jika G = 60 0 maka : Sin 30 0 = ½ sin 60 0 = ½ V3 Cos 30 0 = ½ V3 cos 60 0 = ½ Tg 30 0 = ½ V3 tg 60 0 = V3 Cotg 30 0 = V3 cotg 60 0 = ½ V3 57

58 BUKTI 58

59 DAFTAR NILAI TRIGONOMETRI UNTU (SATU) PERIODE DALAM SUDUT ISTIMEWA Cara menghitung nilai trihonometri jika a > adalah sebagai berikut : Sin (360 a) = sin a Cos (360 a) = cos a Tg (360 a) = tg a Cotg (360 a) = cotg a Contoh a = A = x maka Sin = sin (2 x ) + ( ) = sin Sin = sin ( ) = sin 60 0 = ½ V3 Cos = cos (2x ) = cos Cos = cos ( ) = cos 60 0 = ½ Tg = tg (2x ) = tg Tg = tg ( ) = tg 60 0 = V3. 59

60 VI. SUDUT NEGATIF DAN GRAFIK FUNGSI A. Sudut Negatif di ukur B. Grafik fungsi Trigonometri Untuk menggambar grafik trigonometri penggunaan sistim coordinator sebagai berikut : absisi titik-titik dari grafik menyatakan besarnya sudut sedangkan ordinatnya merupakan harga fungsi : 1. Y = sin x Gambar 60

61 2. Y = cos x 3. Y = tg x 61

62 LATIHAN! 1. Cari nilai dari COS Sin Tg Cari nilai dari Sin Cos Sudut-sudut alas segitiga sama kaki = 45 0 hitung : a. Tinggi b. Alasnya c. Luasnya 62

63 DENSITY AND SPECIFIK GRAVITY DENSITY s the mass per unit volume : lbs/ft 3+ kg/dm 3+ kg/m 3 SPECIFIC GRAVITY is the ration of the mass of a unit volume of a substance to the mass of the same volume of water at standart temeperatur, usually, 4 0 c Density of a Subtance S.G = Density of Water BIRITISH SYSTEM S.G = Density of Subtance S.G = Density of Subtance Density of Water Density of Water S.G = 36.2 lbs/ft 3 S.G = 0.58.lbs/ft lbs/ft lbs/ft 3 S.G = 0.52 S.G = 0.58 Notice that in the S.I System the density and specific gravity of a substance are the same in numerical value with the spesifik gravity having no units. Although kg/m3 is the base unit of measurement for density the following unit are sometime used : Desinty of Liquid kg/dm3 Density of passport kg/dm3 To convert from one unitto the other in the S.I. System study the following : 1 kg/dm3 = kg/m3 0,0001 kg /dm3 = 1kg/m3 When calculating the specific gravity of a liquid the density of a substance is compared to that of water. However, when calculating the specific gravity of a vapor the density of the vapor is compared to that of air (air = 1.0) Density of water = 1.0 kg/dm3 or kg/m3 Density of air = 1.0 kg/dm3 63

64 64

65 65

66 66

67 67

68 SOAL : 1. Sebatang bamboo yang panjangnya 6 m tersandar pada tembok rumah sedemikian, sehingga membentuk sudut 60 0 dengan tanah : Hitunglah : a. Tinggi Ujung atas bambu b. Jarak ujung bawah bambu dan tembok 2. Suatu kapal berlayar sejauh 24 km kejurusan kemudian 56 km dengan jurusan Berapa jarak selatan dan jarak barat kapal itu titik keberangkatannya 68